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2021 年吉林省长春市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1．﹣（﹣2）的值为（ ）
A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
2．据报道，我省今年前4 个月货物贸易进出口总值为52860000000 元人民币，比去年同期
增长28.2%．其中52860000000 这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286×1011
B．5.286×1010
C．52.86×109
D．5286×107
3．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥
B．长方体
C．球
D．圆柱
4．关于x 的一元二次方程x2﹣6x+m＝0 有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
5．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B 两点间的距离为30 米，∠A
＝α，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）
A．30sinα 米
B．
米
C．30cosα 米
D．
米
6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB 的大小为（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
7．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D，使
△ACD 为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B 在函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象上，过点A
作x 轴的垂线，与函数y＝﹣
（x＞0）的图象交于点C，连结BC 交x 轴于点D．若点
A 的横坐标为1，BC＝3BD，则点B 的横坐标为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
9．分解因式：a2+2a＝ ．
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2
10．不等式组
的所有整数解为 ．
11．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D 在边AC 上，BC∥EF，则∠ADE 的大小为
度．
12．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200 米，圆心角∠AOB＝90°，则这
段铁轨的长度为 米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，OA＝2，点B
在第一象限．标记点B 的位置后，将△AOB 沿x 轴正方向平移至△A1O1B1 的位置，使
A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，
此时点B2的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A 作y 轴的垂线，
交抛物线于另一点B，点C、D 在线段AB 上，分别过点C、D 作x 轴的垂线交抛物线于
E、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为 ．
三、解答题（本大题共10 小题，共78 分）
15．（6 分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝
+4．
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3
16．（6 分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数
字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获
胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮
再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
17．（6 分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米
的售价仅比普通大米多2 元，用420 元购买的有机大米与用300 元购买的普通大米的重
量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
18．（7 分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E
在边AD 上，AE＝
AD，连结BE 交AC 于点M．
（1）求AM 的长．
（2）tan∠MBO 的值为 ．
19．（7 分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查
阅相关资料得到如下信息：长春市2020 年的粮食总产量达到960 万吨，比上年增长约
9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．
根据以上信息回答下列问题：
（1）2020 年玉米产量比2019 年玉米产量多 万吨．
（2）扇形统计图中n 的值为 ．
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4
（3）计算2020 年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020 年粮食总产量的年增长率：
＝
0，就与2020 年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．
20．（7 分）图①、图②、图③均是4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每
个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C 均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定
的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．
21．（8 分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭
壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺
匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并
从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2 小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（厘米）
6
18
30
42
54
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺
读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，
求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12 小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90 厘米时是几点钟？
（箭尺最大读数为100 厘米）
