! 全国卷" 数学#理科$! "!!
知识巩固卷
!一"
数!学!理科"
#本试卷满分!"#分%建议用时&!$#分钟$
题号
!
$
%
&
"
'
(
)
*
!#
!!
!$
答案
一#选择题!本大题共!"小题$每小题#分$共$%分!
在每小题给出的四个选项中$只有一项是符合题
目要求的"
!!%研发题&设集合"+!#",!###%"#则"$&
% 中
元素的个数是
$!!%
-!无数个
.!%
/!&
0!"
"!%细磨题&$12"%
$312$&12"#的结果是
$!!%
-!,$
.!,!
/!!
0!$
#!%细磨题&一个几何体的三视图如图所示#则该几
何体的表面积为
$!!%
-!!$3!#!
.!!'3!#!
/!!$3!$!
0!!'3!$!
$!%细磨题&某程序框图如图所示#若判断框里$+"
时#则该程序运行后最后输出的结果是
$!!%
-!*
"
.!!!
'
/!(
&
0!"
%
%!%细磨题&函数%$#%+
$$&,$%#3(,%&$#&!%#
%314#$#'!
!
%#
若%$#%值域为'#则实数&的取值范围是$!!%
-!$!#$'
.!$,5#$'
/!$##$'
0!($#35%
&!%细磨题&在区间(,!#!!'上随机取一实数##则该
实数# 满足不等式162%##$的概率为
$!!%
-!!
'
.!!
%
/!$
%
0!%
&
'!%研发题&已知数列!$'"满足$
$
'+$',!$'3!#''$#
$'&##若$$$' 3$$&$' 3$%$* +%'#则$& 3$' 的
值为
$!!%
-!,'
.!'
/!!)
0!7!)
(!%研发题&869!)#:
9;4%"#:3<=4$&#:
869!*#:的值是
$!!%
-!!
.!$
/!&
0!!
&
)!%研发题&已知($"##%为双曲线))#
$
$
$ ,*
$
+
$ +!的
一个焦点#其中$(##+(##以点( 为圆心作一个
圆#与它的两条渐近线相切于"#, 两点#该圆的面
积是!'!#则四边形"-,( 的面积是
$!!%
-!!#
.!!$
/!!"
0!$#
!*!%细磨题&已知函数*+#%.$#%的图象如图所示
$其中%.$#%是函数%$#%的导函数%#则函数*+
%$#%的极小值点是
$!!%
-!#+,!
.!#+#
/!#+!
$
0!#+!
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! 全国卷" 数学#理科$! ""
!!
!!!%研发题&*九章算术+中在,商功-部分有许多立
体图形的体积算法#,今有方堡椟#底为矩#一点
之三度和'#周遭面$$平方#问立圆积几何.-大
意是)今有一个直四棱柱底面为矩形#某一顶点
的三棱长之和是'#全面积是$$#它的外接球体积
为/#则/ 的值为
$!!%
-! 槡
(
!&
%
!
.! 槡
(
!!
%
!
/! 槡
!' $
% !
0! 槡
& (
% !
!"!%细磨题&%$#%+$#,$#!*%$#,$#$#%$#,!%$!
)$#!*#
!)$#$#%#%.$#%是%$#%的导函数#若
数列!$'"的前' 项和0' +'
$ 3'3!#则数列
!
$'$'
!
"
3!
的前'项和1'&%.$!%,!
$3&#&#!,
$#!*>$#$#恒成立#则!的取值范围为$!!%
-! "
$#
(
%
.! "
$#
$
%
/! !
#
$
%
0! !
#
(
%
二#填空题!本大题共(小题$每小题#分$共"%分!
把答案填在题中的横线上"
!#!%细磨题&有" 名同学将到% 个风景优美的地方
"#,#) 去旅游#每个地方至少有!人#某地去了
%人#则不同的方案有
种!
!$!%研发题&##* 满足约束条件
#3*,$###
#,$*,$###
$#,*3$'#
*
+
,
#
则目
标函数2+$#3* 的最大值为
!
!%!%细磨题&$#3 !
%槡
$
%
#
'
展开式中##
% 项的系数
是
!
!&!%细磨题&已知函数%$#%+#14##存在#-
(!#35%#使得%$#%#$#,$#则实数$ 的取值
范围是
!
三#解答题!本大题共$小题$共)%分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤"
!'!%研发题&$本小题满分!$分%
.",) 的内角"#,#) 的对边分别为$#+#3#
$,+869)+39;4,!
$"%求,/
$#%若")+$#求.",) 面积的最大值!
!(!%研发题&$本小题满分!$分%
如图#在三棱柱",),"!,!)! 中#三侧棱都垂直
于底面#,"/")#"!,!+"!)!
槡
+$ %#))!+$#
点4#5 分别为"!, 和,!)! 的中点!
$"%求证)450平面"!"))!/
$#%求直线45 与平面"!,) 所成的角的正
弦值!
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!!
!)!%研发题&$本小题满分!$分%
每年,十&一黄金周-期间#全国高速公路车辆特
别多!据测算当数据的方差"
$'!$#时#危险系数
很高#'#&"
$&!$#时#危险系数较高#"
$#'#时#
安全!为了解这一情况#某地政府开展市场调查#
公路管理公司在各大高速收费站从(座及以下小
型汽车中按进收费站的先后顺序#每间隔"#辆就
抽取!辆的抽样方法抽取&#辆汽车进行抽样调
查#将他们在某段高速公路的车速$?@0A%分成六
段)('##'"%#('"#(#%#((##("%#(("#)#%#()##
)"%#()"#*#'#得到如图的频率分布直方图!
$"%调查公司在抽样时用到的是哪种抽样方
法.
$#%求这&#辆小型汽车车速的众数#中位数的估
计值/
$$%若这&#辆车速近似符合正态分布6$##
"
$%#试
计算"
$#并对交通安全情况作出预判!
$每个矩形以底边中点值为代表#中位数近似作
平均数%
"*!%细磨题&$本小题满分!$分%
已知椭圆7)#
$
$
$3*
$
+
$ +!的两个焦点为(!$,3##%#
($$
3##%$$(+(3(#%椭圆上一动点4 到(!#($
距离之和为&#当4 在# 轴上的射影恰为(! 时#"
-4"+ 槡!%
$ #左1右顶点分别为"#,#- 为坐标原
点#经过点(! 的直线8与椭圆7 交于)#9 两
点!
$"%求椭圆方程/
$#%记.",9 与.",) 的面积分别为0! 和0$#
求"0!,0$"的最大值!
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!!
"!!%研发题&$本小题满分!$分%
设$-'#函数%$#%+B
##:.$#%+$#,$$##-'!
$"%设($#%+%$#%,:.$#%#求($#%的单调增
减区间与极值/
$#%若:$#%+!#当$3!(14$且#(#时#求证)
%$#%':$#%!
!!请考生在第""$"*两题中任选一题作答$如果多
做$则按所做的第一题记分!
""!%研发题&$本小题满分!#分%选修&,&)坐标系
与参数方程
曲线)! 的方程为#
槡
+'3 $;#
* 槡
+ $
*
+
,
;
$
;为参数%#以-
为极点的极坐标系中#曲线)$ 的极坐标方程为
$9;4
$%+)869%#曲线)! 与曲线)$ 交于点"#,!
$"%求)! 的普通方程#)$ 的直角坐标方程/
$#%求线段", 的长!
"#!%细磨题&$本小题满分!#分%选修&,")不等式
选讲
已知$#+#3均为正实数#函数%$#%+"#3$"3
"#,+"33!
$"%当$+++3+!时#求%$#%(%的解集/
$#%若函数%$#%的最小值为&#且!
$ 3!
+ 3!
3 '
&恒成立#求&的取值范围!
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知识巩固卷
!二"
数!学!理科"
#本试卷满分!"#分%建议用时&!$#分钟$
题号
!
$
%
&
"
'
(
)
*
!#
!!
!$
答案
一#选择题!本大题共!"小题$每小题#分$共$%分!
在每小题给出的四个选项中$只有一项是符合题
目要求的"
!!%研发题&已知集合" + !#"#
$ ,!(#"#, +
* *+$ %
!
$
#$
!
"
,!
#则"$,+
$!!%
-!$!#35%
.!$!#$'
/!$!#$%
0!$##$%
"!%研发题&已知复数2满足2
2,;+,;#其中;为虚数
单位#则2在复平面内对应的点位于
$!!%
-!第一象限
.!第二象限
/!第三象限
0!第四象限
#!%细磨题&已知&%, "#
$
%
!
% #则4$
&+%%+ $!!%
-!%
!'
.!$#
$&%
/!&#
$&%
0!)#
$&%
$!%细磨题&命题,若$#+都是偶数#则$3+是偶数-
的逆命题1否命题1逆否命题中#真命题的个数是
$!!%
-!#
.!!
/!$
0!%
%!%研发题&如图#已知(!#($ 是双曲线*
$
&,#
$
!$+!的
两焦点#"$&#!%#4 是双曲线上支一点#则"4($"3
"4""的最小值为
$!!%
-!&
.!"
/!)
0!*
&!%研发题&已知函数%$#%+$9;4
$#,%869
$#3&#则
$!!%
-!%$#%的最小正周期是!#最大值是'
.!%$#%的最小正周期是!#最大值是(
/!%$#%的最小正周期是$!#最大值是'
0!%$#%的最小正周期是$!#最大值是(
'!%研发题&若执行下列算法框图#输入<+)#'+$#
输出#+
$!!%
-!$
.!%
/!&
0!"
(!%研发题&如图#.",) 中#设1
2",+!#1
2")+"#"7
+!
$74#)4+!
$46#,6+!
$67#则1
2"4+
$!!%
-!%
!%!3*
!%"
.!"
!%!3*
!%"
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! 全国卷" 数学#理科$" ""
!!
/!%
(!3$
("
0!*
!%!3%
!%"
)!%研发题&设实数##* 满足
#,*3!'##
#3$*,$'##
$#3*,&##
*
+
,
#
则#3!
*3$
的取值范围是
$!!%
-! !
%#
(
'
%
$
.! $
%#
(
'
%
/! !
%#
(
'
%
0! !
%#35
(
%
!*!%研发题&如图#在边长为% 的正方体",)9,
"!,!)!9! 中#"!7 +$7,!#4 是平面9))!9!
上的动点#若740平面"!,9#则74 的取值范
围是
$!!%
-! %
$槡'#
(
'
%
.! %
$# 槡
(
'
% $
/! 槡!&# 槡
(
'
% $
0! %
$槡'# 槡
(
'
% $
!!!%研发题&已知过抛物线*
$+)
%# 焦点( 的直线
与抛物线交于点"#,#"(+$(,#抛物线的准线
8与# 轴交于点)#"7 /8 于点7 #则四边形
"7)( 的面积为
$!!%
-! 槡
!$ %
.!!$
/! 槡
$# $
*
0! 槡
&# $
*
!"!%研发题&数学上称为,伴随点-需满足&7#6 两
点都在函数%$#%上/'7#6 关于原点对称!
$7#6%和$6#7%看作一个伴随点!已知函数
%$#%+
!##&##
14## #(
*
+
,
#
有两个伴随点#则& 的取
值范围是
$!!%
-!(,!##'
.!$##!%
/! !
