!全国卷! 数学"文科#!$!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%!&"
数!学!文科"
本试卷满分"#$分%考试时间"%$分钟&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
!!若"'!#"$'()*%"#+"#$%%'!$"$'%
#%##$$%
则"$%'
"!!#
,!!#"$###"$
-!!#"!"###"$
.!!#"$%##"$
/!!#"##"$
"!已知&'"!0%则&
%
&!"'
"!!#
,&%
-&!%
.&%0
/&!%0
#!命题'&&#$'$%%
#$#"%则命题' 的否定是
"!!#
,!&#$'$%%
#$("
-!&#$%$%%
#$("
.!)#'$%%
#("
/!)#%$%%
#("
$!执行如图所示的程序框图%若输入的# 值为%%则
输出的# 值为
"!!#
x
x
x=2
x 1
x
,&1
-&"%2
.&"%3
/&"%4
%!已知!()$为等差数列%("+(#'4%(%+(2'5%则
(%$'
"!!#
,&!"$
-&!1$
.&1%
/&!15
&!若实数#%$ 满足不等式组
%#!$+%($%
1#!$!1%$%
#+$!5($
*
+
,
%
则&'
##!%$ 的最小值为
"!!#
,&"
-&"3
5
.&!"$
1
/&!"
'!甲'乙两位学生参加数学竞赛培训%现分别从他们
在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取
4次%记录如图%下列结论正确的是
"!!#
甲
乙!!!!!
6!4
3
#
4!5!%!"
4
$!$!1!#
#!1
6
$!%!#
,!甲的平均成绩大于乙的平均成绩
-!甲的中位数大于乙的中位数
.!甲的成绩更稳定
/!以上说法都不对
(!为了得到函数$'7)8%# 的图象%只需将函数$'
809 %#+!
"
#
2 的图象
"!!#
,&向右平移!
2个单位长度
-&向右平移!
1个单位长度
.&向左平移!
1个单位长度
/&向左平移!
2个单位长度
)!已知!'""%1#%"'"*%!"#%若!+"与!!"的夹
角为锐角%则* 的取值范围为
"!!#
,!"!:%!1#-"1%+:#
-! !1%!
"
#
"
1 - !"
1%
"
#
1
.!"!1%1#
/! !1%!
(
#
"
1 - !"
1%
"
)
1
!*!某几何体的三视图如图所示%则该几何体的体
积为
"!!#
,&4
-& 槡
% 1
1
槡
.
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.&% 1
/&5
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!!
!!!已知*/&%若+"##'#
%
% +#+* (9#+"
"
#
#
在
"$%"#上不单调%则* 的取值范围是
"!!#
,!*'$
-!*%"
.!*'"
/!*%$
!"!已知数列!() $的前) 项和为,)%() '
%
)
%
%)+1!6*%
)+"+6%
)/'0 %则使不等式,)!"
% #
"
%$"6成立的最小正整数)的值为
"!!#
,&""
-&"$
.&6
/&4
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
!#!已知双曲线#
%
(
% !$
%
-
% '""('$%-'$#%离心率.'
槡%%且双曲线过点"槡1%"#%则('!!!!!
!$!已知体积为5的正四棱柱各顶点都在同一个球面
上%其高为"%则这个球的体积为!!!!!
!%!偶函数+"##满足+""!##'+"#+"#%且#/($%
")时%+"##'!#+"%在"!%%%#上满足+"##%
"
%"#"的# 的取值范围是!!!!!
!&!已知函数+"##'
#
%+5#%#%$%
%#
;
# %
#'$
*
+
,
%/"##'0#%若函
数1"##'+"##!/"##有两个零点%则实数0 的
取值范围为!!!!!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#
$#题为必考题%每个考生都必须作答%第$$%
$+题为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
!'!"本小题满分"%分#
已知(%-%2分别是1"%3 内角"%%%3 的对边%
%(809 3+!
"
#
2 '-+2!
""#求"+
"##若('%%求1"%3 面积的最大值!
!(!"本小题满分"%分#
体重指数"-<=%-)>?<@88=9>;A#是国际上常用
的衡量人体肥胖程度和是否健康的重要标准%主
要用于统计分析!体重指数-<=' 体重,身高的
平方"国际单位B*,C
%#!一般认为-<=指数小于
"4!#为偏瘦%-<=指数在"4!#$%5为正常%-<=
指数在%5$%4为超重%%4以上为肥胖!某学校为
了了解当前高三学生的身体状况%从全校高三学
生中随机抽取了"$$名学生%对这"$$名学生的
-<=指数进行分组%得到的频率分布直方图
如下&
BMI
0
18
20
22
24
26
28
30
0.175
0.150
0.100
0.040
0.020
0.015
""#求这"$$名学生的-<=指数的平均值和中
位数"精确到$!$"#+
"##高三年级从第二组和第四组的学生中采用
分层抽样的方法抽取了#名学生作为备查对象%
学校决定在高三年级提供的这#名备查对象中随
机抽取%名调查%求抽到的%名学生体重都正常
的概率
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!)!"本小题满分"%分#
堑堵是一个长方体沿不在同一面上的相对棱斜
截所得的几何体%即底面为直角三角形的直棱
柱%最早的文字记载见于-九章算术* 商功.!如
图为一堑堵%"%2%3%"""'"%'%%4 为"3 的
中点!
""#求证&"%"3平面%43"+
"##若%3'1%求三棱锥4!""3% 的体积!
A
A
C
B
D
B
C
"*!"本小题满分"%分#
已知椭圆3&#
%
(
%+$
%
-
% '""('-'$#的左'右焦点分
别为1"%1%%离心率.' "
%%" $%
"
#
1
5 %直线1""
与椭圆3 在第一象限的交点为5%且51%2# 轴!
""#求椭圆3 的方程+
"##直线56%51 与圆"#!"#
%+$
%'7 "
% $#7#
#
1
% 相切于点6%1%又56%51 与椭圆3 的另一
交点分别为8%9!求证&89 的斜率为定值
.
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!!
"!!"本小题满分"%分#
已知函数+"##'((9#+#
%!
""#$'+"##在#'"处的切线与$ 轴垂直%求(
的值和$'+"##的极值+
"##求函数+"##在("%;)上的最小值!
!二"选考题$共#"分!请考生在第$$%$+题中任选一
题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
""!"本小题满分"$分#选修5!5&坐标系与参数方程
在直角坐标系#:$ 中%直线; 的参数方程为
#'"+槡1
%<%
$ 槡
' 1+"
%
*
+
,
<
"
< 为参数#!以坐标原点为极点%
# 轴的正半轴为极轴建立极坐标系%曲线3 的极
坐标方程为!
槡
'% 1809"!
""#写出直线;的普通方程和曲线3 的直角坐标
方程+
"##已知5""%槡1#%设直线;与曲线3 交于= %>
两点%求
"=>"
"5="*"5>"!
"#!"本小题满分"$分#选修5!#&不等式选讲
已知+"##'"#!""+"(#+""!
""#当('"时%求不等式+"##(1的解集+
"##若+"##%1!# 的解集包含(!"%")%求( 的
取值范围
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本试卷满分"#$分%考试时间"%$分钟!
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第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
!!复数&' "
"+0"
0为虚数单位#表示的点在复平面内
位于
"!!#
,&第一象限
-&第二象限
.&第三象限
/&第四象限
"!集合"'!#"###%#/'$%%'!#"!%###5%#/
,$%则"$%'
"!!#
,!!$%"%%%1$
-!!"%%%1$
.!!!"%$%"%%%1$
/!!%%1$
#!执行如图所示的程序框图%若输入#'4%则输出$
的值为
"!!#
y
x
y=x
2 1
y=log x
x
,&"
-&%
.&1
/&5
$!函数+"##'#(9# 在#';处的切线斜率为"!!#
,&!"
-&"
.&%
/&;
%!设;%* 是两条不同的直线%#%$ 是两个垂直平面%
则下列命题正确的是
"!!#
,!若;2#%*3$%则;2*
-!若;4#%*4$%则*3;
.!若;2#%*2$%则;2*
/!若;3#%*3$%则;3*
&!数列!()$为公差不为零的等差数列%其中(1'#%
并且("%(%%(# 成等比数列!则数列!()$的通项公
式为
"!!#
,!()'%)+"
-!()'%)!"
.!()')+%
/!()'%)
'!设实数#%$ 满足
#!$+%($%
#+$!2%$%
$!%($
*
+
,
%
则&'%#+$ 的最
大值为
"!!#
,&"$
-&4
.&5
/&%
(!将函数$'809 %#!!
"
#
2 的图象向左平移!
1个单位
长度%得到的图象%以下结论哪一个是正确的
"!!#
,!以%!为最小正周期
-!一条对称轴是#'%!
1
.!一个对称中心为"$%$#
/!在#'$处%取得最大值
)!现有一居民楼长%$C 宽"$C 高1$C%楼顶一角
处有一移动信号发射器!该发射器辐射半径为
"$C%则居民楼内被辐射的部分为占总体的"!!#
,&!
"4
-&!
6
.&!
12
/&!
2
!*!已知双曲线#
%
(
%!$
%
-
% '""('$%-'$#%点5"%%槡1#
到双曲线的两条渐近线距离之积为"%
3%则双曲线
的离心率为
"!!#
,&槡3
%或
槡
3
"$
%$
-&3
5或
槡
3
"$
"$
.&3
5或
槡
3
"$
%$
/& 槡
3
"$
"$
!!!圆3 的方程"#!"#
%+"$+%#
%'6%设直线;的倾
斜角为!
5%且;与3 交于"%% 两点%则以"% 的
直径的圆经过原点%则;的方程为
"!!#
,!$'#+"
-!$'#+5
.!$'#!5或$'#+" /!$'#+5或$'#!"
!"!对任意的实数<%函数+"##'#
1
1!"
#!%#
%!5(9#+
"2!(+;
<!<##是增函数%则实数(的取值范围是
"!!#
,&"!:%"#
-&"!:%")
.&"$%+:#
/&("%+:
.
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第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
!#!数列!()$中("'"%且满足()!()+"'%()()+"%则
() 的通项公式为
!
!$!某几何体的三视图如图所示%则几何体的体积
是
!
2
2
2
2
2
!%!在边长为%的正方形"%34 中%点5 在线段%3
上运动%则5
645* 5
6"%'
!
!&!设函数+"##'(809"#+##+-809"#+$#%则条件
'&+"!#'$是条件?&+"##是奇函数的
!
"充分不必要条件'必要不充分条件'充要条件'
既不充分也不必要条件#
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#
$#题为必考题%每个考生都必须作答%第$$%
$+题为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
!'!"本小题满分"%分#
梯形"%34
中%"% 3 34%7% ' !
2%且
槡
"! 1
"
#
%
8097%"3+8097"3%'槡
%
%!
""#求7%"3 的大小+
"##若34'%3'%%求"4 的长!
!(!"本小题满分"%分#
在四边形"%34 中%"%334%且%"%'%"4'
34'%%642平面"%34%64'%%已知1 5
665'
5
663%7%"4'!
%!
""#求证&"63平面%45+
"##求点" 到平面3%5 的距离!
E
P
D
C
A
B
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!)!"本小题满分"%分#
已知椭圆6 的方程#
%
(
% +$
%
-
% '""('-'$#的一个
顶点为"" 槡
% %%$#%且椭圆的焦距等于短轴长!
""#求椭圆6 的方程+
"##过椭圆6 的右焦点做垂直于# 轴的直线%交
椭圆6 于% 点!过"%% 两点分别做两条斜率互
为相反数的直线交椭圆6 于>%=%假设直线
=> 斜率存在%问直线=> 的斜率是否为定值/
若不是请说明理由%若是求出答案!
"*!"本小题满分"%分#
%$"6年是人民海军成立3$周年!全国齐心%全面
建成世界一流海军!为让我校学子深入了解我国
海防建设%关心海防知识!特邀请海军部队官兵
对我校进行了一次海军知识讲座!我校共有男生
12$名%女生"4$名学生参加讲座!会后学校准备
对高一年级"%$人进行海军知识测试%其中2$分
"含2$分#以上即及格%表明对本次讲座有收获!
4"分以上"包括4"分#即成绩优秀%表示对海军
知识产生了浓厚的兴趣!现学校兴趣小组以男女
生形式对统计结果列表如下&
2$分以下2"$3$分3"$4$分4"$6$分6"$"$$分
女生"人数#
4
""
""
%4
%
男生"人数#
%
#
1
52
5
""#通过以上数据估计全校多少人通过讲座有
收获/
"##根据以上统计数据填写下列%D%列联表!
优秀
非优秀
合计
女
男
合计
并分析数据%能否据此判断在犯错误的概率不超
过$!$"的前提下%认为海军知识成绩的优秀与性
别有关/
"%#在测试中%作为奖励%在得分6"$"$$分的学
生中选取%名学生参观海军部队%求选取的人均
为男生的概率!
临界值表&
5"@
%(0$# $!"$$
$!$#$
$!$"$
$!$$"
0$
%!3$2
1!45"
2!21#
"$!4%4
参考公式&@
%'
)"(A!-2#
%
"(+-#"
2+A#"(+2#"-+A#%)'
(+-+2+A
.
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!!
"!!"本小题满分"%分#
已知函数+"##'1#
%+*
#
%/"##'1#!;
#!
""#若$'#+"是+"##的一条切线%求* 的值+
"##设1"##'+"##!/"##%)#/"!:%$#%求
1"##在"!:%$#上单调递减时%* 的取值范围!
!二"选考题$共#"分!请考生在第$$%$+题中任选一
题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
""!"本小题满分"$分#选修5!5&坐标系与参数方程
已知曲线3&# 槡
' 1+%7)8"%
$'"+%809
*
+
,
"
"
"为参数#!
""#求3 的极坐标方程+
"##若曲线3 上有5%8 两点%且75:8'!
2%求
15:8 面积的最大值!
"#!"本小题满分"$分#选修5!#&不等式选讲
已知函数+"##'"%#+%"!"#!("!
""#当('%时%求+"##%5的解集+
"##证明&+"##的最小值小于等于零恒成立
.
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!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%!("
数!学!文科"
本试卷满分"#$分%考试时间"%$分钟!
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一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
!!集合"'!#"$'()*%"#!"#$%集合%'!#""#!
""#"$%则"$%'
"!!#
,&("%%#
-&""%%#
.&"%%+:#
/&"$%+:#
"!若&'(+-0%"(%
-/&#%&0
1'1+%0%则8
& 在复平面
内对应的点位于
"!!#
,&第一象限
-&第二象限
.&第三象限
/&第四象限
#!已知"!"'"%"""'"%! 与" 的夹角为%!
1 %求
"!!""'
"!!#
槡
槡
槡
,&"
-&1
.&#
/&3
$!若#%$ 满足约束条件
#!$+"($%
%#+$!%($%
#%1
*
+
,
%
则&'$
# 的
最大值为
"!!#
,&5
-&5
1
.&!5
1
/&"
%!-九章算术.中的0两鼠穿墙题1是我国数学的古典
名题%现根据题目设计程序框图如下%则,'
"!!#
S
i=i+1
a=2,b=2,S=0
i=1
i
S=S+a
i +b
i
,&211"
1%
-&251"
1%
.&1%"#
"2
/&1""#
"2
&!某几何体的三视图如图所示%则该几何体的表面
积为
"!!#
4
3
3
,&"3!
% +"%
-&2!+"%
.&"3!
% +%5
/&"#!
5 +"%
'!已知函数+"##'
#
%+%#%#($%
%#!#
%%##$
!
%
若+"(
%!(##
+"(+1#%则(的取值范围是
"!!#
,!"!:%!"#-"1%+:#
-&"!:%!1#-""%+:#
.!"!"%1#
/!"!1%"#
(!将函数$'809# 图象上所有点的横坐标伸长为原
来的%倍"纵坐标不变#%再将图象向左平移!
1个单
位长度%所得函数的一个对称中心为
"!!#
,& !%!
1 %
"
#
$
-& !!
1%
"
#
$
.& !
1%
"
#
$
/&%!
1 %
"
#
$
)!已知双曲线3&#
%
(
% !$
%
-
% '""('$%-'$#%离心率为
%%右顶点" 到渐近线的距离为槡1
%%则该双曲线的
标准方程为
"!!#
,!#
%!$
%
1'"
-!#
%
1!$
%
6'"
.!#
%
%!$
%
#'"
/!#
%
5!$
%
"%'"
!*!勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理%相传是
古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前##$
年首先发现的%
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其实我国古代人民对这一数学定
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!!
理的发现和应用%远比毕达哥拉斯早得多!古代
数学家不仅很早就发现并应用了勾股定理%三国
时期吴国的数学家赵爽还创造了一幅0勾股圆方
图1%用数形结合的方法%给出了勾股定理的详细
证明!这个证明极富创新意识%他用几何图形的
截'割'拼'补来证明代数之间的恒等关系!北京
召开的第%5届国际数学家大会的会标就是根据
我国古代数学家赵爽的弦图设计的%体现了我国
古代数学的成就!会标如图%已知实数(%- 满足
(';
-!"+;
"!-%图中46 的长度为函数( 的最小
值%"6 的长度为( 取得最小值时- 的值!若一只
小蚂蚁在会标上爬行%则小蚂蚁停在最中间的小
正方形上的概率为
"!!#
A
D
H
G
E
F
B
C
,& 槡
% #
#
-&槡#
#
.&5
#
/&"
#
!!!已知数列!()$的通项公式为() '
"
)
%+)%其前
)项和为,)%))/'+ %&*/,%使得%
* #,)%则
* 的最大值为
"!!#
,&"
-&$
.&!"
/&!%
!"!若函数+"##' "
%(#
%!"1(+%##+2(9#+( 在
""%%#内有极值%则(的取值范围是
"!!#
,!""%%#
-&"!:%%#-"5%+:#
.&"!:%"#-"5%+:#
/&"%%5#
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
!#!曲线+"##'#
1!%#%在点" 处的切线平行于直
线$'#+"%则" 点坐标为
!
!$!已知数列!()$的前)项和,)'%
)!"%
-)'1()*%()%
则数列!
-)$的前)项和B)'
!
!%!如图所示为多面体"%3461%已知四边形61C
%4 与四边形"%34 均为矩形%平面61%4 与平
面"%34 互相垂直%且多面体"%3461 的体积
为4
1%46'%%则多面体外接球的表面积的最小
值为
!
F
E
A
B
C
D
!&!过原点的直线;与圆心在原点的单位圆交于"%%
两点%与椭圆#
%
"2+$
%
5 '" 交于=%> 两点%若
5
6
="' 5
6"%' 5
6
%>%则直线;的方程为!!!!!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#
$#题为必考题%每个考生都必须作答%第$$%
$+题为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
!'!"本小题满分"%分#
如图%在四边形"%43 中%1"%3 的外接圆的直
径为"%且1"%3 的面积为, ' "
5"809
%%+
809
%3!809
%"#!
""#求角" 的大小+
"##若"%'槡%
%%"3'"%7%43'"%$E%求四边
形"%43 面积的最大值!
B
D
A
C
.
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!!
!(!"本小题满分"%分#
如图"%四边形"%34 为等腰梯形%"6234%且
"%'"6'"
%43'%%将1"64 沿"6 折起!使
平面"642 平面"%36%如图%%= 为线段46
上一点%且4='%=6!
""#求证&"=3平面4%3+
"##求四面体%!"34 的体积!
D
E
C
A
B
D
M
E
C
B
A
!)!"本小题满分"%分#
某中学为了研究周合理课时数"##%对某同学的
思政课周测成绩"$#进行了跟踪%获得如下数据&
#
1
5
#
2
3
$
43
46
46
6%
61
""#这位同学的成绩"$#与周课时数"##是否具
有相关关系/ 是否可用线性回归模型拟合$ 与#
的关系/ 请用相关系数加以说明+
"##建立$ 关于# 的回归直线方程%并估计周课
时为4节时%该同学的成绩!
参考公式&
7'
9
)
D'""#D!:
##"$D!8
$#
9
)
D'""#D!:
##
%9
)
D'""$D!8
$#
槡
%
'
9
)
D'"#D$D!):
#8
$
"9
)
D'"#
%
D!):
#
%#"9
)
D'"$
%
D!)8
$
%
槡
#
%
E
-'
9
)
D'""#D!:
##"$D!8
$#
9
)
D'""#D!:
##
%
'
9
)
D'"#D$D!):
#8
$
9
)
D'"#
%
D!):
#
%
%
E
('8
$!E
-:
#!
参考数据&
7$!$#'$!3#5%
7$!$"'$!435%槡1;"!31%%
槡#;%!%12%槡3;%!252%槡"";1!"23
.
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!全国卷! 数学"文科##$$
!!
"*!"本小题满分"%分#
已知椭圆3&#
%
(
%+$
%
-
% '""('-'$#%点"%% 分别
为椭圆的上顶点和右顶点%" 5
6:" + 5
6:%"
槡
' #%
点"(%
2#在直线$'槡1
%# 上!
""#求椭圆的方程+
"##直线;&$'0#+* 与椭圆交于不同两点=
和>%若: 到;的距离为槡
% #
# %求1:=> 面积的
最大值!
"!!"本小题满分"%分#
已知函数+"##'(9#!(#
#+" %其中(为实数!
""#当#("时%讨论+"##的单调性+
"##若+"##有两个不同的零点%求( 的取值
范围!
