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2021 年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题（本题共12 个小题，每小题3 分，满分36 分）每小题都给出标号为A,B,C,D
四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．若x 的相反数是3，则x 的值是（ ）
A．﹣3
B．﹣
C．3
D．±3
2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．a2+a3＝a5
C．（a2）3＝a6
D．a2÷a3＝a
4．一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．2021 年5 月15 日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一
步．已知火星与地球的近距离约为5500 万公里，5500 万用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108
B．5.5×107
C．55×106
D．5.5×103
6．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三
角板的斜边上，图中∠α 的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
7．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A，B，C 在坐标轴上，若点B 的坐标为
（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D 的坐标为（ ）
A．（2，2）
B．（
，2）
C．（3，
）
D．（2，
）
8．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
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2
A．m＝n
B．n＝k
C．m＝k
D．m＝n＝k
9．已知关于x 的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n 在数轴上的对应点如图所示，
则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点
C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（ ）
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3
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12．由12 个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝
∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，满分18 分）
13．若代数式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ．
14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A
处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B 观察井水水岸D，视线BD 与井口的直
径AC 交于点E，如果测得AB＝1 米，AC＝1.6 米，AE＝0.4 米，那么CD 为 米．
15．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译
出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，
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4
每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为 ．
16．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40 米，当无人
机与旗杆的水平距离是45 米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为
米．
（结果精确到1 米，参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A，
B，O 在网格线的交点上，则sin∠ACB 的值是 ．
18．综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC 为8cm 的锐角三角形纸片
（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩
形的周长为 cm．
三、解答题（本大题共7 个小题，满分66 分
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5
19．（6 分）先化简，再求值：
，从﹣2＜x≤2 中选出合适的
x 的整数值代入求值．
20．（8 分）2021 年是中国共产党成立100 周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，
今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15 名学员参加了网上测试，
现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15 名学员测试成绩（满分100 分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15 名学员测试成绩（满分100 分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89
（1）按如表分数段整理两班测试成绩
班级
70.5～
75.5
75.5～
80.5
80.5～
85.5
85.5～
90.5
90.5～
95.5
95.5～
100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
表中a＝ ；
（2）补全甲班15 名学员测试成绩的频数分布直方图；
（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
x
86
44.8
乙
86
88
y
36.7
表中x＝ ，y＝ ．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 班；
（5）本次测试两班的最高分都是98 分，其中甲班2 人，乙班1 人．现从以上三人中随
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机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两
班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．
21．（8 分）如图，正比例函数y＝
x 与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A，过点
A 作AB⊥y 轴于点B，OB＝4，点C 在线段AB 上，且AC＝OC．
（1）求k 的值及线段BC 的长；
（2）点P 为B 点上方y 轴上一点，当△POC 与△PAC 的面积相等时，请求出点P 的坐
标．
22．（9 分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40 元的小
商品进行直播销售，如果按每件60 元销售，每天可卖出20 件．通过市场调查发现，每
件小商品售价每降低5 元，日销售量增加10 件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5 元．为提高市场竞争力，
促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，
则该商品至少需打几折销售？
23．（10 分）如图，已知Rt△ABC 中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC 的角平分线AD，交BC 于点D；
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②作线段AD 的垂直平分线EF 与AB 相交于点O；
