!全国卷! 数学"文科#!$!!
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数!学!文科"
!本试卷满分"#$分"建议用时#"%$分钟$
题号
"
%
&
'
#
(
)
*
+
"$
""
"%
答案
一#选择题!本大题共!"小题$每小题#分$共$%分!
在每小题给出的四个选项中$只有一项是符合题
目要求的"
!!%研发题&设集合",%#"!"###&&'则"$&% 中
元素的个数是
"!!#
-.无数个
/.&
0.'
1.#
"!%研发题&设复数&
$, #2
%$%$
"!%2
%$"+'则"$",
"!!#
槡
-.#
/."
0.!%
1.%
#!%细磨题&已知三棱锥的底面是等腰三角形'其正
视图与俯视图如图所示'且俯视图是顶角为"%$3
的等腰三角形'则其侧视图的面积为
"!!#
2
2 3
槡
槡
-."
/.%
0.&
1.% &
$!%细磨题&二次函数%"##,#
%4'满足%"%!
##,%"'4##'则满足%"%!(#'%"'#的实数( 的
取值范围是
"!!#
-!"!%'$#
/!"!5'!%#("$'45#
0!由&的范围决定
1!由&'
'的范围共同决定
%!%细磨题&若) 为双曲线*(!#
%4'+
%,"(的一个
焦点'则点) 到曲线* 的一条渐近线距离为"!!#
槡
-."(
/.'
0.%
1.% #
&!%细磨题&在区间)!"'""*上随机取一实数#'则该
实数# 满足不等式$#678&##%的概率为"!!#
-."
(
/."
&
0."
%
1.%
&
'!%研发题&已知数列%(,&满足(
%
,,(,!"(,4"',)%'
(,*$'若(%(( 4%('(( 4(&(+ ,&('则(' 4(( 的
值为
"!!#
-.!(
/.(
0."*
1.9"*
(!%细磨题&如果数据#"'#%'+'#, 的平均数是#'标
准差是''则%#"!&'%#%!&'+'%#,!&的平均数
和方差分别是
"!!#
-.#和*
/.)和*
0.)和"(
1.)和('
)!%细磨题&若函数%"##,!#
&4-#
%!*不是'
上的单调函数'则实数-的取值范围是
"!!#
-!"!5'!&#("&'45#
/!"!5'!&*()&'45#
0!"!&'&#
1!)!&'&*
!*!%细磨题&已知函数%"##,":7;!#'其中"'$'
!'$的最小正周期为.,%'且%" #
"
& ,%'则函
数+,%"##的图象向左平移"
%个单位长度所得图
象的解析式为
"!!#
-!+,%:7; !#4
"
#
"
%
/!+,':7; !#4
"
#
"
%
0!+,!';2<!#
1!+,';2<!#
!!!%研发题&,九章算术-中在.商功/部分有许多立
体图形的体积算法'.今有方堡椟'底为矩'一点
之三度和('周遭面%%平方'问立圆积几何0/大
意是(今有一个直四棱柱底面为矩形'某一顶点
的三棱长之和是('全面积是%%'
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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+
它的外接球体积
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!全国卷! 数学"文科#!$"
!!
为/'则/ 的值为
"!!#
-. 槡
"( %
& !!
/. 槡
)
""
&
!
0. 槡
)
"'
&
!
1. 槡
' )
& !
!"!%研发题&若直线0过椭圆#
%
(
%4+
%
&
% ,""('&'$#的
左焦点)" 与椭圆交于"'1 两点'右焦点为)%'
如果,"1)% 的面积是*'它的内切圆面积为!'
椭圆的短轴长为('则椭圆上的任意一点到直线
#4+!"$,$距离的最小值是
"!!#
槡
-.% #
/. 槡
# %
%
槡
0.' %
1. 槡
& #
%
二#填空题!本大题共(小题$每小题#分$共"%分!
把答案填在题中的横线上"
!#!%研发题&已知角" 的终边经过点2"!&'&#'则
%;2<":7;"
;2<
%"!%:7;
%",!!!!!
!$!%研发题&已知"!","'
","
槡
!% &'%#'且向量!与向
量%!4"垂直'则!与"的夹角#,!!!!!
!%!%细磨题&数列%(,&的前, 项和3, ,,
%'则数列
"
(,(,
%
&
4"
的前"$项和."$,!!!!!
!&!%细磨题&函数%"##在"$'45#内可导'且%"=
##,
#4&=
#'则与它在#," 处的切线平行且距离为
槡")的直线的一般式方程是
!
三#解答题!本大题共$小题$共)%分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤"
!'!%细磨题&"本小题满分"%分#
,"1* 三内角"'1'* 对边分别为('&'''(!
&:7;*,';2<1!
""#求11
"##若"*,%'求,"1* 面积的最大值!