!二"选考题$共#"分!请考生在第$$%$+题中任选一
题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
""!"本小题满分"$分#选修5!5&坐标系与参数方程
已知曲线3" 的极坐标方程为!
%"5!7)8
%"#'"%%
曲线3% 的参数方程为#'<!
$'%
!
<
"
<为参数#%且5%8
为曲线3" 上的两个不同点!
""#求曲线3" 的直角坐标方程和曲线3% 的普
通方程+!
"##若弦58 被曲线3% 平分%且点= ""%%#%
>"!"%!%#%求四边形>5=8 面积的最大值!
"#!"本小题满分"$分#选修5!#&不等式选讲
设函数+"##'%"#!""!1"#+"""#/&#!
""#求不等式+"##'"的解集+
"##若&#/&%使关于#的不等式+"##!()*1"
(
%!
5(+%#'%成立%求实数(的取值范围
.
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!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%!&"
数!学!文科"
本试卷满分"#$分%考试时间"%$分钟&
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
"!已知集合" ' !"##$$"$ ' # ( "%#% '
"##$$$'%
!
%
# #则"#%'
"!!$
)&!!%#"%
*&"!%#"&
+&!"!%#!"$#""#%$%
,&!"!"#!%$#""#%$%
#!已知复数& 的实部与虚部互为相反数#且满足
&""(-
.$''(-"
-为虚数单位$#则&'
"!!$
)&"(%-
*&!"(-
+&!"
%("
%-
,&"!-
$!若函数("#$''#
.()#("在点#'"处的切线方
程为$'/#!"#则'()'
"!!$
)&%
*&"
+&!"
,&!%
!!已知双曲线#
%
/!$
%
.'!"#则双曲线的焦点到渐近
线的距离为
"!!$
)&"
*&%
+&槡%"
.
槡
,&0
%!综合123产出指数是123指标体系中反映当期
全行业"制造业和非制造业$产出变化情况的综合
指数!123通常以#$4 作为经济强弱的分界点#
123高于#$4时#反映经济总体扩张'低于#$4#
则反映经济总体收缩!据国家统计局数据显示#我
国%$"5年度每月的综合123产出指数如图所示#
根据该折线统计图判断#下列结论错误的是"!!$
(%)
)!我国%$"5年度各月综合123产出指数的极差
为"!04
*!我国%$"5年度各月综合123产出指数的众数
为#/!"4
+!我国%$"5年度各月综合123产出指数的中位
数为#.!04
,!%$"5年度我国企业生产经营活动总体扩张加快
&!在$"%* 中#角"#%#* 的对边分别为'#)#+#若
'678%()678"
槡
' %+678*#$"%* 的面积为
槡
% %#
" %
&*%"'%#则%
&*"在%
&*%方向上的投影为
"!!$
槡
槡
槡
槡
)&%
*&% %
+&/ %
,&5 %
'!执行如图所示的程序框图#当输入# 的值为
%$"9!#时#输出("#$的值为
"!!$
f x
x
x=x 2
f x
log |x|
|x| 1?
)&%
*&"
+&$
,&!"
(!已知!' $#!
"
$
% #:;< !
#(
"
$
! '.
/#则
"
8-< .!
"$! $
!
678 .
#!!%
"
$
! '
"!!$
)&!%5
"%#
*&%5
"%#
+&=%5
"%#
,&0
%#
)!已知函数("#$'%#
%(#(8-<#
#
%
的最大值与最小值
分别为,#-#则,(- 的值为
"!!$
)&%
*&/
+&>
,&5
"*!如图#小方格是边长为"的正方形#图中粗线画出
的是某几何体的三视图#则该几何体的外接球的
表面积为
"!!$
)&%5!
.
*&#>!
.
+&%%!
,&""
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
!
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!!
""!已知定义在"$#( ?$上的("#$#其导函数为
(."#$#当#'"$#(?$#("#$!(."#$)$#(".$'
.#则("#$*.@
#!.的解集为
"!!$
)&"$#.$
*&("#.&
+&".#(?$
,&(.#(?$
"#!古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边
形数#如三角形数"#.#>#"$#)#第/个三角形数为
/
%(/
%
#现将"#%#.#)/)按照顺时针螺旋式排成
/行/列的行列式0/#例如*0" '"""#0% '
" %
/ .
#0. '
" % .
5 9 /
0 > #
#0/ '
"
%
.
/
"% ". "/ #
"" "> "# >
"$
9
5
0
#
))#称第/ 个行列式0/ 为+/ 螺旋式数,#记为
0/"/
%#("/$$"/'&+ #1'&+ $#下列给出部分
+/螺旋式数,0/"/
%#("/$$表达式*0"""#"$'%#
0%"/#"$$'"/#0."9#/#$'#/))由此推测第/个
行列式0/ 的+/螺旋式数,0/"/
%#("/$$' "!!$
)&/
/(./
%
%
*!/
/!./
%
%
+!/
/!%/
%
%
,!/
/(%/
%
%
第"卷!非选择题!共'"分"
二#填空题$本大题共(小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
"$!已知向量!' ""##$#"' "%#!"$#若!,"#则
"!"'
!
"!!设变量##$ 满足约束条件
$*#!%#
.#($!>*$#
$-%
.
/
0
#
则
&'#!%$ 的最小值为
!
"%!已知函数("#$'"8-<""#(#$""1$#"1$#
$)#)!$的图象如图#求( !
" $
% '
!
x
y
2
O
2
"&!已知动圆2 与圆3"*#
%($
%!/#!.%'$内切#
与圆3%*#
%($
%(/#'$外切#设动圆圆心2 的
轨迹为, #圆3% 与# 轴的左-右交点分别为"#
3#点% 为, 上任意一点#求$3"% 面积的最大
值为!!!!!
三#解答题$本大题共!小题%共)"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#)#
$#题为必考题%每个考生都必须作答%第$$%
$*题为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
"'!"本小题满分"%分$
已知数列!'/%#'"'%"#'%'"9#其前/ 项和4/ 满
足4/("(4/!"'%4/!%"/*%#/'&+ $!
""$求!'/%的通项公式'
"#$求数列!/4/%"/'&+ $的最大项
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
!
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!!
"(!"本小题满分"%分$
如图"#在直角梯形"%*5 中#"%25*#3%"5'
9$A#6 是"5 的中点#且"
%"%'*5'"7'"#"5'
槡.#将$"%* 沿"* 折起到$"%"* 的位置#使得
平面"%"*,平面"*5#如图%!
""$求证*762平面%"*5'
"#$求三棱锥7!"*5 的体积!
D
C
F
A
E
B
E
D
C
F
A
B
")!"本小题满分"%分$
节能减排倡导绿色出行#+共享单车,的出现#为
我们出行提供了一种新型的交通方式!共享单车
公司计划在某市区投放共享单车#为了达到既能
满足市民的出行需求又不出现资源的闲置浪费#
现对市区不同年龄段市民对此种交通方式选择
情况进行调查#随机调查了%$$$个市民#得到如
下统计表*
年龄段
"#岁以下
"含"#岁$ ">岁!#$岁
#"岁以上
"不含#$岁$
选择
#$
"$$
#$
不选择
##$
0$$
##$
""$假设某市区有"%$万市民#同时选择使用率
为$!#4#通过调查统计表估计需要投放+共享单
车,多少辆'
"#$在对此种交通方式+选择,的用户中按照分
层抽样的方法抽取/人#若在此/人中推荐%人
参加+共享单车#绿色出行,宣传志愿活动#求至
少有"人年龄在">岁.#$岁的概率'
"$$请根据此样本完成此%B%列联表#并据此样
本分析是否有9#4的把握认为年龄与选择共享
单车有关!
年龄段"#岁以下"含"#岁$或
#"岁以上"不含#$岁$">岁!#$岁
合计
选择
不选择
合计
参考数据如下*
2"8
%*1$$$!"$ $!$# $!$%#$!$"$$!$$#$!$$"
1$
%!0$>.!5/"#!$%/>!>.#0!059"$!
"
5%5
参考公式8
%'
/"'9!)+$
%
"'()$"
+(9$"'(+$")(9$#其
中/''()(+( $
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
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(
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9
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#*!"本小题满分"%分$
已知过抛物线$
%'%:#":1$$的焦点6#倾斜角为!
/
的直线;与抛物线交于"#% 两点#若""%"'5!
""$求抛物线的方程'
"#$过直线#'!"上任意一点<#作抛物线的两
条切线#切点分别为*#5#试问直线*5 是否过
定点/ 如果过定点#求出定点'如果不过定点#请
说明理由!
#"!"本小题满分"%分$
已知函数("#$''C<#("
%#
%!"'("$#"''+$!
""$求("#$的单调区间'
"#$设="#$'#(."#$!"
%#@
#("
%@
##"(."#$为("#$
的导函数#@为自然对数的底数#@4%!0"5%5)$#讨
论="#$的零点个数!
!二"选考题$共#"分!请考生在第$$%$*题中任选一
题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
##!"本小题满分"$分$选修/!/*坐标系与参数方程
在平面直角坐标系#3$ 中#曲线*" 的参数方程
为#'>678!#
$'>8-<
!
!
"
>为参数#$-!)!$#曲线*% 的普
通方程为"#!"$
%($
%'/!以原点3 为极点## 轴
正半轴为极轴建立极坐标系!
""$写出曲线*" 和*% 的极坐标方程'
"#$若曲线*" 与曲线*% 相交于,#- 两点#且
",-"
槡
'
"/#求!的值!
#$!"本小题满分"$分$选修/!#*不等式选讲
已知函数("#$''"#!""!"#!%"!
""$当''%时#求不等式("#$*#("的解集'
"#$若对5#'+#("#$-"
%恒成立#求' 的取值
范围
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
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(
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!全国卷! 数学"文科#%$"
!!
!!!!!!!!!!!!!!!!!"#$%!'"
数!学!文科"
本试卷满分"#$分%考试时间"%$分钟!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
"!若-是虚数单位#复数& 满足""!%-$&' ".!
-$""(.-$#则&的虚部是
"!!$
)&/
*&/
#
+&!/
,&!/
#
#!若集合"'!#"%"%#!"")5%#%' #
#
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$ #则
下列选项正确的是
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)!"#%'!#"!")#).%
*!"#%'!#"$)#)%%
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,!"6%'!#"")#).%
$!若双曲线**#
%
'
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%
)
% '""'1$#
)1$$的一个焦点为
".#$$#点""#槡%$在* 的渐近线上#则* 的方程是
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#
%!设函数("#$'#
."@
# !@
!#$#则不等式("#$1
("%#!"$的解集为
"!!$
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"
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"
. 6""#(?$
*! !?#
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"
. 6""#(?$
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.#
"
$
"
&!某三棱锥的三视图如图所示#该几何体的侧面
积为
"!!$
槡
槡
)&0( #
*&0( %
槡
槡
+&>( %
,&>( #
'!执行如图所示的程序框图#若输入/ 的值为/#则
输出的结果为
"!!$
x
n
i=i 1
x= 2x 9
i= , x 1
i > n ?
)&!%9
*&!#
+&0
,&"9
(!已知'#
)#
+分别是$"%* 内角"#%#* 的对边#若
$"%* 的面积为槡."'
%()
%!+
%$
/
#+'.#则$"%*
周长的取值范围为
"!!$
)&"$#9& *&">#9&
+&">#9$
,&">#"%&
)!在$"%* 中#记%
&"%'!# %
&"*'"#"%'%#%*'
槡
. %#3"%*' !
/#"5 是边%* 的高线#3 是线段
"5 的中点#则%
&"3'
"!!$
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!全国卷! 数学"文科#%$#
!!
"*!中国古代数学名著0九章算
术1中记载*+圆周与其直径
之比定为."圆周率的近似
值$#宛田"即扇形田$的面积
为"
/;9"; 为宛田的下周#
9 为直径$!,据此计算#已知一个圆中宛田的下周
"即弧长$为.$#直径为">#若质点, 随机投入此
圆中#则质点, 落在宛田形外的概率为
"!!$
)&#
5
*&.
5
+&#
.%
,&%0
.%
""!已知抛物线**$
%'># 的焦点为6#准线为;#过;
上一点"#作直线;的垂线交抛物线* 于点,",
在第一象限$#若,6 的延长线交* 于点-#线段
,- 的长是5#则直线"6 的斜率为
"!!$
槡
)&= .
*&=槡.
.
槡
+&! .或!槡.
.
槡
,&.或槡.
.
"#!已知函数("#$'%#! %
# !#C<#!#C<%#="#$'
#
%!)#(/!若5#" ' "$#"$#7#% ' ("#%&#都有
("#"$-="#%$成立#则实数)的取值范围为"!!$
)&"!?#5&
(
*&""
%#&
5
"
+& !?#""&
%
,&(5#(?$
第"卷!非选择题!共'"分"
二#填空题$本大题共(小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
"$!若函数("#$'
##!.#
#-"#
%
## #1"
!
#
则("(""$$'
!
"!!设变量##$ 满足
#($!%*$#
%#!$!/-$#
$!/-$
.
/
0
#
则&'%#(.$
的最大值是
!
"%!如图所示的四面体"!%*5 中#"%'%5'%#
%*'5* 槡
' ##"%,%5#平面"%5,平面%*5#
则四面体"!%*5 外接球的体积为
!
A
B
D
C
"&!将函数("#$ 槡
' .8-<"/#($$!678"/#($$"$)
$)!$图象向左平移!
5 个单位长度后#得到函数
的图象关于#'!
/ 对称#若函数="#$'678"#(
$$!' 在!!
.#!
(
&
> 上有一个零点#则实数' 的
取值范围是
!
三#解答题$本大题共!小题%共)"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#)#
$#题为必考题%每个考生都必须作答%第$$%
$*题为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
"'!"本小题满分"%分$
设数列!'/%的前/项和4/ 满足4/'/!%'/("#且
'"'%!
""$求数列!'/%的通项公式'
"#$记数列)/ '
"
C7D%'%/!"C7D%'%/("
#求数列!)/%
的前/项和0/
(
(
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(
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"(!"本小题满分"%分$
如图#平面四边形"4*5 中#四边形"%*5 是菱
形#$4"% 为等边三角形#3%"5'>$A#且"%'
%#点6 为"% 的中点#沿"% 边将$4"% 折起#
得到四棱锥4!"%*5#且4%,56!
""$求证*46,平面"%*5'
"#$? 是线段4% 的中点#求三棱锥6!"?* 的
体积!
S
B
C
F
A
D
S
G
B
C
F
A
D
")!"本小题满分"%分$
一超市经营水果#根据这些水果的新鲜程度-大
小-色泽-水分含量等特征而标有不同的等级代
码#进而确定合适的销售单价!为得到水果等级
代码数值# 与销售单价$ 之间的关系#经统计得
到如下数据*
等级代码数值#
%>
.>
/>
#>
>>
0>
销售单价$"元2ED$"$!5"%!5"/!5">!5"5!$"9!5
""$已知代码超过#$的为" 等品#某超市从上
表>种产品中任取%种产品进口#求%种产品全
为" 等品的概率'
"#$已知销售单价$ 与等级代码数值# 之间存
在线性相关关系#求$ 关于# 的线性回归方程
"系数精确到$!$"$'
"$$若该地区的水果店销售的等级代码数值为
5>#请估计该等级的销售单价为多少元/
参考公式*用最小二乘法求线性回归方程@
$'@
)#(@
'
的系数公式*
@
)'
8
/
A'""#A!#$"$A!$$
8
/
A'""#A!#$
%
'
8
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A'"#A$A!/#$
8
/
A'"#
%
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''$!@
)#
.
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0
'
参考数据*9
>
A'"#A$A'#$#>#9
>
A'"#
%
A'"0.#>
(
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(
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(
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#*!"本小题满分"%分$
椭圆**#
%
'
%($
%
)
% '""'1)1$$的左-右焦点分别为
6"#6%#椭圆上的点到右焦点的距离最大值为.#
离心率为"
%!
""$求椭圆* 的方程'
"#$已知3 为坐标原点#直线;与椭圆交于"#%
两点#交$ 轴于点2"异于椭圆的上-下顶点$#交
# 轴于点<#且%
&<"'% %
&
2"#%
&<%'& %
&2%#证明*若
%(&'.#则直线;过定点!
#"!"本小题满分"%分$
已知函数("#$'"#
%('$@
#!'"#("$!
""$当''$时#求函数("#$在""#(""$$处的切
线方程'
"#$若'*!%#证明*当#*$时#("#$*$!
!二"选考题$共#"分!请考生在第$$%$*题中任选一
题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
##!"本小题满分"$分$选修/!/*坐标系与参数方程
在平面直角坐标系#3$ 中#直线;的参数方程为
# 槡
' .!'>#
$
槡
'%( .
.
/
0
>
"
>为参数#''+$#以坐标原点3 为
极点#以# 轴正半轴为极轴#建立极坐标系#曲线
* 的极坐标方程为''/8-<#(!
"
$
. #
#'($#%!$!
""$求直线;的普通方程和曲线* 的直角坐标方
程'
"#$已知直线; 与曲线* 交于"#% 两点#且
""%"
槡
'
"##求实数'的值!
#$!"本小题满分"$分$选修/!#*不等式选讲
设函数("#$'"#!'"("#(%'"!
""$若("#$的最小值为%#求'的值'
"#$若不等式("%$*>#求实数'的取值范围
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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本试卷满分"#$分%考试时间"%$分钟!
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
"!设集合"' !#"$'CD".!#$%#%' !#""#(
.$"#!#$-$%#则"#%'
"!!$
)!!#"!.)#-.%
*!!#"!.-#).%
+!!#"!.-#-#%
,!!#".-#-#%
#!若复数&'-
#"'!-$
"!%- "-是虚数单位$的实部与虚部
相等#则实数'的值为
"!!$
)&!"
*&!"
%
+&!"
.
,&"
$!+''",是+直线%#!'$(5'$与直线#(%'$!
>'$互相垂直,的
"!!$
)&必要不充分条件
*&充分不必要条件
+&充要条件
,&既不充分也不必要
!!已知向量!' "!"#"$#"' "%##%$#且'2)#则
"'()$3"'!)$'
"!!$
)&!>
*&!"
+&"
,&%
%!设点6"#6% 是双曲线#
%!$
%
)
% '"")1$$的左-右焦
点#点" 为虚轴的端点#且点" 到渐近线的距离为
槡%
%#则双曲线的渐近线方程为
"!!$
)!#=$'$
*!#=%$'$
+!%#=$'$
,!%#=.$'$
&!如图所示的程序框图#程序运行时#若输入的4'
"#则输出/的值为
"!!$
n
S
n=1
n=n+1
S=nS n
2
S>
)&/
*&#
+&5
,&9
'!函数("#$'%8-<%#
#
%
的部分图象是
"!!$
x
y
O
x
2
1
1
2
3
4
1
1
2
3
2
3
4
y
O
x
2
1
1
2
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2
3
y
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2
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2
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y
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1
2
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2
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3
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A
B
C
D
(!设''$!#
!$!"#
)'C7D/ "
" $
"> #
+'" $
"
%
CD "
"$$$#则
"!!$
)!
+)'))
*!
+)))'
+!')))+
,!
))')+
)!已知变量##$ 满足约束条件
#!%$(%*$#
#(%$!%*$#
.#(%$!>*$
.
/
0
#
则目
标函数&'%
%#!$的最小值为
"!!$
)&%
*&"
%
槡
槡
+&%
,&% %
"*!图中小正方形的边长为"#某空间几何体的三视
图如图所示#则该几何体的体积为
"!!$
)&0%
*&/5
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
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!!
""!设函数("#$'8-<"%$"9!!#$678#!8-<
%#(
槡
"( %
%
#则("#$ 槡
' %在(!%!#!&上的零点个数是
"!!$
)&%
*&/
+&#
,&.
"#!函数("#$'
"!#
%#!#-"#
C<##
#1"
.
/
0
#
若方程("#$'
B#!"
%恰有四个不相等的实数根#则实数B 的
取值范围为
"!!$
)& "
@#
"
$
@
*& "
@#
"
$
"
%
+& !"
%#"
槡
"
$
@
,& "
%#"
槡
"
$
@
第"卷!非选择题!共'"分"
二#填空题$本大题共(小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
"$!已知圆3*#
%($
%!/'$#**"#!/$
%("$(.$
%'
">#则两圆的公共弦所在的直线在# 轴上的截距
为!!!!!
"!!如图在三棱锥"!%*5 中#"%, 平面%*5#
"*,*5#且"% '/#%*'*5 '%#则三棱锥
"!%*5 的外接球的表面积为!!!!!
A
B
C
D
"%!已知6 为抛物线#
%'/:$":1$$的焦点#点,#
- 在该抛物线上且两点的横坐标之积为!.#
3 为坐标原点#若$,63 与$-63 面积之和的
最小值为.#则抛物线的方程为!!!!!
"&!在$"%* 中#内角"#%#* 所对的边分别为'#)#
+#若%678
%"(8-<%8-<"!%'$#*' !
.#$"%*
的面积为槡
% .
. #则+'!!!!!
三#解答题$本大题共!小题%共)"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#)#
$#题为必考题%每个考生都必须作答%第$$%
$*题为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
"'!"本小题满分"%分$
已知等差数列!'/%的前/ 项和为4/#4#' !%$#
'%('>'$!
""$求数列!'/%的通项公式'
"#$若)/'"!"$
/'/(%
/("#求数列!)/%的前%/
项和0%/!