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22．（9 分）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B
落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A 的直
线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF，则∠EAF＝ 度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N．我们发现，当
点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在
折痕AE 上，则∠AEF＝ 度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM 与NF 的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝
，则线段AP 的长为 ．
23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D 为边AC 的中点．动
点P 从点A 出发，沿折线AB﹣BC 以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动，当点P 不与
点A、C 重合时，连结PD．作点A 关于直线PD 的对称点A′，连结A′D、A′A．设
点P 的运动时间为t 秒．
（1）线段AD 的长为 ；
（2）用含t 的代数式表示线段BP 的长；
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6
（3）当点A′在△ABC 内部时，求t 的取值范围；
（4）当∠AA′D 与∠B 相等时，直接写出t 的值．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m 为常数）的顶点为A．
（1）当m＝
时，点A 的坐标是 ，抛物线与y 轴交点的坐标是
；
（2）若点A 在第一象限，且OA＝
，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写
出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；
（3）当x≤2m 时，若函数y＝2（x﹣m）2+m 的最小值为3，求m 的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、
N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分
别记为点B、点C，且点B 的纵坐标大于点C 的纵坐标．若点B 到y 轴的距离与点C 到
x 轴的距离相等，直接写出m 的值．
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2021 年吉林省长春市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
1．﹣（﹣2）的值为（ ）
A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
【分析】直接根据相反数的定义可得答案．
【解答】解：﹣（﹣2）的值为2．
故选：C．
2．据报道，我省今年前4 个月货物贸易进出口总值为52860000000 元人民币，比去年同期
增长28.2%．其中52860000000 这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.5286×1011
B．5.286×1010
C．52.86×109
D．5286×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【解答】解：52860000000＝5.286×1010．
故选：B．
3．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（ ）
A．圆锥
B．长方体
C．球
D．圆柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和俯视图为长方形可得此几何体为柱体，由左视图为圆形可得
为圆柱．
故选：D．
4．关于x 的一元二次方程x2﹣6x+m＝0 有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）
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8
A．8
B．9
C．10
D．11
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解关于m 的不等式，最后
对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故选：A．
5．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B 两点间的距离为30 米，∠A
＝α，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）
A．30sinα 米
B．
米
C．30cosα 米
D．
米
【分析】根据sinα＝
求解．
【解答】解：∵sinα＝
＝
，
∴BC＝30sinα 米．
故选：A．
6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB 的大小为（
）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【分析】先根据切线的性质得到∠ABC＝90°，然后利用互余计算出∠ACB 的度数．
【解答】解：∵BC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，
∴AB⊥BC，
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9
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
7．在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D，使
△ACD 为等腰三角形．下列作法不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、由作图可知AD 是△ABC 的角平分线，推不出△ADC 是等腰三角形，
本选项符合题意．
B、由作图可知CA＝CD，△ADC 是等腰三角形，本选项不符合题意．
C、由作图可知DA＝CD，△ADC 是等腰三角形，本选项不符合题意．
D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC 是等腰三角形，本选项不符合题
意．
故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B 在函数y＝
（k＞0，x＞0）的图象上，过点A
作x 轴的垂线，与函数y＝﹣
（x＞0）的图象交于点C，连结BC 交x 轴于点D．若点
A 的横坐标为1，BC＝3BD，则点B 的横坐标为（ ）
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10
A．
B．2
C．
D．3
【分析】作BE⊥x 轴于E，则AC∥BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出
＝
＝
，即可CF＝2BE，DF＝2DE，设B（
，b），则C（1，﹣2b），代入y＝﹣
（x＞0）即可求得k＝2b，从而求得B 的坐标为2．
【解答】解：作BE⊥x 轴于E，
∴AC∥BE，
∴△CDF∽△BDE，
∴
＝
＝
，
∵BC＝3BD，
∴
＝
＝
，
∴CF＝2BE，DF＝2DE，
设B（
，b），
∴C（1，﹣2b），
∵函数y＝﹣
（x＞0）的图象交于点C，
∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，
∴k＝2b，
