2021 年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分，每小题均有四个选项，其中只
有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．﹣7 的倒数是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣7
D．7
2．如图所示的几何体是由6 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．2021 年5 月15 日7 时18 分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3 亿千米的神秘火星，
在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．
将数据3 亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×105
B．3×106
C．3×107
D．3×108
4．在平面直角坐标系xOy 中，点M（﹣4，2）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）
B．（4，2）
C．（﹣4，﹣2）
D．（4，﹣2）
5．下列计算正确的是（ ）
A．3mn﹣2mn＝1
B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3•m＝m4
D．（m+n）2＝m2+n2
6．如图，四边形ABCD 是菱形，点E，F 分别在BC，DC 边上，添加以下条件不能判定
△ABE≌△ADF 的是（ ）
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD
D．∠AEB＝∠AFD
7．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，
最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中
位数是（ ）
A．34
B．35
C．36
D．40
8．分式方程
+
＝1 的解为（ ）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝1
D．x＝﹣1
9．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱
五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各
带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的
，
那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为
x，y，则可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中
阴影部分的面积为（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
A．4π
B．6π
C．8π
D．12π
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题4 分，共16 分，答案写在答题卡上）
11．（4 分）因式分解：x2﹣4＝ ．
12．（4 分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为 ．
13．（4 分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y＝x2+2x+k 与x 轴只有一个交点，则k＝
．
14．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A 为
圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB 于点M，N；②分别以M，N 为圆心，以
大于
MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点O；③作射线AO，交BC 于点D．
若点D 到AB 的距离为1，则BC 的长为 ．
三、解答题（本大题共6 个小题，共54 分，解答过程写在答题卡上）
15．（12 分）（1）计算：
+（1+π）0﹣2cos45°+|1﹣
|．
（2）解不等式组：
．
16．（6 分）先化简，再求值：（1+
）÷
，其中a＝
﹣3．
17．（8 分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定
《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025 年）》，共提出八项主要任务，
其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
3
开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，
该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能
选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程
人数
篮球
m
足球
21
排球
30
乒乓球
n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n 的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000 名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
18．（8 分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能
环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，
已知测倾器的高度为1.6 米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角∠MBC＝33°，
在与点A 相距3.5 米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角∠MEC＝45°（点A，D 与
N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1 米；参考数据
sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
4
19．（10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝
x+
的图象与反比例函数y
＝
（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x 轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x 轴正半轴于点D，当△ABD
是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标．
20．（10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，BC，D 为AB 延长线
上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为
，△ABC 的面积为2
，求CD 的长；
（3）在（2）的条件下，E 为⊙O 上一点，连接CE 交线段OA 于点F，若
＝
，求
BF 的长．
一、填空题（本大题共5 个小题，每小题4 分，共20 分，答案写在答题卡上）