③以点O 为圆心，以OD 长为半径画圆，交边AB 于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O 的半径．
24．（11 分）有公共顶点A 的正方形ABCD 与正方形AEGF 按如图1 所示放置，点E，F
分别在边AB 和AD 上，连接BF，DE，M 是BF 的中点，连接AM 交DE 于点N．
【观察猜想】
（1）线段DE 与AM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】
（2）将图1 中的正方形AEGF 绕点A 顺时针旋转45°，点G 恰好落在边AB 上，如图
2，其他条件不变，线段DE 与AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
25．（14 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴正半轴
交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x 轴于点E．直线y＝mx+n 经过
B，C 两点．
（1）求抛物线及直线BC 的函数表达式；
（2）点F 是抛物线对称轴上一点，当FA+FC 的值最小时，求出点F 的坐标及FA+FC 的
最小值；
（3）连接AC，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是
否存在以点E 为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点
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P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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2021 年山东省烟台市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12 个小题，每小题3 分，满分36 分）每小题都给出标号为A,B,C,D
四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．若x 的相反数是3，则x 的值是（ ）
A．﹣3
B．﹣
C．3
D．±3
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣3 的相反数是3，
∴x＝﹣3．
故选：A．
2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断，即可求出答案．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．a2+a3＝a5
C．（a2）3＝a6
D．a2÷a3＝a
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，
然后作出判断．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项不符合题意；
B．a2与a3不是同类项，不能进行合并计算，故此选项不符合题意；
C．（a2）3＝a6，正确，故此选项符合题意；
D．a2÷a3＝
，故此选项不符合题意，
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10
故选：C．
4．一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线．
故选：C．
5．2021 年5 月15 日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一
步．已知火星与地球的近距离约为5500 万公里，5500 万用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108
B．5.5×107
C．55×106
D．5.5×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，
且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5500 万＝55000000＝5.5×107．
故选：B．
6．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三
角板的斜边上，图中∠α 的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
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11
【分析】根据EF∥BC 得出∠FDC＝∠F＝30°，进而得出∠α＝∠FDC+∠C 即可．
【解答】解：如图，
∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠F＝30°，
∴∠α＝∠FDC+∠C＝30°+45°＝75°，
故选：C．
7．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A，B，C 在坐标轴上，若点B 的坐标为
（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D 的坐标为（ ）
A．（2，2）
B．（
，2）
C．（3，
）
D．（2，
）
【分析】根据直角三角形的性质得出OB，OA 的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标
即可．
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝
，AB＝2，
∴A（0，
），
∴BC＝AD＝2，
∴C（1，0），D（2，
），
故选：D．
8．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
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12
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A．m＝n
B．n＝k
C．m＝k
D．m＝n＝k
【分析】分别计算出m，n，k 的值即可得出答案．
【解答】解：m＝23﹣
＝8﹣4＝4；
n＝
﹣22＝4﹣4＝0；
k＝
﹣cos60°＝
﹣
＝4；
∴m＝k，
故选：C．
9．已知关于x 的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n 在数轴上的对应点如图所示，
则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
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13
【分析】先由数轴得出m，n 与0 的关系，再计算判别式的值即可判断．
【解答】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＜0，
∴mn＜0，
∴△＝（mn）2﹣4（m+n）＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如图，将阴影部分分割成图形小三角形的大小，令小三角形的面积为a，分别
表示出阴影部分的面积个正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【解答】解：如图所示，令S△ABC＝a，
则S 阴影＝6a，S 正六边形＝18a，
∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为
＝
，
故选：B．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点
C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
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14
其中正确的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，可得二次函数的解
析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，由图象可知，函数图象开口向下，所以a＜0，可得b 和c 的
符号，及a 和c 的数量关系；由函数解析式可得函数对称轴为直线：x＝﹣
＝1，根据