∴B 的横坐标为
＝
＝2，
故选：B．
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11
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
9．分解因式：a2+2a＝
a （
a +2
）
．
【分析】直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
10．不等式组
的所有整数解为
0 、
1
．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式2x＞﹣1，得：x＞﹣0.5，
则不等式组的解集为﹣0.5＜x≤1，
∴不等式组的整数解为0、1，
故答案为：0、1．
11．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D 在边AC 上，BC∥EF，则∠ADE 的大小为
75
度．
【分析】由“两直线平行，同位角性质”得到∠1＝∠E＝45°，再根据三角形的外角定
理求解即可．
【解答】解：如图，∠C＝30°，∠E＝45°，
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12
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E＝45°，
∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
12．如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200 米，圆心角∠AOB＝90°，则这
段铁轨的长度为
100
π
米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）
【分析】根据圆的弧长计算公式l＝
，代入计算即可．
【解答】解：圆弧长是：
＝100π（米）．
故答案是：100π．
13．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB 的斜边OA 在y 轴上，OA＝2，点B
在第一象限．标记点B 的位置后，将△AOB 沿x 轴正方向平移至△A1O1B1 的位置，使
A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，
此时点B2的坐标为 （
3 ，
1 ）
．
【分析】过点B 作BP⊥y 轴于点P，由△ABO 是等腰直角三角形，OA＝2 知AP＝OP＝
1，∠AOB＝45°，继而得△BPO 是等腰直角三角形，据此可知BP＝PO＝1，再根据题意
可得答案．
【解答】解：如图所示，过点B 作BP⊥y 轴于点P，
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13
∵△ABO 是等腰直角三角形，OA＝2，
∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，
∴△BPO 是等腰直角三角形，
∴BP＝PO＝1，
由题意知点B2的坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A 作y 轴的垂线，
交抛物线于另一点B，点C、D 在线段AB 上，分别过点C、D 作x 轴的垂线交抛物线于
E、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为 ﹣
2+2
．
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C 横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
从而得出点E 坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．
【解答】解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
设点C 横坐标为m，则CD＝CE＝2m，
∴点E 坐标为（m，4﹣2m），
∴m2＝4﹣2m，
解得m＝﹣1﹣
（舍）或m＝﹣1+
．
∴CD＝2m＝﹣2+2
．
故答案为：﹣2+2
．
三、解答题（本大题共10 小题，共78 分）
15．（6 分）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝
+4．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把a 的值代入计算
即可．
【解答】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2
＝a﹣4，
当a＝
+4 时，原式＝
+4﹣4＝
．
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14
16．（6 分）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数
字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获
胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮
再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
【分析】画树状图，共有9 种等可能的结果，小明获胜的结果有3 种，再由概率公式求
解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有9 种等可能的结果，小明获胜的结果有3 种，
∴小明获胜的概率为
＝
．
17．（6 分）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米
的售价仅比普通大米多2 元，用420 元购买的有机大米与用300 元购买的普通大米的重
量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
【分析】设每千克有机大米的售价为x 元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，根
据数量＝总价÷单价，结合用420 元购买的有机大米与用300 元购买的普通大米的重量
相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设每千克有机大米的售价为x 元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，
依题意得：
＝
，
解得：x＝7，
经检验，x＝7 是原方程的解，且符合题意．
答：每千克有机大米的售价为7 元．
18．（7 分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E
在边AD 上，AE＝
AD，连结BE 交AC 于点M．
（1）求AM 的长．
（2）tan∠MBO 的值为
．
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15
【分析】（1）由菱形的性质可得△AEM∽△CBM，再由
＝
求解．
（2）由tan∠MBO＝
求解．
【解答】解：（1）在菱形ABCD 中，
AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴
＝
，
∵AE＝
AD，
∴AE＝
BC，
∴
＝
＝
，
∴AM＝
CM＝
AC＝1．
（2）∵AO＝
AC＝2，BO＝
BD＝4，AC⊥BD，
∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝
AO＝1，
∴tan∠MBO＝
＝
．
故答案为：
．
19．（7 分）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查
阅相关资料得到如下信息：长春市2020 年的粮食总产量达到960 万吨，比上年增长约