"(!"本小题满分"%分$
%$"5!%$"9 赛季+*) 常规赛的获胜场数在%$
场以上"总场数/>场$的球队获胜场数的茎叶图
如下表!
%
.!.!.!/!/!>!0
.
"!"!.!.!5
/
%
""$求".个球队的获胜场数的中位数与前>名
球队的平均获胜场数"四舍五入保留整数$'
"#$在获胜场数为(%/#.$$和(..#.5&的球队中
随机抽取%个球队#求至少有"个球队的获胜场
数在(..#.5&的概率
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
(
(
(
(
(
!
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!!
")!"本小题满分"%分$
如图#四棱锥2!"%*5 的底面"%*5 的对角线
互相垂直#且%*'*5#2",平面"%*5!
""$求证*平面2"*,平面2%5'
"#$若%5'*5'/#2"'>#.
%
%
&
2,' %
&2*#求三
棱锥*!%5, 的体积!
A
D
B
M
C
P
#*!"本小题满分"%分$
设椭圆**#
%
'
% ($
%
)
% '""'1)1$$#6"#6% 分别是
左-右焦点#离心率C' "
.#椭圆上的点到焦点的
最小距离为%#3 为坐标原点!
""$求椭圆* 的方程'
"#$设点,""#/$#3 为坐标原点#过右焦点6%
作斜率为1"1'(!"#"&$的直线;的交椭圆于2#
< 两点#求当$,2< 的面积取最大值时"2<"的
长度
(
(
(
(
(
(
(
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#"!"本小题满分"%分$
已知函数("#$'!#
%("B("$#(%
@
#
"B'+$!
""$若("#$在#'$ 处取得极值#求("#$单调
区间'!
"#$当#1$时##("
@
# ("1("#$恒成立#求B 的
取值范围!
!二"选考题$共#"分!请考生在第$$%$*题中任选一
题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
##!"本小题满分"$分$选修/!/*坐标系与参数方程
在直角坐标系#3$ 中#直线; 的参数方程为
#'"(>678!#
$'>8-<
!
"
!
其中> 为参数#$-!) !$
% #以原
点为极点## 轴正半轴为极轴建立极坐标系#曲线
* 的极坐标方程为''5678#
%8-<
%#!
""$求过* 的焦点且垂直于其对称轴的弦长'
"#$若曲线* 的焦点为6#且;与* 交于点"#%
两点#"6""3"6%"'9#求;的斜率!
#$!"本小题满分"$分$选修/!#*不等式选讲
已知'1$#
)1$#且'(">)'5')#若')的最小值
为%!
""$求%的值'
"#$若不等式"#"("#(""-%% 在#'(B!"#
B&上恒成立#求实数B 的取值范围
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"""""
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
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高考命题规律与题!能力提升卷
答案详解
!"#$%!&"
!
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(
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!
!
"
"
#
"
"
$
#
$
!
$
!!!答案"!
!命题意图"本题考查对数函数的定义域#指数函数的
值域#集合的运算$考查运算求解能力$考查数学运算
核心素养!
!解题分析"由"%&$'得#(%"%"$)&&$由"&'
得$(%%%'&%&&&$所以#'$(%"%'&"&&&$故
选!!
"!!答案"!
!命题意图"本题考查复数的运算$考查运算求解能
力$考查数学运算核心素养!
!解题分析"*&(&)+$,&
-()-+$又&)&(&)+)
&()+$则&
-
&)&()-+
)+(-$故选!!
#!!答案""
!命题意图"本题考查特称命题的否定$考查逻辑推理
核心素养!
!解题分析"根据特称命题的否定是全称命题$可知选
项"正确$故选"!
$!!答案""
!命题意图"本题考查程序框图$考查逻辑推理和数学
运算核心素养!
!解题分析"若输入的"(-$则"(-
-)&(.$而.&
&-/$故"(-
.)&(0$而0&&-/$故"(-
0)&(&-0!
因为&-0$&-/$所以输出的" 值为&-0$故选"!
%!!答案"#
!命题意图"本题考查等差数列$考查数学运算核心
素养!
!解题分析"*'&%'1(-'.(2$,'.(3$同理可得
'3(-$,公差(('3)'.()-$,'-'('3%&/4((
).'$故选#!
&!!答案""
!命题意图"本题考查线性规划$考查推理论证能力和
数形结合思想$考查数学运算核心素养!
!解题分析"画出可行域如图中阴影部分!含边界"所
示$可知当直线%( 1
-") &
- 过点# 时$& 有最小值$
由-")%%-('$
"%%
%
)3('
得#
-
. $&'
!
"
.
$代入目标函数得
&5+6(1")-%()&'
. $故选"!
C
y
A
B
O
x
12
10
8
6
4
2
2
5
10
x+y
x y
x y
'!!答案""
!命题意图"本题考查茎叶图和数字特征$考查数据分
析和数学运算核心素养!
!解题分析"由茎叶图可得"甲("乙(21$所以排除!'
甲的中位数为2.$乙的中位数为23$所以排除#'
)
-
甲( &
2 (!02)21"
-%!07)21"
-%!2&)21"
-%!2-)
21"
-%!23)21"
-%!22)21"
-%!7.)21"
-% !71)
21"
-)(.1!1$)
-
乙( &
2 (!01)21"
- % !2')21"
- %
!2')21"
-%!2.)21"
-%!21)21"
-% !7')21"
-%
!7-)21"
-%!71)21"
-)(3&$所以)
-甲&)
-乙$所以甲的
成绩更稳定$所以选项"正确$故选"!
(!!答案"$
!命题意图"本题考查三角函数的图象变换$考查推理
论证能力$考查逻辑推理核心素养!
!解题分析"将函数%(8+6 -"% !
!
"
/
的图象向左平移
!
/ 个单位长度得函数%
(!
(8+6 - "% !"
/
% !)
/
(
8+6 -"% !
!
"
-
(9:8-"的图象$故选$!
)!!答案"#
!命题意图"本题考查平面向量的数量积和夹角问题$
考查推理论证能力$考查数学运算核心素养!
!解题分析"由已知得!%"(!&%*$-"$!)"(!
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
(
(
(
&)
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!数学"文科#$答"
! !
*$3"$因为!%" 与!)" 的夹角为锐角$所以!!%
""*!!)""(7)*
-$'$得).&*&.!又令3!&%
*")-!&)*"('$得*() &
. $此时夹角为';$所以
* 的取值范围是
).$)
!
"
&
.
)
) &
. $
!
"
. $故选#!
!方法技巧"该类型题目容易忽略夹角为';的情况%
解题时需准确把握下列结论&!$"$'*';+!&7';%
!$"&'*7';&!+&2';%!$"('*!(7';!
!*!!答案"$
!命题意图"本题考查几何体的三视图和体积的计
算$考查空间想象能力$考查直观想象和数学运算核
心素养!
!解题分析"由题意得该几何体的直观图是如图所示
的三棱锥$其体积+( &
.,,$-. *3( &
. 4.43(3$
故选$!
A
D
C
B
4
3
2
!方法技巧"由三视图画几何体的直观图时%可以在
长方体里构造%利用三视图的定义验证直观图的正
确性!
!!!!答案"!
!命题意图"本题考查导数的计算#利用导数研究函
数的单调性与极值$考查分类讨论思想$考查逻辑推
理和数学运算核心素养!
!解题分析"由题意可知$/0!""("%&% *
" ) *
"
- (
"
.%"
-%*")*
"
-
!设1!""("
. %"
- % *") *$
10!""(."
-%-"%*!" 当*&' 时$1!""("
. %
"
-%*")*("
.%"
-%*!")&"$'$所以/0!""$
'$函数/!""在!'$&"上单调递增'# 当*(' 时$
/0!""("%&$'$函数/!""在!'$&"上单调递增'
$当*$'时$10!""(."
-%-"%*$'$所以1!""(
"
.%"
-%*")* 在!'$&"上单调递增$1!'"()*&
'$1!&"(-$'$所以-"'.!'$&"$使/!""在!'$"'"
上单调递减$在!"'$&"上单调递增!此时函数在!'$
&"上不单调!综上所述当*$' 时$函数在!'$&"上
不单调$故选!!
!"!!答案"$
!命题意图"本题考查裂项相消法求和$考查化归与
转化思想$考查逻辑推理和数学运算核心素养!
!解题分析"'2 (
-
2
-
-2%.)7*-
2%&%7 ( &
- *
-
2%&
!-
2%&)."!-
2%-)."( &
- * !-
2%-).")!-
2%&)."
!-
2%&)."!-
2%-)." (
!
&
-
&
-
2%&).)
&
-
2%-
"
). $故,2 ('&%'-% + %'2 (
(!
&
-
&
-
-).)
&
-
.
"
).
!
%
&
-
.).)
&
-
3
"
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% +
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-
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&
-
2%-
")
).
( &
-
!
4
&
-
-).)
&
-
2%-
"
). (
&
- )
&
-
2%.)/$故
,2) &
-
(
&
-
2%.)/&
&
-'&7$即
-
2%.$-'-1$故只要2%./&&$即2/2即可$故所
求的最小正整数2的值为2$故选$!
!#!!答案"槡-
!命题意图"本题考查双曲线的几何性质$考查运算
求解能力$考查数学运算核心素养!
!解题分析"由题意3 槡
( -可知该双曲线为等轴双曲
线$即'(4$则设双曲线方程为"
-
'
- )%
-
'
- (&$将
点!槡.$&"代入$解得' 槡
( -!
!$!!答案"7
-!
!命题意图"本题考查空间几何体外接球的体积$考
查空间想象能力和应用意识$考查数学建模和直观
想象核心素养!
!解题分析"正四棱柱的体积为3$高为&$所以底面
边长为-$故这个外接球的直径为.$半径为.
- $所以
球的体积+( 3
.!5
.( 7
-!!
!%!!答案" )-$)
!
)
-
.
)
-
. $
(
"
-
!命题意图"本题考查函数的奇偶性和对称性$考查
数形结合思想$考查直观想象和数学运算核心素养!
!解题分析"由/!&)""(/!"%&"得对称轴是"(
&$又因为是偶函数$且".('$&)时$/!""()"%&$
所以可画出函数的图象如图所示$由图象可得" 的
取值范围是
)-$)
!
)
-
.
)
-
. $
(
"
- !
y
O
x
2
1
2
2
1
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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!数学"文科#$答#
! !
!&!!答案"!)<$'))(-$3"
!命题意图"本题考查分段函数和函数的零点$考查
直观想象和数学运算核心素养!
!解题分析"由6!""(/!"")1!""('$得/!""(
1!""$当"$'时$/0!""(-!&)""
=
"
$可画出/!""的
图象如图所示$因为%(-"
=
" 在"('处的切线斜率为
-$/!""("
-%3" 在"('处的切线斜率为3$所以
当-&7&3时$/!""与1!""的图象有两个交点!又
当7+'时显然有两个交点$所以实数7的取值范围
为!)<$'))(-$3"!
y
O
x
!'!!命题意图"本题考查正弦定理#余弦定理和三角形
面积公式$考查数学运算核心素养!
!名师指导"!%"由正弦定理进行边化角$再利用两
角和的正弦公式进行展开$通过8+6$(8+6!#%-"
把含有三个角的关系式化为含有两个角的关系式$
进而求得# 的值'!&"由余弦定理得出4$
8的关系$
然后利用基本不等式求出48的取值范围$即可求出
,#$- 面积的最大值!
!解题分析"!%"由-'8+6 -% !
!
"
/
(4%8得
-8+6# 槡.
-8+6-% &
-9:8
!
"
- (8+6$%8+6-!
!-分"
因为8+6$(8+6!#%-"$
代入得槡.8+6#8+6-)9:8#8+6-(8+6-$
!.分"
因为8+6-0'$
所以槡.8+6#)9:8#(&$
得8+6 #) !
!
"
/
( &
- !
因为'&#&!$
所以) !
/ &#) !
/ & 1
/!$
则#) !
/ ( !
/ $
故#( !
. !
!/分"
!&"由余弦定理得
9:8#(4
-%8
-)'
-
-48
(4
-%8
-)3
-48
( &
- $
!2分"
得4
-%8
-)3(48/-48)3$
所以48+3$
!&'分"
当且仅当4(8(-时取等号$
!&&分"
,,#$- ( &
-488+6#(槡.
348+槡.$
所以,#$- 面积的最大值为槡.!
!&-分"
!(!!命题意图"本题考查频率分布直方图和概率$考查
运算求解能力$考查数据分析和数学运算核心素养!
!名师指导"!%"由频率分布直方图求平均值的方法
是用每个小组的中点值乘每个小组的频率$然后各
组的结果相加$中位数是频率和等于'!1的分界点'
!&"先用分层抽样求出每组的抽取人数$然后用古
典概型求解即可!
!解题分析"!%"由频率分布直方图可知$平均值为
&74'!'3'%-&4'!.''%-.4'!.1'%-14'!-''%
-04'!'2'%-74'!'.'(-.!&3!
!-分"
设中位数为'$则
('!'-'4-%'!&1'4-%'!&014!')--")('!1$
得'1--!7&!
!1分"
!&"由'!&1'
'!&''( .
- $根据分层抽样知第二组抽取
.人$第四组抽取-人!
!0分"
设第二组的. 名学生分别为#&$#-$#.$第四组的
-名学生分别为$&$$-$从这1名学生中随机抽-名
的所有情况有#&#-$#&#.$#&$&$#&$-$#-#.$
#-$&$#-$-$#.$&$#.$-$$&$-$共&'种$
!&'分"
其中- 名学生体重都正常的情况有#&#-$#&#.$
#-#.$共.种$
!&&分"
所以抽到的-名学生体重都正常的概率9( .
&'!
!&-分"
!)!!命题意图"本题考查线面平行的判定定理#三棱锥
的体积公式$考查空间想象能力$考查直观想象和数
学运算核心素养!
!名师指导"!%"连接$&-$设$&- 与$-& 相交于
点:$连接:.$则:. 是,#$&- 的中位线$利用线
面平行的判定定理可证'!&"三棱锥.)#&-$ 的
体积转化为三棱锥#&)-$. 的体积$#&# 即为三
棱锥#&)-$. 的高$结合三棱锥的体积公式求解
即可
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
!
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!数学"文科#$答$
! !
!解题分析"!%"证明,连接$&-$设$&- 与$-& 相
交于点:$连接:.!
!&分"
由题可知四边形$--&$& 是平行四边形$
所以点: 为$&- 的中点!
又因为. 为#- 的中点$
所以:. 为,#$&- 的中位线$
所以:.2#$&!
!.分"
又因为:.3平面$.-&$#$&4平面$.-&$
所以#$&2平面$.-&!
!1分"
!&"因为+.)#&-$ (+#&)-$. $
!0分"
三棱柱#$-)#&$&-& 为直三棱柱$
所以#平面#$-$
!2分"
又因为. 为#- 的中点$
,,-$. ( &
-,,-$# ( &
- 4 &
- 4.4-( .
- $
!7分"
所以+.)#&-$ (+#&)-$. ( &
. *,,-$. *##&( &
. 4
.
- 4-(&!
!&-分"
"*!!命题意图"本题考查椭圆的方程#直线与椭圆的位
置关系$考查逻辑推理和数学运算核心素养!
!名师指导"!%"由离心率3( &
- 得出'(-8$由9 在
椭圆- 上$且96-5" 轴$得9 8$4
-
!
"
'
$又由96& 过
点# '$
!
"
.
3
$得4
-
' ( .
- $两式联立并结合'
-(4
-%
8
- 即可求解'!&"由题意可得9;$96 的斜率互为
相反数$设直线9; 方程%(7!")&"% .
- $与椭圆
方程联立求出点< 的横坐标$同理得出点5 的横坐
标$然后可以得出9< 的斜率为&
- !
!解题分析"!%"由离心率3( &
- 得'(-8$!"
!&分"
将"(8代入椭圆- 得9 8$4
-
!
"
'
!
!-分"
又因为96& 过点# '$
!
"
.
3
$
所以4
-
' (-%#( .
- $!#
!.分"
联立"#并结合'
-(4
-%8
- 得'
-(3$
4
-(.$!3分"
,椭圆方程为"
-
3 %%
-
. (&!
!1分"
!&"证明,由对称性可知79; ()796 !
设9; 的方程为%(7!")&"% .
- $70'$
联立
%(7!")&"% .
- $
"
-
3 %%
-
. (&
6
7
8
$
得!37
-%.""
-%!&-7)27
-""%!37
-)&-7)."('$
!0分"
则"9"<(37
-)&-7).
37
-%.
$
得"<(37
-)&-7).
37
-%.
!
!7分"
设96 的方程为%()7!")&"% .
- $
同理可得"5(37
-%&-7).
37
-%.
$
!&'分"
则7<5 (%5)%<
"5)"<
(
)7!"5)&"% .
- )7!"<)&") .
-
"5)"<
( &
- $
即<5 的斜率为定值!
!&-分"
"!!!命题意图"本题考查函数的极值#单调性和最值$考
查分类讨论思想$考查逻辑推理和数学运算核心
素养!
!名师指导"!% "先求/0!""( '
" %-"$然后由
/0!&"('%-(' 求得'( )-$即可求出极值'
!&"求出/0!""(-"
-%'
"
!"$'"$然后分类讨论导
数的正负情况即可求出最值!
!解题分析"!%"因为/!""('>6"%"
-$"$'$
/0!""('
" %-"$
!&分"
所以/0!&"('%-('$'()-$
所以/0!""()-
" %-"!
!-分"
令/0!""()-
" %-"$'$得"$&$
令/0!""()-
" %-"&'$得'&"&&$
所以/!""在!'$&"上单调递减$在!&$% <"上单调
递增$
!3分"
所以/!""("
-)->6"!"$'"的极小值为/!&"(&$
无极大值!
!1分"
!&"由题意可知/0!""(-"
-%'
"
!"$'"$
!/分
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
"
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! !
当'/)-时$则/0!""/'在(&$=)上恒成立$
故函数/!""在(&$=)上是单调递增函数$
此时/ !""
5+6(/!&"(&'
!0分"
当)-=
-&'&)-时$由/0!""('得
"(
)'
槡
- (
)-
槡
'
-
.!&$="$
当&+"&
)-
槡
'
-
时$/0!""&'$
此时/!""是减函数$
当
)-
槡
'
-
&"+=时$/0!""$'$
此时/!""是增函数$
故/ !""
5+6(/
)-
槡
'
!
"
-
('
->6 )'
!
"
-
)'
- '
!7分"
当'+)-=
- 时$ )-
槡
'
-
/=$
/0!""+'在(&$=)上恒成立$
故函数/!""在(&$=)上单调递减$
此时/ !""
5+6(/!="('%=
-!
!&&分"
综上可知$当'/)-时$/ !""
5+6(/!&"(&'
当)-=
-&'&)-时$
/ !""
5+6(/
)-
槡
'
!
"
-
('
->6 )'
!
"
-
)'
- '
当'+)-=
- 时$/ !""
5+6(/!="('%=
-!
!&-分"
""!!命题意图"本题考查参数方程与普通方程的互化#
极坐标方程与直角坐标方程的互化#直线的参数方
程中参数的几何意义$考查化归与转化思想$考查逻
辑推理和数学运算核心素养!
!名师指导"!%"将参数方程通过消参化为普通方
程$利用"
-("
-%%
-$"("9:8!$%("8+6!可将曲线-
极坐标方程化为直角坐标方程'!&"把直线=的参
数方程与曲线- 的直角坐标方程联立$结合韦达定
理及参数的几何意义即可求解!
!解题分析"!%"将
"(&%槡.
->$
% 槡
( .% &
-
6
7
8
>
!
>为参数"$消去参
数>得直线=的普通方程为"
槡
) .%%-('! !-分"
因为"
槡
(- .8+6!$
所以"
-
槡
(- ."8+6!$
!.分"
所以"
-%%
-
槡
(- .%$
即"
-%!% 槡
) ."
-(.$
所以曲线- 的直角坐标方程为"
-%!% 槡
) ."
-(.!
!1分"
!&"设点?$@ 对应的参数分别为>&$
>-$
把
"(&%槡.
->$
% 槡
( .% &
-
6
7
8
>
!
>为参数数"$
代入"
-%!% 槡
) ."
-(.$
得>
-
槡
% .>)-('$
!0分"
则>&%>-
槡
() .$
>&>-()-&'$
!2分"
所以
%?@%
%9?%*%9@%(%>&)>-%
%>&>-%
(
!
>&%>-"
-)3>&>
槡
-
%>&>-%
( 槡&&
- !
!&'分"
"#!!命题意图"本题考查绝对值不等式#恒成立问题$考
查抽象概括能力#运算求解能力$考查数学抽象和数
学运算核心素养!
!名师指导"!%"去绝对值将/!""化为分段函数$分
类讨论即可求解'!&"将问题转化为恒成立问题$整
理转化为解绝对值不等式$即可求解!
!解题分析"!%"当'(&时$
/!""(%")&%%%"%&%(
-"$!"/&$
-$
)&&"&&$
)-"$"+)&
6
7
8
!
因为/!""/.$
则"+) .
- 或"/ .
- $
所以不等式/!""/.的解集为
" "+) .
- 或"/
%
&
.
-
!
!1分"
!&"/!""+.)" 的解集包含()&$&)$
即/!""+.)" 在()&$&)上恒成立!
