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2021 年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）每小题都给出标号为A.B.C.D.的
四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B 铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑
1．﹣3 的绝对值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣
D．
2．若分式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5
B．x≠0
C．x≠5
D．x＞﹣5
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4
B．2a﹣a＝1
C．2a•（﹣3a）＝﹣6a2
D．（a2）3＝a5
4．一组数据8，7，8，6，4，9 的中位数和平均数分别是（ ）
A．7 和8
B．7.5 和7
C．7 和7
D．7 和7.5
5．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x 轴对称，则a+b 的
值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．不等式1＜2x﹣3＜x+1 的解集是（ ）
A．1＜x＜2
B．2＜x＜3
C．2＜x＜4
D．4＜x＜5
7．已知关于x 的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0 的两个实数根分别为x1，x2，且x1
2+x2
2＝
5，则k 的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
9．某蔬菜种植基地2018 年的蔬菜产量为800 吨，2020 年的蔬菜产量为968 吨，设每年蔬
菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x 应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968
B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800
D．968（1+x）2＝800
10．如图，点A，B，C，D 均在⊙O 上，直径AB＝4，点C 是
的中点，点D 关于AB 对
称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE 的长是（ ）
A．2
B．2
C．
D．1
11．如图，在正方形ABCD 中，E，F 是对角线AC 上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE
并延长交AB 于点M，连接DF 并延长交BC 于点N，连接MN，则
＝（ ）
A．
B．
C．1
D．
12．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D 为AC 边上的一个动点，连接
BD，E 为BD 上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE 时，线段AE 的最小值是
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
13．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10 次射击成绩的平均数都是8 环，方差
分别为S 甲2＝1.4，S 乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 （填“甲”或
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2
“乙”）．
14．第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000 人，将数据1411780000 用
科学记数法表示为 ．
15．如图，AB∥CD，CB 平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1 的度数是 ．
16．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是
（结果保留π）．
17．如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB
＝
，则tan∠DEC 的值是 ．
18．我们规定：若
＝（x1，y1），＝（x2，y2），则• ＝x1x2+y1y2．例如＝（1，
3），＝（2，4），则• ＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x
﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则• 的最大值是 ．
三、解答题（本大题共8 小题，满分66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10 分）（1）计算：
﹣2cos45°；
（2）解分式方程：
．
20．（5 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB
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3
＞AC．
（1）在AB 边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC 边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
21．（6 分）如图，一次函数y＝x+2 的图象与反比例函数y＝
的图象相交，其中一个交
点的横坐标是1．
（1）求k 的值；
（2）若将一次函数y＝x+2 的图象向下平移4 个单位长度，平移后所得到的图象与反比
例函数y＝
的图象相交于A，B 两点，求此时线段AB 的长．
22．（8 分）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5 月份某天随
机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过
100 分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，
解答下列问题：
组别
锻炼时间
（分）
频数
（人）
百分比
A
0≤x≤20
12
20%
B
20＜
x≤40
a
35%
C
40＜
18
b
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4
x≤60
D
60＜
x≤80
6
10%
E
80＜
x≤100
3
5%
（1）本次调查的样本容量是 ；表中a＝ ，b＝ ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）已知E 组有2 名男生和1 名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1 名男生和1
名女生的概率是 ；
（4）若该校学生共有2200 人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼
的时间超过60 分钟的学生共有多少人？
23．（8 分）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货
车都满载的情况下，若租用30 辆甲型货车和50 辆乙型货车可装载1500 箱材料；若租用
20 辆甲型货车和60 辆乙型货车可装载1400 箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245 箱．计划租用甲、乙两种型