函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性．
【解答】解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵该函数开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，
∴ac＜0，3a+c＝0，①错误，③正确；
∵对称轴为直线：x＝﹣
＝1，
∴x＜1 时，y 随x 的增大而增大，x＞1 时，y 随x 的增大而减小；②错误；
∴当x＝1 时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确．
综上，正确的个数有2 个，
故选：B．
12．由12 个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝
∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG 的长为（ ）
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15
A．
B．
C．
D．
【分析】由AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可
知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：
：2，由此可求出OG 的
长．
【解答】解：由图可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，
∵AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，
∴∠A＝∠OBA＝∠BCD＝…＝∠OLM＝60°，
∴AB＝
OA，OB＝
AB＝
OA，
同理可得，OC＝
OB＝（
）2OA，
OD＝
OC＝（
）3OA，
…
OG＝
OF＝（
）6OA＝（
）6×16＝
．
故选：A．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，满分18 分）
13．若代数式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围为
x ≤
2
．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
2﹣x≥0，
解得，x≤2．
故答案是：x≤2．
14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A
处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B 观察井水水岸D，视线BD 与井口的直
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16
径AC 交于点E，如果测得AB＝1 米，AC＝1.6 米，AE＝0.4 米，那么CD 为
3
米．
【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．
【解答】解：由题意知：AB∥CD，
则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，
∴△ABE∽△CDE，
∴
，
∴
，
∴CD＝3 米，
故答案为：3．
15．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译
出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，
每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为
2
．
【分析】利用幻方中每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，可求出
幻方右下角及第二行中间的数字，再利用幻方中对角线上的数字之和为15，即可得出关
于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：幻方右下角的数字为15﹣8﹣3＝4，
幻方第二行中间的数字为15﹣6﹣4＝5．
依题意得：8+5+a＝15，
解得：a＝2．
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17
故答案为：2．
16．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40 米，当无人
机与旗杆的水平距离是45 米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为
14
米．
（结果精确到1 米，参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
【分析】过O 点作OC⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C，利用直角三角形的解法得出
OC，进而解答即可．
【解答】解：过O 点作OC⊥AB 的延长线于C 点，垂足为C，
∵当无人机与旗杆的水平距离是45 米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，
∴AC＝45 米，∠CAO＝30°，
∴OC＝AC•tan30°＝
（米），
∴旗杆的高度＝40﹣15
≈14（米），
故答案为：14．
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A，
B，O 在网格线的交点上，则sin∠ACB 的值是
．
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18
【分析】连接AO 并延长交⊙O 于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股
定理求出AD，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AO 并延长交⊙O 于D，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝
＝2
，
∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝
＝
＝
，
故答案为：
．
18．综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC 为8cm 的锐角三角形纸片
（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩
形的周长为
22
cm．
【分析】延长AT 交BC 于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，
可得结论．
【解答】解：延长AT 交BC 于点P，
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19
∵AP⊥BC，
∴
•BC•AP＝24，
∴
×8×AP＝24，
∴AP＝6（cm），
由题意，AT＝PT＝3（cm），
∴BE＝CD＝PT＝3（cm），
∵DE＝BC＝8cm，
∴矩形BCDE 的周长为8+8+3+3＝22（cm）．
故答案为：22．
三、解答题（本大题共7 个小题，满分66 分
19．（6 分）先化简，再求值：
，从﹣2＜x≤2 中选出合适的
x 的整数值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜x≤2 中选出一个
使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝[
]•
＝
•
＝
＝
，
∵﹣2＜x≤2 且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，
∴x 的整数值为﹣1，0，1，2 且x≠±1，2，
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20
∴x＝0，
当x＝0 时，原式＝
＝﹣1．
20．（8 分）2021 年是中国共产党成立100 周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，
今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15 名学员参加了网上测试，