$#
$
%
!
0! ,!
$#
(
'
#
二#填空题!本大题共(小题$每小题#分$共"%分!
把答案填在题中的横线上"
!#!%细磨题&$#, !
槡
$
%
#
)
的展开式中#
$ 的系数
是
!
!$!%研发题&已知某几何体的三视图如图#则该几何
体的外接球体积为
!
!%!%研发题&如图#设.",) 的角"#,#) 成等差数
列#且满足9;4$",)%,9;4,+,槡%
$#,) 的延长
线上有一点9#满足,9+$#则.")9 面积的最
大值为
!
!&!%细磨题&若直线*++既是曲线*+14#3$
的切线#又是曲线*+14$#3%%的切线#则
++
!
三#解答题!本大题共$小题$共)%分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤"
!'!%细磨题&$本小题满分!$分%
设等差数列!$'"满足$%+(#$(3$*+%&!
$"%求$'/
$#%求数列
!
$
$
'
!
"
,! 的前'项和!
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!!
!(!%细磨题&$本小题满分!$分%
某机构为了获取某地区人均一周内工作时间的
数据#该机构从同一年龄层次的人员中抽取了
!##人#通过询问的方式得到他们在一周内的工
作时间$单位)小时%#并绘制出频率分布直方图!
$"%求这!##人工作时间的平均数3
#$同一组
数据用该组区间的中点值代替#结果精确到个
位%/
$#%由直方图可以认为#工作时间;近似服从正
态分布6$##
"
$%#其中# 近似地等于样本平均数
3
##
"
$ 近似地等于样本方差=
$#
=
$4%%!'!假设该地
区内这一年龄层次共有!####人#试估计该人群
中一周工作时间位于区间$%*!$#"#!)%的人数!
附) %%!
槡
'4"!)!若随机变量> 服从正态分布
6$##
"
$%#则4$#,"&>"%+#!')$'#
4$#,$"&>$"%+#!*"&&!
!)!%研发题&$本小题满分!$分%
如图#在四棱锥?,",)9 中#四边形",)9 为
直角梯形#59",+*#:#",0)9#"9+,?+
)9+$#",+&!点4 为"? 的中点#?,/ 平面
",)9!
$"%求证)940平面?,)/
$#%求二面角),"?,9 的余弦值!
"*!%研发题&$本小题满分!$分%
已知曲线' 上的任意一点7 到定点$ 槡
, %##%的
距离和它到定直线#
槡
+,& %的距离的比是!C
$#曲线' 的内接.",) 的重心$三条中线的交
点%为坐标原点-!
$"%求曲线' 的方程/
$#%.",) 的面积是否为定值. 若是#求出该定
值/若不是#请说明理由!
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!!
"!!%研发题&$本小题满分!$分%
已知函数%$#%+B
#,$#,14$#3!%#$-'!
$"%当$+#时#求函数的单调区间/
$#%讨论函数%$#%+B
#,$#,14$#3!%#$-'
极值的情况#试求极值的最大值!
!!请考生在第""$"*两题中任选一题作答$如果多
做$则按所做的第一题记分!
""!%细磨题&$本小题满分!#分%选修&,&)坐标系
与参数方程
在直角坐标系#-* 中#曲线) 的参数方程为
#+&869%#
*+$9;4
!
%
$
% 为参数%#直线8 的参数方程为
#+$3;869(#
*+!3;9;4
!
(
$
;为参数%!
$"%求曲线) 的直角坐标方程和直线8的普通方
程/
$#%若曲线) 截直线8 所得线段的中点坐标为
$$#!%#求8的斜率!
"#!%研发题&$本小题满分!#分%选修&,")不等式
选讲
$"%解不等式"#3!"3$#,$(#/
$#%$(!#"#3!"3"$#3!"'!
$对任意实数#
恒成立#求$的最小值!
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知识巩固卷
!三"
数!学!理科"
#本试卷满分!"#分%建议用时&!$#分钟$
题号
!
$
%
&
"
'
(
)
*
!#
!!
!$
答案
一#选择题!本大题共!"小题$每小题#分$共$%分!
在每小题给出的四个选项中$只有一项是符合题
目要求的"
!!%研发题&已知集合"+!#"B
#$,$#,%#!"#,+!#"*+
$#
槡
,&"#则$'"%$,+
$!!%
-!$%#35%
.!($#35%
/!($#%%
0!$,5#$'
"!%研发题&设2+!3!3;
!,;$;为虚数单位%#则下列说
法正确的是
$!!%
-!2的虚部是;
.!2
$ 是实数
/! ;
2 +!
$
0!2&6
2+$
#!%研发题&已知869 (,!
$
%
'
+%869 (,$!
$
%
% #则
9;4(,!
$
%
' &9;4(3!
$
%
% +
$!!%
-!%
"
.!"
%
/!%
!#
0!!#
%
$!%研发题&线性规划是运筹学中发展最快1应用广
泛1方法最成熟的一个重要分支#它是辅助人们进
行科学管理的一种数学方法!研究线性约束条件
下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法!
英文缩写DE!若##* 满足约束条件
#,$*#$#
#,*',!#
,!#*#!
*
+
,
#
则2+$#,* 的最大值为
$!!%
-!*
.!)
/!(
0!'
%!%研发题&!3!
$
%
# $!3
槡
$ #%
' 的展开式中# 的系
数为%##则#
$ 的系数为
$!!%
-!&
.!)
/!!$
0!!'
&!%细磨题&函数%$#%+%
#&#
%
*
#,!的图象大致为$!!%
'!%研发题&已知各项为正的等比数列!$'"满足0)
0&+
!(#$$!3$$3$$%3$&3$$"3$'+$!#则$%&$"+
$!!%
-!$
.!&
/!'
0!)
(!%细磨题&如图所示#网格纸上小正方形的边长为
!#粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几
何体的三视图#则该几何体的表面积为
$!!%
-!
槡
*'3)
!%
.!
槡
*'3!' %
/!
槡
)#3)
!%
0!
槡
)#3!' %
)!%细磨题&*算法统宗+是我国古代数学名著#由明
代数学家程大位所著#该著作完善了珠算口诀#确
立了算盘用法#完成了由筹算到珠算的转变#对我
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! 全国卷" 数学#理科$# ""
!!
国民间普及珠算起到了重要的作用!如图所示的
程序框图的算法思路源于该著作中的,李白沽酒-
问题!执行该程序框图#若输出的< 的值为%"#则
输入的$的值为
$!!%
-!%
.!&
/!"
0!'
!*!%研发题&设直线8过双曲线) 的右顶点"#且与
双曲线) 的一条渐近线垂直#垂足为5#
8与* 轴
交于点4#0.-"4
0.-"5 +&$- 为坐标原点%#则双曲线)
的离心率为
$!!%
-! 槡
$ $
%
.! 槡
$ $
/! 槡
$ %
%
0! 槡
$ %
!!!%细磨题&已知函数%$#%+B
#
#
$ 3&14#, !
$&##若
#+$是函数%$#%的唯一极值点#则实数& 的取
值范围是
$!!%
-! ,5#B
$
$
%
$
.! ,5#B
$
$
%
%
/! ,5#B
$
$
%
&
0!$,5#B
$%
!"!%研发题&在三棱锥4,",) 中#4,/平面",)#
.4", 的面积为
槡
& %#5"),+'#:#则三棱锥
4,",) 外接球表面积的最小值为
$!!%
-!$&!
.!%$!
/!%'!
0!&$!
二#填空题!本大题共(小题$每小题#分$共"%分!
把答案填在题中的横线上"
!#!%研发题&若869 (!
' ,
$
%
( + %
"#则
$
869 $(,
&!%
% +
!
!$!%研发题&已知等边三角形",) 的边长为%#点9
在", 上#满足$ 1
29"3 1
29,+%#则1
2)9& $1
2,)3
1
2,"%+
!
!%!%研发题&设函数%$#%+ B
#,9;4
$#3$##'##
@$#%#
#&
!
#
是
定义在' 上的奇函数#且%$14#%(%$$3!%#则
满足条件的# 的集合是
!
!&!%研发题&已知抛物线#
$+)* 的焦点为(#过点(
的直线8 交抛物线于"#, 两点#若""("
",("+$#过
"#, 两点分别作抛物线的切线#两切线的交点为
?#则1
2?(& 1
2",+
!
三#解答题!本大题共$小题$共)%分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤"
!'!%研发题&$本小题满分!$分%
在锐角.",) 中#内角"#,#) 的对边分别为$#
+#
3#且$9;4,869,3+869"9;4,+槡%
$3!
$"%若$+$3+&#求边+的大小/
$#%若869"869)+ , !
&#且+
槡
+$ %#求.",)
的面积!
!(!%细磨题&$本小题满分!$分%
已知在三棱锥4,",)$如图!%的平面展开图
$如图$%中#四边形",)9 为边长等于槡$的正方
形#.",? 和.,)( 均为正三角形#在三棱锥
4,",) 中!
$"%证明)平面4")/平面",)/
$#%点7 是棱4" 上的中点#求二面角4,,),7
的余弦值!
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! 全国卷" 数学#理科$# "#
!!
!)!%细磨题&$本小题满分!$分%
已知%$#%+,!
$槡$#
$3槡$#3$#,$%B
#!
$"%讨论%$#%的单调性/
$#%若%$#%存在% 个零点#求实数$ 的取值
范围!
"*!%细磨题&$本小题满分!$分%
已知点4 是圆7 )$#3!%
$ 3*
$ +!' 上的一动
点#点6$!##%#点5 在线段74 上#且满足$ 1
2
56
3 1
254%& 1
2
46+#!
$"%求点5 的轨迹) 的方程/
$#%设曲线) 的左1右顶点分别为"#,#? 是)
上异于"#, 的任意一点#直线?6 交) 于另一
点A #直线?, 交直线#+&于点B#求证)"#A#
B 三点在同一条直线上!
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! 全国卷" 数学#理科$# "$
!!
"!!%细磨题&$本小题满分!$分%
员工小王在国庆十一期间去泰山游玩#景区内碧
霞祠至唐摩崖处共有台阶*'级#小王在爬台阶前
准备玩抛硬币爬台阶游戏!已知硬币出现正反面
的概率都是!
$#若抛出正面向上#则往上爬一级
台阶#若抛出反面向上#则往上爬两级台阶#设爬
到第'级台阶的概率为4'#并记未出发时的概率
为4#+!!
$"%求4!#4$ 的值/
$#%求证)!4',4',!"为等比数列#其中'-&#
$#'#*'/
$$%求4*"#4*'的值!
!!请考生在第""$"*两题中任选一题作答$如果多
做$则按所做的第一题记分!
""!%研发题&$本小题满分!#分%选修&,&)坐标系
与参数方程
在直角坐标系#-* 中#平面区域4)#3$'&"*"!
以坐标原点为极点## 轴正半轴为极轴建立极坐
标系#曲线) 的极坐标方程为$+'869%!
$"%求曲线) 的直角坐标方程/
$#%若曲线) 在平面区域4 内#求& 的取值
范围!
"#!%研发题&$本小题满分!#分%选修&,")不等式
选讲
已知函数%$#%+"#3$&"3"$#,!"$&-'%!