9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．
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16
根据以上信息回答下列问题：
（1）2020 年玉米产量比2019 年玉米产量多
85
万吨．
（2）扇形统计图中n 的值为
15
．
（3）计算2020 年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020 年粮食总产量的年增长率：
＝
0，就与2020 年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．
【分析】（1）2020 年玉米产量减去2019 年玉米产量即可；
（2）1 减去另外两个百分数即可求解；
（3）根据水稻产量下降约2%求解即可；
（4）因为式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．
【解答】解：（1）792﹣707＝85（万吨），
故答案为：85；
（2）1﹣82.5%﹣2.5%＝15%，
∴n＝15，
故答案为：15；
（3）147×（1﹣2%）＝144.06（万吨），
答：2020 年水稻的产量为144.06 万吨；
（4 ）正确的计算方法为：（792+144.06+24﹣707﹣147﹣27 ）÷ （707+147+27 ）
×100%≈9%，
因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．
20．（7 分）图①、图②、图③均是4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每
个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C 均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定
的网格中找一格点M，按下列要求作图：
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17
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．
【分析】（1）根据勾股定理得MA＝MB＝
．
（2）连接AC，取AC 中点M，MA＝MB＝MC＝
．
（3）取△ABC 内心M，由圆周角定理得∠AMC＝2∠ABC．
【解答】解：如图，
21．（8 分）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭
壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺
匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM 小组仿制了一套浮箭漏，并
从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2 小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（厘米）
6
18
30
42
54
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺
读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，
求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
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18
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12 小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90 厘米时是几点钟？
（箭尺最大读数为100 厘米）
【分析】【探索发现】①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可；
②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函
数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求解；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①利用前面求得的函数表达式求出x＝12 时，y 的值即可得出箭尺的读数；
②利用前面求得的函数表达式求出y＝90 时，x 的值，由本次实验记录的开始时间是上
午8：00，即可求解．
【解答】解：【探索发现】①如图②，
②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，
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则
，
解得：
，
∴y＝6x+6；
结论应用】应用上述发现的规律估算：
①x＝12 时，y＝6×12+6＝78，
∴供水时间达到12 小时时，箭尺的读数为78 厘米；
②y＝90 时，6x+6＝90，解得：x＝14，
∴供水时间为14 小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，
∴当箭尺读数为90 厘米时是22 点钟．
22．（9 分）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B
落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A 的直
线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF，则∠EAF＝
45
度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N．我们发现，当
点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在
折痕AE 上，则∠AEF＝
60
度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM 与NF 的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝
，则线段AP 的长为
2
﹣
2
．
【分析】操作一：由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝
∠MAE，∠DAF＝∠MAF，即可求解；
操作二：证△ANF 是等腰直角三角形，得∠AFN＝45°，则∠AFD＝∠AFM＝45°
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+∠NFE，求出∠NFE＝∠CFE＝30°，即可求解；
（1）由等腰直角三角形的性质得AN＝FN，再证∠NAP＝∠NFE＝30°，由ASA 即可得
出结论；
（2）由全等三角形的性质得AP＝FE，PN＝EN，再证∠AEB＝60°，然后由含30°角的
直角三角形的性质得BE＝
AB＝1，AE＝2BE＝2，AN＝
PN＝
a，AP＝2PN＝
2a，由AN+EN＝AE 得出方程，求解即可．
【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝
∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45；
操作二：
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF 是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF 是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
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在△ANP 和△FNE 中，
，