!(!%细磨题&"本小题满分"%分#
如图'在直三棱柱"1*$""1"*" 中'1"-"*'
""1",""*"
槡
,& %'**",%'点2'4 分别为""1
和1"*" 的中点!
""#求证(24.平面"""**"1
"##求三棱锥1$""4* 的体积!
P
Q
A
C
B
B
A
C
+
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+
+
+
+
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+
+
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!!
!)!%研发题&"本小题满分"%分#
在刚刚过去的%$"*年可谓是我国汽车市场的寒
冰期'在%$"*年整个汽车圈的销量基本都有了一
定程度的下降'而销量下降就产能过剩'为响应
国家.产能过剩/.去库存/战略'经过多年的市场
调查'关于某种名牌汽车的使用年限# 和所支出
的维修费用+"万元#'有如下的统计资料("意外
事故除外#
使用年限#
%
&
'
#
(
维修费用+
%!&
&!)
#!#
(!#
)!$
由资料知+ 与# 呈线性相关关系!
""#试用最小二乘法'求线性回归方程(
5
+,5
-
(1
"##估计当使用年限为"%年时'维修费用多少
万元!
参考数据(
/
#
6,"#6,%$1/
#
6,"+6,%#1
5
&,
0
,
6,""#6!1
##"+6!&
+#
0
,
6,""#6!1
##
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6,"#6+6!,1
#&
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5
(,&
+!5
&1
2
3
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"*!%细磨题&"本小题满分"%分#
已知抛物线+
%,%7# 的焦点为)') 恰好为椭圆
#
%
'4+
%
&,"的右焦点'过) 作两条相互垂直的弦
交抛物线于"'1'*'8'设弦"1'*8 的中点分别
为9 ':!
""#求抛物线的方程1
"##求证(直线9: 恒过定点
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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!!
"!!%研发题&"本小题满分"%分#
设(5''函数%"##,=
#1;<"##是;"##的导函数'
且有;<"##,%#!%('#5'!
""#设)"##,%"##!;<"##'求)"##的单调增
减区间与极值1
"##若;"$#,"'当(4"'6<%且#)$时'求证(
%"##);"##!
!!请考生在第""$"* 题中任选一题作答$如果多
做$则按所做的第一题记分!
""!%研发题&"本小题满分"$分#选修'!'(坐标系与参
数方程
曲线*" 方程为#
槡
,(4 %-'
+ 槡
, %
2
3
4
-
"
-为参数#'以= 为
极点的极坐标系中'曲线*% 的极坐标方程为
$;2<
%#,*:7;#'曲线*" 与曲线*% 交于点"'1!
""#求*"'*% 的直角坐标方程1
"##求线段"1 的长!
"#!%细磨题&"本小题满分"$分#选修'!#(不等式
选讲
已知('&''均为正实数'函数%"##,"#4("4
"#!&"4'!
""#当(,&,',"时'求%"##'&的解集1
"##若函数%"##的最小值为''且"
( 4"
& 4"
' )
>恒成立'求>的取值范围
+
+
+
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!本试卷满分"#$分"建议用时#"%$分钟$
题号
"
%
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'
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)
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"$
""
"%
答案
一#选择题!本大题共!"小题$每小题#分$共$%分!
在每小题给出的四个选项中$只有一项是符合题
目要求的"
!!%细磨题&已知集合",%$'"&'1,%#"#
%!&##
$&'则"$1,
"!!#
-.%$'"& /.%$'"'%&
0.%%&
1.%"&
"!%研发题&设复数$,(2"('$#'且"$","'则2
"4$,
"!!#
-."!2
%
/."42
%
0.!"42
%
1."92
%
#!%研发题&小明上个月的工资为($$$元'上个月工
资各种用途占比统计图如下面的扇形图!而这个
月工资各种用途占比统计图如下面的折线图!已
知这个月应酬费比上个月少"$$元'则小明这个月
工资为
"!!#
35%
15%
25%
25%
40%
30%
20%
10%
0
-.(#$$元
/.)$$$元
0.)#$$元
1.*$$$元
x=1
x
x=x+1
n=2n
m n
m n?
m=m+ 1
2 m
$!%研发题&若执行下列算法框
图'输入? ,*',,%'输
出#,
"!!#
-.%
/.&
0.'
1.#
%!%研发题&一次数学竞赛结束后'甲2乙2丙2丁四位
同学拿到成绩"分数各不相同#后讨论'甲说(.最
高分在乙2丙2丁三人之中/1乙说(.我不是第一'
第一是丙/1丙说(.甲2乙两人中有一人是第一/1
丁说(.乙说的是事实/!经过调查核实'四人中有
两人说的是真话'另外两人说的是假话'由此可判
断第一名是
"!!#
-.甲
/.乙
0.丙
1.丁
&!%细磨题&直线+!>#4%>!",$被圆#
%4+
%,"(
所截得的弦长的最小值为
"!!#
槡
槡
-.#
/.% #
槡
0.%
""
1.*
'!%研发题&已知;2<"4%:7;",%
"&'则>?<"!!