$"%若&+$#求不等式%$#%'"$#,!"3& 的
解集/
$#%设&&,$#当#-(!#$'时#都有%$#%'#
$,
$#3&#求&的取值范围!
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!!数学"理科#$ 答!
" !
知识巩固卷!一"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
!
"
#
!
#
$
#
"
!
$
#
#
!!#答案$!
#考查角度$本题考查常见集合的符号记法!集合的交
集运算!
#解题分析$"#+$ 中的元素是指在集合" 中且又是
正整数的元素"满足条件的元素有%"&"'"一共'个"
故选!!
"!#答案$"
#考查角度$本题考查对数的运算!
#解题分析$#()*$
&+()&%()*,-()*%()*+()&#()*+
()%,$-()*%()*+()&%()*+()&-()*#()*+()&$+
()&-()*+()&-()%,-%"故选"!
#!#答案$#
#考查角度$本题考查几何体的三视图!圆柱的侧面积
的计算!
#解题分析$从三视图看出该几何体是一个底面半径
为&!高为'的半个圆柱体"上下两个底面是两个半
圆"故该几何体的表面积# -&#半圆+#长方形+
%
&#圆柱侧面积-!.&
&+'./+ %
& .&!.&.'-%,!+
%&"故选#!
$!#答案$!
#考查角度$本题考查程序框图!
#解题分析$由&$%*'(结束循环"可知$-0"故输出
结果为# -%+
%
%.&+
%
&.'+ ) +
%
*.0-%+
%1
#
$
%
&
+
%
& 1
#
$
%
'
+ ) +
%
* 1
#
$
%
0
- %%
0 "故
选!!
%!#答案$#
#考查角度$本题考查分段函数的单调性以及函数的
值域!
#解题分析$由题知当%&%时"&'*'"+2$"因为值
域为,"所以上段函数为增函数"且最大值不能小于
下段函数的最小值"所以&$1&%,"
#&$1&$.%+31'$&'
+
"
解得%($)&"故选#!
&!#答案$$
#考查角度$本题考查对数函数的定义域以及单调性!
解简单的对数不等式!几何概型!
#解题分析$由(4)'%)& 可得(4)'%)(4)'5"而&-
(4)'% 是,
+ 上的单调递增函数"所以,(%)5"则该
实数% 满足不等式(4)'%)&的概率为
51,
%%1#1%$- '
/ "
故选$!
'!#答案$#
#考查角度$本题考查等比数列的性质!完全平方公式!
#解题分析$由等比中项及等比数列性质可得'&'0-
'
&
/"'''5-'
&
0"从而得到'&'0 +&'/'0 +'''5 - #'/+
'0$
&-'0"由已知中&'( (,("可知开方取负根"则
'/+'0-10"故选#!
(!#答案$"
#考查角度$本题考查诱导公式!辅助角公式!特殊角
的三角函数值!二倍角公式!
#解题分析$由诱导公式将各式化简得原式-
%
678%,91
槡'
:46%,9 -
槡
:46%,91 '678%,9
678%,9:46%,9
- &:46#%,9+0,9$
%
&678&,9
-
&:463,9
%
&678&,9
-/"故选"!
)!#答案$!
#考查角度$本题考查双曲线离心率的定义!焦点坐
标!渐近线方程!点到直线的距离公式!
#解题分析$设双曲线) 的焦距为&*"圆+ 的半径为
,"则点+ 到渐近线的距离为-"且圆+ 的面积为%0!"
所以,---/"而*".+ 是以* 为斜边"'"
-为直角边
的直角三角形"所以'-'"即四边形"./+ 的面积#
-&#*".+ -& %
&
#
$
'- -'--%&"故选!!
!*!#答案$$
#考查角度$本题考查根据导函数的图象判断函数的
极值!
#解题分析$由%(1%"&(,"得出%(1%"01#%$%
,"从而当%(1%时"函数0#%$单调递增,由1%(
%(,"&%,"得出1%(%(,"01#%$(,"从而当
1%(%(, 时"函数0#%$单调递减,由,(%(%"
&(,"得出,(%(%"01#%$(,"从而当,(%(%时"
函数0#%$单调递减,由%%%"&%,"得出%%%"
01#%$%,"从而当%%%时"函数0#%$单调递增"所
以极小值点是%-%"故选$!
!!!#答案$#
#考查角度$本题考查数学文化!长方体表面积!体对
角线!体对角线与外接球的关系!球的体积公式!
#解题分析$设长方体的长!宽!高分别为'"-"*"则
'+-+*-0"""
&'-+&'*+&-*-&&"#
+
"由" 的平方减去# 得
'
&+-
&+*
&-%/-#&2$
&"解得2- 槡%/
& "其中2 为
长方体外接球的半径"所以外接球体积3 -
/
'!2
'-
槡
3
%/
'
!"故选#!
!"!#答案$#
#考查角度$本题考查数列#( 与'( 的关系!裂项相
消法求和!
#解题分析$对函数0#%$求导后"代入!得01#!$-
#!1&,%5$#!1&,&,$"而数列+'(-的前(项和#(-
(
&+(+%"当(&&时"'(-#(1#(1%-(
&+(1*#(
1%$
&+#(1%$.-&("得到'%-&+#%-'"所以当(
-%时"'%-',当(&&时"'(-&("数列+'(-是等差
数列"故
%
'('(+% -
%
#&($#&(+&$- %
/
%
( 1 %
(
#
$
+% "
所以4(- %
' . %
/ +
*#
%
/
%
& 1
$
%
'
+
%
' 1
#
$
%
/
+
)+
%
( 1 %
(
#
$.
+%
-
#
%
/
*
0 1 %
(
$
+% ( *
&/)!"故
选#!
!#!#答案$0,
#考查角度$本题考查排列与组合的基本知识!均分
问题!
#解题分析$*人按%"%"'分组后再分配"有"
%
*"
%
/
#
&
& #
'
'
-0,种不同的方案!
#教材链接$人教# 版选修&1';%/!
!$!#答案$/
#考查角度$本题考查简单的线性规划求最值问题!
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!!数学"理科#$ 答" !
#解题分析$在平面直角坐标系中画出可行域如图中
阴影部分所示#含边界$"易得目标函数在#&",$处取
得最大值为/!
!%!#答案$<,
'
#考查角度$本题考查二项式展开式!
#解题分析$二项式展开式的通项公式4,+%-"
,
0%
#&%$
01,%
%
'槡
#
$
%
,
-&
01, % # $
%
'
,
%"
,
0%
01',
& "由0
1',
& -'"得,-&"所以%
' 项的系数为&
01& %
# $
%
'
&
%"
&
0-%0. %
5 .%*-<,
' !
!&!#答案$*%+(8&"+2$
#考查角度$本题考查导数与函数的单调性!不等式
有解的条件!
#解题分析$0#%$)'%1&"其中%&%"所以'%&
0#%$+&-%(8%+&"又因为%&%"故'&(8%+ &
% "
设5#%$-(8%+ &
% "则51#%$- %
% 1 &
%
& -%1&
%
& "易知
5#%$在#%"&$上单调递减"在#&"+2$上单调递增!
所以5#%$
=78-5#&$-%+(8&"因为有解"所以'&
5#%$
=78-%+(8&"所以''*%+(8&"+2$!
!'!#考查角度$本题考查正弦定理!余弦定理!面积最值
以及均值不等式的应用"考查逻辑推理!数学运算的
核心素养!
#$$首先利用正弦定理进行边角互化"再利用三角
函数中两角和与差的正弦公式"辅助角公式"即可求
得/,#%$利用余弦定理!均值不等式求解即可或利
用正弦定理!两角差的正弦公式结合辅助角公式求
解即可!
#解题分析$#$ $由正弦定理知'-&2678""--
&2678/"*-&2678)#其中2 为*"/) 外接圆的半
径$"得&2678"-&2678/:46)+&2678)678/"
即678"-678/:46)+678)678/!
#&分$
又"-!1#/+)$"
>678" -678*!1#/+)$.-678#/+)$
-678/:46)+:46/678)"
#/分$
即678/:46)+:46/678)-678/:46)+678)678/"
>:46/678)-678)678/!
?678)+,">:46/-678/"且/ 为三角形内角"
>/- !
/ !
#0分$
#%$解法一/由余弦定理得-
&-'
&+*
&1&'*:46/"
即/-'
&+*
&1&'*:46!
/ "
>/-'
&+*
&
槡
1 &'*&&'* 槡
1 &'*"当且仅当'-*时
取等号"
>'*)
/
槡
&1 &
-&#
槡
&+ &$"
#<分$
>#*"/) - %
&'*678/-槡&
/'*)槡&+%"
即#*"/) 的最大值为槡&+%!
#%&分$
解法二/由正弦定理"
得'--678"
678/ - &
槡&
&
.678"
槡
-& &678""
同理"得*
槡
-& &678)"
>#*"/) - %
&'*%678/
-槡&
/
槡
.& &678"
槡
.& &678)
槡
-& &678"678)
#<分$
槡
-& &678"678 '!
/ 1
#
$
"
槡
-& &678" 678'!
/:46"1:46'!
/678
#
$
"
-ʦ":46"+678
&"$
-678&"+%1:46&"
槡
- &678 &"1 !
#
$
/
+%"
#%%分$
>当&"1 !
/ - !
& 时"即"-'!
< 时"
#*"/) 取得最大值为槡&+%!
#%&分$
!(!#考查角度$本题考查三棱柱的定义及性质!线面平
行的多种判定方法及中位线定理"考查逻辑推理!空
间想象能力"考查数形结合!化归与转化思想!
#$$利用中位线定理和平行四边形定义"可得线线
平行"再由线面平行的判定证明即可,#%$利用空间
直角建系"先求法向量"再利用空间向量的夹角公式
求解即可!
#解题分析$#$$证明/如图"取"%) 的中点6"连接
76"6)%!
#%分$
?7"6"8 分别为"%/""%)"/%)% 的中点"
>76,/)"且76- %
&/)"8)%,/)"
且8)%- %
&/)"
>76,8)%"且76-8)%"
>四边形78)%6 为平行四边形"
>78,6)%!
#/分$
又78-平面"%"))%"6)%.平面"%"))%"
>78,平面"%"))%!
#0分$
#%$以" 为坐标原点""/"")"""% 所在直线分别
为%"&"9轴建立如图所示空间直角坐标系"
由已知得"%#,","&$"/# 槡
& '",",$")#," 槡
& '"
,$"7#槡'","%$"8#槡'"槡'"&$"
#<分$
/
0/)-#
槡
1& '" 槡
& '",$"
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" !
"%/
0 /-# 槡
& '","1&$"
设平面"%/) 的法向量!-#%"&"9$"
则有!% /
0/)-,"!%"%/
0 /-,"
即
1%+&-,"
槡'%19-,
+
"
令%-%"得!-#%"%"槡'$"#%,分$
而/
078-#,"槡'"%$"
设直线78 与平面"%/) 所成角为""
则!% /
078-1!11/
0781:46""
>:46"- 槡%*
* "
故直线78 与平面"%/) 所成的角的正弦值为
槡%*
* !
#%&分$
!)!#考查角度$本题考查频率分布直方图!样本数据的
众数!中位数!平均数!正态分布!