当".()&$&)时$
/!""(%")&%%%'"%&%(&)"%%'"%&%$
故/!""+.)"$
即&)"%%'"%&%+.)"$
即%'"%&%+-$
所以)-+'"%&+-$).+'"+&!
又因为".()&$&)$ ).+)'+&$
).+'+&
%
$
则'.()&$&)!
!&'分
(
(
(
(
(
(
(
(
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!数学"文科#$答&
! !
!"#$%!'"
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#
$
%
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(
) !* !! !"
$
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#
!
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"
"
#
!!!答案"$
!命题意图"本题考查复数的运算$考查运算求解能
力$考查数学运算的核心素养!
!解题分析"*&( &
&%+(
&)+
!&%+"!&)+"(&)+
&)+
-( &
- )
+
- $,复数& 表示的点
&
- $)
!
"
&
-
在第四象限$故
选$!
"!!答案"!
!命题意图"本题考查集合的交集运算$考查运算求解
能力$考查数学运算的核心素养!
!解题分析"*#(%'$&$-$.$3&$$(%)&$'$&$-$.&$
,#'$(%'$&$-$.&$故选!!
#!!答案""
!命题意图"本题考查程序框图$考查数据处理能力#
逻辑推理能力!
!解题分析"*"(2$-$则选择-是.的分支$,%(
>:?-2(.$故选"!
$!!答案""
!命题意图"本题考查导数的运算公式#导数的几何意
义$考查运算求解能力!
!解题分析"因为/0!""(>6"%&$所以/0!="(-$即函
数/!""在"(=处的切线斜率为-$故选"!
%!!答案""
!命题意图"本题考查空间直线与平面的位置关系$考
查空间想象力!
!解题分析"! 选项中=5#$*2$$则* 与= 之间可能
异面直线$可能平行$可能垂直$所以* 与=的位置关
系应该是不确定的'#选项中的=3#$*3$$
=与* 可
能垂直$可能异面直线$平行只是一种特殊情况$所以
二者的位置关系也是无法确定的'" 选项中垂直于两
互相垂直的平面的直线互相垂直$所以" 正确'$ 选
项中=2#$*2$$
=与* 可能垂直$可能异面$平行只
是一种特殊情况$所以二者的位置关系同样无法确
定$故选"!
&!!答案"#
!命题意图"本题考查等比数列的性质#等差数列的通
项公式$考查运算求解能力$考查数学运算的核心
素养!
!解题分析"设数列%'2&的公差为($则'&(1)-($
'-(1)($'1(1%-($因为'&$'-$'1 成等比数列$则
'
-
-('&'1$即!1)("
-(!1)-("!1%-("$解得(('
或-$因为'2 公差不为零$所以((-$所以'2(1%
!2)."-(-2)&$故选#!
'!!答案"!
!命题意图"本题考查简单的线性规划$考查化归与转
化能力!
!解题分析"由题可知$可行域如图阴影部分!含边界"
所示$则&(-"%% 在点!3$-"处取得最大值$即最大
值&5@A(-43%-(&'$故选!!
y
O
x
y=2
x+y 6=0
x y+2=0
y= 2x
y= 2x
(!!答案"$
!命题意图"本题考查三角函数的平移变换#诱导公
式#图象性质$考查逻辑推理核心素养!
!解题分析"根据平移%
!
( 8+6
-" ) ! "
/
向左平移!
.
9
::::::::::
个单位长度
% ( 8+6 -"%-!
. ) !
!
"
/
(
9:8-"$所以根据函数%(9:8-" 的图象性质$可知$
的结论正确$故选$!
)!!答案""
!命题意图"本题考查几何概型中立体图形知识$考查
数学运算的核心素养!
!解题分析"将本题转化为在长方体中$以一个角为球
心$&' 为半径的球$在长方体中占了&
2 $因为
&
2 * 3
.!A
.
-'4&'4.'(
&
/!&'
.
/''' ( !
./$所以居民楼内被辐射的
部分占总体的!
./$故选"!
!*!!答案""
!命题意图"
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
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(
(
(
本题考查双曲线的渐近线方程及离心率
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!数学"文科#$答'
! !
的求法$考查数学运算的核心素养!
!解题分析"双曲线的渐近线方程为4"B'%('$
*9!-$槡."到渐近线4"B'%('的距离分别为(&(
%-4 槡
% .'%
'
-%4
槡
- $(- (%-4 槡
) .'%
'
-%4
槡
- $,(&(- (%-4 槡
% .'%
'
-%4
槡
- *
%-4 槡
) .'%
'
-%4
槡
- (%34
-).'
-%
'
-%4
-
(&-
0 $, B34
-).'
-
'
-%4
- (&-
0 $
,..'
-(&/4
- 或7'
-(3'4
-$,..'
-(&/!8
-)'
-"或
7'
-(3'!
8
-)'
-"$,37'
-(&/8
- 或37'
-(3'8
-$,双
曲线的离心率3( 0
3 或
槡
0
&'
-'
$故选"!
!!!!答案""
!命题意图"本题考查直线与圆的位置关系#平面向
量的坐标运算!
!解题分析"设直线=的方程为%("%4$且直线=被
圆- 截得的弦#$ 的两个交点坐标分别为
#!"&$%&"$$!"-$%-"$联立方程并消去% 得-"
- %
!-%-4""%4
- %34)3('$由题意可得%( !-%
-4"
-)2!4
-%34)3"$'$得
槡
).). -&4& ).%
槡
. -$"& %"- ( )4)&$"&"- (4
-%34)3
-
$因为以
#$ 为直径的圆过原点$所以:#5:$$即"&"- %
%&%-('$化简得-"&"-%4!"&%"-"%4
-('$即4
-%
.4)3('$解得4()3或&$均符合题意$所以直线=
的方程为%(")3或%("%&$故选"!
!"!!答案"#
!命题意图"本题考查函数#导数与不等式的综合运
用#构造法在导数中的应用$考查化归与转化思想!
!解题分析"由题可得函数/!""的定义域为"$'$
因为函数/!""是单调递增函数$所以/0!""("
-%
&
"
- )3") 3
" %/)'%=
>)>/'在"$'上恒成立$
所以'+ "% &
"
!
"
)-
-
%=
>)>在"$'上恒成立$等
价于'+
"% &
"
!
"
)-
-
%=
>)
(
)
>
5+6!则由均值不等
式可得当"(& 时$"% &
"
!
"
)-
-
%=
>)>有最小值
为=
>)>$所以'+=
>)>!又因为对任意实数>$函数
/!""为单调递增函数$等价于'+ !=
>)>"
5+6$设
B!
>"(=
>)>$则B0!
>"(=
>)&$当>&'时$B0!
>"&''
当>$'时$B0!
>"$'$所以B!
>"在!)<$'"上单调递
减$在!'$%<"上单调递增$则B !
>"
5+6(B!'"(&$
所以'+!=
>)>"
5+6(&$故选#!
!#!!答案"'2(
&
-2)&
!命题意图"本题考查等差数列的通项公式$考查数
学运算的核心素养!
!解题分析"因为'2)'2%&
'2'2%& (-$所以&
'2%&) &
'2 (-$所
以
&
'
% &
2
是以&为首项$-为公差的等差数列$所以
&
'2 (-2)&$所以'2(
&
-2)&!
!$!!答案"2% 槡
3 .
.
!命题意图"本题考查几何体的三视图#几何体的体
积公式$考查运算求解#空间想象能力!
!解题分析"由图易得该三视图是由一个正方体与一
个正四棱锥构成的!其中正方体的边长为-$正四棱
锥侧面的斜高为-$所以体高为槡.$故正方体的体积
为2$正四棱锥的体积为槡
3 .
. $所以该几何体的体积
是2% 槡
3 .
. !
!%!!答案"3
!命题意图"本题考查平面向量的坐标运算及性质$
考查运算求解能力#化归与转化思想$考查数学运算
的核心素养!
!解题分析"如图所示$9
:.9* 9
:#$( !9
:.-% 9
:-9"*
9
:#$( 9
:.-* 9
:#$% 9
:-9* 9
:#$(3%'(3!
A
B
D
C
P
!一题多解"如图所示%建立平面直角坐标系!则
.")-%'#%#")-%-#%$"'%-#%设9"'%
>#%其中'+
>+-%则9
:#$( "-%'#%9
:.9( "-%>#%所以9
:.9$ 9
:#$(
3%'$>(3!
A
B
y
D
C
P
x
!&!!答案"充分不必要条件
!命题意图"本题考查充要条件#两角差与和的正#
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
(
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(
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(
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(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
余
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!数学"文科#$答(
! !
弦公式$考查函数思想!
!解题分析"/!!"('$即'8+6!!%#"%48+6!!%$"(
'$所以'8+6#%48+6$('$/!""%/!)""('8+6!"%
#"%48+6!"%$"%'8+6!)"%#"%48+6!)"%$"(
-9:8"!'8+6#%48+6$"('$即/!)""()/!""$/!""
为奇函数$但是当/!-!"(' 时$/!""也是奇函数!
所以条件C,/!!"('是条件D,/!""是奇函数的充
分不必要条件!
!'!!命题意图"本题考查余弦定理#三角恒等变换$考查
运算求解能力$考查数学运算的核心素养!
!名师指导"!%"利用辅助角公式$结合两角和的正
弦公式即可求解'!&"利用正弦定理以及余弦定理
的综合应用进而求解!
!解题分析"!%"由题意得
槡
&) .
!
"
-
8+6;$#-%8+6 ;$#-% !
!
"
/
(槡-
- $
所以
槡
&) .
!
"
-
8+6 ;$#- % 槡.
- 8+6 ;$#- %
&
-9:8;$#-(槡-
- $
!&分"
整理得8+6;$#-%9:8;$#- 槡
( -$
由辅助角公式得8+6 ;$#-% !
!
"
3
(&$
!.分"
所以;$#-( !
3 !
!/分"
!&"在,#$- 中$由正弦定理得
$-
8+6;$#-( #-
8+6$$
所以#- 槡
( -$又因为#$2-.$
所以;#-.( !
3 $在,#-. 中$由余弦定理得
#.
-(-.
-%#-
-)--.*#-9:8;#-.$
所以#.
槡
( -!
!&-分"
!(!!命题意图"本题考查空间直线与平面平行的判定#
等体积法求点到平面的距离$考查空间想象能力#推
理论证能力#运算求解能力$考查逻辑推理#直观想
象#数学运算核心素养!
!名师指导"!%"利用三角形线段成比例证平行$即
可使问题得证'!&"利用等体积法即可求解!
!解题分析"!% "证明,如图$连接#-$交$. 于
点E$连接9E$
E
P
D
C
A
B
G
因为#$2-.$所以,#$E<,-.E$
所以#$
-.( &
- (#E
E-$
!-分"
又因为. 9
:;9( 9
:;-$
所以;9
-9( &
- $所以9E2#;!
!3分"
因为9E3平面$.9$#;4平面$.9$
所以#;2平面$.9!
!/分"
!&"设点# 到平面-$9 的距离为B$
由!%"得+#)-$9 (+9)#$- ( -
.+;)#$-
( -
.
&
.;.*,,
!
"
#$-
( -
.
&
.;.*!,梯形#$-. ),,
!
"
#.-
( -
7 $
!2分"
所以-
7 ( &
.B,,-$9 $,,-$9 ( -
.,,-$; !
!&'分"
连接;$$;$ 槡
( /$$- 槡
( -$-;
槡
(- -$
;$
-%$-
-(-;
-$
所以,-$; 是直角三角形$
,,-$;
槡
( .$,,-$9 ( 槡
- .
. $
所以B(槡.
. !
!&-分"
!)!!命题意图"本题考查椭圆的性质#直线方程#直线与
椭圆的位置关系$考查数形结合思想#分类讨论思
想#化归与转化思想$考查运算求解能力$考查逻辑
推理#直观想象#数学运算等核心素养!
!名师指导"!%"利用焦距等于短轴$结合椭圆定义
得到椭圆的标准方程'!&"设出直线$? 的方程与
椭圆方程联立$结合韦达定理得出结果!
!解题分析"!%"因为点#! 槡
- -$'"$所以'
槡
(- -$
因为椭圆的焦距等于短轴长$即4(8$
所以得到椭圆; 的方程为"
-
2 %%
-
3 (&!
!3分
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
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! !
!&"直线?@ 的斜率是定值!理由如下,
由题意不妨设$!-$槡-"$
设直线$? 方程为%
槡
) -(7!")-"与椭圆方程联
立消去%$
可得!&%-7
-""
-%!槡
3 -7)27
-""%27
-
槡
)2 -7)3('$
设?!"&$%&"$@!"-$%-"$
所以可得"&%-() 槡
3 -7)27
-
&%-7
-
$
可得"&(37
-
槡
)-)3 -7
&%-7
-
$
!1分"
同理可得直线#@ 方程为%()7!"
槡
)- -"与椭圆
方程联立消去%$
可得!&%-7
-""
-
槡
)2 -7
-"%&/7
-)2('$
可得到"-( 槡
3 -7
-
槡
)- -
&%-7
-
$
!/分"
所以"&%"-(!
槡
3%3 -"7
-
槡
槡
)-)- -)3 -7
&%-7
-
$
"&)"-(!
槡
3)3 -"7
-
槡
槡
)-%- -)3 -7
&%-7
-
$
于是得到%&%%- (7!"&)"-"%! 槡
- -)-"7 槡
% -
(
槡
)- -7
-%! 槡
3 -)3"7 槡
% -
-7
-%&
!
!2分"
因为点?$@ 均在椭圆上$
所以"
-
&
2 %%
-
&
3 (&$"
-
-
2 %%
-
-
3 (&$
两式做减法得到%&)%-
"&)"-()3!"&%"-"
2!%&%%-"
所以7?@ (%&)%-
"&)"-()3!"&%"-"
2!%&%%-"
()3(!
槡
3%3 -"7
-
槡
槡
)-)- -)3 -7)
2(
槡
)- -7
-%! 槡
3 -)3"7 槡
% -)
!7分"
() (!-7
-)&"! 槡
- -%-"
槡
)3 -7)
-(槡-7!
槡
3)- -" 槡
) -!-7
-)&")
()(!
-7
-)&"!槡
--%-")7!
槡
3)--"!槡
--%-")
槡
--(
7!
槡
3)--")!
-7
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()! 槡
- -%-"(!-7
-)&")7!
槡
3)- -")
槡
- -(7!
槡
3)- -")!-7
-)&")
( 槡
- -%-
槡
- -
(&%槡-
- !
则直线?@ 的斜率为定值&%槡-
- !
!&-分"
"*!!命题意图"本题考查概率与统计#独立性检验#古典
概型$考查数据处理能力#应用意识#创新意识#运算
求解能力$考查数学建模#数学运算#数据分析的核
心素养!
!名师指导"!%"用高一年级成绩为优秀的人数所占
比例乘参加讲座的总人数即可'!&"根据样本数据
完成- 4 - 列联表' 根据公式
F
- (
2!'()48"
-
!'%4"!
8%("!'%8"!4%("$计算出F
- 的观测值
7$比较7与临界值的大小$作出统计推断'!'"列出
所有可能选取的结果$得到均为男生情况的结果数$
代入概率公式即可得出结果!
!解题分析"!%"由题可知$估计全校通过此次讲座
有所收获的人有&&'
&-'!./'%&2'"(371!人"! !3分"
!&"
优秀
非优秀
合计
女
.'
.'
/'
男
1'
&'
/'
合计
2'
3'
&-'
由表中数据可得
F
-(&-'4!1'4.').'4&'"
-
2'43'4/'4/'
(&1$/!/.1!
据此判断$能在犯错误的概率不超过'!'&的前提下
认为对海军知识感兴趣与性别有关!
!2分"
!'"男生3人$女生-人!设男生分别为#$$$-$.$
女生分别为'$4!故抽取两人可能出现的组合有
%#'$#4$$'$$4$-'$-4$.'$.4$'4$#$$-.$#-$
$.$#.$$-&$共&1个$而均为男生的组合为%#$$
-.$#-$$.$#.$$-&$共/个!
设选取的人均为男生的事件为?$
则9!?"( /
&1( -
1 !
!&-分"
"!!!命题意图"本题考查函数的单调性#函数极值$考查
函数与方程思想#转化与化归思想$考查推理论证能
力#运算求解能力$考查逻辑推理#数学运算#数据分
析的核心素养!
!名师指导"!%"利用导数的几何意义代点求解即
可'!&"选取恰当的函数$构造辅助函数$即6!""(
/!"")1!""$对6!""求导$结合函数单调性即可
得解
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
(
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!解题分析"!%"/0!""(."
-)*
"
-
$
设切点坐标为9!"'$%'"!
,/0!"'"(."
-
')*
"
-
'
(&$
!&分"
,*(-"
-
'$
*9!"'$%'"在%("%&直线上$
,9!"'$"'%&"$
*9!"'$"'%&"在/!""(."
-%*
"
上$
!.分"
,."
-
'%*
"'
("'%&$
,*()-"
-
'%"'$
又**(-"
-
'$
,*( &
2 !
!1分"
!&"由题可知
6!""(/!"")1!""(."
-%*
"
%=
")."( *
" %=
"$
,60!""()*
"
- %=
"("
-=
")*
"
-
$
!0分"
*6!""在!)<$'"上单调递减$
,60!""("
-=
")*
"
-
+'$
,*/"
-=
"$
!7分"
令B!""("
-=
"$
B0!""(!"
-=
""
0(-"=
"%"
-=
"(=
"!"
-%-""$
令B0!""('$则"()-或"('$
,B!""在!)<$)-"上单调递增$在!)-$'"上单调
递减$
B!""+B!)-"(3=
)-$
,*/3=
)-$
即* 的取值范围为(3=
)-$%<"!!
!&-分"
""!!命题意图"本题考查直角坐标方程#极坐标方程的
互化三角形的面积公式$考查化归与转化思想$运算
求解能力$考查数学运算的核心素养!
!名师指导"!%"由"
-("
-%%
-$"("9:8!$%("8+6!
即可求得曲线- 的极坐标方程'!&"利用极坐标的
几何意义结合三角形面积公式#三角函数求出结果!
!解题分析"!%"曲线- 的普通方程为
!" 槡
) ."
-%!%)&"
-(3$
!-分"
,"
-%%
-
槡
)- .")-%('$
,- 的极坐标方程为"
槡
(- .9:8!%-8+6!!
!3分"
!&"设9!"&$
!&"$< "-$
!&% !
!
"
/
$
,"&
槡
(- .9:8!&%-8+6!&$
"-
槡
(- .9:8!&% !
!
"
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%-8+6 !&% !
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"
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!/分"
,,9:< ( &
-%:9%*%:<%8+6 !
/ ( &
3"&"-
( &
3
槡
- .9:8!&%-8+6!
!
"!
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槡
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槡
( .!9:8-!&%&"%8+6-!&
槡
( .9:8-!&%8+6-!&
槡
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槡
% .$
!7分"
,!,,9:< "
5@A
槡
(-% .!
!&'分"
"#!!命题意图"本题考查绝对值不等式的解法#不等式
的证明$考查分类讨论思想#化归与转化思想#推理
论证能力#运算求解能力$考查逻辑推理#数学运算
等核心素养!
!名师指导"!%"当'(-时$进行讨论$得到分段函
数$再结合绝对值不等式的意义求出/!""+3的解
集'!&"利用分类讨论思想证明不等式恒成立问题!
!解题分析"!%"当'(-时$
/!""(%-"%-%)%")-%(
)")3$"+)&$
."$
)&&"&-$
"%3$ "/-
6
7
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!-分"
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"+
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-
或
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,)2+"+ 3
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,/!""+3的解集为" )2+"+
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3
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!&"证明,当'/)&时$
/!""(%-"%-%)%")'%
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!数学"文科#$答!!
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"
#
!
#
#
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#
!
$
$
!
!!!答案"#
!命题意图"本题考查集合的基本运算#对数函数的定
义域#绝对值不等式的解法$考查运算求解能力#数形
结合思想$考查数学运算#直观想象的核心素养!
!解题分析"*#( %"%"$&&$$( %"%'&"&-&$
,#'$(%"%&&"&-&$故选#!
"!!答案""
!命题意图"本题考查复数的基本运算#共轭复数的概
念$考查运算求解能力$考查数学运算的核心素养!
!解题分析"*!'%4+"+
.()'+)4+
-(4)'+(.%-+$
,4(.$'()-$则&()-%.+$,>
&()-).+$,复数
>
& 在复平面内对应的点!)-$)."在第三象限$故
选"!
#!!答案"#
!命题意图"本题考查平面向量的数量积#向量的模$
考查运算求解能力$考查数学运算的核心素养!
!解题分析"由题可知%! )"%(
!!)""
槡
- (
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-)-!*"%"
槡
- (
!
-)-%!%%"%9:8-!
. %"
槡
-
槡
( .$
故选#!
$!!答案"!
!命题意图"本题考查线性规划问题#斜率的几何意
义$考查运算求解能力#数据处理能力#数形结合思
想$考查数学运算#直观想象的核心素养!
!解题分析"由题知不等式组表示的可行域如图中阴
影部分!含边界"所示!*&(%
" (%)'
")'$,&表示可行
域内的点与原点连线的斜率!由
")%%&('$
-"%%
%
)-('
知
#
&
. $
!
"
3
.