21．（4 分）在正比例函数y＝kx 中，y 的值随着x 值的增大而增大，则点P（3，k）在第
象限．
22．（4 分）若m，n 是一元二次方程x2+2x﹣1＝0 的两个实数根，则m2+4m+2n 的值是
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
5
23．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝
x+
与⊙O 相交于A，B 两
点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为 ．
24．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，点E，F 分别在边AD，BC 上，且
AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点A′恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为
B′，则线段BF 的长为 ；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，
则线段MN 的长为 ．
25．（4 分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，
沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称
为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp 是该三角形的顺序旋转和，
ap+bq+cr 是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3 中任
取一个数作为x，从1，2，3，4 中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的
顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4 的概率是 ．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
6
二、解答题（本大题共3 个小题，共30 分，答过程写在答题卡上）
26．（8 分）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）
于2021 年3 月1 日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920 吨，刚好被12
个A 型和10 个B 型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A 型点位比一个B 型
点位每天多处理7 吨生活垃圾．
（1）求每个B 型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8 吨生活垃
圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10 吨．若
该区域计划增设A 型、B 型点位共5 个，试问至少需要增设几个A 型点位才能当日处理
完所有生活垃圾？
27．（10 分）在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将ABC 绕点B 顺时针旋转得
到△A′BC′，其中点A，C 的对应点分别为点A′，C′．
（1）如图1，当点A′落在AC 的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB 的延长线上时，连接CC′，交A′B 于点M，求BM 的
长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E 为AC 的中点，连接
DE．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请
说明理由．
28．（12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k 与x 轴相交于
O，A 两点，顶点P 的坐标为（2，﹣1）．点B 为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点
B 的直线与抛物线交于另一点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C 位于x 轴上方，求点C
的坐标；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
7
（3）若点B 的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出
当t＜0 时，点C 的横坐标的取值范围．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
8
2021 年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分，每小题均有四个选项，其中只
有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．﹣7 的倒数是（ ）
A．﹣
B．
C．﹣7
D．7
【分析】根据倒数：乘积是1 的两数互为倒数，即可得出答案．
【解答】解：∵﹣7×（﹣
）＝1，
∴﹣7 的倒数是：﹣
．
故选：A．
2．如图所示的几何体是由6 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐．
故选：C．
3．2021 年5 月15 日7 时18 分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3 亿千米的神秘火星，
在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．
将数据3 亿用科学记数法表示为（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
9
A．3×105
B．3×106
C．3×107
D．3×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，
且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：3 亿＝300000000＝3×108．
故选：D．
4．在平面直角坐标系xOy 中，点M（﹣4，2）关于x 轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣4，2）
B．（4，2）
C．（﹣4，﹣2）
D．（4，﹣2）
【分析】根据关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得
出答案．
【解答】解：点M（﹣4，2）关于x 轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣2）．
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A．3mn﹣2mn＝1
B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3•m＝m4
D．（m+n）2＝m2+n2
【分析】分别根据合并同类项法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及完全
平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A.3mn﹣2mn＝mn，故本选项不合题意；
B．（m2n3）2＝m4n6，故本选项符合题意；
C．（﹣m）3•m＝﹣m4，故本选项不合题意；