号的货车共70 辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3 倍，该公司一次性将这
批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
24．（8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD 延长线上一点，
连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若cosB＝
，AD＝2，求FD 的长．
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25．（11 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴相交于A（﹣3，0），B 两点，与y 轴
相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B 的直线l 与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC 时，求直线l 的表
达式；
（3）在（2）的条件下，当点D 在x 轴下方时，连接AD，此时在y 轴左侧的抛物线上
存在点P，使S△BDP＝
S△ABD．请直接出所有符合条件的点P 的坐标．
26．（10 分）已知在△ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO，将△AOC 绕点O 顺时针方
向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO 到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6 时，求
DE 的长．
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6
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7
2021 年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）每小题都给出标号为A.B.C.D.的
四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B 铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑
1．﹣3 的绝对值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣
D．
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根
据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故﹣3 的绝对值是3．
故选：B．
2．若分式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠﹣5
B．x≠0
C．x≠5
D．x＞﹣5
【分析】根据分式成立的条件列不等式求解．
【解答】解：根据分式成立的条件，可得：x+5≠0，
∴x≠﹣5，
故选：A．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4
B．2a﹣a＝1
C．2a•（﹣3a）＝﹣6a2
D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项的运算法则、单项式乘单项式和幂的乘方的运算法则解答即可．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a•（﹣3a）＝﹣6a2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．一组数据8，7，8，6，4，9 的中位数和平均数分别是（ ）
A．7 和8
B．7.5 和7
C．7 和7
D．7 和7.5
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8
【分析】根据中位数、平均数的定义分别列出算式，再进行计算即可．
【解答】解：把这些数从小大排列为4，6，7，8，8，9，
则中位数是
＝7.5；
平均数是：（8+7+8+6+4+9）÷6＝7．
故选：B．
5．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x 轴对称，则a+b 的
值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出
a，b 的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x 轴对称，
∴a﹣3＝2，b+1＝﹣1，
∴a＝5，b＝﹣2，
则a+b＝5﹣2＝3．
故选：C．
6．不等式1＜2x﹣3＜x+1 的解集是（ ）
A．1＜x＜2
B．2＜x＜3
C．2＜x＜4
D．4＜x＜5
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：不等式组化为
，
由不等式①，得x＞2，
由不等式②，得x＜4，
故原不等式组的解集是2＜x＜4，
故选：C．
7．已知关于x 的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0 的两个实数根分别为x1，x2，且x1
2+x2
2＝
5，则k 的值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣1
D．1
【分析】利用根与系数的关系得出x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，进而得出关于k 的一元二次方
程求出即可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0 的两个实数根分别为x1，x2，
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9
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x1
2+x2
2＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
【分析】利用平行线的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分别
判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
9．某蔬菜种植基地2018 年的蔬菜产量为800 吨，2020 年的蔬菜产量为968 吨，设每年蔬
菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x 应满足的方程为（ ）
A．800（1﹣x）2＝968
B．800（1+x）2＝968
C．968（1﹣x）2＝800
D．968（1+x）2＝800
【分析】根据该种植基地2018 年及2020 年的蔬菜产量，即可得出关于x 的一元二次方
程，此题得解．
【解答】解：依题意得：800（1+x）2＝968．
故选：B．
10．如图，点A，B，C，D 均在⊙O 上，直径AB＝4，点C 是
的中点，点D 关于AB 对
称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE 的长是（ ）
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10
A．2
B．2
C．
D．1
【分析】连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O 作OH⊥CE 于点H，根据圆内接四边形
的性质得∠DAE＝80°，根据对称以及圆周角定理可得∠BOD＝∠BOE＝80°，由点C 是
的中点可得∠BOC＝∠COD＝40°，∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，根据等腰三角形