$,&5@A(7:# (3$故选!!
C
y
A
O
x
B
x=3
x y+1=0
2x+y
=0
%!!答案"#
!命题意图"本题考查数学文化#等比数列的前2 项
和#程序框图$考查运算求解能力#数据处理能力$考
查数学运算#数据分析的核心素养!
!解题分析"运行程序可知$G(&$,(-
' %-
''G(-$
,(-
'%-
'%-
&%-
)&'
G(.$,(-
'%-
'%-
&%-
)&%
-
-%-
)-'
G(3$,(-
'%-
'%-
&%-
)&%-
-%-
)-%-
.%
-
).'
G(1$,(-
' %-
' %-
& %-
)& %-
- %-
)- %-
. %
-
).%-
3%-
)3'G(/$,(-
' %-
' %-
& %-
)& %-
- %
-
)-%-
.%-
).%-
3%-
)3%-
1%-
)1!因为满足G//$
所以输出,(-
'%-
'%-
&%-
)&%-
-%-
)-%-
.%-
).%
-
3%-
)3%-
1%-
)1 ( !-
' %-
& %-
- %-
. %-
3 %-
1"%
!-
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)&%-
)-%-
).%-
)3%-
)1"(&)-
/
&)-%&)-
)/
&) &
-
(
-
/)&%- &) &
-
!
"
/
(/3%.&
.-(/3.&
.-$故选#!
&!!答案"#
!命题意图"本题考查空间几何体的三视图#表面积公
式$考查运算求解能力#空间想象能力$考查数形结合
的思想$考查数学运算#数据分析#直观想象的核心
素养!
!解题分析"由三视图可判断该几何体为&
3 个圆锥$
其底面半径为A(.$母线长为1$,,侧( &
3 4 &
- 4
-4.!41(&1!
3 $,,表(&1!
3 % &
3 47!% &
- 4.434
-(/!%&-$故选#
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
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【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!数学"文科#$答!"
! !
'!!答案""
!命题意图"本题考查分段函数#利用单调性解含参不
等式的问题$考查运算求解能力$考查数学运算#直观
想象的核心素养!
!解题分析"当"('时$两个表达式对应的函数值都
为'$所以函数的图象是一条连续的曲线!当"/'
时$/!""("
- %-" 为单调递增函数$当"&' 时$
/!""()"
-%-" 也为单调递增函数$所以函数/!""
为+ 上的增函数$所以不等式/!'
-)'"&/!'%."等
价于'
-)'&'%.$解得)&&'&.$故选"!
(!!答案"#
!命题意图"本题考查三角函数的平移变换#三角函数
的性质$考查运算求解能力$考查数学运算#直观想象
的核心素养!
!解题分析"由题知$将%(8+6" 图象上所有点的横坐
标伸长为原来的-倍!纵坐标不变"得到%(8+6 &
-"$
再将图象向左平移!
. 个单位长度得到%
!
(8+6 &
-"%
!"
/
$由&
-"% !
/ (7!!7. ,"$知"(-7!) !
.
!7.,"$所以函数的一个对称中心为
) !
. $
!
"
' $故
选#!
)!!答案"!
!命题意图"本题考查双曲线的性质#点到直线的距离
公式$考查运算求解能力#推理论证能力#数形结合的
思想$考查数学运算#数据分析#直观想象的核心素养!
!解题分析"由题可知渐近线方程为4"B'%('$右顶
点为#!'$'"$则# 点到渐近线的距离((
%'4%
'
-%4
槡
- (
槡.
- !又*离心率3(8
' (-$
8
-('
-%4
-$,'
-(&$
4
-(.$
,双曲线的标准方程为"
-)%
-
. (&$故选!!
!*!!答案"$
!命题意图"本题考查数学文化#几何概型$考查运算
求解能力#数据处理能力#数形结合思想$考查数学
运算#数据分析#直观想象的核心素养!
!解题分析"令>(=
4)&!
>$'"$则'(>% &
> /-$当且
仅当>( &
> $即>(&时等号成立$,当4(&时$' 有
最小值是-$所以.;(-$#;(&$,,四边形#$-. (1$
,四边形;6EH (&$,所求概率9( &
1 $故选$!
!!!!答案"$
!命题意图"本题考查裂项相消法求和#不等式恒成
立问题$考查运算求解能力#化归与转化思想$考查
数学运算#逻辑推理#数据分析的核心素养!
!解题分析"*'2(
&
2!2%&"( &
2 ) &
2%&$,,2(&)
&
- % &
- ) &
. % + % &
2 ) &
2%&( 2
2%&$,!,2"
5+6(
&
- $,-
* &-
)&$,*& )&!**.,$,* 的最大值
为)-$故选$!
!"!!答案"!
!命题意图"本题考查函数极值点与参数取值范围问
题$考查运算求解能力#数据处理能力#数形结合思
想$考查数学运算#数据分析#直观想象#数学抽象的
核心素养!
!解题分析"函数/!""的定义域为!'$%<"$若'(
'$则/!""( )-"%/>6"$/0!""( )-% /
" $由
/0!""('知"(.$则在!&$-"上无极值点$不符合题
意$可排除#$"选项'若'0'$则/0!""('")!.'%
-"% /
" ('"
-)!.'%-""%/
"
( !")."!'")-"
"
!令
/0!""('$得"(.或"( -
' $,&& -
' &-$,&&'&
-$故选!!
!#!!答案"!&$)&"或!)&$&"
!命题意图"本题考查导数的几何意义$考查数学运
算#数据分析的核心素养!
!解题分析"设切点坐标为!"'$%'"$*/0!""(."
-)
-$,切线斜率7(/0!"'"(."
-
')-(&$,"'(B&$
,切点坐标为!&$)&"或!)&$&"!
!$!!答案".!2
-)2"
-
!命题意图"本题考查等差数列的前2 项和#数列的
通项$考查数学运算#数据分析的核心素养!
!解题分析"由数列%'2&的前2 项和,2(-
2)&知$
当2(&时$'&(&$当2/-时$'2(,2),2)&(-
2)&$
经检验当2(& 时也符合$,'2 (-
2)&$,42 (
.>:?-'2(.>:?--
2)&(.!2)&"$, 数列%42&是首项
为'$公差为.的等差数列$,I2(.!2
-)2"
-
(
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!数学"文科#$答!#
! !
!%!!答案"2!
!命题意图"本题考查多面体外接球表面积与体积有
关的计算#基本不等式$考查运算求解能力#空间想
象能力#数形结合思想$考查数学运算#数据分析#直
观想象#数学抽象的核心素养!
!解题分析"将多面体还原成长方体$则多面体的体
积是长方体体积的-
. 倍$所以长方体的体积为3!设
#$("$#.(%$多面体外接球的半径为A$则-"%(
3*"%(-$-A(
"
-%%
-
槡
%3/
-"%
槡
槡
%3(- -$
,A5+6
槡
( -$,,球/2!!
F
E
A
B
C
D
!&!!答案"%(B 槡.1
&' "
!命题意图"本题考查直线与圆和椭圆的位置关系#
平面向量的基本运算$考查运算求解能力#数据处理
能力$考查数学运算#数据分析#数学抽象的核心
素养!
!解题分析"当7存在时$* 9
:?#( 9
:#$( 9
:$@$, 9
::$(
&
-
9
:$@$则"
-
$
"
-
@ ( &
7 ! "!设直线=的方程为%(7"$
由%(7"$
"
-%%
-
%
(&
得"
-
$ (
&
7
-%&$由%(7"$
"
-%3%
-
%
(&/
得
"
-
@ (
&/
&%37
-$代入"$求得7( B 槡.1
&' '当7 不存在
时$可知9
:?#( &
-
9
:#$( 9
:$@$不满足题意$,直线=的
方程为%(B 槡.1
&' "!
!'!!命题意图"本题考查解三角形#正余弦定理#三角形
面积公式#三角恒等变换$考查运算求解能力#化归
与转化思想$考查数学运算#逻辑推理#数据分析的
核心素养!
!名师指导"!%"应用正弦定理边角互化即可求出结
果'!&"先用正弦定理边角互化$结合三角形的面积
公式可得,,$-. ( 槡&.
&- 8+6!-;.$-%.';")槡.
-3$求
得,$-. 面积的最大值$与,#$- 的面积的和即为
四边形#$.- 面积的最大值!
!解题分析"!%"*,#$- 的外接圆直径为&$
,由正弦定理知$'(8+6#$
4(8+6$$
8(8+6-!
*,( &
3 !8+6
-$%8+6
--)8+6
-#"$
, &
-488+6#( &
3 !4
-%8
-)'
-"$
又*9:8#(4
-%8
-)'
-
-48
$
, &
38+6#( &
39:8#$,C@6#(&!
*';&;#&&2';$
,;#(31;!
!/分"
!&"由!%"知
8+6#(槡-
- $$-(槡-
- $
在,$-. 中$由正弦定理知$
$.(槡/
.8+6;.-$$
-.(槡/
.8+6;.$-$
,,,$-. ( &
-$.*-.*8+6&-';
(槡.
/8+6;.$-*8+6;.-$
(槡.
/8+6;.$-*8+6!/';);.$-"
(槡.
&-8+6!-;.$-%.';")槡.
-3!
*';&;.$-&/';$,.';&-;.$-%.';&&1';$
,!,,$-. "
5@A(槡.
-3!
又*,,#$- ( &
- 4槡-
- 4&4槡-
- ( &
3 $
,四边形#$.- 面积的最大值为
槡
/% .
-3 !
!&-分"
!(!!命题意图"本题考查线面平行的判定#多面体的体
积公式$考查数学运算#数据分析#直观想象#逻辑推
理#数学抽象的核心素养!
!名师指导"!%"在.- 上取一点F$使得.F (
-F-$连接?F$$F$根据折叠前与折叠后的边长关
系求得四边形#$F? 为平行四边形$得到线线平
行$再证明线面平行'!&"利用体积相等换底面求体
积$即+$)#-. (+.)#$- $即可求解!
!解题分析"!% "证明,在.- 上取一点F 使得
.F(-F-
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
$
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!数学"文科#$答!$
! !
并连接?F$$F!
由题可知;-(.$.?(-?;$且.F(-F-$
所以?F2;- 且?F( -
.;-(-!
又因为四边形#$-. 为等腰梯形$
所以#$2;- 且#$(-$
所以?F2#$ 且?F(#$$
所以四边形#$F? 为平行四边形$
所以#?2$F!
又因为#?4平面.$-$$F3平面.$-$
所以#?2平面.$-!
!/分"
!&"因为平面#;.5平面#$-;$且平面#;.'平
面#$-;(#;$
又有.;5#;$
所以,.;5平面#$-;$
所以+$)#-. (+.)#$- ( &
. 4 &
- 4#$*#;*.;(
-
. !
!&-分"
!)!!命题意图"本题考查相关系数#线性回归方程的知
识$考查数据处理能力$考查数学运算#数据分析#逻
辑推理#数学建模的核心素养!
!名师指导"!%"求出"$%代入公式$求得A$则% 与"
具有相关关系$可以用线性回归模型拟合'!&"根据
公式求得回归直线方程$当"(2$
J
% 即为所求!
!解题分析"!%"由题知$?
"(1$>
%(7'$
@
1
G(&!"G)?
""!%G)>
%"(&1$
@
1
G(&!"G)?
""
-(&'$
@
1
G(&!%G)>
%"
-(-3$
则A(
@
1
G(&!"G)?
""!%G)>
%"
@
1
G(&!"G)?
""
-@
1
G(&!%G)>
%"
槡
-
( 槡&1
3
1&!0.-4-!-./
3
1'!7/2$
说明% 与" 具有相关关系$且% 与" 的线性相关程
度相当高$从而可以用线性回归模型拟合% 与" 的
关系!
!/分"
!&"
J
4(
@
1
G(&!"G)?
""!%G)>
%"
@
1
G(&!"G)?
""
-
(&1
&'(&!1$
J
'(>
%)J
4?
"(7')&!141(2-!1$
,回归直线方程为J
%(&!1"%2-!1!
当"(2时$
J
%(&!142%2-!1(73!1!
!&-分"
"*!!命题意图"本题考查椭圆的方程#直线与椭圆的位
置关系$考查运算求解能力#数形结合思想$考查数
学运算#数据分析#直观想象#逻辑推理#数学抽象的
核心素养!
!名师指导"!%"由已知可得到'
-%4
-(1$8(槡1
-'$
结合'
-(4
-%8
-$即可求得标准方程'!&"联立直线
与椭圆的方程组$再结合点到直线距离$可求得?@
的长$当?@ 取最大值$即,:?@ 的面积最大!
!解题分析"!%"由%9
::#% 9
::$% 槡
( 1可知'
-%4
-(1$
由点!'$
8"在直线%(槡.
-" 上$可知8(槡.
-'$
结合'
-(4
-%8
-$解得'
-(3$
4
-(&$
所以椭圆的方程为"
-
3 %%
-(&!
!1分"
!&"设?!"&$%&"$@!"-$%-"$
则联立方程%(7"%*$
"
-%3%
-
%
(3
得
!&%37
-""
-%27*"%3*
-)3('$
"&%"-( )27*
&%37
-$"&"-(3*
-)3
&%37
- !
又%?@%(
!&%7
-
槡
"%"&)"-%$
所以%?@%
-(&/!&%7
-"!37
-)*
-%&"
!&%37
-"
-
!!"
由: 到直线=的距离为
((
%*%
&%7
槡
- ( 槡
- 1
1 得*
-( 3
1 !&%7
-"$
代入"式得
%?@%
- (&/!&/7
3%&07
-%&"
1!&/7
3%27
-%&"
(&/
1
&%
7
&/7
-% &
7
-
7
8
A
B
%2 $
&/7
-% &
7
- /2$当且仅当7
-( &
3 时取等号$
所以%?@%的最大值为槡1$
即,,:?@ 的最大值为&!
!&-分"
"!!!命题意图"本题考查函数的单调性#零点#导数在研
究函数中的应用$考查运算求解能力#数形结合思
想$考查数学运算#数据分析#直观想象#数学抽象#
逻辑推理#数学建模的核心素养
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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!数学"文科#$答!%
! !
!名师指导"!%"分'/-与'&-讨论/!""的单调
性$同时应注意自变量取值范围'!&"分'$'$'/
&$'&'&&三种情况进行$分类讨论即可求解!
!解题分析"!%"/0!
""(
&
" )
!
"
' !
"%&")!
>6")'""*&
!
"%&"
-
(
"%&
" )>6")'
!"%&"
-
!
令*!""("%&
" )>6")'$
**0!""()!"%&"
"
-
&'$
,*!""为减函数$
,* !""
5@A(*!&"(-)'!
"当-)'+'$即'/-时$
*!""+'$/0!""+'$/!""为单调递减函数'
#当-)'$'时$即'&-时$
-"'.!&$%<"使得*!"'"('$
,当".!&$"'"时$*!""$'$/0!""$'$/!""为单
调递增函数'
当".!"'$%<"时$*!""&'$/0!""&'$/!""为单
调递减函数!
!1分"
!&"令/!""('得>6")'"('!
令B!""(>6")'"!"/&"$
,B0!""( &
" )'(&)'"
"
!"/&"!
"当'+'时$B0!""$'$B!""为单调递增函数$不符
合题意'
#当'$'时$由B0!""('得"( &
' !
当&
' +&$即'/& 时$B0!""&'$B!""为单调递减
函数$
不符合题意'
当&
' $&$即'&'&&时$
". &$&
!
"
'
$B0!""$'$B!""为单调递增函数'
".
&
' $%<
!
"$B0!""&'$B!""为单调递减函数!
又B!&"()'&'$B -
! "
'
&'$
,要存在两个零点只需要B!""
5@A(B &
! "
'
(>6 &
' )
&$'即可$
,>6&
' $&(>6=$
,'&'& &
=!
综上可知$'. '$&
!
"
=
!
!&-分"
""!!命题意图"本题考查极坐标方程与直角坐标方程的
互化#参数方程与普通方程的转化#利用参数方程求
最值问题$考查运算求解能力#化归与转化思想$考
查数学运算#直观想象#数学抽象#逻辑推理#数学建
模的核心素养!
!名师指导"!%"直接根据极坐标方程与直角坐标方
程的互化公式求解$利用消参法求得普通方程'
!&"先求出参数方程$通过观察可以发现
点?!&$-"$@!)&$)-"在直线%(-" 上$所以可以
转化为,四边形@9?< (,,@9? %,,@<? (-,,@9? $进而
求出,@9? 的面积即可求解!
!解题分析"!%"由题可知$曲线-& 的直角坐标方程
为"
-
3 %%
-
. (&$
!-分"
曲线-- 的普通方程为%(-"!
!3分"
!&"由题可知曲线-& 的参数方程为
"(-9:8!$
% 槡
( .8+6
6
7
8
!
!
!为参数"$
因为点?!&$-"$@!)&$)-"$
所以可知点? !&$-"$@ !)&$)-"在直线
%(-" 上$
又因为弦9< 被曲线-- 平分$
所以,四边形@9?< (,,@9? %,,@<? (-,,@9? ! !/分"
又因为%@?%
槡
(- 1$点9 在曲线-& 上$
所以点9!-9:8!$槡.8+6!"$
所以点9
到直线% ( -" 的距离B (
%39:8! 槡
) .8+6!%
槡1
$
!2分"
所以,四边形@9?< (-,,@9? (-4 &
- 4%@?%4B(-4
&
-
槡
4- 14%39:8! 槡
) .8+6!%
槡1
槡
(-
&7%9:8!
!%&"%$
其中9:8&( 3
槡&7
$8+6&( 槡.
&
槡7
$
所以四边形@9?< 面积的最大值为
槡
-
&7!
!&'分
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
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(
(
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(
"
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!数学"文科#$答!&
! !
"#!!命题意图"本题考查含绝对值不等式的解法#存在
性问题的参数范围问题$考查运算求解能力#数形结
合思想$考查数学运算#数学抽象#逻辑推理#数学建
模的核心素养!
!名师指导"!% "分类讨论解不等式问题即可'
!&"将问题转化为/ !""
5@A$>:?.!'
-)3'%-"%-$
就是求/!""的最大值问题$进而解对数不等式$同
时要注意'
-)3'%-$'的隐含条件即可求解!
!解题分析"!%"因为/!""(-%")&%).%"%&%
!".+"$且/!""$&$
所以当"/&时$-!")&").!"%&"$&$
解得"&)/$不符合$舍去'
当)&&"&&时$-!&)"").!"%&"$&$
解得"&) -
1 $即)&&"&) -
1 '
当"+)&时$-!&)""%.!"%&"$&$
解得"$)3$即)3&"+)&!
综上可知$不等式/!""$&的解集为
" )3&"&)
%
&
-
1
!
!3分"
!&"-".+$使关于" 的不等式/!"")>:?.!'
-)
3'%-"$-成立$
等价于/ !""
5@A$>:?.!'
-)3'%-"%-成立!!1分"
因为/!""(-%")&%).%"%&%
(
"%1$!!"+)&$
)1")&$)&&"&&$
)")1$ "/&
6
7
8
$
!/分"
所以/ !""
5@A(3$即3$>:?.!'
-)3'%-"%-$
所以-$>:?.!'
-)3'%-"$
所以>:?.7$>:?.!'
-)3'%-"$
所以7$'
-)3'%-$,'
-)3')0&'$
解得'.!
槡
-)
&&$
槡
-%
&&"!
!2分"
又因为'
-)3'%-$'$
解得'.!)<$
槡
-) -")!
槡
-% -$%<"!
综上可知$' 的取值范围为!
槡
-)
&&$
槡
-) -")
!
槡
-% -$
槡
-%
&&"!
!&'分
(
(
(
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【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!数学"文科#$答!
! !
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"""""
""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
"""""
#
#
#
#
高考命题规律与题!能力提升卷
答案详解
!"#$%!&"
!
"
#
$
%
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'
(
) !* !! !"
!
!
"
#
$
#
$
"
#
!
$
"
!%!答案"!
!命题意图"本题考查一次函数与反比例函数图象上
的点集与集合的运算#考查运算求解能力#考查数学
运算的核心素养%
!解题分析"由
&"'#$#
&" %
$
%
&
'
得'"&%#
&$"&$
或'"$#
&"%
$
#
则
"'#"$!&%#&$"#!$#%"%#故选!%
"%!答案"!
!命题意图"本题考查复数的代数运算#考查运算求解
能力#考查数学运算的核心素养%
!解题分析"由(!$#'
("")#'#即(")#'
$#'
( ")#'
$&'"
!$#'"!)#'"
!$&'"!$#'""!)&$"#!)#$"
'
%
#由( 的实部与虚部
互为相反数可知)&$#)#$")#)")#(" & $
% #
$
%'#故选!%
#%!答案"*
!命题意图"本题考查导数的几何意义#考查运算求解
能力#考查数学运算的核心素养%
!解题分析"把'"$代入切线方程&"+'&$得&"
(#即*!$"")#+#$"(#故)#+"%#故选*%
$%!答案",
!命题意图"本题考查双曲线的性质和点到直线的距
离公式#考查运算求解能力#考查数学运算的核心
素养%
!解题分析"由'
%
+ &&
%
( "&$得&
%
( &'
%
+ "$#即)
%"(#
+
%"+#则,
%")
%#+
%"-#即其中一个焦点为!)#槡-"#
一条渐近线为槡('#%&")#则焦点到渐近线的距离
为-" 槡
% -
槡-
"%#故选,%
%%!答案".