现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15 名学员测试成绩（满分100 分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15 名学员测试成绩（满分100 分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89
（1）按如表分数段整理两班测试成绩
班级
70.5～
75.5
75.5～
80.5
80.5～
85.5
85.5～
90.5
90.5～
95.5
95.5～
100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
表中a＝
4
；
（2）补全甲班15 名学员测试成绩的频数分布直方图；
（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
x
86
44.8
乙
86
88
y
36.7
表中x＝
87
，y＝
86
．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 乙 班；
（5）本次测试两班的最高分都是98 分，其中甲班2 人，乙班1 人．现从以上三人中随
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机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两
班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．
【分析】（1）由甲班15 名学员的测试成绩即可求解；
（2）由（1）的结果，补全甲班15 名学员测试成绩的频数分布直方图即可；
（3）由众数、中位数的定义求解即可；
（4）从平均数、中位数、方差几个方面说明即可；
（5）画树状图，共有6 种等可能的结果，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知
识竞赛的结果有4 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝4，
故答案为：4；
（2）补全甲班15 名学员测试成绩的频数分布直方图如下：
（3）甲班15 名学员测试成绩中，87 分出现的次数最多，
∴x＝87，由题意得：乙班15 名学员测试成绩的中位数为86，
故答案为：87，86；
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是乙班，理由如下：
①甲、乙两个班的平均数相等，但乙班的中位数大于甲班的中位数；
②乙班的方差小于甲班的方差，因此乙班的成绩更稳定；
故答案为：乙；
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（5）把甲班2 人记为A、B，乙班1 人记为C，
画树状图如图：
共有6 种等可能的结果，恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的结果有4
种，
∴恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率为
＝
．
21．（8 分）如图，正比例函数y＝
x 与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A，过点
A 作AB⊥y 轴于点B，OB＝4，点C 在线段AB 上，且AC＝OC．
（1）求k 的值及线段BC 的长；
（2）点P 为B 点上方y 轴上一点，当△POC 与△PAC 的面积相等时，请求出点P 的坐
标．
【分析】（1）根据正比例函数的解析式求出A 点坐标，由A 在反比例函数上，可求出
k，再根据AC＝OC 求出点C 的坐标，即可得线段BC 的长；
（2）设点P（0，p），根据△POC 与△PAC 的面积相等，得出关于p 的方程，解方程
即可得点P 的坐标．
【解答】解：（1）∵点A 在正比例函数y＝
x 上，AB⊥y 轴，OB＝4，
∵点B 的坐标为（0，4），
∴点A 的纵坐标是4，代入y＝
x，得x＝8，
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∴A（8，4），
∵点A 在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，
∴k＝4×8＝32，
∵点C 在线段AB 上，且AC＝OC．
设点C（c，4），
∵OC＝
＝
，AC＝AB﹣BC＝8﹣c，
∴
＝8﹣c，解得：c＝3，
∴点C（3，4），
∴BC＝3，
∴k＝32，BC＝3；
（2）如图，
设点P（0，p），
∵点P 为B 点上方y 轴上一点，
∴OP＝p，BP＝p﹣4，
∵A（8，4），C（3，4），
∴AC＝8﹣3＝5，BC＝3，
∵△POC 与△PAC 的面积相等，
∴
×3p＝
×5（p﹣4），解得：p＝10，
∴P（0，10）．
22．（9 分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40 元的小
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商品进行直播销售，如果按每件60 元销售，每天可卖出20 件．通过市场调查发现，每
件小商品售价每降低5 元，日销售量增加10 件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5 元．为提高市场竞争力，
促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，
则该商品至少需打几折销售？
【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60 元时的原利润，设
售价应定为x 元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+
＝（140﹣
2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取
其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打x 折销售，根据销售价格不超过50 元，列出不等式求解即可．
【解答】（1）解：设售价应定为x 元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+
＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50 元；
（2）该商品需要打a 折销售，
由题意，得，62.5×
≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8 折销售．
23．（10 分）如图，已知Rt△ABC 中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC 的角平分线AD，交BC 于点D；
②作线段AD 的垂直平分线EF 与AB 相交于点O；
③以点O 为圆心，以OD 长为半径画圆，交边AB 于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O 的半径．
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【分析】（1）①以A 为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB 相交，再以两个交
点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC 内部一点，将点A 与它
连接并延长，与BC 交于点D，则AD 为∠BAC 的平分线；
②分别以点A、点D 为圆心，以大于
AD 长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF
为AD 的垂直平分线，EF 与AB 交于点O；
（2）根据线段垂直平分线及角平分线的性质推出角之间的关系，再根据平行线的判定
得出OD∥AC，从而得出OD⊥BC 即可；
（3）根据题意得到线段之间的关系：OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，再根据相似
三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，
①以A 为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB 相交，再以两个交点为圆心，以大
于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC 内部一点，将点A 与它连接并延长，与
BC 交于点D，则AD 为∠BAC 的平分线；
②分别以点A、点D 为圆心，以大于