D．（m+n）2＝m2+2mn+n2，故本选项不合题意；
故选：B．
6．如图，四边形ABCD 是菱形，点E，F 分别在BC，DC 边上，添加以下条件不能判定
△ABE≌△ADF 的是（ ）
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD
D．∠AEB＝∠AFD
【分析】由四边形ABCD 是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，再根据每个选项添加的条
件逐一判断．
【解答】解：由四边形ABCD 是菱形可得：AB＝AD，∠B＝∠D，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10
A、添加BE＝DF，可用SAS 证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA 证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，故符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS 证明△ABE≌△ADF，故不符合题意；
故选：C．
7．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，
最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中
位数是（ ）
A．34
B．35
C．36
D．40
【分析】把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为30，34，36，40，
∴中位数为（34+36）÷2＝35．
故选：B．
8．分式方程
+
＝1 的解为（ ）
A．x＝2
B．x＝﹣2
C．x＝1
D．x＝﹣1
【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经
检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：分式方程整理得：
﹣
＝1，
去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
检验：当x＝2 时，x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
故选：A．
9．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱
五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各
带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的
，
那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为
x，y，则可列方程组为（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
11
A．
B．
C．
D．
【分析】设甲需持钱x，乙持钱y，根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半＝50，乙的钱
+甲所有钱的
＝50，据此列方程组可得．
【解答】解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意，得：
，
故选：A．
10．如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中
阴影部分的面积为（ ）
A．4π
B．6π
C．8π
D．12π
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S 阴影＝
＝12π，
故选：D．
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题4 分，共16 分，答案写在答题卡上）
11．（4 分）因式分解：x2﹣4＝ （
x +2
）（
x ﹣
2 ）
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
12
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
12．（4 分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为
100
．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A 所代
表的正方形的面积A＝36+64＝100．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝
64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
故答案为100．
13．（4 分）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y＝x2+2x+k 与x 轴只有一个交点，则k＝
1
．
【分析】由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，即可求解．
【解答】解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为1．
14．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A 为
圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB 于点M，N；②分别以M，N 为圆心，以
大于
MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点O；③作射线AO，交BC 于点D．
若点D 到AB 的距离为1，则BC 的长为
1+
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
13
【分析】由题目作图知，AD 是∠CAB 的平分线，则CD＝DH＝1，进而求解。
【解答】解：过点D 作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD 是∠CAB 的平分线，
则CD＝DH＝1，
∵△ABC 为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB 为等腰直角三角形，故BD＝
HD＝
，
则BC＝CD+BD＝1+
,
故答案为：1+
。
三、解答题（本大题共6 个小题，共54 分，解答过程写在答题卡上）
15．（12 分）（1）计算：
+（1+π）0﹣2cos45°+|1﹣
|．
（2）解不等式组：
．
【分析】（1）原式第一项开平方化简，第二项利用零指数幂的意义化简，第三项利用
特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，然后计算即可得到结
果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式＝2+1﹣2×
+
﹣1
＝2+1﹣
+
﹣1
＝2；
（2）由①得：x＞2.5，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
14
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为2.5＜x≤4．
16．（6 分）先化简，再求值：（1+
）÷
，其中a＝
﹣3．
【分析】分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝
＝
，
当a＝
﹣3 时，原式＝
．