!命题意图"本题考查折线统计图&统计知识的理解与
实际应用#考查统计与概率思想&运算求解能力#考查
数学运算的核心素养%
!解题分析"由折线统计图可知综合/01产出指数最
大的是2+%$3#最小的是2%%+3#故极差为$%-3#故
* 正确'其中综合/01产出指数2+%$3出现次数最
多!(次"#故,正确'综合/01产出指数从小到大排
在第4位的是2(%43#第-位的是2(%53#于是中位
数为2(%43#2(%53
%
"2(%-3#故! 正确'由图可知
%月&(月&+月是先降后升#故不能认为%)$5年度我国
企业生产经营活动总体扩张加快#故.错误#故选.%
&%!答案",
!命题意图"本题考查正弦定理&三角恒等变换&三角
形面积公式与向量的投影#考查运算求解能力#考查
数学运算的核心素养%
!解题分析"由)678##+678"
槡
" %,678! 结合正弦定
理得8'9"678# #8'9#678"
槡
" %8'9!678!#8'9!" #
#" 槡
" %8'9!678!#由"###!"!得678!"槡%
% #因为
!(!)#!"#所以!" !
+ %由.)"#!
槡
"% %#得$
%*+
,!#*(
*+
,!"*8'9!
槡
"% %#由*+
,!#*"%得*+
,!"*678 !
+
槡
"% %#
故选,%
'%!答案".
!命题意图"本题考查程序框图与对数函数的求值#考
查逻辑运算核心素养%
!解题分析"当' 满足*'*-$就计算函数值#不满足
条件就执行'"'&%#每次在自变量上减%#当输入'
的值为%)$:%2时#经过多次循环得'" & $
% #满足
*'*-$#代入函数解析式中计算得*
&
!
"
$
%
"
;7<% &$
%
";7<%%
&$"&$#故选.%
(%!答案"*
!命题意图"本题考查同角三角函数的基本关系&二倍
角的余弦公式&三角函数诱导公式#
.
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考查运算求解能
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!数学"文科#$答"
! !
力#考查数学运算的核心素养%
!解题分析"由!( )#!
!
"
%
#=>9 !
2 #
!
"
! " (
+ #可得
678
!
2 #
!
"
!
" +
2 #8'9
(!
$)&
!
"
!
)
" 678
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% &
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$)&
!
"*
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%2#所以8'9 (!
$)&
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"
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!
678 (
2!&
% "
! " +
2 ?
& -
!
"
%2 "&%5
$%2#故选*%
)%!答案",
!命题意图"本题考查函数的奇偶性与最值#考查运算
求解能力#考查数学运算的核心素养%
!解题分析"由*!'""%'
%#'#8'9'
'
%
" $
' #8'9'
'
% #%#
设/!'"" $
' #8'9'
'
% #则/!'"为奇函数#于是/!'"
@'9#
/!'"
@>A")#则0#1"*!'"
@'9#*!'"
@>A"/!'"
@'9#
%#/!'"
@>A#%"+#故选,%
!*%!答案"!
!命题意图"本题考查空间几何体的三视图&棱锥外
接球的表面积的计算#考查运算求解能力#考查数学
建模和数学运算核心素养%
!解题分析"由题中的三视图可得该几何体是底面是
长为(#宽为%的长方形#高为(的四棱锥!如图"#可
以补形为长为(#宽为%#高为(的长方体的外接球#
于是半径2"
(
%#(
%#%
槡
%
%
" 槡%%
% #则该几何体的
外接球的表面积为+!2
%"%%!#故选!%
!!%!答案".
!命题意图"本题考查不等式&函数与导数知识的综
合应用#考查化归与转化思想#考查运算求解能力#
考查数学运算核心素养%
!解题分析"由'(!)##B"#*!'"&*3!'"/)构造
/!'""*!'"
C
'
#于是/3!'""*3!'"&*!'"
C
'
0)#则
/!'""*!'"
C
'
在'(!)##B"上单调递增#由*!'"
C
'
1
(
C
( "*!("
C
( 得'1(#故选.%
!"%!答案"*
!命题意图"本题考查数学文化有关的新定义与类比
推理&数列的求和#考查推理论证能力&运算求解能
力#考查数学运算核心素养%
!解题分析"由4$ "*$*#4% "
$ %
+ (
#4( "
$ % (
5 : +
- 4 2
#4+ "
$
%
(
+
$% $( $+ 2
$$ $4 $2 4
$)
:
5
-
#++#结合
4$!$#$""%#4%!+#$)""$+#4(!:#+2""2+++ 发
现45!5
%#*!5""中的5
% 表示行列式中数的个数#
*!5"表示行列式中所有数的和#即*!5""$#%#
(#+#5
%"5
%!5
%#$"
%
#再结合4$!$#$""%#4%!+#
$)""$+#4(!:#+2""2+++于是推测45!5
%#*!5"""
5
%#*!
5"#即45 !5
%#*!5"""5
% #5
%!5
%#$"
%
"
5
+#(5
%
%
#故选*%
!#%!答案"槡2
!命题意图"本题考查平面向量的模和数量积#考查
运算求解能力#考查数学运算核心素养%
!解题分析"由!2"得!("")#即%&'")#'"%#
于是*!*"
$%#%
槡
%
槡
" 2%
!$%!答案"& 5
(
!命题意图"本题考查简单的线性规划知识&可行域
的作法&最小解的运算#考查运算求解能力#考查数
学运算核心素养%
!解题分析"如图画出可行域#("'&%& 即&" '
% &
(
% #结合图象#在点#
+
( #
!
"
% 处取得最小值为(@'9"
+
( &+"& 5
( %
y
x
O
1
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
2
2
3
4
5
6
A
C(4,2)
y=2
y=x 2
x+y 6=0
y
B 4
3 ,2
x
2
.
.
.
.
.
.
.
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.
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【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!数学"文科#$答#
! !
!%%!答案"&$
!命题意图"本题考查三角函数的图象与性质#考查
化归与转化思想&运算求解能力#考查数学运算核心
素养%
!解题分析"由图象得""%#4
+ "%!
: & !
$5" !
4 #D4"
%!
( #""%!
4 "(#则(? !
$5 ##" !
% #D#" !
( #
D*!'""%8'9 ('# !
!
"
(
#故*
!
! "
%
!
"%8'9 (
%!#
!"
(
"&%678!
( "&$%
x
y
2
O
2
!&%!答案" 槡
+ (
!命题意图"本题考查圆与圆的位置关系&点的轨迹
与椭圆中三角形的最值问题#考查化归与转化思想&
运算求解能力#考查数学运算&数学建模的核心
素养%
!解题分析"圆6 与圆7$#7% 的位置关系如图#设动
圆6 的半径为8#则*67%*"%#8#*67$*"4&8#于
是*67$*#*67%*"50*7$7%*"+#D点6 的轨迹
0 为以7$ 和7% 为焦点的椭圆#则%)"5#)"+#
%,"+#
,"%#+
%")
% &,
% "$%#D 轨迹0 的方程为
'
%
$4#&
%
$%"$#.)7"# " $
%7"(*&#*"%*&#*%当点#
运动到椭圆的短轴端点时#*&#*@>A
槡
"% (#.)7"# 的
最大值为
槡
+ (%
P
y
O
A
x
O
O
2
2
4
6
2
2
4
6
5
!'%!命题意图"本题考查等差数列的性质与求和#考查
运算求解能力#考查数学运算核心素养%
!名师指导"!""利用.5#$#.5&$"%.5 &%!51%#
5(+3 "可得$)5%的通项公式'!#"利用等差数列求
和公式可得.5"%%5&5
%#于是5.5"%%5
%&5
(#然
后利用构造函数或解不等式即可得出最大项%
!解题分析"!""由已知#.5#$#.5&$"%.5&%!51
%#5(+3 "#
得.5#$&.5".5&.5&$&%!51%#5(+3 "#
则)5#$&)5"&%!51%#5(+3 "#
且)%&)$"&%#
!(分"
D数列$)5%是以%$为首项#&%为公差的等差数列#
D)5"%$&%!5&$""%(&%5!5(+3 "%
!2分"
!# "解法一,由!" "得.5 "%$5#5!5&$"
%
?
!&%""%%5&5
%#于是5.5"%%5
%&5
(%
设*!5""%%5
%&5
(!51$#5(+3 "#
于是*3!5""++5&(5
%#
令*3!5"")#得5"++
( #
D*!5"在)#++
!
"
(
上单调递增#
在++
( ##B
!
"上单调递减%
由5(+3 #而*!$+""$245#*!$2""$2-2#
D数列$5.5%!5(+3 "的最大项为$2-2%
!$%分"
解法二,由!""得.5 "%$5#5!5&$"
%
? !&%""
%%5&5
%#于是5.5"%%5
%&5
(%
设$5.5%!5(+3 "的最大项为%%5
%&5
(#
则有
%%5
%&5
(1%%!5&$"
%&!5&$"
(#
%%5
%&5
(1%%!5#$"
%&!5#$"
(#
5(+3
$
%
&
#
解得5"$2#即数列$5.5%!5(+3 "的最大项为%%?
$2
%&$2
("$2-2%
!$%分"
!(%!命题意图"本题考查立体几何中的折叠问题&线面
平行与三棱锥体积的计算#考查推理论证与运算求
解能力#考查直观想象和数学运算核心素养%
!名师指导"!""利用中位线的平行关系可以得证'
!#"利用平面"#$!2 平面"!$#结合平行关系找
到对应高92" $
%#$:"槡(
% #从而求出三棱锥的
体积%
!解题分析"!""证明,E $
%"#""9#
D"9"9##
D9 为"# 的中点#在折叠后9 为"#$ 的中点%
E; 为"$ 的中点#
D9;4#$$%
E9;5平面#$!$##$$6平面#$!$
.
.
.
.
.
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.
#
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!数学"文科#$答$
! !
D9;4平面#$!$%
!4分"
!#"取"! 的中点:#连接#$:%
E $
%"#"!$""9"$#"$
槡
" (#
D"#""!"#!"%#
D"#$""!"#$!"%#
D#$:2"!%
E平面"#$!2平面"!$#
D#$:2平面"!$%
过9 作924#$:#
E
D
R
C
F
A
B
G
E9 为"#$ 的中点#
D922平面"!$#且92" $
%#$:"槡(
% #
则三棱锥9&"!$ 的体积为<9&"!$ " $
(.)"!$ (
92" $
( ? $
%
槡
?$? (?槡(
% " $
+ %
!$%分"
!)%!命题意图"本题考查%?%列联表&样本估算总体&
分层抽样&古典概型及样本相关性分析#考查统计&
数据分析与推理论证能力&运算求解能力%
!名师指导"!""根据查%?%列联表分析数据#用样
本去估算总体'!#"根据已知条件利用分层抽样思
想求出每层数据#再利用概率公式计算'!$"根据题
目给定的数据完成%?%列联表数据#再利用相关系
数求解分析%
!解题分析"!""设该市区愿意选择使用共享单车的
人数为' 万人#
则有%))
%)))" '
$%)#解得'"$%#
则需要投放-共享单车.为
$%万?)%23")%)4万%
!+分"
!#"由题意对此种交通方式-选择.的用户按照分层
抽样#则在$2岁以下!含$2岁"&$4岁/2)岁&2$岁
以上!不含2)岁"的人数分别为$人&%人&$人#设
为)#
+$#
+%#
,#则从+人中推荐%人的所有基本事件
有!)#
+$"#!)#
+%"#!)#
,"#!+$#+%"#!+$#,"#!+%#,"#共
4个%设-至少有$ 人年龄在$4 岁/2) 岁.为事件
0#则事件0 包含的基本事件!)#+$"#!)#+%"#!+$#
+%"#!+$#
,"!+%#,"#共2个%由古典概型概率计算公
式可得6!0"" 2
4 #故至少有$ 人年龄在$4 岁/
2)岁的概率为2
4 %
!5分"
!$"由题意可得%?%列联表如下,
年龄段
$2岁以下!含
$2岁"或2$岁
以上!不含2)岁"
$4岁&2)岁
合计
选择
$))
$))
%))
不选择
$$))
-))
$5))
合计
$%))
5))
%)))
故=
% "%)))?!-))?$))&$$))?$))"
%
$%))?5))?$5))?%))
7:%%2:0
(%5+$#所以有:23 的把握认为年龄与选择共享单
车有关%
!$%分"
"*%!命题意图"本题考查抛物线的定义及标准方程&直
线与抛物线的位置关系&弦长&切线问题&直线过定
点问题#考查逻辑思维能力&运算求解能力&分析问
题解决问题的能力%
!名师指导"!""由已知过焦点的弦长求出> 的值#
从而可得到抛物线的方程'!#"首先设出过点? 且
与抛物线相切的直线方程并与抛物线联立#写出一
元二次方程#从而得到$")#利用根与系数的关系
得@$#@%"&)#@$(@%"&$#&)"@& $
@ #从而得
到直线!$ 的方程&" %
&)
!'&$"#再判断是否过
定点%
!解题分析"!""解法一,设"!'$#&$"##!'%#&%"#
过点"## 分别作准线的垂线""3###3#交准线于
"3##3#
A
y
O
F
x
B
B'
A'
则由抛物线的定义得
*"#*"*";*#*#;*"*""3*#*##3*
"'$# >
% #'%# >
% "'$#'%#>#
由*"#*"5得'$#'%#>"5
.
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!数学"文科#$答%
! !
将直线&"'& >
% 与抛物线方程联立得&"'& >
% #
&
%"%>'
$
%
&
#
得'
%&(>'#>
%
+ ")#
由韦达定理得'$#'%"(>#代入'$#'%#>"5#
解得>"%#
故抛物线的方程为&
%"+'%
!+分"
解法二,由题可知过抛物线&
%"%>'!>0)"的焦点
;#倾斜角为!
+ 的直线A的方程为&"'& >
% #
设直线A与抛物线的交点"!'$#&$"##!'%#&%"#
于是联立直线与椭圆方程得
&
%"%>'#
&"'& >
%
$
%
&
#
得'
%&(>'#>
%
+ ")#
从而
'$#'%"(>#
'$('%">
%
+
$
%
&
#!%
A
槡
"
$#$*'$&'%* 槡
" %
!'$#'%"
%&+'$'
槡
%
"5#!&
把%代入&解得>"%#
故抛物线方程为&
%"+'%
!+分"
!#"设?!&$#&)"#过点? 且与抛物线相切的直线
为'#$"@!&&&)"#
与抛物线联立
'#$"@!&&&)"#
&
%"+'
$
#
得&
%&+@&#+@&)#+")#!'
!4分"
$"$4!@
%&@&)&$"")#
即@
%&@&)&$")#则@$#@%"&)#@$(@%"&$#
&)"@& $
@ #把&) "@& $
@ 代入' 得&
% &+@&#
+@ @& $
!
"
@
#+")#即&"%@#
于是设切点!!@
%
$#%@$"#$!@
%
%#%@%"#
!5分"
则B!$ "%@%&%@$
@
%
%&@
%
$ "
%
@$#@%" %
&)
#
即直线!$ 的方程为
&&%@$#%@%
%
" %
&) '&@
%
$#@
%
%
!
"
%
#
!$)分"
整理得&&&)" %
&) '&!@$#@%"
%&%@$@%
)
*
%
#
&&&)" %
&) '&&
%
)#%
!
"
%
#从而得直线!$ 的方程
&" %
&)
!'&$"#
所以直线!$ 过定点!$#)"%
!$%分"
"!%!命题意图"本题考查函数与导数的知识&利用导数
求解函数的单调性&讨论函数的零点个数#考查化归
与转化的思想&分类讨论思想&运算求解能力#考查
数学运算核心素养%
!名师指导"!""对*!'"求导#再对导函数进行因式
分解#结合定义域与根的大小关系进行讨论即可求
得*!'"的单调区间'!#"首先观察式子结构#对式
子进行因式分解#分别求出'"$或'&)& $
%C
' "
)#再利用分类参变量构造新函数C!'""'& $
%C
'#
讨论求得零点的个数#但要注意当)"$& C
% 时产生
重根'"$%
!解题分析"!""由题可知*!'"");9'# $
%'
% &
!)#$"' 的定义域为!)##B"#
*3!'"")
' #'&!)#$"")#'
%&!)#$"'
'
"!'&$"!'&)"
'
#
令*3!'"")#得'"$或'")%
!%分"
当)-)时#当'(!)#$"时#
*3!'"/)#*!'"在!)#$"上单调递减'
当'(!$##B"时#*3!'"0)#
*!'"在!$##B"上单调递增'
当)"$时#*3!'""!'&$"
%
'
1)#
*!'"在!)##B"上单调递增'
!(分"
当)/)/$时#当'(!)#)"时#
*3!'"0)#*!'"在!)#)"上单调递增'
当'(!)#$"时#*3!'"/)#*!'"在!)#$"上单调
递减#
当'(!$##B"时#*3!'"0)#
*!'"在!$##B"上单调递增'
当)0$时#当'(!)#$"时#*3!'"0)#
*!'"在!)#$"上单调递增'
当'(!$#)"时#*3!'"/)#*!'"在!$#)"上单调
递减'
当'(!)##B"时#*3!'"0)#
*!'"在!)##B"上单调递增%
综上#当)-)时#*!'"的单调递减区间为!)#$"#
单调递增区间为!$##B"'
当)/)/$ 时#*!'"的单调递增区间为!)#)"#
!$##B"#单调递减区间为!)#$
.
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!数学"文科#$答&
! !
当)"$时#*!'"的单调递增区间为!)##B"'
当)0$时#*!'"的单调递增区间为!)#$"#!
)##B"#
单调递减区间为!$#)"%
!2分"
!#"由/!'""'*3!'"& $
%'C
'# $
%C
' 得
/!'""!'&$"!'&)"& $
%C
'!'&$"
"!'&$"'&)& $
%C
!
"
'
#
令/!'"")得'"$
或'&)& $
%C
'")#
由'&)& $
%C
'")#得)"'& $
%C
'%
设C!'""'& $
%C
'#
则C3!'""$& $
%C
'#
令C3!'"")得'";9%#
则当'(!)#
;9%"时#C3!'"0)#
C!'"在!)#
;9%"上单调递增'
当'(!;9%##B"时#C3!'"/)#
C!'"在!;9%##B"上单调递减%
又C!)""& $
% #C!;9%"";9%&$#
于是当)0;9%&$时#'&)& $
%C
'")无解#
当)";9%&$时#'&)& $
%C
'")有一个解#
当& $
% /)/;9%&$时#'&)& $
%C
'")有两个解#
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% (
& $
% #
!
"
;9%&$ #
故当)"$& C
% 时#'&)& $
%C
'")有两个解#
但有一个解为'"$#
当)-& $
% 时#'&)& $
%C
'")有一个解%
综上#当)0;9%&$时#/!'"有$个零点#
当)-& $
% 或)";9%&$或)"$& C
% 时#/!'"有%
个零点#
当& $
% /)/;9%&$且)8$& C
% 时#
/!'"有(个零点%
!$%分"
""%!命题意图"本题考查坐标系与参数方程&极坐标方
程与直角坐标方程的互化&参数的几何意义#考查化
归与转化思想&运算求解能力&方程思想与数形结合
思想#考查数学运算核心素养%
!名师指导"!""直接求出过原点的直线的!$ 的极
坐标方程#再借助直角坐标与极坐标的转化公式把
曲线!% 化为极坐标方程'!#"将曲线!$ 的参数方
程代入!% 的普通方程#借助直线参数方程中D的几
何意义或者借助极坐标方程% 的几何意义#再结合
题目中*01*
槡
"
$+#根据! 的取值范围#最后求
解!%
!解题分析"!""由题意可知曲线!$ 是经过原点#倾
斜角为!的直线#
故曲线!$ 的极坐标方程为
#"!!)-!/!#
%(,"%
!%分"
又!'&$"
%#&
%"'
%#&
%&%'#$"+#!!3"
将
'"%678##
&"%8'9##
%
%"'
%#&
$
%
&
%
代入!3"式可得曲线!% 的极坐标方
程为%
%&%%678#&(")%
!2分"
!#"将'"D678!#
&"D8'9
$
!
!
D为参数#)-!/!"
代入!'&$"
%#&
%"+可得D
%&%D678!&(")#
则$"+678
%!#$%0)%
记0#1 两点对应的参数分别为D$#
D%#
故D$#D%"%678!#
D$D%"&(#
!-分"
于是*01*"
!
D
$#D
%"
%&+D
$D
槡
%"
!
%678!"
%
槡
槡
#$%" $+#
解得678
%!" $
% #
即678!"F槡%
% #
!5分"
又)-!/!#所以!" !
+ 或!"(!
+ %
!$)分"
!一题多解""##由#"!%
%
%&%%678#
$
&(")
可得%
%&%%678!&
(")%记0%1 两点的极坐标为0"
%$%
!#%1"
%%%!#%则
$"+678
%!#$%0)%
%$#%%"%678!%
%$%%"&(% "-分#
则*01*"*%$&%%*"
"%678!#
%
槡
槡
#$%"
$+%解得
678
%!" $
% %即678!"F槡%
% %
"5分#
又)-!/!%所以!" !
+ 或!"(!