"
#
' ,
"!!#
-.")
)
/.!")
)
0.)
")
1.!)
")
(!%研发题&如图'正方形网格长度为"'某个物体的
三视图如图'其各个侧面的面积中最大的一个为
"!!#
-.%
/.槡(
%
槡
槡
0.% &
1.(
)!%研发题&已知函数%"##,;2<"!#4% "
#!'$'"%
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
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+
+
+
+
+
"*
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!!
!#
% '最小正周期为!'向右平移!
(个单位长度得到
偶函数图象'则%"##的图象
"!!#
-!关于#,!
&对称
/!关于#,!!
&对称
0!关于!
&'
"
#
$ 对称
1!关于!!
&'
"
#
$ 对称
!*!%研发题&如图',"1* 中'设6
7"1,!'6
7"*,"'"9,
"
%92'*2,"
%2:'1:,"
%:9'则6
7"2,
"!!#
A
M
P
C
N
B
-.&
"&!4+
"&"
/!#
"&!4+
"&"
0!&
)!4%
)"
1!+
"&!4&
"&"
A
B
C
D
!!!%研发题&如图'设三角形"1*
的角"'1'* 成等差数列'且满
足;2<""!*#!;2<1, !槡&
%'
1* 延长线上有一点8'满足
18,%'则三角形"*8 面积的最大值为
"!!#
-."
/.槡&
'
0.槡&
%
1.槡(
&
!"!%研发题&已知点9"!''$#'椭圆的长轴长为''设
左焦点为)"!''$#'过点) 作直线0"
0的斜率存在#
交椭圆于"'1 两点'若6
79),&
6
79"
" 6
79""4
6
791
" 6
791
"
#
"
"
&'
$#'则椭圆的离心率为
"!!#
-."
'
/.槡%
%
0."
%
1.槡&
%
二#填空题!本大题共(小题$每小题#分$共"%分!
把答案填在题中的横线上"
!#!%细磨题&若函数%"##,
678%#4"'#'$'
%"#4%#'##$
%
'
则
%"!&#,
!
!$!%细磨题&若实数#'+ 满足
#!+)!"'
#4+#"'
+)!"
2
3
4
'
则$,
%#4&+ 的最小值是
!
!%!%细磨题&已知7(!&#"!#!"
% #&'@(#
%!%#4
"!?
%#$"?'$#'且87 是8@的必要不充分条
件'则实数? 的取值范围是
!
!&!%细磨题&已知#"'#% 是函数%"##,&;2<%#4
:7;%#!? 在$'!
)
*
% 内的两个零点'则;2<"#"4
#%#,
!
三#解答题!本大题共$小题$共)%分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤"
!'!%细磨题&"本小题满分"%分#
设等比数列%(,&满足3&,)'(','(%'@'$!
""#求(,'3,1
"##是否存在实数&'使得%3,4&&成等比数列'
若存在'求出&'若不存在'请说明理由
+
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!
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!!
!(!%细磨题&"本小题满分"%分#
如图"'在五边形"13*8 中'"1,*8,%'*8.
"1'"1-"8'三角形31* 为边长为'的正三角
形'将三角形31* 沿1* 折起'使得点3 在平面
"1*8 上的射影恰好在线段"8 上'如图%
所示!
""#求证("8.平面31*1
"##求四棱锥3!"1*8 的侧面积!
C
D
A
B
S
S
D
C
A
B
!)!%细磨题&"本小题满分"%分#
吸烟有害健康'某机构为了调查当前烟民的年龄
分布情况随机抽取"$$名吸烟者按年龄分组(第
"组)%$'%##'第%组)%#'&$#'第&组)&$'&##'第
'组)&#''$#'第#组)'$''#*'得到的频率分布直
方图如图所示!
""#若从第&'''# 组中用分层抽样的方法抽取
(名'应从第&'''#组各抽取多少名0
"##在""#的条件下'该机构决定在第&''组的
志愿者中随机抽取% 名烟民做健康检查'求第
'组至少有一名烟民被抽中的概率!
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
20
25
30
35
40
45
+
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+
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!!
"*!%细磨题&"本小题满分"%分#
已知)""'$#'2 是平面上一动点'2 到直线?(
#,!"上的射影为点4'且满足
6
7244"
%
6
7
"
#
4) !
6
74),$'经过) 的直线0与点2 的轨迹* 相交于
两点"'1'直线"='1= 分别交直线? 于
点9 ':!!
""#求点2 的轨迹* 的方程1
"##求线段9: 的最小值!
"!!%研发题&"本小题满分"%分#
已知函数%"##,=
#!(#!6<"#4"#'(5'!