#$$根据系统抽样的特点可得结论,#%$利用频率
分布直方图最高矩形中点值的特点"得众数"根据矩
形面积之和为,!*"所对应% 值即为中位数的估计
值,#&$方差的估计值为每个矩形底边中点与平均
数估计值之差的平方再乘该矩形面积之和!
#解题分析$#$$系统抽样!
#%分$
#%$众数的估计值为最高的矩形的中点"即众数的
估计值为33!*,
#&分$
由题图可知"中位数应该在3*'<,之间"设为:"
则,!,%.*+,!,&.*+,!,/.*+,!,0.#:13*$
-,!*":-33!*"
#*分$
即中位数的估计值为33!*!
#&$#
&-#0&!*133!*$
&.,!,%.*+#03!*133!*$
&
.,!,&.*+ #3&!*133!*$
&.,!,/.*+ #33!*1
33!*$
&.,!,0.*+ #<&!*133!*$
& .,!,*.*+
#<3!*133!*$
&.,!,&.*-/&!*"
#5分$
因为/&!*(0,"所以行驶安全!
#%&分$
"*!#考查角度$本题考查椭圆的定义!直线与椭圆的关
系!均值不等式求最值"考查运算求解!逻辑推理能
力"考查数学运算!数据分析!逻辑推理和数学建模
的核心素养!
#$$通过椭圆方程基本量'"
*求解"借助通径"得方
程"即可解得'"-"*的值"从而得椭圆方程,#%$利
用面积公式"直线与圆锥曲线位置关系联立方程"由
韦达定理"运用面积公式"变形后由均值不等式求解
即可!
#解题分析$#$$由椭圆定义得17+%1+17+&1-
&'-/"'-&"1.71- 槡%'
& "
?1.71-
*
&+-
/
'
槡
& "
又?-
/-#'+*$
&#'1*$
&-#'
&1*
&$
&"
>*
&+ '
&1*
&
#
$
'
&
-%'
/ "'-&"
代入得*
&-'或%"
又'%-%*%,">*-%"
又'
&-/">-
&-'"
>椭圆方程为%
&
/ +&
&
' -%!
#/分$
#%$当直线;斜率不存在时"直线方程为%-1%"
此时< 1%"
#
$
'
&
") 1%"1
#
$
'
&
"
*"/<"*"/) 面积相等"1#%1#&1-,!
#*分$
当直线;斜率存在时#$+,$"
设)#%%"&%$"<#%&"&&$"
直线方程为&-$#%+%$#$+,$"
将其和椭圆方程联立
%
&
/ +&
&
' -%"
&-$#%+%
2
3
4
$"
消掉&"得#'+/$
&$%
&+<$
&%+/$
&1%&-,!
显然$%,"方程有根"且%%+%&-1 <$
&
'+/$
&"
%%%&-/$
&1%&
'+/$
& !
#3分$
>#%- %
& .&'.1&&1"#&- %
& .&'.1&%1"
此时1#%1#&1-&11&&111&%11-&1&&+&%1
-&1$#%&+%$+$#%%+%$1
-&1$#%&+%%$+&$1
-%&1$1
'+/$
&!
#5分$
?$+,"1#%1#&1-
%&
'
1$1+/1$1
)
%&
&
'
1$1
%/1$
槡
1
-
%&
槡
&
%& 槡
- ' 当且仅当$-@槡
'
& 时"
#
$
取等号"#%%分$
>1#%1#&1的最大值为槡'!
#%&分$
"!!#考查角度$本题考查导数与函数的单调性!不等式
恒成立问题及求参数的取值范围"考查运算求解!逻
辑推理能力"考查数学运算!数据分析!逻辑推理和
数学建模的核心素养!
#$$通过对函数+#%$求导"可得函数+#%$的极值
点"根据图象分析导函数的正负即得函数+#%$的单
调区间"代入极值点可得极值,#%$先构造函数
=#%$"求导讨论' 的取值范围"求最值"从而得以
证明!
#解题分析$#$$令+#%$-A
%1&%+&'"%',"
则+1#%$-A
%1&"%',!
令+1#%$-,"得%-(8&!
于是当% 变化时"+1#%$"+#%$的变化情况如表
所示/
%
#12"
(8&$
(8&
#(8&"+2$
+1#%$
1
,
+
+#%$ 单调递减5
极小值
单调递增6
#'分$
故函数+#%$的单调递减区间是#12"(8&$"单调递
增区间是#(8&"+ 2$"+#%$在%-(8& 处取得极小
值"极小值为+#(8&$-A
(8& 1&(8&+&'-&#%1
(8&+'$"无极大值!
#0分$
#%$证明/设>#%$-%
&1&'%+*">#,$-%"
则*-%"所以>#%$-%
&1&'%+%"
设=#%$-0#%$1>#%$-A
%1%
&+&'%1%"%',"
于是=1#%$-A
%1&%+&'"%',!
#<分$
由#$$知当'%(8&1%时"
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" !
=1#%$取得最小值=1#(8&$-&#%1(8&+'$%,!
于是对任意%',"都有=1#%$%,"
#%,分$
所以=#%$在, 上单调递增!
于是当'%(8&1%时"对任意%'#,"+2$"
都有=#%$%=#,$!
而= #,$-,"从而对任意%' #,"+ 2 $"都有
=#%$%,!
即A
%1%
&+&'%1%%,"
故A
%%%
&1&'%+%"所以0#%$&>#%$!
#%&分$
""!#考查角度$本题考查极坐标方程与直角坐标方程!
参数方程和普通方程的互化!抛物线的弦长"考查运
算求解能力"考查数学运算!数据分析!数学建模的
核心素养!
#$$利用消参法可得曲线)% 的普通方程"结合公式
%-%:46""&-%678""
%
&-%
&+&
& 可得曲线)& 的直角
坐标方程,#%$联立曲线)%")& 的方程从而可得交
点""/ 的坐标"再根据两点距离公式求解即可!
#解题分析$#$$? %
槡
-0+ &5"
& 槡
- &
+
5
#5为参数$消去参
数5得&+0-%"
>曲线)% 对应的普通方程为%1&-0!
#&分$
又?%678
&"-<:46"">%
&678
&"-<%:46"!
>曲线)& 对应的直角坐标方程为&
&-<%! #*分$
#%$联立方程%1&-0"
&
&-<%
+
"
得%-&"
&
+-1/
或%-%<"
&-%&
+
"
>"#&"1/$"/#%<"%&$"
#<分$
>"/-
#%<1&$
&+*%&1#1/$.
槡
&
槡
-%0 &"
即线段"/ 的长为
槡
%0 &!
#%,分$
"#!#考查角度$本题考查绝对值不等式的解法!绝对值
公式!柯西不等式及恒成立问题!
#$$利用函数的零点分段法讨论可以解绝对值不等
式,#%$利用绝对值公式1'1+1-1&1'@-1&
11'111-11及柯西不等式根据恒成立求参数的取值
范围!
#解题分析$#$$由题可得
0#%$-1%+%1+1%1%1+%"
当%%%时"%+%+%1%%&"解得%%%,
当1%)%)%时"%+%1%+%+%%'"无解,
当%(1%时"1%1%+%1%%&"解得%(1%!
所以不等式的解集为#12"1%$7#%"+2$!
#*分$
#%$利用绝对值不等式得
0#%$-1%+'1+1%1-1+*
&1#%+'$1#%1-$1+*
-1'+-1+*"
当且仅当1')%)-时"等号成立!
又'%,"
-%,"所以1'+-1-'+-!
所以0#%$的最小值为'+-+*!
#3分$
又已知0#%$的最小值为/"
所以'+-+*-/!
则%
' + %
- + %
* - %
/ #'+-+*$ %
' + %
- + %
#
$
*
& %
/
.'.
'
"
槡'-*.'.
' %
槡
'-*- 5
/ &$"当且仅当'---*
时取等号!
所以$的取值范围为$ $)
+
-
5
/
!
#%,分$
知识巩固卷!二"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
!
!
"
!
$
#
$
#
#
$
"
!
!!#答案$!
#考查角度$本题考查集合的概念及交集的运算"考查
一元二次不等式的解法"考查运算求解能力"考查逻
辑推理!数学抽象!数学运算核心素养!
#解题分析$"-+%1%
&1%%,--#12"1%$7#%"+2$"
?%
&1%& 1%">/- & &-# $
%
&
%&
+
-
1%
- #,"&."
"#/-#%"&."故选!!
#方法技巧$解集合运算问题应注意以下三点%"看元
素组成!集合是由元素组成的&从研究集合中元素的
构成入手是解决集合运算问题的关键!# 对集合化
简!有些集合是可以化简的&先化简再研究其关系并
进行运算&可使问题简单明了'易于解决!(注意数形
结合思想的应用&常用的数形结合形式有数轴'坐标
系和韦恩"BA88#图!
"!#答案$!
#考查角度$本题考查复数的基本运算"考查运算求解
能力"考查数学运算核心素养!
#解题分析$由题意9
917-17"9-179+7
&"#%+7$9-
1%"9- 1%
%+7-
1%#%17$
#%+7$#%17$- 1%+7
&
"在复平面对应
的点为
1 %
& "
#
$
%
&
"故选!!
#名师点睛$首先对于复数的四则运算&要切实掌握其运
算技巧和常规思路&如"'+-7#"*+?7#-"'*1-?#+
"'?+-*#7"'&-&*&?',#!其次要熟悉复数相关基本
概念&如复数'+-7"'&
-',#的实部为''虚部为-'模
为
'
&+-
槡
&'对应点为"'&
-#'共轭复数为'1-7!
#!#答案$"
#考查角度$本题考查二项分布和独立重复试验的概
率公式"考查运算求解能力"考查数学运算核心素养!
#解题分析$7#&-'$-"
'
*# $
%
'
'# $
&
'
&
-%,. %
&3.
/
5 -/,
&/'"故选"!
#知识归纳$在( 次独立重复试验中&设事件" 发生
的次数为@&在每次试验中事件" 发生的概率为A&
那么在(次独立重复试验中&事件" 恰好发生$ 次
的概率为7"@-$#-"
$
(A
$"%1A#
(1$!
$!#答案$!
#考查角度$本题考查四种命题的关系"考查命题真假
的判定"考查推理论证能力"考查逻辑推理!数学运算
核心素养!
#解题分析$&若'"-都是偶数"则'+-是偶数(易得
为真命题"则逆否命题为真"其逆命题为&若'+-是
偶数"则'"
-都是偶数("举反例%+'为偶数"而%"'
为奇数"可知逆命题与否命题为假命题"故选!!
#易错点睛$本题考查的是四种命题的关系&属基础题
目!四种命题分别是原命题&逆命题&否命题以及逆否
命题&它们之间的关系是&若原命题为(若A 则B)&则
逆命题为(若B则A)&否命题为(若8A!则8B!)&逆
否命题为(若8B!则8A!)!注意原命题与逆否命题
同真假&逆命题与否命题同真假!
#教材链接$四种命题的关系%人教# 版选修&1%;0C
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!!数学"理科#$ 答%
" !
%!#答案$$
#考查角度$本题考查双曲线的几何性质"考查运算求
解能力!数形结合思想"考查直观想象!逻辑推理!数
学运算核心素养!