AD 长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF
为AD 的垂直平分线，EF 与AB 交于点O；
③如图，⊙O 与AB 交于点M；
（2）证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，且点O 在AD 上，
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∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故BC 是⊙O 的切线．
（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝
AM，AM＝4BM，
∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，
∴
＝
＝
，
由（2）可知Rt△BOD 与Rt△BAC 有公共角∠B，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴
＝
，即
＝
，解得DO＝6，
故⊙O 的半径为6．
24．（11 分）有公共顶点A 的正方形ABCD 与正方形AEGF 按如图1 所示放置，点E，F
分别在边AB 和AD 上，连接BF，DE，M 是BF 的中点，连接AM 交DE 于点N．
【观察猜想】
（1）线段DE 与AM 之间的数量关系是
DE
＝
2 AM
，位置关系是
DE
⊥
AM
；
【探究证明】
（2）将图1 中的正方形AEGF 绕点A 顺时针旋转45°，点G 恰好落在边AB 上，如图
2，其他条件不变，线段DE 与AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
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【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，证明
△DAE≌△BAF（SAS），由全等三角形的性质得出DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，由直角
三角形的性质可得出结论；
（2）延长AM 至点H，使得AM＝MH，连接FH，证明△AMB≌△HMF（SAS），由全
等三角形的性质得出AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，证明△EAD≌△AFH（SAS），由全
等三角形的性质得出DE＝AH，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEGF 都是正方形，
∴AD＝AB，AF＝AE，∠DAE＝∠BAF＝90°，
∴△DAE≌△BAF（SAS），
∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ADE+∠AFB＝90°，
在Rt△BAF 中，M 是BF 的中点，
∴AM＝FM＝BM＝
BF，
∴DE＝2AM．
∵AM＝FM，
∴∠AFB＝∠MAF，
又∵∠ADE+∠AFB＝90°，
∴∠ADE+∠MAF＝90°，
∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠MAF）＝90°，
即AN⊥DN；
故答案为DE＝2AM，DE⊥AM．
（2）仍然成立，
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证明如下：延长AM 至点H，使得AM＝MH，连接FH，
∵M 是BF 的中点，
∴BM＝FM，
又∵∠AMB＝∠HMF，
∴△AMB≌△HMF（SAS），
∴AB＝HF，∠ABM＝∠HFM，
∴AB∥HF，
∴∠HFG＝∠AGF，
∵四边形ABCD 和四边形AEGF 是正方形，
∴∠DAB＝∠AFG＝90°，AE＝AF，AD＝AB＝FH，∠EAG＝∠AGF，
∴∠EAD＝∠EAG+∠DAB＝∠AFG+∠AGF＝∠AFG+∠HFG＝∠AFH，
∴△EAD≌△AFH（SAS），
∴DE＝AH，
又∵AM＝MH，
∴DE＝AM+MH＝2AM，
∵△EAD≌△AFH，
∴∠ADE＝∠FHA，
∵△AMB≌△HMF，
∴∠FHA＝∠BAM，
∴∠ADE＝∠BAM，
又∵∠BAM+∠DAM＝∠DAB＝90°，
∴∠ADE+∠DAM＝90°，
∴∠AND＝180°﹣（∠ADE+∠DAM）＝90°，
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即AN⊥DN．
故线段DE 与AM 之间的数量关系是DE＝2AM．线段DE 与AM 之间的位置关系是
DE⊥AM．
25．（14 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴正半轴
交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x 轴于点E．直线y＝mx+n 经过
B，C 两点．
（1）求抛物线及直线BC 的函数表达式；
（2）点F 是抛物线对称轴上一点，当FA+FC 的值最小时，求出点F 的坐标及FA+FC 的
最小值；
（3）连接AC，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是
否存在以点E 为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点
P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）点A、B 关于抛物线的对称轴对称，设抛物线的对称轴交BC 于点F，则点F 为所
求点，此时，当FA+FC 的值最小，进而求解；
（3）①当点Q 在点P 的左侧时，证明△QME∽△ENP，则
＝tan∠EQP＝
tan∠OCA＝
＝
＝
，进而求解；②当点Q 在点P 的右侧时，同理可解．
【解答】解：（1）由点A 的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C 的坐标为（0，4），
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将点A、B、C 的坐标代入抛物线表达式得：
，解得
，
故抛物线的表达式为y＝﹣
x+x+4；
将点B、C 的坐标代入一次函数表达式得：
，解得
，
故直线BC 的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B 关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC 于点F，则点F 为所求点，此时，当FA+FC 的值最小，
理由：由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC 为最小，
当x＝1 时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C 的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝
BO＝4
，
即点F 的坐标为（1，3）、FA+FC 的最小值为4
；
（3）存在，理由：
设点P 的坐标为（m，﹣
m2+m+4）、点Q 的坐标为（t，﹣t+4），
①当点Q 在点P 的左侧时，
如图2，过点P、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N、M，
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由题意得：∠PEQ＝90°，
∴∠PEN+∠QEM＝90°，
∵∠EQM+∠QEM＝90°，
∴∠PEN＝∠EQM，
∴∠QME＝∠ENP＝90°，
∴△QME∽△ENP，
∴
＝tan∠EQP＝tan∠OCA＝
＝
＝
，
则PN＝﹣
m2+m+4，ME＝1﹣t，EN＝m﹣1，QM＝﹣t+4，
∴
＝
＝
，
解得m＝±
（舍去负值），
当m＝
时，﹣
m2+m+4＝
，
故点P 的坐标为（
，
）．
②当点Q 在点P 的右侧时，
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分别过点P、Q 作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M，
则MQ＝t﹣1，ME＝t﹣4，NE＝﹣
m2+m+4、PN＝m﹣1，
同理可得：△QME∽△ENP，
∴
＝tan∠PQE＝2，
即
，
解得m＝
（舍去负值），
故m＝
，
故点P 的坐标为（
，
），
故点P 的坐标为（
，
）或（
，
）．
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