17．（8 分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定
《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025 年）》，共提出八项主要任务，
其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定
开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，
该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能
选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程
人数
篮球
m
足球
21
排球
30
乒乓球
n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n 的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000 名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
【分析】（1）根据选择排球的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，然后计
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
15
算出m、n 的值；
（2）用360°乘以样本中“足球”所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以样本中选择“乒乓球”课程的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）30÷
＝120（人），
即参加这次调查的学生有120 人，
选择篮球的学生m＝120×30%＝36，
选择乒乓球的学生n＝120﹣36﹣21﹣30＝33；
（2）360°×
＝63°，
即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；
（3）2000×
＝550（人），
答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550 人．
18．（8 分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能
环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，
已知测倾器的高度为1.6 米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角∠MBC＝33°，
在与点A 相距3.5 米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角∠MEC＝45°（点A，D 与
N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1 米；参考数据
sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【分析】设MH＝x，∠MEC＝45°，故EH＝x，则tan∠MBH＝
＝
≈0.65，进而求解。
【解答】解：延长BC 交MN 于点H，CD＝BE＝3.5,
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
16
设MH＝x，
∵∠MEC＝45°，故EH＝x，
在Rt△MHB 中，tan∠MBH＝
＝
≈0.65，解得x＝6.5，
则MN＝1.6+6.5＝8.1≈8（米），
∴电池板离地面的高度MN 的长约为8 米。
19．（10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝
x+
的图象与反比例函数y
＝
（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x 轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x 轴正半轴于点D，当△ABD
是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标．
【分析】（1）根据一次函数y＝
x+
的图象经过点A（a，3），求出点A 的坐标，再
代入y＝
，即可求得答案；
（2）过点A 作AE⊥x 轴于点E，先求出点B 的坐标，再根据△ABD 是以BD 为底边的
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
17
等腰三角形，可求出点D 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD 的解析式，联立直
线AD 解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点C 的坐标．
【解答】（1）∵一次函数y＝
x+
的图象经过点A（a，3），
∴
a+
＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝
（x＞0），
得：3＝
，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝
；
（2）如图，过点A 作AE⊥x 轴于点E，
在y＝
x+
中，令y＝0，得
x+
＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD 是以BD 为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD 的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
18
解得：
，
∴直线AD 的函数表达式为y＝﹣
x+
，
联立方程组：
，
解得：
（舍去），
，
∴点C 的坐标为（4，
）．
20．（10 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接AC，BC，D 为AB 延长线
上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为
，△ABC 的面积为2
，求CD 的长；
（3）在（2）的条件下，E 为⊙O 上一点，连接CE 交线段OA 于点F，若
＝
，求
BF 的长．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
【分析】（1）连接OC,由AB 为⊙O 的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝
∠BCO,结合已知∠BCD＝∠A，可得∠ACB＝90°，从而证明CD 是⊙O 的切线；
（2）过C 作CM⊥AB 于M,过B 作BN⊥CD 于N,由△ABC 的面积为2
,可得CM＝2，
由∠BCM＝∠A 得
＝
，可解得BM＝
﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝
CM＝2，再由△DBN∽△DCM,得
＝
＝
即
＝
＝
，解DN
＝2
﹣2，故CD＝DN+CN＝2
;
（3）过C 作CM⊥AB 于M,过E 作EH⊥AB 于H,连接OE,由CM⊥AB，EH⊥AB，可得
＝
＝
,而
＝
，故HE＝1，MF＝2HF,Rt△OEH 中，OH＝2，可得AH＝OA
﹣OH＝
﹣2，设HF＝x,则MF＝2x,则(
﹣1)+2x+x+(
﹣2)＝2
,可解得HF＝
1,MF＝2,从而BF＝BM+MF＝(
﹣1)+2＝
+1．
【解答】（1）证明：连接OC,如图：
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC,