#解题分析$如图"由双曲线定义和标准方程"+%#,"/$
得17+&1117+%1-/"则17+&1+17"1-17+%1+
17"1+/&1"+%1+/-
#/1%$
&+/
槡
& +/-*+/-
5"故选$!
&!#答案$#
#考查角度$本题考查简单的三角恒等变换"考查运算
求解能力"考查逻辑推理!应用意识!数学抽象!数学
运算核心素养!
#解题分析$0#%$-&678
&%1':46
&%+/-&#%1
:46
&%$1':46
&%+/-01*:46
&%- 3
& 1 *
&:46&%"所
以0#%$的最小正周期为!"最大值为0"故选#!
#方法技巧$给出的三角函数式&求周期或最值&解题
关键在于(变角)&使其角相同或具有某种关系!化简
解析式是关键!
'!#答案$$
#考查角度$本题考查程序框图基本逻辑结构"考查运
算求解能力"考查数学运算!数学建模核心素养!
#解题分析$第一次循环"%-%":-<+/-%&"(-&.
&-/,第二次循环"%-&":-%&+0-%<"(-<,第三
次循环"%-'":-%<+5-&3"(-%0,第四次循环"
%-/":-&3+&3
& -<%
& "(-'&,第五次循环"%-*"
:-<%
& +<%
/ -&/'
/ "(-0/"结束循环"输出%-*"故
选$!
#名师点睛$先明晰算法及流程图的相关概念&包括选
择结构'循环结构'伪代码&其次要重视循环起点条
件'循环次数'循环终止条件&更要通过循环规律&明
确流程图研究的数学问题&是求和还是求项!
(!#答案$#
#考查角度$本题考查平面向量基本定理"考查运算求
解能力"考查逻辑推理!数学运算核心素养!
#解题分析$由题意得/
0"7- /
0")+ /
0)7- /
0")+ %
'
/
0)C-
/
0")+ %
' #/
0)/+ /
0/C$- /
0")+ %
'
/
0)/+ %
' . %
'
/
0/D -
/
0")+ %
'
/
0"/1 %
'
/
0")+ %
5
/
0/" + %
5
/
0"D - &
'
/
0")+
&
5
/
0"/+ %
5
/
0"D- &
'
/
0")+ &
5
/
0"/+ %
&3
/
0"7"所以&0
&3
/
0"7
- &
'
/
0")+ &
5
/
0"/"/
0"7- 5
%'
/
0")+ '
%'
/
0"/- '
%'"+ 5
%'#"
故选#!
)!#答案$#
#考查角度$本题考查二元一次不等式表示的平面区
域"考查数形结合思想!推理论证能力"考查直观想
象!逻辑推理!数学运算核心素养!
#解题分析$作出可行域"如图中阴影部分#含边界$所
示"目标函数%+%
&+&是可行域内的点和#1%"1&$连线
的斜率的倒数"可先求斜率最小值为,+&
&+%- &
' "最大
值为%+&
,+%-'"所以目标函数%+%
&+&的取值范围是
%
' "
*
.
'
&
"故选#!
"
#方法技巧$线性规划的实质是把代数问题几何化&即
数形结合的思想!需要注意的是%一'准确无误地作出
可行域*二'画目标函数所对应的直线时&要注意与约
束条件中的直线的斜率进行比较&避免出错*三'一般
情况下&目标函数的最大或最小值会在可行域的端
点或边界上取得!
!*!#答案$$
#考查角度$本题考查线面平行!空间距离的关系"考
查推理运算能力"考查直观想象!逻辑推理!数学运
算核心素养!
#解题分析$取<7-&7)"<C-&C<%"连接D7"
C7"DC"易得平面D7C, 平面"%/<"所以点7
的轨迹是线段7C"D7 的取值范围即为点D 到线
段C7 上的连线的长度范围"D7
槡
-' &"DC -
槡%/"所以D7 的最大值为
槡
' &"最小值为点D 到
线段C7 的距离"因为D7
槡
-' &"DC
槡
-
%/"C7
槡
-& &"所以:469CD7- &
槡3
"6789CD7-槡
槡
'
3
"由
#*CD7 - %
&DC%D76789CD7- %
&C7%? 可得?
- '
&槡0"故选$!
!!!#答案$"
#考查角度$本题考查抛物线的定义!几何性质"考查
推理运算能力"考查数学抽象!数学运算核心素养!
#解题分析$过点/ 作/C :; 于点C"过点/ 作
/E:"D 于点E"设1/+1-%"1"+1-&%"则1"/1
-'%""E-%")+-A- /
'%- /
' "即%-%">"D-
&"%"-&1 &
' - /
' "D)-
<
' .
槡
/
' - 槡
/ &
' "则四边
形"D)+ 的面积为#- %
& #)++"D$%D)- %
& .
/
'
#
$
+& . 槡
/ &
' -
槡
&, &
5
"故选"!
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!!数学"理科#$ 答&
" !
!"!#答案$!
#考查角度$本题考查利用导数研究函数的单调性"
考查推理论证能力!运算求解能力"考查逻辑推理!
数学运算核心素养!
#解题分析$由题意得"根据伴随点的定义只需要满
足0#%$-(8%#%%,$关于原点对称的函数解析式
0#%$-1(8#1%$#%(,$和0#%$-$%+%#%(,$有
两个交点"当直线和曲线相切时"设切点坐标为
#%,"1(8#1%,$$"
$-01#%,$-1 %
%, -%+(8#1%,$
,1%,
"
所以%,- 1%"$-%"当,($(% 时"满足题意"故
选!!
!#!#答案$%%&,
#考查角度$本题考查二项式定理"考查抽象概括能
力!推理论证能力"考查逻辑推理!数学运算核心
素养!
#解题分析$4,+%-"
,
<#&%$
<1,
1 %
槡
#
$
%
,
-"
,
<#1%$
,
%&
<1,%
<1'
&,"由< 1 '
& , - & 得, - /"所以
&%1 %
槡
#
$
%
<
展开式中含有%
& 的项为"
/
<#1%$
/&
/%
%
&-%%&,%
&"所以%
& 的系数为%%&,!
#知识拓展$求二项展开式有关问题的常见类型及解
题策略%"%#求展开式中的特定项!可依据条件写出
第,+%项&再由特定项的特点求出,值即可!"&#已
知展开式的某项&求特定项的系数!可由某项得出参
数项&再由通项写出第,+%项&由特定项得出,值&
最后求出其参数!
!$!#答案$ 槡
&, *!
'
#考查角度$本题考查几何体外接球的体积的计算"
考查运算求解能力!空间想象能力"考查直观想象!
逻辑推理!数学运算核心素养!
#解题分析$由题意得"该几何体是底面为等腰三
角形的直三棱柱"设上底面为*"/)"已知*"/)
为等腰三角形"由余弦定理求得9"/)-%&,9"再
由正弦定理")
678/-
槡
& '
槡'
&
-/-&2#2 为*"/) 外接
圆半径$"2-&"又因为""%-&"设球心为."."-
2
&+ ""%
#
$
&
槡
&
槡
- *"所以球的体积为/
'!#."$
'-
槡
&, *!
'
!
#方法技巧$三视图的长度特征%(高平齐&长对正&宽
相等)&即正视图和侧视图一样高&正视图和俯视图
一样长&侧视图和俯视图一样宽!若相邻两物体的表
面相交&表面的交线是它们的分界线&在三视图中
要注意实'虚线的画法!
!%!#答案$槡'
/
#考查角度$本题考查基本不等式!正弦定理!余弦定
理"考查推理运算能力"考查逻辑推理!数学运算核
心素养!
#解题分析$因为*"/) 的角""/") 成等差数列"
所以&/-"+)"/- !
' "678#"1)$1678/-1槡'
& "
所以"-/-)- !
' "设边长为%"由已知有,(%(
&"则#*")< - %
&%#&1%$678&!
' -槡'
/%#&1%$)
槡'
/
%+&1%
#
$
&
&
-槡'
/ #当且仅当%-&1% 即%-%时
取等号$!
#易错点睛$正弦定理和余弦定理是高中数学中较为
重要的知识点和考点!本题利用三角函数化简'三角
形面积公式并结合基本不等式得到面积最大值!
!&!#答案$%+(8 '
&
#考查角度$本题考查导数的几何意义以及两函数的
公切线"考查推理运算能力"考查逻辑推理!数学运
算核心素养!
#解题分析$设直线&-$%+-为直线;"
;与曲线&-
(8%+&相切于点#%%"(8%%+&$"则;的方程为&1
(8%%1&- %
%%
#%1%%$"设;与曲线&-(8#%+'$相切
于点#%&"
(8#%&+'$$"则;的方程为&1(8#%&+'$-
%
%&+'#%1%&$"所以
%
%% -
%
%&+'"
%+(8%%-1 %&
%&+'+(8#%&+'
2
3
4
$"
所以%%- '
& "$- &
' "设;与曲线&-(8%+&相切于
点
'
& "
(8 '
&
#
$
+& "所以&
' . '
& +--(8 '
& +&"即
--%+(8 '
& !
#名师点评$本解法主要体现了通性通法&即设切点&
表示切线方程&利用导数的几何意义&切点与曲线'
切线位置关系构建方程组&利用消元法&解方程
求解!
!'!#考查角度$本题考查求数列通项的方法!裂项求和
法求数列的前(项和"考查推理运算能力"考查数学
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!!数学"理科#$ 答'
" !
抽象!数学运算核心素养!
#$$利用等差数列定义求解,#%$在用裂项相消法
求和时"关键是找裂项表达式!如果不能直接看出裂
项表达式"可以用待定系数法"设成相关项的差的形
式"使得相加后可以抵消!
#解题分析$#$$设等差数列公差为?"''-3"
'3+'5-'/"所以可得'%+&?-3"
'%+0?+'%+<?-'/
+
"
#'分$
解得'%-'"?-&"'(-&(+%!
#0分$
#%$由#$$得
%
'
&
(1%-
%
/(
&+/(- %
/
%
( 1 %
(
#
$
+% "
#<分$
>数列
%
'
&
(
+
-
1% 的前(项的和为
%
/
%1
#
$
%
&
+
%
& 1
#
$
%
'
+)+
%
( 1 %
(
#
$
*
.
+%
-
%
/ %1 %
(
#
$
+% -
(
/#(+%$!
#%&分$
!(!#考查角度$本题考查样本数据的均值!方差!正态分
布"考查数据处理能力"考查数据分析!数学建模!数
学运算核心素养!
#$$由频率分布直方图估计平均数"平均数等于频
率分布直方图中每个小矩形的面积乘以底边中点的
横坐标之和,#%$求出'1#;'5!&"'+#;*,D<"再
由已知7#'1#(F('+#$-,!0<&0即可求解!
#解题分析$#$$由频率分布直方图可知"这%,,人工
作时间的平均数<
%-,!,0.'/+,!%<.'<+,!&,.
/&+,!&<./0+,!%0.*,+,!%,.*/+,!,&.*<-
//!3&;/*!