以及直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O 作OH⊥CE 于点H，
∵∠DCE＝100°，
∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D 关于AB 对称的点为E，
∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C 是
的中点，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，
∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，
∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝
，
∴CE＝2
．
故选：A．
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11
11．如图，在正方形ABCD 中，E，F 是对角线AC 上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE
并延长交AB 于点M，连接DF 并延长交BC 于点N，连接MN，则
＝（ ）
A．
B．
C．1
D．
【分析】设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，首先证明AM＝CN，再利用平行线分线段成比例
定理求出CN＝a，推出AM＝a，BM＝BN＝2a，可得结论．
【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，
在△DAE 和△DCF 中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
在△DAM 和△DCN 中，
，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴AM＝CN，
∵AB＝BC，
∴BM＝BN，
∵CN∥AD，
∴
＝
＝
，
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12
∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，
∴
＝
＝
＝
，
故选：A．
12．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D 为AC 边上的一个动点，连接
BD，E 为BD 上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE 时，线段AE 的最小值是
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】如图，取BC 的中点T，连接AT，ET．首先证明∠CEB＝90°，求出AT，ET，
根据AE≥AT﹣ET，可得结论．
【解答】解：如图，取BC 的中点T，连接AT，ET．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE＝90°，
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13
∴∠CEB＝90°，
∵CT＝TB＝6，
∴ET＝
BC＝6，AT＝
＝
＝10，
∵AE≥AT﹣ET，
∴AE≥4，
∴AE 的最小值为4，
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
13．甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10 次射击成绩的平均数都是8 环，方差
分别为S 甲2＝1.4，S 乙2＝0.6，则两人射击成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或
“乙”）．
【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数
越小，数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：∵S 甲2＝1.4，S 乙2＝0.6，
∴S 甲2＞S 乙2，
∴两人射击成绩比较稳定的是乙．
故答案为：乙．
14．第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1411780000 人，将数据1411780000 用
科学记数法表示为
1.41178×10
9
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正整数．
【解答】解：1411780000＝1.41178×109，
故答案是：1.41178×109．
15．如图，AB∥CD，CB 平分∠ECD，若∠B＝26°，则∠1 的度数是
52°
．
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14
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠BCD＝26°，根据角平分线定义求出∠∠ECD＝
2∠BCD＝52°，再根据平行线的性质即可得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝26°，
∴∠BCD＝∠B＝26°，
∵CB 平分∠ECD，
∴∠ECD＝2∠BCD＝52°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ECD＝52°，
故答案为：52°．
16．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是
6
（结果保留π）．
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据题意得：2πr＝
，解得：l＝
3r，然后根据高为4，利用勾股定理得r2+42＝（3r）2，从而求得底面半径和母线长，利
用侧面积公式求得答案即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2πr＝
，
解得：l＝3r，
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝
，
∴母线长为3
，
∴圆锥的侧面积为πrl＝π×
×3
＝6π，
故答案为：6π．
17．如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB
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15
＝
，则tan∠DEC 的值是
．
【分析】过点C 作CF⊥BD 于点F，设CD＝2a，易证△ABE≌△CDF（AAS），从而可
求出AE＝CF＝
a，BE＝FD＝1，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：如图，过点C 作CF⊥BD 于点F，设CD＝2a，
在△ABE 与△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，
∴∠ADB＝∠BAE＝30°，
∴AE＝CF＝
a，BE＝FD＝a，
∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AE⊥BD，
∴∠BAE＝∠ADB＝30°，
∴BD＝2AB＝4a，
∴EF＝4a﹣2a＝2a，
∴tan∠DEC＝
＝
，
故答案为：
．
18．我们规定：若
＝（x1，y1），＝（x2，y2），则• ＝x1x2+y1y2．例如＝（1，
3），＝（2，4），则• ＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x
﹣3，4），且﹣2≤x≤3，则• 的最大值是
8
．
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16
【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x 的二次函数，根据二次函数最值