∴∠ABC＝∠BCO,
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
20
∴OC⊥CD,
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）过C 作CM⊥AB 于M,过B 作BN⊥CD 于N,如图：
∵⊙O 的半径为
，
∴AB＝2
，
∵△ABC 的面积为2
,
∴
AB•CM＝2
，即
×2
•CM＝2
，
∴CM＝2，
Rt△BCM 中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,
Rt△ABC 中，∠A＝90°﹣∠CBA,
∴∠BCM＝∠A,
∴tan∠BCM＝tanA,即
＝
,
∴
＝
,
解得BM＝
﹣1，(BM＝
+1 已舍去），
∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,
∴∠BCD＝∠BCM,
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC,
∴△BCM≌△BCN(AAS),
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝
﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,
∴△DBN∽△DCM,
∴
＝
＝
,
即
＝
＝
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
21
解得DN＝2
﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2
;
（3）过C 作CM⊥AB 于M,过E 作EH⊥AB 于H,连接OE,如图：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴
＝
＝
,
∵
＝
，
∴
＝
＝
，
由（2）知CM＝2，BM＝
﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF,
Rt△OEH 中，OH＝
＝
＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝
﹣2，
设HF＝x,则MF＝2x,
由AB＝2
可得：BM+MF+HF+AH＝2
，
∴(
﹣1)+2x+x+(
﹣2)＝2
,
解得：x＝1,
∴HF＝1,MF＝2,
∴BF＝BM+MF＝(
﹣1)+2＝
+1．
一、填空题（本大题共5 个小题，每小题4 分，共20 分，答案写在答题卡上）
21．（4 分）在正比例函数y＝kx 中，y 的值随着x 值的增大而增大，则点P（3，k）在第
一 象限．
【分析】因为在正比例函数y＝kx 中，y 的值随着x 值的增大而增大，所以k＞0，所以
点P（3，k）在第一象限．
【解答】解：∵在正比例函数y＝kx 中，y 的值随着x 值的增大而增大，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
22
∴k＞0，
∴点P（3，k）在第一象限．
故答案为：一．
22．（4 分）若m，n 是一元二次方程x2+2x﹣1＝0 的两个实数根，则m2+4m+2n 的值是
﹣
3
．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+2m﹣1＝0，则m2+2m＝1，根据根与
系数的关系得出m+n＝﹣2，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【解答】解：∵m 是一元二次方程x2+2x﹣1＝0 的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2+2m＝1，
∵m、n 是一元二次方程x2+2x﹣1＝0 的两个根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+4m+2n＝m2+2m+2m+2n＝1+2×（﹣2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
23．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝
x+
与⊙O 相交于A，B 两
点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为
2
．
【分析】设直线AB 交y 轴于C，过O 作OD⊥AB 于D，先求出A、C 坐标，得到OA、
OC 长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD 中求出AD 长度，从而根据垂径定理可得答案。
【解答】解：设直线AB 交y 轴于C，过O 作OD⊥AB 于D，如图：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
23
在y＝
x+
中，令x＝0 得y＝
,
∴C(0,
),OC＝
,
在y＝
x+
中令y＝0 得
x+
＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC 中，tan∠CAO＝
＝
＝
,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD 中，AD＝OA•cos30°＝2×
＝
，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝
，
∴AB＝2
，
故答案为：2
．
24．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，点E，F 分别在边AD，BC 上，且
AE＝3，按以下步骤操作：
第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点A′恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为
B′，则线段BF 的长为
1
；
第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，
则线段MN 的长为
．
【分析】如图，过点F 作FT⊥AD 于T,则四边形ABFT 是矩形，连接FN,EN,设AC 交EF
于J.证明△FTE∽△ADC,求出ET＝2,EF＝2
,设A′N＝x,根据NF＝NE,可得12+(4﹣x)2
＝32+x2,解方程求出x,可得结论。
【解答】解：如图，过点F 作FT⊥AD 于T,则四边形ABFT 是矩形，连接FN,EN,设AC
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
24
交EF 于J．
∵四边形ABFT 是矩形，
∴AB＝FT＝4,BF＝AT,
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB＝CD＝4,AD＝BC＝8,∠B＝∠D＝90°
∴AC＝
＝4
,
∵∠TFE+∠AEJ＝90°,∠DAC+∠AEJ＝90°,
∴∠TFE＝∠DAC,
∵∠FTE＝∠D＝90°,
∴△FTE∽△ADC,
∴
＝
＝
,
∴
＝
＝
,
∴TE＝2,EF＝2
,
∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1,
设A′N＝x,
∵NM 垂直平分线段EF,
∴NF＝NE,
∴12+(4﹣x)2＝32+x2,
∴x＝1,
∴FN＝
＝
＝
,
∴MN＝
＝
＝
,
故答案为：1，
。
25．（4 分）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
25
沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称