#0分$
#%$由题意"得'1#;'5!&"'+#;*,!<"
7#'5!&(5(*,!<$-,!0<&0"
>估计该人群中一周工作时间在区间#'5!&"*,!<$
的人数约为%,,,,.,!0<&0-0<&0#人$! #%&分$
!)!#考查角度$本题考查线面平行!二面角"考查空间想
象能力!推理论证能力!运算求解能力"考查直观想
象!数学运算!逻辑推理素养!
#$$求证线面平行"一般是构造平行四边形或者是
面面平行性质来证明"当然也可以用向量法证明直
线的方向向量和平面的法向量垂直来证明,#%$利
用向量数量积求向量夹角"进而求解二面角的余
弦值!
#解题分析$#$$取/G 中点D "连接7D")D"
由9<"/-5,9""/,)<""<-/G-)<-&""/-
/"
点7 为"G 的中点"则7D ,
"
-)<"
易得四边形)<7D 是平行四边形"
#'分$
所以7<,)D"
又因为)D.平面G/)"7<-平面G/)"
所以7<,平面G/)!
#0分$
#%$由题意得以" 为坐标原点""/ 所在直线为
% 轴""< 所在直线为& 轴"过点" 且垂直于平面
"/)< 的直线为9 轴建立空间直角坐标系" #3分$
则"#,",",$")#&"&",$"<#,"&",$"G#/","&$"
则/
0"G-#/","&$"/
0")-#&"&",$"
设平面")G 的一个法向量$-#%"&"9$"
则$% /
0")-,"
$% /
0"G-,
+
"即&%+&&-,"
/%+&9-,
+
"
令%-%"则&-1%"
9-1&"$-#%"1%"1&$"#5分$
同理可得平面"<G 的一个法向量!-#%","1&$"
#%,分$
二面角)1"G1< 为锐角"其余弦值为
%.%+,+#1&$.#1&$
槡
槡
0. *
- 槡',
0 !
#%&分$
"*!#考查角度$本题考查椭圆的标准方程及性质!直线
与椭圆的位置关系!韦达定理!弦长公式!三角形的
重心的性质"考查转化思想"考查推理运算能力"考
查数学抽象!数学运算核心素养!
#$$根据题意列出方程并化简即可,#%$要分斜率
存在和斜率不存在两种情况来考虑"在表达三角形
"/) 的面积时"要求线段"/ 弦长"要求点) 到"/
的距离来表示三角形面积"属于常规圆锥曲线题!
#解题分析$#$$设曲线( 上的任意一点D 的坐标
为#%"&$"
由题意
#% 槡
+ '$
&+&
槡
&
1%
槡
+/ '1
- %
& !
将上式两边平方"并化简得%
&
%&+&
&
5 -%"
>曲线( 的方程为%
&
%&+&
&
5 -%!
#*分$
#%$当直线"/ 斜率不存在时"
?. 为*"/) 的重心">) 为椭圆的左!右顶点"不
妨设)#
槡
1& '",$"
则直线"/ 的方程为%
槡
- '"
可得1"/1
槡
-' '")到直线"/ 的距离?
槡
-' '"#0分$
>#*"/) - %
&1"/1%?-&3
& !
#3分$
当直线"/ 的斜率存在时"设直线"/ 方程为
&-$%+:""#%%"&%$"/#%&"&&$"
联立
&-$%+:"
%
&
%&+&
&
5 -%
2
3
4
"
得#'+/$
&$%
&+<$:%+/:
&1'0-,"
#<分$
%%+%&-1 <$:
'+/$
&"%%%&-/:
&1'0
'+/$
& "
#5分$
>&%+&&-$#%%+%&$+&:- 0:
'+/$
&!
?. 为*"/) 的重心"
> /
0.)-1#/
0."+ /
0./$-
<$:
'+/$
&"10:
'+/$
#
$
&
"
?) 点在椭圆D 上"
故有
<$:
'+/$
#
$
&
&
%&
+
1 0:
'+/$
#
$
&
&
5
-%"
化简得/:
&-%&$
&+5"
>1"/1-
%+$
槡
&%
<$:
'+/$
#
$
&
&
1/ /:
&1'0
'+/$
#
$
槡
&
- 槡
/ '%
%+$
槡
&
'+/$
&
%
%&$
&+51:
槡
&!
#%,分$
又点) 到直线"/ 的距离?- 1':1
%+$
槡
& !
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!!数学"理科#$ 答(
" !
>#*"/) - %
&1"/1%?
- 槡
0 '1:1
'+/$
& %
%&$
&+51:
槡
&
- 槡
槡
0 '. ':
&
/
':
&
-&3
& !
#%%分$
综上可得"*"/) 的面积为定值&3
& !
#%&分$
"!!#考查角度$本题考查利用导数研究函数的单调性!
函数极值问题"考查推理运算能力"考查逻辑推理!
数学抽象!数学运算核心素养!
#$$求出函数的导数"解关于导函数的不等式"求出
函数的单调区间即可,#%$根据函数的单调性求出
函数0#%$在%-%, 处取得极小值0#%$极小值-A
%, 1
'%, 1 (8 #%, + %$"得到0 #%$极小值- A
%, 1
A
%, 1
%
%,
#
$
+% %, 1(8#%, +%$!令A#%$-A
% 1
A
%1 %
%
#
$
+% %1(8#%+%$-#%1%$A
%1(8#%+%$+
%1 %
%+%"根据函数的单调性求出A#%$的最大值"从
而求出0#%$的极小值的最大值!
#解题分析$#$$由题意知"函数的定义域为
#1%"+2$"
#%分$
当'-,时"0#%$-A
%1(8#%+%$"
01#%$-A
%1 %
%+%"
令>#%$-A
%1 %
%+%"
>1#%$-A
%+
%
#%+%$
&%,"
#/分$
所以>#%$-A
%1 %
%+%在#1%"+2$上单调递增"
>#,$-01#,$-,"
当%'#1%",$"01#%$(,"0#%$单调递减"
当%'#,"+2$"01#%$%,"0#%$单调递增!#0分$
#%$0#%$-A
%1'%1(8#%+%$"'',"
01#%$-A
%1 %
%+%1'"
由#$$可得"01#%$在#1%"+2$上单调递增"
当%/1%时"01#%$/12,
当%/+2时"01#%$/+2"
则01#%$-,有唯一解%,!
0#%$-A
%1'%1(8#%+%$有极小值"
0#%$极小值-A
%, 1'%,1(8#%,+%$"
01#%,$-A
%, 1
%
%,+%1'-,"
'-A
%, 1
%
%,+%"
#<分$
0#%$极小值-A
%, 1 A
%, 1
%
%,
#
$
+% %,1(8#%,+%$"
令A#%$-A
%1 A%1 %
%
#
$
+% %1(8#%+%$
-#%1%$A
%1(8#%+%$+%1 %
%+%"#%,分$
A1#%$-1% A
%+
%
#%+%$
#
$
&
"
当%'#1%",$时"A1#%$%,"A#%$单调递增"
当%'#,"+2$时"A1#%$(,"A#%$单调递减"
A#%$
=EF-A#,$-%"
所以函数0#%$-A
% 1'%1(8#%+%$"'', 极小值
的最大值为%!
#%&分$
""!#考查角度$本题考查直线的参数方程与直角坐标方
程的互化!参数的几何意义"考查运算求解能力"考
查逻辑推理!数学抽象!数学运算核心素养!
#$$通过消元求得) 的直角坐标方程与; 的普通方
程,#%$将;的参数方程代入曲线)"得到关于5的
方程"利用参数的几何意义求解即可!
#解题分析$#$$曲线) 的直角坐标方程为
%
&
%0+&
&
/ -%"
#&分$
当:46)-,时"
;的直角坐标方程为%-&,
当:46)+,时"
;的直角坐标方程为
&-GE8)%%+%1&GE8)!
#*分$
#%$将;的参数方程代入) 的直角坐标方程"
整理得关于5 的方程#%+'678
&)$5
& +/#:46)+
&678)$
51<-,!"#$$
因为曲线) 截直线;所得线段的中点#&"%$在) 内"
所以#$$有两个解"设为5%"
5&"则5%+5&-,!#<分$
又由#$$得5%+5&-1/#:46)+&678)$
%+'678
&)
-,"
故:46)+&678)-,"
于是直线;的斜率$-GE8)-1 %
& !
#%,分$
"#!#考查角度$本题考查绝对值不等式!一元二次不等
式"考查运算求解能力"考查逻辑推理!数学抽象!数
学运算核心素养!
#$$解含有绝对值的不等式"一般用的方法就是通
过零点分段法"得到分段函数"分别求解"最后求并
集,#%$转化为函数最小值的问题即可!
#解题分析$#$$1%+%1+&%1&%,等价于
%+%&,"
%+%+&%1&%
+
,
或%+%(,"
1%1%+&%1&%,
+
" #'分$
解得%'
%
' "+2
#
$!
#*分$
#%$令H#%$-1%+%1+1'%+%1"
?'%%">1%(1 %
' "
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1#'+%$%1&"%(1%"
#%1'$%"
1%)%)1 %
' "
#'+%$%+&" %%1 %
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易得函数H#%$在
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#
$
'
上单调递减"在
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' "+2
#
$上单调递增"
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=78-H 1 %
#
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解得'&&"
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#%,分$
知识巩固卷!三"
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!!#答案$#
#考查角度$本题考查集合的交集补集运算"考查运算
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!!数学"理科#$ 答)
" !
求解能力"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$因为A
%&1&%1')%"A
%&1&%1')A
,"%
&1&%1
'),"#%1'$#%+%$),"所以1%)%)'"所以
,"-
+%1%(1%或%%'-"/- +%1%&&-"所以# ,"$#
/-+%1%%'-"故选#!
"!#答案$$
#考查角度$本题考查复数的概念与运算"考查运算求
解能力"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$因为9-%+%+7
%17-%+7"所以9 的虚部是
%"=
9-%17"所以9%=
9-&" 7
9
- %
槡&
"9
&-&7"所以
$ 正确"故选$!
#!#答案$"
#考查角度$本题考查同角三角函数的商的关系式和
二倍角公式的应用"考查运算求解能力"考查数学运
算的核心素养!
#解题分析$:46 )1 !
#
$
0
- ':46 )1 !
0 1 !
#
$
&
-
'678 )1 !
#
$
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%
'
%
5 +%
- '
%,"故选"!
$!#答案$"
#考查角度$本题考查线性规划的应用"考查数形结合
思想!
#解题分析$根据题意得到可行域如图中阴影部分#含
边界$所示"当目标函数线经过) 点时"此时"9-
&%1& 取得最大值!联立&-%"
%1&&-&
+
"得)#/"%$"故
9-&%1&-&./1%-3"故选"!
%!#答案$$
#考查角度$本题考查二项式中特定项的系数"考查应
用意识及运算求解能力!
#解题分析$%+ %
#
$
%
#%+ 槡
' %$
0-#%+ 槡
' %$
0+ %
%
%#%+ 槡
' %$
0"在#%+ 槡
' %$
0 的展开式中"% 项的系
数为"
&
0'
&-%*'
&"在%
% %#%+
槡
' %$
0 的展开式中"%
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/
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/-%*'
/">% 的系数为%*'
/+%*'
&-
',"解得'
&-%"则%
& 的系数为"
/
0'
/+"
0
0'
0-%0"故
选$!
&!#答案$!