+ %
"$)分#
"#%!命题意图"本题考查函数恒成立&绝对值不等式的
解法#考查分类讨论思想以及化归与转化思想的应
用#考查运算求解能力%
!名师指导"!""当)"%时#利用零点分段法对函数
进行分段#在每一段上求解' 的取值范围#注意'
.
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的
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!数学"文科#$答'
! !
前提条件'!# "将不等式转化成)*' &$*-
*'&%*# $
% #分)-)和)0)两种情况讨论并根据
函数的图象求出)的取值范围%
!解题分析"!""当)"%时#
*!'""%*'&$*&*'&%*"
&'#!'/$#
('&+#$-'-%#
'#
'0%
$
%
&
%
!(分"
当'/$时#&'1'#$得'-& $
% '
当$-'-%时#('&+1'#$得'(9'
!+分"
当'0%时#'1'#$得'(9#
D*!'"1'#$的解集为' '-&
$
%
$
%
%
!2分"
!#":'(,#*!'"- $
% 恒成立#
即)*'&$*&*'&%*- $
% #
于是)*'&$*-*'&%*# $
% %
!4分"
当)-)时#)*'&$*-*'&%*# $
% 恒成立# !-分"
当)0)时#设&$")*'&$*#
&%"*'&%*# $
%!如图"#
y
O
x
1
2
3
4
2
1
y =|x 2|+ 1
2
y =a|x 1|
若:'(,#使得*!'"- $
% 恒成立#
则)- $
% #即)/)- $
% #
!:分"
综上#)的取值范围是
&B#
!
*
$
%
%
!$)分"
!"#$%!'"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
*
,
!
.
.
*
*
,
.
,
!
!
!%!答案"*
!命题意图"本题考查复数的运算&复数的虚部的概
念#考查考生的运算求解能力%
!解题分析"由题意得(" !(&'"!$#('"
$&%'
"4#5'
$&%'"
!4#5'"!$#%'"
!$&%'"!$#%'""&$)#%)'
2
"&%#+'#所以复数(的
虚部为+#故选*%
"%!答案",
!命题意图"本题考查指数不等式&分式不等式的计算
以及集合的交集&并集运算#考查考生的运算求解
能力%
!解题分析""" $'*%*%'&$*/5%" $'*&$/'/%%#
#" '
'
'&(/
$
%
) " $'*)/'/(%#则"'#" $'*
)/'/%%#";#"$'*&$/'/(%#故选,%
#%!答案"!
!命题意图"本题考查双曲线的几何性质及方程#考查
考生的运算求解能力%
!解题分析"E双曲线!,'
%
)
% &&
%
+
% "$的渐近线方程为
&"F+
)'#一个焦点为!(#)"#点!$#槡%"在! 的渐近
线上#D半焦距,"(#槡%)"+%又E,
%")
%#+
%#D)
%"
(#
+
%"4#D! 的方程为'
%
( &&
%
4 "$#故选!%
$%!答案".
!命题意图"本题考查诱导公式&三角恒等变换#考查
考生的运算求解能力%
!解题分析"由=>9 #& !
!
"
+
" $
% #得=>9#"(#则
!
678 (
%!#% "
# "8'9%#"%8'9#678#" %8'9#678#
8'9
%##678
%#"
%=>9#
=>9
%##$" 4
:#$" (
2 #故选.%
%%!答案".
!命题意图"本题考查运用函数的奇偶性和单调性解
不等式问题#考查化归与转化思想#考查运算求解
能力%
!解题分析"E*!&'""!&'"
(!C
&' &C
'""'
(!C
' &
C
&'""*!'"#且'(,#D*!'"为偶函数%E 当'1)
时#&"'
(1)#&"C
'&C
&'1)#且均为增函数#D*!'"
在!)## B"上连续且单调递增#D 不等式*!'"0
*!%'&$"等价于*'*0*%'&$*#解得'(
$
( #
!
"
$ #故
选.%
&%!答案"*
!命题意图"本题考查三视图#考查考生的空间想象能
力以及运算求解能力%
!解题分析"三棱锥的三视图对应的直观图如图所示#
6"2 平面"!$#"!
槡
" 2#!$
槡
" 2#6!"(#6$"
槡
% %%在)6!$ 中#由余弦定理得678<6!$
.
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! !
6!
%#!$
%&6$
%
%6!(!$
" (
%#!槡2"
%&! 槡
% %"
%
槡
%?(? 2
" 槡2
2 #则
8'9<6!$" 槡
% 2
2 #.)6!$ " $
%6!(!$(8'9<6!$"
$
%
槡
?(? 2? 槡
% 2
2 "(%三棱锥6&"!$ 的侧面积为
$
% ?%?%# $
% ?%?%# $
%
槡
槡
?%? 2#("-# 2#故
选*%
P
A
C
D
'%!答案"*
!命题意图"本题考查程序框图#考查考生的逻辑推理
能力以及运算求解能力%
!解题分析"程序执行过程为E"$#'"&%?$#:"-'
E"%#'"&%?-#:" &2'E"(#'" &%?!&2"#
:"$:'
E"+#'"&%?$:#:"&%:#
E"20+#终止程
序#故输出的值为&%:#故选*%
(%!答案",
!命题意图"本题考查三角形的面积公式&余弦定理以
及基本不等式#考查运算求解能力%
!解题分析"由.)"#! " $
% )+8'9! 及.)"#! "
槡(!)
%#+
%&,
%"
+
#得$
%)+8'9!"槡(!)
%#+
%&,
%"
+
#又因
为678!")
%#+
%&,
%
%)+
#所以得到8'9!
槡
" (678!#即
=>9!
槡
" (#故!" !
( %由余弦定理,
% ")
% #+
% &
%)+678!" !)#+"
% &()+1 !)#+"
% &( )#+
!
"
%
%
"
!)#+"
+
%
!当且仅当)"+ 时#取等号"#故!)#+"
% -
+,
%"(4#即)#+-4#又)#+0,"(#所以)#+#,(
!4#:*#故选,%
)%!答案".
!命题意图"本题考查平面向量的加法和减法法则&平
面向量的线性运算#考查考生运算求解能力%
!解题分析"由题意易得#$
槡
" %#由#!
槡
"( %#得
#$" $
(#!#+
,"7" $
%
+
,"$" $
%
+
,"## +
,
!
"
#$ "
!
$
%
+
,"##
$
(
+
, "
#! " $
%
+
,"## $
(!+
,"!& +
,"#
)
*
" " $
(
+
,"## $
4
+
,"!"
$
(!# $
4"#故选.%
!*%!答案",
!命题意图"本题考查数学文化与几何概型的应用#
考查运算求解能力%
!解题分析"由题意知宛田的面积.$ " $
+ ?()?
$4"$%)#圆的面积为."(8
%"$:%%由几何概型中的
面积型可得#此点落在宛田形外的概率为6"$&
$%)
$:%" (
5 #故选,%
!!%!答案"!
!命题意图"本题考查抛物线的简单几何性质#考查
考生的数形结合思想#考查运算求解能力%
!解题分析"由题可得" 的横坐标为& (
% %设直线
01 的方程为'"@&# (
% #代入抛物线方程中#有
&
%&4@&&:")#结合弦长公式可以得到*01*"
$#@
槡
%
(4@
%
槡
#(4"5#故@" F槡(
( %当@"槡(
(
时#可得点0 的纵坐标为
槡
( (#故" 点坐标为
& (
% # 槡
!
"
( ( #所以直线"; 的斜率为
槡
& ('@ "
&槡(
( 时#可得点0 的纵坐标为槡(#故" 点坐标为
& (
% #槡
!
"
( #所以直线"; 的斜率为&槡(
( #故选!%
!"%!答案"!
!命题意图"本题考查导数的应用&导数与不等式的
综合问题#考查考生的运算求解能力%
!解题分析"*3!'""%# %
'
% & 2
' "%'
%&2'#%
'
%
#令
*3!'"")#得'" $
% 或'"%%当'( )#
!
"
$
%
或'(
!%##B"时#*3!'"0)'当'(
$
% #
!
"
% 时#*3!'"/
)#D*!'"的单调递增区间是)#
!
"
$
%
#!%## B"#单
调递减区间是
$
% #
!
"
% #故*!'"在区间!)#$"上的最
大值为*! "
$
%
"&(%:'$(!)#$"#='%()$#%*#都
有*!'$"-/!'%"成立#则*!'"
@>A-/!'"
@>A%而/!'"
是二次函数#开口向上#最大值在'"$或'"%处取
得#D需满足
*! "
$
%
-/!$"#
*! "
$
%
-/!%
$
%
&
"#
即
&(-2&+#
&(-5&%+
$
#
.
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解得
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!数学"文科#$答)
! !
+-$$
% %所以实数+ 的取值范围是
&B#$$
!
*
%
#故
选!%
!#%!答案"+
!命题意图"本题考查分段函数的应用#考查考生的
运算求解能力%
!解题分析"由题意得*!$""2?$&("%#*!*!$"""
*!%""%
%"+%
!$%!答案"%)
!命题意图"本题考查简单的线性规划问题#考查考
生的数形结合思想&运算求解能力%
!解题分析"作出不等式组表示的平面区域#如图中
阴影部分!含边界"所示#由图可知当("%'#(& 经
过点#!+#+"时#( 取得最大值#(@>A "%?+#(?
+"%)%
y
A
B
O
C
x
x+y
x+ y
x y
y
!%%!答案"
槡
+$
+$!
+5
!命题意图"本题考查多面体外接球的体积的计算#
考查考生的空间想象能力&运算求解能力#考查数学
抽象&直观想象&数学运算核心素养%
!解题分析"如图可知点7 为几何体外接球的球心#
点; 为)#!$ 的外心#经计算可得7;"$#;$"
2
+ #则外接球的半径2 "7$ "
$#! "
2
+
槡
%
"
槡+$
+ #故其外接球的体积是
槡
+$
+$!
+5
%
A
E
O
B
G
D
F
C
!方法技巧"此类问题的最主要思路是寻找球心%补
形成正方体是解答本题的一个很好的方法%
!&%!答案"$$%;
$
% #槡(
)
"
%
!命题意图"本题考查三角函数&""8'9!"'#&"的图
象和性质以及求值问题#考查考生的运算求解能力%
!解题分析"*!'" 槡
" (8'9!+'#&"&678!+'#&""
%8'9 +'#&& !
!
"
4
#将函数*!'"的图象向左平移!
5 个
单位长度后#得到函数解析式为* !'""
)
%8'9 + '# !
!
"
5
#&& !*
4
"%678 +'#&& !
!
"
4
%由
得到的函数的图象关于' " !
+ 对称#可得
%678 +? !
+ #&& !
!
"
4
"%678 !#&& !
!
"
4
"F%#解
得!#&& !
4 "B!#B(-#E)/&/!#D&" !
4 #
D/!'"" 678 '# !
!
"
4
& )%E'(
& !
( #!
)
*
4
#
D'# !
4 (
& !
4 #!
)
*
(
%若函数/!'""678!'#
&"&)在
& !
( #!
)
*
4
上有一个零点#则实数) 的取
值范围是$$%;
$
% #槡(
)
"
%
%
!'%!命题意图"本题考查数列的递推公式&等比数列的
定义和特殊数列求和#考查考生的运算求解能力#考
查数学运算核心素养%
!名师指导"!""采用逐差法求解数列通项#注意验
证)%" $
%)$'!#"化简对数式得到数列$+5%的通项
公式#运用裂项相消法即可求得前5项和%
!解题分析"!""由.5"+&%)5#$#
当51%时#则)5".5&.5&$"&%)5#$#%)5#
即%)5#$")5#
!(分"
当5"$时#)$"+&%)%#)%" $
%)$"$#
所以数列$)5%是以%首项#$
% 为公比的等比数列#
!2分"
故)5"! "
$
%
5&%
%
!4分"
!#"由!""及+5"
$
;7<%)%5&$;7<%)%5#$
#得
+5"
$
!(&%5"!$&%5"#
!-分"
则+5" $
%
$
%5&(&
$
%5
!
"
&$ #
!5分"
则45 "
)!
$
%
$
&$&
"
$
$
!
#
$
$ &
"
$
(
# +
!
#
$
%5&(&
$
%5
"*
&$
" $
%
&$&
$
%5
!
"
&$ "
5
$&%5%
!$%分"
!(%!命题意图"本题考查线面垂直的判定&
.
.
.
.
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几何体体积
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! !
的求法#考查考生的空间想象能力&运算求解能力#
考查化归与转化思想#考查直观想象&逻辑推理&数
学运算核心素养%
!名师指导"!""利用线面垂直的判定定理完成证
明#即证.;2$;#.;2"#'!# "借助等体积法
求解%
!解题分析"!""证明,连接#$#
E底面"#!$ 是菱形#<#"$"4)G#
D)"#$ 为等边三角形%
又E; 为"# 的中点#
D$;2"#%
又E.#2$;#"#'.#"##
D$;2平面."#%
又E.;6平面."##D$;2.;%
!(分"
又E)."# 为等边三角形#点; 为"# 的中点#
D"#2.;%
又E"#'$;";#
D.;2平面"#!$%
!4分"
S
G
B
C
F
A
D
!#"连接"!#;!%
由!""知#点. 到平面"#! 的距离为.;%
由)."# 为等边三角形#且"#"%#得.; 槡
" (%
E底面"#!$ 是菱形#<#"$"4)G#点; 为"# 的
中点#
D.)";! " $
%
槡
?$? ("槡(
% #
!5分"
故<;&":! "<:&";! " $
%<.&";! " $
% ? $
(.)";! (
.;" $
% ? $
( ?槡(
%
槡
? (" $
+ %
!$%分"
!)%!命题意图"本题考查古典概型&线性回归方程的计
算#考查考生的运算求解能力%
!名师指导"!""列举可得基本事件总数为$2种#其
中符合题意的基本事件有( 种#故可得到概率为
6" $
2 '!#"借助公式求解线性回归方程#把相关数
据代入公式计算可得结果'!$"借助回归直线预估
'"54时该等级的水果销售单价%
!解题分析"!""所有可能情况为!%4#(4"#!%4#+4"#
!%4#24"#!%4#44"#!%4#-4"#!(4#+4"#!(4#24"#!(4#
44"#!(4#-4"#!+4#24"#!+4#44"#!+4#-4"#!24#44"#
!24#-4"#!44#-4"#共$2种#
两种产品均为" 等品的有(种#
则所求概率为6" $
2 %
!+分"
!#"由题意#得'"%4#(4#+4#24#44#-4
4
"2$#
&"$)%5#$%%5#$+%5#$4%5#$5%)#$:%5
4
"$2%2#
!4分"
F
+"
>
4
E"$'E&E&4'&
>
4
E"$'
%
E&4'
% "2)24&4?2$?$2%2
$-(24&4?2$?2$7)%$-:#
!5分"
F
)"&&F
+'"$2%2&)%$-:?2$"4%(-%
故所求线性回归方程为F
&")%$5'#4%(-% !$)分"
!$"由!#"知#当'"54时#
&")%$5?54#4%(-"%$%52#
故估计该等级的水果销售单价为%$%52元%!$%分"
"*%!命题意图"本题考查椭圆的方程及几何性质&直线
与椭圆的位置关系#考查化归与转化思想以及运算
求解能力#考查数学运算核心素养%
!名师指导"!""根据条件可得)#,的值#再由)
%"
+
%#,
%#求出+的值#代入方程即可'!#"由向量之间
的关系#借助韦达定理即可证得结论%
!解题分析"!""设;%!
,#)"#由题意得)#,"(#G"
,
) " $
% #
所以,"$#)"%#
又)
%"+
%#,
%#所以+ 槡
" (#
故椭圆! 的方程为'
%
+ #&
%
( "$%
!+分"
!#"证明,当A与' 轴垂直时#设点6!)#@"#点? 为
原点#
直线A与椭圆! 的两个交点为
"!)#槡("##!)# 槡
& ("#
由+
,?""' +
,6"#+
,?#"( +
,6##
得'"
槡(
槡(&@
#("
槡(
槡(#@
#
由'#("(#得@"F$%
!4分"
当A与' 轴不垂直时#
设A的方程为&"B'#@!
B8)"#"!'$#
&$"##!'%#
&%"#
则点6!)#@"#? & @
B #
!
"
)
.
.
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由+
,?""' +
,6"#+
,?#"( +
,6##
得'"$# @
B'$
#("$# @
B'%
#
'#("%#@!'$#'%"
B'$'%
#
由'#("(#得@!'$#'%"
B'$'%
"$%
!5分"
将&"B'#@ 代入'
%
+ #&
%
( "$#得
!+B
%#("'
%#5B@'#+@
%&$%")#
所以'$#'%"& 5B@
+B
%#(#'$'%"+@
%&$%
+B
%#( #
!:分"
则@!'$#'%"
B'$'%
"
@( &5B@
+B
%#(
B(+@
%&$%
+B
%#(
"$%
整理得B!+@
%&$%""&5B@
%#
又B8)#所以@"F$#
从而A,&"B'F$#
所以直线A过定点!)#$"或!)#&$"%
综上#直线A过定点!)#$"或!)#&$"%
!$%分"
"!%!命题意图"本题考查导数及其应用#考查化归与转
化的思想%
!名师指导"!""直接求导#借助导数的几何意义即
可求得切线方程'!#"通过研究导函数的符号得到
函数的单调性#证明过程中需要进行放缩#进而通过
判断符号得到原函数的单调性#从而证明问题%
!解题分析"!""当)") 时#*!'""'
%C
'#*3!'""
!'
%#%'"C
'#*3!$""(C#*!$""C%
D函数*!'"在!$#*!$""处的切线方程为
&&C"(C!'&$"#即(C'&&&%C")%
!2分"
!#"证明,*3!'""!'
%#%'#)"C
'&)#
令/!'""*3!'"#
则/3!'""!'
%#+'#)#%"C
'%
!-分"
E)1&%#
D当'1)时#!'
%#+'#)#%"C
'1!'
%#+'"C
'1)#
即/3!'"1)#
!$)分"
D/!'"在))##B"上是增函数#
故/!'"1/!)"")#即*3!'"1)#
D*!'"在))##B"上是增函数#
D*!'"1*!)"")#
故若)1&%#当'1)时#*!'"1)%
!$%分"
""%!命题意图"本题考查方程之间的转化&直线与圆的
位置关系#考查数形结合思想&化归与转化思想以及
运算求解能力#考查数学运算核心素养%
!名师指导"!""直接根据参数方程与普通方程的互
化公式&极坐标方程与直角坐标方程的互化公式进
行转化即可'!#"利用半径&弦长&弦心距三者之间
的关系#借助点到直线距离公式求解即可%
!解题分析"!" "因为直线A 的参数方程
为' 槡
" (&)D#
&
槡
"%# (D
$
%
&
#
所以直线A的普通方程为槡('#)&&%)&(")%
!%分"
由曲线! 的极坐标方程为%"+8'9 ## !
!
"
(
#
得%
%"+%8'9 ## !
!
"
(
"%%8'9#
槡
#% (%678##
所以曲线! 的直角坐标方程是
'
%#&
%
槡
&% ('&%&")#
即!' 槡
& ("
%#!&&$"
%"+%
!2分"
!#"设"# 的中点为点0 #圆心! 到直线"# 的距
离为-#圆的半径为8#
则*0"*" 槡$2
% #
由圆!' 槡
& ("
%#!&&$"
%"+#
得8"%#圆心!!槡(#$"#
则-"*0!*"
8
%&*0"*
槡
%"
+&$2
槡+ " $
% #
!5分"
又由点到直线距离公式得
-"*槡
槡
(? (#)&%)&(*
)
%
槡#(
"
*)*
)
%
槡#(
" $
% #
解得)"F$#所以实数)的值为F$%
!$)分"
"#%!命题意图"本题考查绝对值不等式的解法&求参数
的取值范围#考查分类与整合思想&化归与转化思
想&运算求解能力#考查数学运算核心素养%
!名师指导"!""利用绝对值不等式求得函数*!'"
的最小值#由题意得关于) 的等式#求解即可'
!#"分类讨论去绝对值符号即可求解%
!解题分析"!""因为*!'""*'&)*#*'#%)*1*
!'&)"&!'#%)"*"*)#%)*"*()*#
所以*!'"的最小值为*()*#
!(分"
由题意得*()*"%#所以)"F %
( %
!2分"
!#"由题意得*%&)*#*%#%)*14#
当)-&$时#%&)&!%#%)"14#解得)-&%'
当&$/)/%时#%&)#%#%)14#解得)1%#无解'
当)1%时#)&%#%#%)14#解得)1%%
!:分"
综上#实数)的取值范围为!&B#&%*;)%##B"%
!$)分
.
.
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!"#$%!("
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
,
!
,
*
*
,
,
.
!
!
.
.
!%!答案",
!命题意图"本题考查函数的定义域&一元二次不等式
的解法&交集运算#考查数学运算&直观想象核心
素养%
!解题分析"因为""$'*&";<!(&'"%"$'*'/(%#
#"$'*!'#("!'&2"-)%"$'*&(-'-2%#所以
"'#"$'*&(-'/(%#故选,%
"%!答案"!
!命题意图"本题考查复数的运算&一元一次方程#考
查数学运算核心素养%
!解题分析" 因为( " '
2!)&'"
$&%'
" $#)'
$&%' "
!$#)'"!$#%'"
!$&%'"!$#%'""$&%)
2
#%#)
2 '#由$&%)
2
"%#)
2 #解
得)"& $
( #故选!%
#%!答案",
!命题意图"本题考查充分条件&必要条件的判断#考
查逻辑推理核心素养%
!解题分析"当)"$时#直线%'&")的斜率为
%#直线'#%&&4") 的斜率为& $
% #因为%?