为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和．如图1，ar+cq+bp 是该三角形的顺序旋转和，
ap+bq+cr 是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3 中任
取一个数作为x，从1，2，3，4 中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的
顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4 的概率是
．
【分析】先根据题意计算出该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为x+y﹣2z，再画
树状图展示所有12 种等可能的结果，找出此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都
小于4 的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：该三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差为（4x+2z+3y）﹣（3x+2y﹣4z）
＝x+y﹣2z，
画树状图为：
共有12 种等可能的结果，其中此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4 的结
果数为9，
所以三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4 的概率＝
＝
．
故答案为
．
二、解答题（本大题共3 个小题，共30 分，答过程写在答题卡上）
26．（8 分）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）
于2021 年3 月1 日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920 吨，刚好被12
个A 型和10 个B 型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A 型点位比一个B 型
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
26
点位每天多处理7 吨生活垃圾．
（1）求每个B 型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8 吨生活垃
圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10 吨．若
该区域计划增设A 型、B 型点位共5 个，试问至少需要增设几个A 型点位才能当日处理
完所有生活垃圾？
【分析】（1）每个B 型点位每天处理生活垃圾x 吨，根据“每天需要处理生活垃圾920
吨，刚好被12 个A 型和10 个B 型预处置点位进行初筛、压缩等处理”，可列方程，即
可解得答案；
（2）设需要增设y 个A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A
型点位每天处理生活垃圾37 吨，每个B 型点位每天处理生活垃圾30 吨，根据题意列出
不等式：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得y 的范围，在求得的范围内取
最小正整数值即得到答案．
【解答】解：（1）设每个B 型点位每天处理生活垃圾x 吨，则每个A 型点位每天处理
生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：
12（x+7）+10x＝920，
解得：x＝38，
答：每个B 型点位每天处理生活垃圾38 吨；
（2）设需要增设y 个A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾，
由（1）可知：《条例》施行前，每个A 型点位每天处理生活垃圾45 吨，则《条例》施
行后，每个A 型点位每天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨），
《条例》施行前，每个B 型点位每天处理生活垃圾38 吨，则《条例》施行后，每个B
型点位每天处理生活垃圾38﹣8＝30（吨），
根据题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，
解得y≥
，
∵y 是正整数，
∴符合条件的y 的最小值为3，
答：至少需要增设3 个A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
27．（10 分）在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，将ABC 绕点B 顺时针旋转得
到△A′BC′，其中点A，C 的对应点分别为点A′，C′．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
27
（1）如图1，当点A′落在AC 的延长线上时，求AA′的长；
（2）如图2，当点C′落在AB 的延长线上时，连接CC′，交A′B 于点M，求BM 的
长；
（3）如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E 为AC 的中点，连接
DE．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）先求出AC＝4，再在Rt△A'BC 中，求出A'C＝
＝4，从而
可得AA'＝8;
（2）过C 作CE//A'B 交AB 于E,过C 作CD⊥AB 于D,先证明CE＝BC＝3,再根据S△ABC＝
AC•BC＝
AB•CD,求出CD，进而可得DE 和BE 及C'E,由CE//A'B 得
＝
,即可
得BM＝
;
（3）过A 作AP//A'C'交C'D 延长线于P,连接A'C,先证明∠ACP＝∠A'C'D＝∠P，得AP＝
AC＝A'C',再证明△APD≌△A'C'D 得AD＝A'D,DE 是△AA'C 的中位线，DE＝
A'C,要使
DE 最小，只需A'C 最小，此时A'、C、B 共线，A'C 的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC＝
2，即可得DE 最小值为
A'C＝1．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°,AB＝5，BC＝3，
∴AC＝
＝4，
∵∠ACB＝90°，△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC 的延长线上,
∴∠A'CB＝90°，A'B＝AB＝5，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
28
Rt△A'BC 中，A'C＝
＝4，
∴AA'＝AC+A'C＝8;
（2）过C 作CE//A'B 交AB 于E,过C 作CD⊥AB 于D,如图：
∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A'BC＝∠ABC,BC'＝BC＝3，
∵CE//A'B,
∴∠A'BC＝∠CEB,
∴∠CEB＝∠ABC,
∴CE＝BC＝3，
Rt△ABC 中，S△ABC＝
AC•BC＝
AB•CD,AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴CD＝
＝
，
Rt△CED 中，DE＝
＝
＝
，
同理BD＝
，
∴BE＝DE+BD＝
，C'E＝BC'+BE＝3+
＝
，
∵CE//A'B,
∴
＝
,
∴
＝
，
∴BM＝
;
（3）DE 存在最小值1，理由如下：