#考查角度$本题考查函数的图象与性质"考查数形结
合!函数与方程等数学思想"考查运算求解能力"考查
数学运算的核心素养!
#解题分析$0#%$-'
%%%
'
5
%1%-
%
'
'
%1 %
'
%
的定义域为+%1
%+,-"又因为0#1%$-
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'
'
1%1 %
'
1%
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%
'
%
'
% 1'
% -
0#%$"所以0#%$-'
%%%
'
5
%1% 为偶函数"排除#"$,因为
%/+2时"&/,"排除""故选!!
'!#答案$!
#考查角度$本题考查等比数列的和及特定项的求值"
考查运算求解能力"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$设等比数列的公比为B#B%,$"因为#<
#/ -
%3+ <
/ "所以B+%!则#<
#/ -
'%#%1B
<$
%1B
'%#%1B
/$
%1B
-%+B
/-%3"
因为各项为正"则B-&"由&'%+'&+&''+'/+&'*+
'0-&'&+&'/+&'0-&%"得&'&#%+B
&+B
/$-&'&%
&%-&%"即'& - %
& "则'' %'* -'
&
/ - #'&B
& $
& -
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#
$
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&
#
-/ 或''%'*-'&B%'&B
'- %
& .&. %
&
.&
'
$
-/ "故选!!
(!#答案$#
#考查角度$本题考查三视图与几何体表面积的计算"
考查数形结合思想!运算求解!空间想象能力!
#解题分析$由几何体的三视图可知该几何体是一个
底面边长为/的正方形"高为*的正四棱柱"挖去一
个底面边长为/"高为' 的正四棱锥"所以几何体的
表面积#-/.*./+/./+/. %
& ./.
'&+&
槡
&-
槡
50+<
%'"故选#!
)!#答案$!
#考查角度$本题考查程序框图!数学文化"考查逻辑
推理!数学运算的核心素养!
#解题分析$程序运行如下/首先初始化":-&'1'"
I-%"进入循环结构"第一次循环":-/'15"此时满
足I)'"执行I-I+%-&,第二次循环":-<'1&%"
此时满足I)'"执行I-I+%-',第三次循环":-
%0'1/*"此时满足I)'"执行I-I+%-/,第四次循
环":-'&'15'"此时不满足I)'"跳出循环"输出
:-'&'15'"由题意可得'&'15'-'*"解得'-/"
故选!!
!*!#答案$"
#考查角度$本题考查双曲线的性质!直线和双曲线
的位置关系及点到直线的距离公式"考查运算求解
能力"考查逻辑推理!数学运算的核心素养!
#解题分析$不妨设双曲线方程为%
&
'
& 1&
&
-
& -%#'%,"
-%,$"则右顶点为"#'",$"渐近线方程为&-@ -
'%"
则点" 到渐近线的距离"8-
-
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&-/"J- 槡
& '
' "故
选"!
!!!#答案$#
#考查角度$本题考查函数的图象与性质!函数与方
程的应用"导数在研究函数中的应用"考查数形结
合!函数与方程思想"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$由题意得01#%$-A
%#%1&$
%
'
+ $
% 1 %
&$-
#%1&$A
%1$
&%
#
$
&
%
'
"01#&$-,"令H#%$-A
% 1 $
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%
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即H#%$%,恒成立或H#%$(,恒成立"当H#%$%,
时"$
& (A
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%
& !令>#%$-A
%
%
& ">1#%$-A
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%
'
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所以>#%$最小值为>#&$-A
&
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>#%$/+2"所以有$
& (A
&
/ "即A
% % $
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&"则$(
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& !当H#%$(,时"$
& %A
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& !令B#%$-A
%
%
& "B1#%$-
A
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%
'
"函数B#%$在#,"&$上单调递减"在
#&"+2$上单调递增!所以$
& %A
%
%
& 不恒成立"故
选#!
!"!#答案$!
#考查角度$本题考查空间几何体的结构特征与表面
积的计算"考查数形结合思想与空间想象能力"考查
逻辑推理!数学运算的核心素养!
#解题分析$三棱锥71"/) 外接球可转化为以
*"/) 为底面!为7/ 高的直三棱柱的外接球"设
球心为."半径为2""/-%"则#*7"/ - %
& %%%7/
槡
-/ '"7/-
槡
< '
% "*"/) 外接圆半径,- %
& .
%
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槡'
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*".1. 中"".1
&+..1
& -".
&"".-2"".1-,"
..1-7/
& "所以2
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槡'
-<"所以三棱锥71"/) 外接球表面积#-
/!2
&&'&!"故选!!
!#!#答案$3
&*
#考查角度$本题考查诱导公式和二倍角的应用与求
值"考查运算求解能力"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$?:46 3!
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) - 1:46 !
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&*- 3
&*!
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&
#解题分析$设/) 的中点为."以/) 所在直线为
% 轴"以/) 的中垂线为& 轴"建立平面直角坐标系"
则/
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!%!#答案$#%"+2$
#考查角度$本题考查函数的性质"考查推理论证能
力"考查数形结合的思想!
#解题分析$因为函数0#%$是定义在, 上的奇函数"
则0#,$-,"即0#,$-A
,1678
&,+'-,"'-1%"因
为当%%,时"01#%$-A
%1678&%%,"所以根据奇函
数的性质可知"函数0#%$在, 上为增函数"又因为
0#(8%$%0#'+%$"所以(8%%,"解得%%%!
!&!#答案$,
#考查角度$本题考查抛物线的定义和抛物线任意点
的切线方程"考查运算求解能力与数形结合思想"考
查数学运算的核心素养!
#解题分析$由题得+#,"&$!因为1"+1
1/+1-&"所以直
线"/ 的斜率存在且不为零!设直线"/ 的方程为&-
$%+&"联立&-$%+&"
%
&-<&
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"
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& 1<$%1%0-,"$-
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&1/.%. #1%0$-0/$
& +0/%,"设"#%%"
&%$"/#%&"&&$"令%&(,(%%"则%%+%&-<$"%%%&
-1%0"又因为1"+1
1/+1-&"所以/
0"++& /
0/+-*"所以
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%%%&-1%0
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"解得%%
槡
-/ &"
%&
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"
从而可知"# 槡
/ &"/$"/#
槡
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槡
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%-%& -1槡&
& "联
立点" 和点/ 的切线方程
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槡
1/ &$"
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3
4
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#一题多解$抛物线%
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直线;的斜率存在且不为零&设直线;的方程为&-
$%+&&代入抛物线方程化简得%
&1<$%1%0-,&$-
"1<$#
&1/.%."1%0#-0/$
&+0/%,&设""%%&&%#&
/"%&&&&#&则%%+%& -<$&%%%& - 1%0&因为&1-
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/%&所以直线"G 的方程&1&%- %
/%%"%1%%#&
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的方程为&- %
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#
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!'!#考查角度$本题考查正弦定理与余弦定理的应用"
考查运算求解能力"考查逻辑推理!数学运算的核心
素养!
#$$先根据已知条件可考虑正弦定理"化边为角"求
出一个确定的角"利用余弦定理求解,#%$由面积公
式确定目标"由#$$知角"根据面积公式需确定另外
两条边的乘积"根据题目给的条件结合:46":46)-
1 %
/ "根据余弦两角和的余弦公式得678"678)-
%
/ "角化边求解即可!
#解题分析$#$$在*"/) 中"由正弦定理可得
678"678/:46/+678/:46"678/-槡'
&678)"
#%分$
678/#678":46/+:46"678/$-槡'
&678)"
678/678#"+/$-槡'
&678)"678/678)-槡'
&678)"#&分$
在锐角*"/) 中"678)%,">678/-槡'
& !
#'分$
>:46/- %
& "
由余弦定理得-
&-'
&+*
&1&'*:46/-%&"
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槡
-& '!
#0分$
#%$由:46#"+)$-:46":46)1678"678)
-1:46/-1 %
& "
678"678)- %
/ "
#3分$
由正弦定理得'
678"- -
678/- *
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>
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#5分$
?-
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#%,分$
>#*"/) - %
&'*678/- %
& ./.槡'
&
槡
- '!
#%&分$
!(!#考查角度$本题考查空间面面!线面垂直的判定与
性质!二面角"考查运算求解!空间想象能力"考查逻
辑推理!直观想象的核心素养!
#$$根据等腰三角形中线即高"得出一条垂直关系
式"再根据勾股定理得出另一条垂直关系式"利用线
面垂直的判定定理即可解决问题,#%$建立空间直
角坐标系"利用空间向量夹角公式求解即可!
#解题分析$#$$证明/设") 的中点为."连接
/."7.!
由题意得7"-7/-7) 槡
- &"")-&"
7.-%"".-/.-).-%"
因为在*7") 中"7"-7)". 为") 的中点"
所以7.:")"
因为在*7./ 中"7.-%"./-%"
7/ 槡
- &"7.
&+./
&-7/
&"
所以97./-5,9"所以7.:./"
#'分$
因为")#./-."所以7.:平面"/)!
因为7..平面7")"
所以平面7"):平面"/)!
#*分$
#%$由#$$知"/.:")"7.:平面"/)"
所以.7"./".) 两两相互垂直"以. 为坐标原点"
.)"./".7 所在直线分别为% 轴!& 轴!9轴建立如
图所示空间直角坐标系"连接.D"
则.#,",",$")#%",",$"/#,"%",$""#1%","
,$"
7#,","%$"D
1 %
& ","
#
$
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"
#0分$
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0/)-#%"1%",$"/
07)-#%","1%$"
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设平面D/) 的法向量!-#%%"&%"9%$"
则!% /
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!% /
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"得%%1&%-,"
'%%19%-,
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令%%-%"得&%-%"9%-'"即!-#%"%"'$! #<分$
设平面7/) 的法向量$-#%&"&&"9&$"
由$% /
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$% /
07)-,
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"得%&1&&-,"
%&19&-,
+
"
令%&-%"得&&-%"9&-%"即$-#%"%"%$! #%,分$
:460$"!1-
!%$
1!1%1$1- %+%+'
槡
槡
%%. '
- *
槡''
-
槡
*
''
''
!
#%%分$
由图可知"二面角71/)1D 为锐角"
则该角的余弦值为
槡
*
''
''
!
#%&分$
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" !
#易错点拨$立体几何的证明问题需要思路清晰&逻
辑性强&如果不能正确理解相关定理&可能会导致思
路混乱&证明错误!在平时学习中&要注意对平行与
垂直的判定定理与性质定理多分析&对其本质理解
透彻即可避免这类错误!
#方法点拨$解决折叠性问题时首先要分清在折叠前
后哪些量"位置关系或数量关系#发生了变化&哪些
量没有发生变化!一般的结论是在折线同侧的量的
关系在折叠前后不变&在折线两侧的量的关系在折
叠前后改变!立体几何第"%#问需突破四关(建标
关)(坐标关)(法向量关)(公式关)!
!)!#考查角度$本题考查函数的性质!导数及其应用"考
查运算求解能力"考查分类讨论!数形结合!化归与
转化的思想"考查逻辑推理!数学运算的核心素养!
#$$对0#%$求导后"对参数' 进行讨论"确定导函
数函数值的符号即可,#%$在第#$$问的基础上"将
函数零点问题"转化为两个熟悉函数"即&-槡
'与
&-&A
%
% 图象在指定区间的交点问题求解!