&
!
"
$
%
"&$#所以两直线互相垂直#若直线%'&
)") 与直线'#%)&&4") 互相垂直#则%&
%)
%")#解得)"F$#所以-)"$.是-直线%'&)&#
5")与直线'#%)&&4")互相垂直.的充分不必要
条件#故选,%
$%!答案"*
!命题意图"本题考查平面向量的坐标运算#考查数学
运算核心素养%
!解题分析"因为向量!"!&$#$"#""!%'#%"#且!4
"#则%'"&%#即'"&$#所以!#""!&(#("#!&
""!$#&$"#所以!!#""(!!&""" !&(#("( !$#
&$""&4#故选*%
%%!答案"*
!命题意图"本题考查双曲线的性质#考查直观想象&
数学运算核心素养%
!解题分析"依题意得)"$%因为点" 到渐近线的距
离为槡%
% #取"!)#+"#渐近线方程为+'&&")#所以
+
$#+
槡
% "槡%
% #解得+"$#则双曲线的渐近线方程为
&"F'#即'F&")#故选*%
!方法总结"双曲线'
%
)
% &&
%
+
% "$")0)%
+0)#的渐近线
方程为&"F+
)'%而双曲线&
%
)
% &'
%
+
% "$")0)%
+0)#
的渐近线方程为&"F)
+' 即'"F+
)
!
"
& %
&%!答案",
!命题意图"本题考查程序框图#考查逻辑推理&数学
运算核心素养%
!解题分析"第一次循环#得."$?$&$
%")#5"%'
第二次循环#得."%?)&%
%" &+#5"('第三次循
环#得."(?!&+"&(
%" &%$#5"+'第四次循环#
得."+?!&%$"&+
%" &$))/ &(%#5"2#退出循
环#输出5"2#故选,%
'%!答案",
!命题意图"本题考查根据函数解析式判断图象#考查
直观想象&逻辑推理核心素养%
!解题分析"因为*!'""%8'9%'
'
%
的定义域为$'*'8
)%#所以*!&'""%8'9!&%'"
!&'"
%
"&%8'9%'
'
%
"&*!'"#
所以*!'"为奇函数#所以其图象关于原点成中心对
称#故排除选项*#!'当'"$时#*!$""%8'9%#因为%
弧度是第二象限角#所以%8'9%0)#所以*!$"0)#故
排除选项.#故选,%
!方法技巧"函数图象的识辨可从以下几方面入手&
"$#从函数的定义域%判断图象的左右位置'从函数
的值域%判断图象的上下位置'
"%#从函数的单调性%判断图象的变化趋势'
"(#从函数的奇偶性%判断图象的对称性'
"+#从函数的周期性%判断图象的循环往复'
"2#从函数的特征点%排除不合要求的图象%
(%!答案".
!命题意图"本题考查指数函数&对数函数的性质#考
查数学运算&直观想象核心素养%
!解题分析"因为)")%
2
&)%$ "%
)%$ ( !$#%"#+"
;7<+
$
! "
$4 " $
%;7<%%
&+ " $
% ? !&+"" &%#, "
! "
$
%
;< $
$)))"! "
$
%
&(
"5#所以+/)/,#故选.%
)%!答案"!
!命题意图"本题考查线性规划#考查直观想象&
.
.
.
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数学
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运算核心素养%
!解题分析"作出不等式组
'&%&#%1)#
'#%&&%1)#
('#%&&41
$
%
&
)
表示的可
行域#如图中阴影部分!含边界"所示#平移直线%'&
&")#当经过点# 时H"%'&& 取得最小值#由
'&%&#%")#
('#%&&4")
$
#
得
'"$#
&" (
%
$
%
&
#
即# $#
!
"
(
%
#所以H@'9"
%?$& (
% " $
% %因为&"%
' 是, 上的增函数#所以
("%
%'&&的最小值为%
$
%
槡
" %#故选!%
y
O
B
A
x
1
1
2
3
4
2
3
4
1
1
2
2x y=0
x 2y+2=0
x+2y 2=0
3x+2y 6=0
!*%!答案"!
!命题意图"本题考查三视图&空间几何体的体积#考
查直观想象核心素养%
!解题分析"由三视图知#原几何体是棱长为4的正
方体中的一个三棱锥#如图中的三棱锥"&#!$ 所
示#底面面积为.)#!$ " $
% ?4?4"$5#高为4#所以
该几何体的体积< " $
(.)#!$ ?4" $
( ?$5?4"
(4#故选!%
C
B
D
A
!!%!答案".
!命题意图"本题考查三角恒等变换&三角函数图象
与性质&函数的零点#考查数学运算&直观想象核心
素养%
!解题分析"*!'""8'9!%)$:!&'"678'&8'9
%'#
槡
$# %
%
"8'9'678'&$&678%'
%
#
槡
$# %
%
" $
%8'9%'#
$
%678%' # 槡%
% " 槡%
% 8'9 %'# !
!
"
+
# 槡%
% #令槡%
% (
8'9 %'# !
!
"
+
#槡%
%
槡
" %#则8'9 %'# !
!
"
+
"$#所以
%'# !
+ "%B!# !
% !B(-"#即'" !
5 #B!!B(-"#令
B")#则'" !
5 ()&%!#!*#满足条件'令B"&$#则
'" &-!
5 ()&%!#!*#满足条件'令B" &%#则'"
&$2!
5 ()&%!#!*#满足条件'令B"&(#则'"&%(!
5
?)&%!#!*#不满足条件#因此*!'" 槡
" %在)&%!#
!*上的零点个数为(#故选.%
!"%!答案".
!命题意图"本题考查分段函数&导数的几何意义#考
查数学运算&直观想象&逻辑推理核心素养%
!解题分析"在同一坐标系内作出函数*!'""
$&'
%#'-$#
;9'# '0
$
$
与函数& " @' &
!
$
%
过定点
)#&
!
""
$
%
的图象#由图可知#若方程*!'""@'&
$
% 有四个不相同的根#则当'"$时#@& $
% 0)即
@0 $
% '设直线&"@'& $
% 与函数&";9' 的切点为
!')#
;9')"#又&3"!;9'"
3" $
' #由$
') "
;9')# $
%
')
#得
')"C
$
% #此时直线&"@'& $
% 的斜率@" $
') "
$
C
$
%
" $
槡
C
#所以@/ $
槡
C
%综上#实数@ 的取值范围为
$
% #$
槡
!
"
C
#故选.%
A
y
O
x
1
1
2
2
3
4
1
1
2
2
3
!#%!答案"$(
5
!命题意图"本题考查圆与圆的位置关系&直线在坐
标轴上的截距#考查直观想象&数学运算核心素养%
!解题分析"因为圆7,'
%#&
%&+")#!,!'&+"
%#
!&#("
%"$4#所以!,'
%#&
%&5'#4&#:")#所以
圆7 与圆! 的公共弦所在直线方程为5'&4&&
$(")#令&")#则5'&$(")#解得'"$(
5 #所以两
圆的公共弦所在的直线在' 轴上的截距为$(
5
.
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!数学"文科#$答!$
! !
!知识总结"当两圆相交时%把两圆方程相减消掉二
次项所得方程就是公共弦所在的直线方程%
!$%!答案"%+!
!命题意图"本题考查三棱锥与外接球的关系&表面
积的计算#考查直观想象&逻辑推理核心素养%
!解题分析"由"#2平面#!$ 可得"#2!$%因为
"!2!$#"!#"#6 平面"#!#"!'"#""#所以
!$2平面"#!#即)"#$ 和)"!$ 都是直角三角
形#外接球的球心恰好是"$ 中点#而"$ "
"#
%##!
%#!$
槡
%
槡
"% 4#故外接球的半径2"
槡4#所以外接球的表面积为+!2
%"%+!%
!%%!答案"'
%
槡
"+ (&
!命题意图"本题考查直线与抛物线的位置关系&基
本不等式#考查数学运算&直观想象&逻辑推理核心
素养%
!解题分析"由题意#设点0#1 的横坐标分别为)#
+#所以)+"&(%又点; 为抛物线'
%"+>& 的焦点#
所以点;!)#>"#所以.)0;7 #.)1;7 " $
% ?>?*)&
+*" >
%*)&+*%因为*)&+*
% ")
% #+
% &%)+1
&+)+"$%#当且仅当)" &+ 时#等号成立#所以*
)&+*@'9
槡
"% (#所以!.)0;7 #.)1;7 "
@'9
槡
" (>#所以
槡(>"(#即>
槡
" (#所以所求抛物线的方程为'
%"
槡
+ (&%!
!&%!答案"%
!命题意图"本题考查正弦定理&余弦定理以及三角
形的面积#考查数学运算&直观想象核心素养%
!解题分析"因为%678
%"#8'9#8'9"&%")#所以
%8'9
%""8'9#8'9"#因为8'9" 8)#所以8'9# "
%8'9"#由正弦定理得+"%)%因为!" !
( #.)"#! "
槡
% (
( #所以$
%)+8'9 !
( "槡(
%)
%" 槡
% (
( #所以)
%" +
( %
由余弦定理得,
% ")
% #+)
% &%()(%)678 !
( "
()
%"+#所以,"%%
!'%!命题意图"本题考查等差数列&等比数列&用分组求
和法求数列的前5项和#考查运算求解能力#考查数
学运算核心素养%
!名师指导"!""根据已知条件得到首项)$&公差-
的关系式#解方程组求得)$#-#从而求得等差数列
$)5%的通项公式'!#"用分组法求数列$+5%的前%5
项和%
!解题分析"!""设等差数列$)5%的首项为)$#公差
为-#
由已知得2)$#2?+
% -"&%)#
)$#-#)$#2-")
$
%
&
#
解得)$"&$%#
-"+
$
#
所以)5"+5&$4!5(+3 "%
!2分"
!#"由!""知)5"+5&$4#
因为+5"!&$"
5)5#%
5#$#
所以4%5"&!+&$4"#!5&$4"&!$%&$4"#!$4&
$4"&+ & !55&+&$4"# !55&$4"#
%
%#%
(#%
+#+#%
%5#$
"!5&+"# !$4&$%"# + # )55& !55&
+"*#+!$&%
%5"
$&%
"+5#+!$&%
%5"
$&%
"%
%5#%#+5&+%
!$%分"
!(%!命题意图"本题考查茎叶图&样本的数字特征&古典
概型#考查数据分析&数学运算&直观想象核心素养%
!名师指导"!""将$(个球队的获胜场数由小到大
排列求胜场数的中位数'利用平均数的计算公式求
4个球队的平均获胜场数'!#"利用古典概型的概
率计算公式求解%
!解题分析"!""由茎叶图知#$(个球队的获胜场数
由小到大排列为
%(#%(#%(#%+#%+#%4#%-#($#($#((#((#(5#+%#所以
$(个球队的获胜场数的中位数是%-#
由已知得4个球队的平均获胜场数为
$
4 !+%#(5#((#((#($#($"7(2%
!2分"
!#"依题意#记获胜场数为)%+#()"的+个球队分别
为)#
+#
,#-#
获胜场数为)((#(5*的(个球队分别为"###!#
在这-个球队中随机选取%个#共有%$种不同的选
法#即!)#
+"#!)#,"#!)#-"#!)#""#!)##"#!)#!"#
!+#
,"#!+#-"#!+#""#!+##"#!+#!"#!,#-"#!,#""#
!
,##"#!
,#!"#!-#""#!-##"#!-#!"#!"##"#!"#
!"#!##!"%
其中至少有$个球队的获胜场数在)((#(5*的选法
有$2种#
即!)#""#!)##"#!)#!"#!+#""#!+##"#!+#!"#!,#
""#!
,##"#!,#!"#!-#""#!-##"#!-#!"#!"##"#
!"#!"#!##!"%
.
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由古典概型的概率计算公式得所求的概率为
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!数学"文科#$答!%
! !
$2
%$" 2
- %
!$%分"
!)%!命题意图"本题考查线面垂直&面面垂直的性质与
判定&空间几何体的体积#考查逻辑推理&直观想象
核心素养%
!名师指导"!""先证#$2 平面6"!#再证平面
6"!2平面6#$'!#"先证平面6"!2平面#!$#
过点0 在平面6"! 内作01 2"! 于点1#连接
#1#证明01 2 平面#!$#由H=)6"! @
H=)01! 求01#最后用等体积法求三棱锥
!&#$0 的体积%
!解题分析"!""证明,因为底面"#!$ 的对角线互
相垂直#
所以#$2"!#
又6"2平面"#!$##$6平面"#!$#
所以#$26"%
因为6"'"!""#
所以#$2平面6"!%
因为#$6平面6#$#
所以平面6"!2平面6#$%
!2分"
!#"因为6"2平面"#!$#6"6平面6"!#
所以平面6"!2平面#!$#
过点0 在平面6"! 内作01 2"! 于点1#连
接#1#
所以012平面#!$#
!-分"
因为(
%
+
,60" +
,6!#所以+
,6!"( +
,0!#
所以6!"(0!#
由H=)6"!@H=)01!#所以6""(01%
因为6""4#所以01"%%
因为#!"#$"!$"+#
所以.)#!$ " $
%
槡
?+?+?8'94)G"+ (#
!:分"
所以<0&#!$ " $
(
槡
?+ (?%" 槡
5 (
( #
所以<!&#$0 " 槡
5 (
( %
!$%分"
"*%!命题意图"本题考查椭圆的性质&直线与椭圆的位
置关系#考查数学运算&直观想象核心素养%
!名师指导"!""根据已知条件及椭圆的性质列出关
于)#
+#
,的方程组#解出)#
+#即得椭圆的标准方程'
!#"设点6!'$#&$"#?!'%#&%"#由题得直线6? 的
方程#联立直线与椭圆的方程&消元&用韦达定理得
出6#? 两点的横坐标的关系#用直线6? 的斜率表
示*6?*&点0 到直线6? 的距离&)06? 的面积#
利用二次函数的性质求最值%
!解题分析"!""依题意#椭圆!,'
%
)
% #&
%
+
% "$!)0+0
)"的离心率G" $
( #
椭圆上的点到焦点的最小距离为%#
所以
G",
) " $
( #
)&,"%#
)
%"+
%#,
%
$
%
&
#
解得
)"(#
+
槡
"% %
$
#
故所求椭圆方程为'
%
: #&
%
5 "$%
!2分"
!#"由!""知#;%!$#)"#
设6!'$#&$"#?!'%#&%"#
则直线6? 的方程为&"B!'&$"#B()&$#$*#
由
&"B!'&$"#
'
%
: #&
%
5 "$
$
%
&
#
可得!5#:B
%"'
%&$5B
%'#:B
%&-%")#
由韦达定理知#'$#'%" $5B
%
5#:B
%#'$'%":B
%&-%
5#:B
% #
!4分"
所以*6?*"
$#B
槡
%(
!'$#'%"
%&+'$'
槡
%
"
$#B
槡
%?
$5B
%
5#:B
!
"
%
%
&+!:B
%&-%"
5#:B
槡
%
"+5!$#B
%"
5#:B
%
#
点0!$#+"到直线6? 的距离为
+
$#B
槡
% #
故)06? 的面积为
." $
% ?
+
$#B
槡
% ?+5!$#B
%"
5#:B
%
":4?
$#B
%
!5#:B
%"
槡
% %
!:分"
令D"5#:B
%#则B
%"D&5
: %
因为B()&$#$*#所以$
D (
$
$-#
)
*
$
5
#
所以."(%
$
D
% # $
槡
D %
因为函数&"'
%#' 在
$
$-#
)
*
$
5
上单调递增#
所以当'" $
5 时#& 取最大值#即&@>A" :
4+#
所以当B
%")时#.@>A":4?
$
槡
4+"$%#
此时*6?*"4
.
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!数学"文科#$答!&
! !
所以当)06? 的面积最大时#*6?*"4%
!$%分"
y
P
x
O
Q
F
"!%!命题意图"本题考查导数在研究函数的单调性&极
值中的应用&根据不等式恒成立求参数的取值范围#
考查数学运算&直观想象核心素养%
!名师指导"!""求*3!'"#根据*!'"在'")处取得
极值求@ 的值#再令*3!'"0)#*3!'"/)#分别求得
*!'"的单调区间'!#"将问题转化为当'0) 时#
C
'#'
%&@'&$0) 恒成立#构造新函数C!'""
C
'#'
%&@'&$!'0)"#并对实数@ 分@ -)#)/
@-$#@0$三种情况讨论求解结论%
!解题分析"!""因为*!'""&'
%#!@#$"'#%
C
'
#
所以*3!'""'
%&!@#("'#@&$
C
'
%
因为*!'"在'")处取得极值#
所以*3!)"")#即@"$#
所以*!'""&'
%#%'#%
C
'
#*3!'""'
%&+'
C
'
%
令*3!'"")#即'
%&+'")#
解得'")或'"+#
!%分"
令*3!'"0)#则'/)或'0+'
令*3!'"/)#则)/'/+#
所以*!'"的单调递减区间为!)#+"#
单调递增区间为!&B#)";!+##B"%
!+分"
!#"因为当'0)时#'#$
C
'
#$0*!'"恒成立#
即'#$
C
'
#$0&'
%#!@#$"'#%
C
'
恒成立#
等价于当'0)时#C
'#'
%&@'&$0)恒成立%
!2分"
令C!'""C
'#'
%&@'&$!'0)"#
所以C3!'""C
'#%'&@#
当@-)时#C3!'""C
'#%'&@0)#
所以C!'"在!)##B"上为单调递增函数%
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当@0)时#令-!'""C3!'""C
'#%'&@#
所以-3!'""C
'#%0)#
所以-!'"在!)##B"上为单调递增函数#
即C3!'"在!)##B"上为单调递增函数#
所以C3!'"0C3!)""$&@%
!-分"
!("当)/@-$时#$&@1)#
所以C3!'"0C3!)""$&@1)#
所以C!'"在!)##B"上为单调递增函数%
即C!'"0C!)"")#满足题意%
!:分"
!)"当@0$时#C3!)""$&@/)#
C3 @
! "
%
"C
@
% #%? @
% &@"C
@
% 0)#
所以C3!'"在)#@
!
"
%
有唯一零点#设为')#
所以当'(!)#')"时#C3!'"/)'
当'(!')##B"时#C3!'"0)#
所以C!'"在!)#')"上单调递减#
在!')##B"上单调递增#
所以在'(!)#')"时#C!'"/C!)"")#
所以@0$不满足题意%
综上#@ 的取值范围为!&B#$*%
!$%分"
""%!命题意图"本题考查极坐标方程与直角坐标方程的
转化&直线与抛物线的位置关系&参数方程中参数的
几何意义#考查数学运算&直观想象核心素养%
!名师指导"!""先把曲线! 的极坐标方程转化为直
角坐标方程#再联立方程即可求解'!#"把直线的参
数方程代入曲线!#再借助参数的几何意义即可得
出结论%
!解题分析"!""曲线! 的极坐标方程%" 5678#
%8'9
%#
可
化为
%
%8'9
%#"+%678##
因为&"%8'9##'"%678##
所以直角坐标方程为&
%"+'#
所以过曲线! 的焦点且垂直于其对称轴的直线方程
为'"$#
由'"$#
&
%"+
$
'
可得&"F%#故所求弦长为+%
!2分"
!#"把'"$#D678!#
&"D8'9
$
!
代入&
%"+'#
整理可得D
%8'9
%!&+D678!&+")#
设"## 两点对应的参数分别为D$#
D%#
则D$D%"& +
8'9
%!
#
由题知#点; 在直线A上#
则*;"*(*;#*"*D$D%*" +
8'9
%!":
.
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!数学"文科#$答!'
! !
解得8'9
%!" +
: #
又)-!/ !
% #故8'9!" %
( #678!"槡2
( #
故直线A的斜率为=>9!" 槡
% 2
2 %
!$)分"
"#%!命题意图"本题考查基本不等式的应用&绝对值不
等式的解法#考查数学运算&逻辑推理核心素养%
!名师指导"!""利用基本不等式即可得出结论'
!#"先解不等式#再根据集合之间的包含关系求@
的取值范围%
!解题分析"!""因为)0)#
+0)#且)#$4+"5)+#
所以5)+")#$4+1%
$4
槡)+#
即)+1 槡)+#故)+1$#
当且仅当)"$4+#
)+"$
$
#
即)"+#
+" $
+ 时#取等号%
故)+的最小值'"$%
!2分"
!#"由!""及*'*#*'#$*-%'可得
*'*#*'#$*-%%
%当'/&$时#不等式可变为&'&'&$-%#
解得'1& (
% #故& (
% -'/&$'
&当&$-'-)时#不等式可变为&'#'#$-%#
即$-%#故&$-'-)'
'当'0)时#不等式可变为'#'#$-%#
解得'- $
% #故)/'- $
% %
综上可知#原不等式成立的条件为
& (
% -'- $
% %
故只需满足)@&$#@*A
& (
% #
)
*
$
%
即可#
故
@&$1& (
% #
@- $
%
$
%
&
#
解得& $
% -@- $
% #
即实数@ 的取值范围是
& $
% #
)
*
$
%
%
!$)分
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