∴△ANP≌△FNE（ASA）；
（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝
AB＝1，
∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN＝
PN＝
a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴
a+a＝2，
解得：a＝
﹣1，
∴AP＝2a＝2
﹣2，
故答案为：2
﹣2．
23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D 为边AC 的中点．动
点P 从点A 出发，沿折线AB﹣BC 以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动，当点P 不与
点A、C 重合时，连结PD．作点A 关于直线PD 的对称点A′，连结A′D、A′A．设
点P 的运动时间为t 秒．
（1）线段AD 的长为
2
；
（2）用含t 的代数式表示线段BP 的长；
（3）当点A′在△ABC 内部时，求t 的取值范围；
（4）当∠AA′D 与∠B 相等时，直接写出t 的值．
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【分析】（1）由勾股定理求解．
（2）分类讨论点P 在AB 及BC 上运动两种情况．
（3）分别求出点A'落在AB 与BC 上两个临界值求解．
（4）分类讨论点P 在AB 及BC 上两种情况，通过添加辅助线求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，由勾股定理得：
AC＝
＝4，
∴AD＝
AC＝2．
故答案为：2．
（2）当0＜t≤5 时，点P 在线段AB 上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，
当5＜t＜8 时，点P 在BC 上运动，PB＝t﹣5．
综上所述，PB＝
．
（3）如图，当点A'落在AB 上时，DP⊥AB，
∵AP＝t，AD＝2，cosA＝
，
∴在Rt△APD 中，cosA＝
＝
＝
，
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23
∴t＝
．
如图，当点A'落在BC 边上时，DP⊥AC，
∵AP＝t，AD＝2，cosA＝
，
∴在Rt△APD 中，cosA＝
＝
＝
，
∴t＝
．
如图，点A'运动轨迹为以D 为圆心，AD 长为半径的圆上，
∴
＜t＜
时，点A'在△ABC 内部．
（4）如图，0＜t＜5 时，
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∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，
∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，
∴∠ADP＝∠BAC，
∴AE＝
AD＝1，
∵cosA＝
＝
＝
，
∴t＝
．
如图，当5＜t＜8 时，
∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，
∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠A'AD＝90°，
∴PE∥BA，
∴∠DPC＝∠B，
∵在Rt△PCD 中，CD＝
＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝
，
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∴tan∠DPC＝
＝
＝
，
∴t＝
．
综上所述，t＝
或
．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m 为常数）的顶点为A．
（1）当m＝
时，点A 的坐标是 （
，
1 ）
，抛物线与y 轴交点的坐标是 （
0 ，
） ；
（2）若点A 在第一象限，且OA＝
，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写
出函数值y 随x 的增大而减小时x 的取值范围；
（3）当x≤2m 时，若函数y＝2（x﹣m）2+m 的最小值为3，求m 的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、
N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点时，将这两个交点分
别记为点B、点C，且点B 的纵坐标大于点C 的纵坐标．若点B 到y 轴的距离与点C 到
x 轴的距离相等，直接写出m 的值．
【分析】（1）将m＝
代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x＝0，即可求
得答案；
（2）运用勾股定理建立方程求解即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当m＜0 时，2（2m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；
②当m＞0 时，2（m﹣m）2+m＝3，解方程即可得出答案；
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（4）分情况讨论：当m＞0 时，若点B 在PM 边上，点C 在MN 边上，令y＝2，则2＝
2（x﹣m）2+2m，解方程即可；若点B 在PM 边上，点C 在NQ 边上，则2﹣2m＝m+
，解方程即可；若点B 在PQ 边上，点C 在NQ 边上，则4＝2﹣2m，不符合题意；
当m＜0 时，若点B 在NQ 边上，点C 在PM 边上，无解．
【解答】解：（1）当m＝
时，y＝2（x﹣
）2+1，
∴顶点A（
，1），
令x＝0，得y＝
，
∴抛物线与y 轴交点的坐标为（0，
），
故答案为：（
，1），（0，
）；
（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝
，
∴m2+（2m）2＝（
）2，且m＞0，
解得：m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1 时，函数值y 随x 的增大而减小；
（3）∵当x≤2m 时，若函数y＝2（x﹣m）2+m 的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜0 时，或2m＞m，即m＞0 时，
①当m＜0 时，2（2m﹣m）2+m＝3，
解得：m＝1（舍）或m＝﹣
，
②当m＞0 时，2（m﹣m）2+m＝3，
解得：m＝3，
综上所述，m 的值为﹣
或3；
（4）如图1，当m＞0 时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），
∴M（m，2），N（m，2﹣2m），
抛物线y＝2（x﹣m）2+2m 与四边形PQNM 的边有两个交点，若点B 在PM 边上，点C
在MN 边上，
∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m+
，（x＝m﹣
不符合题意，舍去），
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∴B（m+
，2），C（m，2m），
根据题意，得2m＝m+
，
解得：m＝
，
若点B 在PM 边上，点C 在NQ 边上，
则2﹣2m＝m+
，
解得：m＝
，
若点B 在PQ 边上，点C 在NQ 边上，
则4＝2﹣2m，
解得：m＝﹣1＜0，不符合题意；
当m＜0 时，如图2，
若点B 在NQ 边上，点C 在PM 边上，
则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m±
，
∴|m+
|＝2 或|m﹣
|＝2，
解得：m＝±
﹣3，
综上所述，m 的值为
或
或±
﹣3．
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