#解题分析$#$$01#%$-1槡
'%+槡
'+A
%+#%1&$A
%
-#%1%$#A
%1槡
'$!
#%分$
当'-,时"01#%$-#%1%$A
%"当%(%时"01#%$(
,"当%%%时"01#%$%,"
则0#%$在#12"%$上单调递减"在#%"+2$上单调
递增,
#&分$
当'%,时"由01#%$-,"得%-%或%-(8槡
'!
#'分$
#)$当,(槡
'(A时"%%(8槡
'"
在#12"
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'$和#%"+2$上"01#%$%,"0#%$单调
递增"
在#(8槡
'"%$上"01#%$(,"0#%$单调递减,
#/分$
#*$当'-A
& 时"%-(8槡
'"在#1 2"+ 2 $上"
01#%$&,"0#%$单调递增,
#*分$
#+$当'%A
& 时"
(8槡
'%%"
在#12"%$和#(8槡
'"+2$上"01#%$%,"0#%$单调
递增"
在#%"
(8槡
'$上"01#%$(,"0#%$单调递减!
#0分$
#%$0#%$-1 %
&槡
'%
&+槡
'%+#%1&$A
%
-#%1&$ 1 %
&槡
'%+A
#
$
%
"
所以0#%$有%个零点%-&!
要使得0#%$有'个零点"即方程1 %
&槡
'%+A
% -,
#%+&$有&个不等实数根"
又方程1 %
&槡
'%+A
%-,#%+&$?槡
'-&A
%
% #%+&"且
%+,$"
令>#%$-&A
%
% #%+&"且%+,$"
#3分$
即函数&-槡
'与&->#%$图象有两个交点"
令>1#%$-&%A
%1&A
%
%
&
-&A
%#%1%$
%
&
-,"
得%-%!
#<分$
>#%$和>1#%$随% 的变化情况如表/
%
#12",$#,"%$
%
#%"&$#&"+2$
>1#%$
1
1
,
+
+
>#%$
5
5
极小值
6
6
#5分$
当%(,时">#%$(,"
又>#&$-A
&">#%$的大致图象如图"
当槡
'' &A
%
% "&A
&
#
$
&
"即''#/A
&"A
/$"0#%$有'个
不同的零点!
当槡
'' &A
&
& "+2
#
$"即''#A
/"+2$"0#%$有'个
不同的零点!
#%%分$
所以要使得0#%$有'个不同的零点"
则实数'的取值范围为#/A
&"A
/$7#A
/"+2$!#%&分$
#链接高考$高考对导数的考查通常都比较综合&一
般以含有参数的函数为载体&考查分类讨论'数形结
合'函数与方程'化归与转化等数学思想&而函数解
析中的A
% 或(8% 通常会交替考查&这对指数函数与
对数函数的转换提出了较高的要求&使运算的难度
大大提升&因此&对这类问题需要通过多多练习&提
高解题速度&才能在高考中得心应手!
#技巧点拨$导数是研究函数的单调性'极值"最值#
最有效的工具之一&而函数是高中数学中重要的知
识点&所以在历届高考中&对导数应用的考查都非常
突出!对导数应用的考查主要从以下几个角度进行%
"%#考查导数的几何意义&往往与解析几何'微积分
相联系*"&#利用导数求函数的单调区间&判断单调
性*"'#已知单调性&求参数*"/#利用导数求函数的
最值"极值#&解决生活中的优化问题*"*#考查数形
结合思想的应用!
"*!#考查角度$本题考查椭圆的定义与标准方程!直线
与椭圆的位置关系"考查运算求解能力与数形结合
的思想"考查逻辑推理!数学运算的核心素养!
#$$转化#/
08C+ /
087$% /
07C-,"变为熟悉的数学关
系式1 /
08C1-1/
0871"利用点D"C 的对称性"可联想
到椭圆定义"求解即可,#%$用参数表示点""="E
坐标"利用/
0"=, /
0"E"证明结论!
#解题分析$#$ $由题意得#/
08C + /
087$% /
07C -
#/
08C+ /
087$%#/
08C1 /
087$- /
08C
&1 /
087
&-,"
>1 /
08C1-1/
0871"
>1 /
08C1+1 /
08D1-1/
0871+1 /
08D1-1 /
0D71
-/%&"
#&分$
由椭圆的定义可知"点8 的轨迹) 是以点D "C 为
焦点"且长轴长为/的椭圆"
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!!数学"理科#$ 答!#
" !
>&'-/"
*-%"
-
&-'
&1*
&-'"
>点8 的轨迹方程为%
&
/ +&
&
' -%!
#/分$
#%$证明/设点G#%%"&%$"=#%&"&&$"
直线G= 的方程为%-:&+%"
由
%-:&+%"
%
&
/ +&
&
'
2
3
4
-%
消去%"
整理得#':
&+/$&
&+0:&15-,"
?$-#0:$
&+'0#':
&+/$%,"
>&%+&&-1
0:
':
&+/"&%&&-1
5
':
&+/"
#3分$
?直线G/ 的方程可表示为&- &%
%%1&#%1&$"
将此方程与直线%-/联立"
可求得点E 的坐标为/"&&%
%%
#
$
1& "
#5分$
> /
0"=-#%&+&"&&$"/
0"E- 0"&&%
%%
#
$
1& !
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0&&
1
#%&
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&&%
%%1&
-
0&&#%%1&$1&&%#%&+&$
%%1&
-0&&*#:&%+%$1&.1&&%*#:&&+%$+&.
#:&%+%$1&
-/:&%&&10#&%+&&$
:&%1%
-
/: 1
5
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#
$
+/ 10 1
0:
':
&
#
$
+/
:&%1%
-,"
> /
0"=, /
0"E"
#%%分$
又向量/
0"=和/
0"E有公共点""
故""="E 三点在同一条直线上!
#%&分$
#方法点拨$该题考查的是直线与椭圆相交的问题&
在解题的过程中&一是需要掌握椭圆方程中对应的
参数'&-&*之间的关系&再者联立直线方程与椭圆
方程&即(几何问题代数化)&应用韦达定理&把两个
交点问题转变为方程两个根的问题!同时&直线的方
程在设的时候一定要注意斜率的存在与否问题&本
题的关键是从题中寻找对应的等量关系!
"!!#考查角度$本题考查随机事件!互斥事件以及相互
独立事件的联系与区别"考查数学运算!数据分析!
逻辑推理核心素养!
#$$爬一级台阶只有一种情况"即抛出硬币正面向
上"爬到第二级台阶有两种情况"前两次抛出的硬币
都是正面向上或者第一次抛出的硬币反面向上"所
以可求出7%"7&,#%$爬到第( 级#&)()5*$台阶
有下列两种情况"第一种是爬到第(1&级"抛出的
硬币反面向上"第二种是爬到(1%级"抛出的硬币
正面向上"求出7(- %
&7(1%+ %
&7(1&"变换形式"得
到7(17(1%-1 %
& #7(1%17(1&$"可证明是等比数
列,#&$利用等比数列通项公式可以推导出来!
#解题分析$#$$第一次抛硬币出现正面"则爬到第
一级台阶"所以7%- %
& "
#&分$
爬到第二级台阶有两种情况/
"前两次抛出的硬币都是正面向上"其概率为%
& .
%
& - %
/ "
#第一次抛出的硬币反面向上"概率为%
& "
所以7&- %
/ + %
& - '
/ !
#/分$
#%$爬到第(级#&)()5*$台阶有下列两种情况/
"爬到第(1&级"抛出的硬币反面向上"其概率为
%
&7(1&"
#爬到(1% 级"抛出的硬币正面向上"其概率为
%
&7(1%"
故7(- %
&7(1%+ %
&7(1&"
从而7(17(1%-1 %
& #7(1%17(1&$"
所以数列+7(17(1%-是首项为7&17%- '
/ 1 %
& -
%
/ "公比为1 %
& 的等比数列"
7(17(1%- %
/
1
#
$
%
&
(1&
"
当(-%时"7%17,- %
& 1%-1 %
& "满足等比数列
的公式"
所以7(17(1%- %
/
1
#
$
%
&
(1&
-
1
#
$
%
&
(
#('+"%
)()50$!
#<分$
#&$由#%$可知"7(17(1%-
1
#
$
%
&
(
"
于是7%17,-1 %
& "7&17%-
1
#
$
%
&
&
"
7'17&-
1
#
$
%
&
'
")"75*175/-
1
#
$
%
&
5*
"
所以75*17,- 1
#
$
%
&
+ 1
#
$
%
&
&
+)+ 1
#
$
%
&
5*
"
故75*-%+
1
#
$
%
&
+
1
#
$
%
&
&
+)+
1
#
$
%
&
5*
-
%1
1
#
$
%
&
50
%+ %
&
- &
' %1# $
%
&
*
.
50
"
750-75*+
1
#
$
%
&
50
- &
' %1
1
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$
%
&
*
.
50
+
1
#
$
%
&
50
- %
' &+# $
%
&
*
.
50
!
#%&分$
""!#考查角度$本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标
方程的互化与应用!线性规划"考查运算求解能力"
考查化归与转化的思想!
#$$根据%-%:46""&-%678"直接化简即可,#%$结
合不等式和线性规划知识"利用数形结合求解!
#解题分析$#%$由%-%:46""&-%678""
得) 的直角坐标方程为#%1'$
&+&
&-5!
#/分$
#%$平面区域7/%+&&$1&1"
可化简为&&,"
%+&&$
+
&
或&),"
%+&&1$&
+
"
#0分$
两条射线关于% 轴对称"由题意可知"点)#'",$到
直线%+&-$& 的距离要大于或等于半径曲线) 才
能落在区域7 内"
#<分$
故'+&
%+$
槡
& &'"1 /
' )$) /
' !
#5分$
所以$的取值范围是
1 /
' "
*
.
/
'
!
#%,分$
"#!#考查角度$本题考查绝对值不等式的求解!基本不
等式与绝对值不等式性质的应用"考查运算求解能
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!!数学"理科#$ 答!$
" !
力"考查化归与转化!分类讨论的思想!
#$$代入$值"去绝对值"然后解不等式,#%$将不
等式恒成立问题转为求函数值域问题"分类讨论参
数求函数的最值"利用函数的单调性可得!
#解题分析$#$$1%+/1+1&%1%1&1&%1%1+/"
即1%+/1&/"所以%+/&/或%+/)1/" #&分$
解得%&,或%)1<"
所以不等式0#%$&1&%1%1+/的解集是+%1%&,
或%)1<-!
#*分$
#%$因为$(1&"所以&$(1/"
因为%'*%"&."所以0#%$-%1%1&$"
#0分$
因为0#%$&%
&1&%+/在*%"&.上恒成立"
所以%1%1&$&%
&1&%+/"
即1&$&%
&1'%+*恒成立"
#3分$
令H#%$-%
&1'%+*#%)%)&$"
所以函数H#%$-%
&1'%+*的对称轴是%- '
& "
所以函数H#%$的最大值为H#%$-H#&$-'"
所以1&$&'"即$)1 '
& !
#5分$
因为$(1&"所以$'#12"1&$!
#%,分$
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