过A 作AP//A'C'交C'D 延长线于P,连接A'C，如图：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
29
∵△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC',∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C',
∴∠BCC'＝∠BC'C,
而∠ACP＝180°﹣∠ACB﹣∠BCC'＝90°﹣∠BCC',
∠A'C'D＝∠A'C'B﹣∠BC'C＝90°﹣∠BC'C,
∴∠ACP＝∠A'C'D,
∵AP//A'C'，
∴∠P＝∠A'C'D,
∴∠P＝∠ACP,
∴AP＝AC,
∴AP＝A'C',
在△APD 和△A'C'D 中，
,
∴△APD≌△A'C'D(AAS),
∴AD＝A'D,即D 是AA'中点，
∵点E 为AC 的中点，
∴DE 是△AA'C 的中位线，
∴DE＝
A'C,
要使DE 最小，只需A'C 最小，此时A'、C、B 共线，A'C 的最小值为A'B﹣BC＝AB﹣BC
＝2，
∴DE 最小为
A'C＝1．
28．（12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k 与x 轴相交于
O，A 两点，顶点P 的坐标为（2，﹣1）．点B 为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
30
B 的直线与抛物线交于另一点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C 位于x 轴上方，求点C
的坐标；
（3）若点B 的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出
当t＜0 时，点C 的横坐标的取值范围．
【分析】（1）由抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P 的坐标为（2，﹣1），可得h＝2,k＝
﹣1,又y＝a(x﹣2)2﹣1 的图象过（0,0），即可解得a＝
,从而得到抛物线表达为y＝
(x
﹣2)2﹣1＝
x2﹣x;
（2）在y＝
x2﹣x 中，令y＝x 得x＝
x2﹣x,可得B(0,0)或B(8，8),分两种情况分别求
C，①当B(0，0)时，过B 作BC//AP 交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，先求出直线
AP 解析式为y＝
x﹣2,再求得直线BC 解析式为y＝
x,由
得C(6,3);②当
B(8，8)时，过P 作PQ⊥x 轴于Q,过B 作BH⊥x 轴于H，作H 关于AB 的对称点M，作
直线BM 交抛物线于C,由tan∠OAP＝
＝
,tan∠ABH＝
＝
,可知∠OAP＝∠ABH,
而H 关于AB 的对称点M,有∠ABH＝∠ABM,故∠ABM＝∠OAP,C 是满足条件的点，设
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
31
M(x,y),根据AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，可得
,解得M(
,
),
从而求得直线BM 解析式为y＝
x+2,再解
得C(﹣1,
)；
（3 ）设BC 交y 轴于M ，过B 作BH⊥x 轴于H ，过M 作MN⊥BH 于N ，证明
△ABH∽△BMN,可得
＝
,即
＝
，BN＝
＝4,故M(0,
t2﹣t+4）,设直线BM 解析式为y＝ex+
t2﹣t+4,将B(t,
t2﹣t）代入得e＝﹣
,可得直线
BM 解析式为y＝﹣
x+
t2﹣t+4，由
得
,
解得点C 的横坐标为﹣t﹣
+4;当t＜0 时，xC＝﹣t﹣
+4＝（
﹣
)2+12,可知
＝
时，xC最小值是12，故当t＜0 时，点C 的横坐标的取值范围是xC≥12．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k，顶点P 的坐标为（2，﹣1），
∴h＝2,k＝﹣1,即抛物线y＝a（x﹣h）2+k 为y＝a(x﹣2)2﹣1,
∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k 经过O，即y＝a(x﹣2)2﹣1 的图象过（0,0），
∴0＝a(0﹣2)2﹣1,解得a＝
,
∴抛物线表达为y＝
(x﹣2)2﹣1＝
x2﹣x;
（2）在y＝
x2﹣x 中，令y＝x 得x＝
x2﹣x,
解得x＝0 或x＝8,
∴B(0,0)或B(8，8),
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
32
①当B(0，0)时，过B 作BC//AP 交抛物线于C，此时∠ABC＝∠OAP，如图：
在y＝
x2﹣x 中，令y＝0,得
x2﹣x＝0，
解得x＝0 或x＝4,
∴A(4,0),
设直线AP 解析式为y＝kx+b,将A(4,0)、P(2，﹣1)代入得：
,解得
,
∴直线AP 解析式为y＝
x﹣2,
∵BC//AP,
∴设直线BC 解析式为y＝
x+b',将B(0，0)代入得b'＝0,
∴直线BC 解析式为y＝
x,
由
得
（此时为点O，舍去）或
,
∴C(6,3);
②当B(8，8)时，过P 作PQ⊥x 轴于Q,过B 作BH⊥x 轴于H，作H 关于AB 的对称点
M，作直线BM 交抛物线于C,连接AM,如图：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
33
∵P(2，﹣1),A(4，0),
∴PQ＝1，AQ＝2，
Rt△APQ 中，tan∠OAP＝
＝
,
∵B(8,8),A(4,0),
∴AH＝4,BH＝8,
Rt△ABH 中，tan∠ABH＝
＝
,
∴∠OAP＝∠ABH,
∵H 关于AB 的对称点M,
∴∠ABH＝∠ABM,
∴∠ABM＝∠OAP,即C 是满足条件的点，
设M(x,y),
∵H 关于AB 的对称点M,
∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，
∴
,
两式相减变形可得x＝8﹣2y,代入即可解得
(此时为H，舍去）或
,
∴M(
,
),
设直线BM 解析式为y＝cx+d,将M(
,
),B(8，8)代入得;
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
34
,解得
,
∴直线BM 解析式为y＝
x+2,
解
得
或
（此时为B,舍去），
∴C(﹣1,
),
综上所述，C 坐标为（6,3）或（﹣1，
）；
（3）设BC 交y 轴于M，过B 作BH⊥x 轴于H，过M 作MN⊥BH 于N,如图：
∵点B 的横坐标为t，
∴B(t,
t2﹣t）,又A(4，0)，
∴AH＝|t﹣4|,BH＝|
t2﹣t|,OH＝|t|＝MN,
∵∠ABC＝90°,
∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH,
且∠N＝∠AHB＝90°，
∴△ABH∽△BMN,
∴
＝
,即
＝
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
35
∴BN＝
＝4,
∴NH＝
t2﹣t+4,
∴M(0,
t2﹣t+4）,
设直线BM 解析式为y＝ex+
t2﹣t+4,
将B(t,
t2﹣t）代入得
t2﹣t＝et+
t2﹣t+4,
∴e＝﹣
,
∴直线BC 解析式为y＝﹣
x+
t2﹣t+4，
由
得
,
解得x1＝t(B 的横坐标）,x2＝﹣
＝﹣t﹣
+4,
∴点C 的横坐标为﹣t﹣
+4;
当t＜0 时，
xC＝﹣t﹣
+4
＝(
)2+(
)2+4
＝（
﹣
)2+12,
∴
＝
时，xC最小值是12，此时t＝﹣4,
∴当t＜0 时，点C 的横坐标的取值范围是xC≥12．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
36