的求法解答即可．
【解答】解：根据题意知：• ＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．
因为﹣2≤x≤3，
所以当x＝3 时，• ＝（3+1）2﹣8＝8．
即• 的最大值是8．
故答案是：8．
三、解答题（本大题共8 小题，满分66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10 分）（1）计算：
﹣2cos45°；
（2）解分式方程：
．
【分析】（1）先分别化简二次根式，零指数幂，有理数的乘方，特殊角三角函数值，
然后再计算；
（2）将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验．
【解答】解：（1）原式＝2
+1﹣1﹣2×
＝2
+1﹣1﹣
＝
；
（2）整理，得：
，
方程两边同时乘以（x﹣2），得：x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得：x＝1，
检验：当x＝1 时，x﹣2≠0，
∴x＝1 是原分式方程的解．
20．（5 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB
＞AC．
（1）在AB 边上求作点D，使DB＝DC；
（2）在AC 边上求作点E，使△ADE∽△ACB．
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17
【分析】（1）作线段BC 的垂直平分线交AB 于点D，连接CD 即可．
（2）作∠ADT＝∠ACB，射线DT 交AC 于点E，点E 即为所求．
【解答】解：（1）如图，点D 即为所求．
（2）如图，点E 即为所求．
21．（6 分）如图，一次函数y＝x+2 的图象与反比例函数y＝
的图象相交，其中一个交
点的横坐标是1．
（1）求k 的值；
（2）若将一次函数y＝x+2 的图象向下平移4 个单位长度，平移后所得到的图象与反比
例函数y＝
的图象相交于A，B 两点，求此时线段AB 的长．
【分析】（1）将x＝1 代入y＝x+1＝3，故其中交点的坐标为（1，3），将（1，3）代
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入反比例函数表达式，即可求解；
（2）一次函数y＝x+2 的图象向下平移4 个单位得到y＝x﹣2，一次函数和反比例函数
解析式联立，解方程组求得A、B 的坐标，然后根据勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）将x＝1 代入y＝x+2＝3，
∴交点的坐标为（1，3），
将（1，3）代入y＝
，
解得：k＝1×3＝3；
（2）将一次函数y＝x+2 的图象向下平移4 个单位长度得到y＝x﹣2，
由
，
解得：
或
，
∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），
∴AB＝
＝4
．
22．（8 分）某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5 月份某天随
机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过
100 分钟，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，
解答下列问题：
组别
锻炼时间
（分）
频数
（人）
百分比
A
0≤x≤20
12
20%
B
20＜
x≤40
a
35%
C
40＜
x≤60
18
b
D
60＜
x≤80
6
10%
E
80＜
x≤100
3
5%
（1）本次调查的样本容量是
60
；表中a＝
21
，b＝
30%
；
（2）将频数分布直方图补充完整；
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19
（3）已知E 组有2 名男生和1 名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1 名男生和1
名女生的概率是
；
（4）若该校学生共有2200 人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼
的时间超过60 分钟的学生共有多少人？
【分析】（1）由A 的人数除以所占百分比求出样本容量，即可解决问题；
（2）将频数分布直方图补充完整即可；
（3）画树状图，共有6 种等可能的结果，恰好抽到1 名男生和1 名女生的结果有4 种，
再由概率公式求解即可；
（4）由该校学生总人数乘以每天课后进行体育锻炼的时间超过60 分钟的学生所占的百
分比即可．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是：12÷20%＝60，
则a＝60﹣12﹣18﹣6﹣3＝21，b＝18÷60×100%＝30%，
故答案为：60，21，30%；
（2）将频数分布直方图补充完整如下：
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20
（3）画树状图如图：
共有6 种等可能的结果，恰好抽到1 名男生和1 名女生的结果有4 种，
∴恰好抽到1 名男生和1 名女生的概率为
＝
，
故答案为：
；
（4）2200×（10%+5%）＝330（人），
即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60 分钟的学生共有330 人．
23．（8 分）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货
车都满载的情况下，若租用30 辆甲型货车和50 辆乙型货车可装载1500 箱材料；若租用
20 辆甲型货车和60 辆乙型货车可装载1400 箱材料．
（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245 箱．计划租用甲、乙两种型
号的货车共70 辆，且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3 倍，该公司一次性将这
批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【分析】（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，根据
“若租用30 辆甲型货车和50 辆乙型货车可装载1500 箱材料；若租用20 辆甲型货车和
60 辆乙型货车可装载1400 箱材料”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（2）设租用m 辆甲型货车，则租用（70﹣m）辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的
数量不超过甲型货车数量的3 倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245 箱”，即可得
出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为整数，即可得
出各租车方案．
【解答】解：（1）设甲型货车每辆可装载x 箱材料，乙型货车每辆可装载y 箱材料，
依题意得：
，
解得：
．
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答：甲型货车每辆可装载25 箱材料，乙型货车每辆可装载15 箱材料．
（2）设租用m 辆甲型货车，则租用（70﹣m）辆乙型货车，
依题意得：
，
解得：
≤m≤
．
又∵m 为整数，
∴m 可以取18，19，
∴该公司共有2 种租车方案，
方案1：租用18 辆甲型货车，52 辆乙型货车；
方案2：租用19 辆甲型货车，51 辆乙型货车．
24．（8 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD 延长线上一点，
连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF 是⊙O 的切线；
（2）若cosB＝
，AD＝2，求FD 的长．
【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC 即可，利用直径所得的圆周
角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由cosB＝
，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，
再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AD 是⊙O 的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
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22
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC 是⊙O 的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝
，
∴cos∠ADC＝
，
在Rt△ACD 中，
∵cos∠ADC＝
＝
，AD＝2，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝2×
＝
，
∴AC＝
＝
＝
，
∴
＝
，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴
＝
＝
＝
，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝
（取正值），
∴FD＝3x＝
．
25．（11 分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴相交于A（﹣3，0），B 两点，与y 轴
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相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B 的直线l 与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC 时，求直线l 的表
达式；
（3）在（2）的条件下，当点D 在x 轴下方时，连接AD，此时在y 轴左侧的抛物线上
存在点P，使S△BDP＝
S△ABD．请直接出所有符合条件的点P 的坐标．
【分析】（1）先根据对称轴得出b＝2a，再由点C 的坐标求出c＝2，最后将点A 的坐
标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；
（2）分两种情况，Ⅰ、当点D 在x 轴上方时，先判断出AE＝BE，进而得出点E 在直线
x＝﹣1 上，再求出点E 的坐标，最后用待定系数法求出直线l 的解析式；Ⅱ、当点D 在
x 轴下方时，判断出BD∥AC，即可得出结论；
（3）先求出点D 的坐标，进而求出△ABD 的面积，得出△PBD 的面积，设P（m，﹣
m2﹣
m+2）（m＜0），过P 作y 轴的平行线交直线BD 于F，得出F（m，
m﹣
），进而表示出PF，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣
＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点C 的坐标为（0，2），
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，
∵点A（﹣3，0）在抛物线上，
∴9a﹣6a+2＝0，
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∴a＝﹣
，
∴b＝2a＝﹣
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣
x2﹣
x+2；
（2）Ⅰ、当点D 在x 轴上方时，如图1，
记BD 与AC 的交点为点E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1 垂直平分AB，
∴点E 在直线x＝﹣1 上，
∵点A（﹣3，0），C（0，2），
∴直线AC 的解析式为y＝
x+2，
当x＝﹣1 时，y＝
，
∴点E（﹣1，
），
∵点A（﹣3，0）点B 关于x＝﹣1 对称，
∴B（1，0），
∴直线BD 的解析式为y＝﹣
x+
，
即直线l 的解析式为y＝﹣
x+
；
Ⅱ、当点D 在x 轴下方时，如图2，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC 的解析式为y＝
x+2，
∴直线BD 的解析式为y＝
x﹣
，
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25
即直线l 的解析式为y＝
x﹣
；
综上，直线l 的解析式为y＝﹣
x+
或y＝
x﹣
；
（3）由（2）知，直线BD 的解析式为y＝
x﹣
①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣
x2﹣
x+2 ②，
∴
或
，
∴D（﹣4，﹣
），
∴S△ABD＝
AB•|yD|＝
×4×
＝
，
∵S△BDP＝
S△ABD，
∴S△BDP＝
×
＝10，
∵点P 在y 轴左侧的抛物线上，
∴设P（m，﹣
m2﹣
m+2）（m＜0），
过P 作y 轴的平行线交直线BD 于F，
∴F（m，
m﹣
），
∴PF＝|﹣
m2﹣
m+2﹣（
m﹣
）|＝|
m2+2m﹣
|，
∴S△BDP＝
PF•（xA﹣xB）＝
×|
m2+2m﹣
|×4＝10，
∴m＝
（舍）或m＝
，
∴P（
，5）．
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26．（10 分）已知在△ABC 中，O 为BC 边的中点，连接AO，将△AOC 绕点O 顺时针方
向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC 时，则AE 与CF 满足的数量关系是
AE
＝
CF
；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请
写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长AO 到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6 时，求
DE 的长．
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【分析】（1）结论AE＝CF．证明△AOE≌△COF（SAS），可得结论．
（2）结论成立．证明方法类似（1）．
（3）首先证明∠AED＝90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE
即可．
【解答】解：（1）结论：AE＝CF．
理由：如图1 中，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，
∵∠AOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）结论成立．
理由：如图2 中，
∵∠BAC＝90°，OC＝OB，
∴OA＝OC＝OB，
∵∠AOC＝∠EOF，
∴∠AOE＝∠COF，
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∵OA＝OC，OE＝OF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（3）如图3 中，
由旋转的性质可知OE＝OA，
∵OA＝OD，
∴OE＝OA＝OD＝5，
∴∠AED＝90°，
∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，
∴
＝
，
∴△AOE∽△COF，
∴
＝
，
∵CF＝OA＝5，
∴
＝
，
∴AE＝
，
∴DE＝
＝
＝
．
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