""#当(,$时'求函数的单调区间1
"##讨论函数%"##,=
#!(#!6<"#4"#'(5'
极值的情况'试求极值的最大值!
!!请考生在第""$"*两题中任选一题作答$如果多
做$则按所做的第一题记分!
""!%细磨题&"本小题满分"$分#选修'!'(坐标系与参
数方程
在直角坐标系#A+ 中'曲线* 的参数方程为
#,':7;#'
+,%;2<
%
#
"
# 为参数#'直线0 的参数方程为
#,%4-:7;"'
+,"4-;2<
%
"
"
-为参数#!
""#求曲线* 的直角坐标方程和直线0 的普通
方程1!
"##若曲线* 截直线0 所得线段的中点坐标为
"%'"#'求0的斜率!
"#!%研发题&"本小题满分"$分#选修'!#(不等式
选讲
""#解不等式"#4""4%#!%'$1
"##('"'"#4""4"(#4"")"
%对任意实数#
恒成立'求(的最小值
+
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题号
"
%
&
'
#
(
)
*
+
"$
""
"%
答案
一#选择题!本大题共!"小题$每小题#分$共$%分!
在每小题给出的四个选项中$只有一项是符合题
目要求的"
!!%研发题&已知集合9,%#"#
%!%#!&*$&':,
%#"!%*#*"&'则9$"9':#,
"!!#
-.)!%'"*
/."!"'"*
0.)"'&#
1."!%'&#
"!%研发题&设$,"4"!2
"42'则$!"%&
$!"#, "!!#
-.!&4%2
/.&42
0.%4&2
1.&!%2
#!%研发题&下列函数中'既是幂函数又在定义域内
是单调递增的函数是
"!!#
-!+,
槡
# #
/!+,#"#"
0!+,!#
%
1!+,#
$
$!%研发题&函数%"##,"=
#4=
!##!;2<# 的图象大
致为
"!!#
y
y
O
O
x
x
y
O
x
y
O
x
A
B
C
D
%!%研发题&已知函数%"##,%:7; %#!!
"
#
& '数列
%(,&前,项的和为3,'其中'(, 为3,'% ""!
"
#
(
的等
差中项'则((,
"!!#
-."(
/.&%
0.!"(
1.!&%
&!%研发题&已知函数%"##,:7;
%B#! "
%;2<
%B#!
"
'的零点间的最小距离是!
%'将函数+,%"##的图
象向右平移"
'个周期后'得到C"##的图象'下列结
论正确的是
"!!#
-!%"##在$'!
"
#
' 上单调递增'其图象关于直线
#,!
'对称
/!%"##在$'!
"
#
%
上单调递增'其图象关于直线
#,!
%对称
0!C"##在$'!
"
#
' 上单调递增'其图象关于直线
#,!
'对称
1!C"##在$'!
"
#
% 上单调递增'其图象关于直线
#,!
%对称
'!%研发题&有'个扶贫工作小组'甲2乙两名大学生
各自参加其中一个小组'每位学生参加各个小组
的可能性相同'则这两位学生参加不同小组的概
率为
"!!#
-."
&
/."
%
0.%
&
1.&
'
(!%细磨题&一个几何体的三视图如图所示'其中正
视图是一个正三角形'
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+
+
俯视图是一个等腰直角三
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!全国卷! 数学"文科##$"
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角形'则该几何体的表面积为
"!!#
1
1
3
槡
槡
槡
槡
-.&4"4 )
/.& %4%4 )
槡
槡
槡
槡
0.% )4"4 &
1.&4% )4%
)!%研发题&线性规划是运筹学中发展最快2应用广
泛2方法最成熟的一个重要分支'它是辅助人们进
行科学管理的一种数学方法'是研究线性约束条
件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方
法!英文缩写@A!若#'+ 满足约束条件
#!%+#%'
#!+)!"'
!"#+#"
2
3
4
'
则$,%#!+ 的最大值为
"!!#
-.(
/.)
0.*
1.+
!*!%研发题&已知函数%"##,%=
#4"
&#
&!'#!%
=
#'
其中=是自然对数的底数'若%"(
%!"#4%"'(4
'##$'对任意-5''不等式?-
%!?-4%)( 恒成
立'则实数? 的取值范围是
"!!#
-.)!%'(*
/.)!"'"$*
0.)$'"%*
1.)"'"'*
!!!%细磨题&已知函数%"##,=
#
#
% 4>6<#! "
%>#'若
#,%是函数%"##的唯一极值点'则实数> 的取
值范围是
"!!#
-! !5'=
%
"
#
%
/! !5'=
%
"
#
&
0! !5'=
%
"
#
'
1!"!5'=
%#
!"!%研发题&三棱锥2!"1* 中'21- 平面"1*'
,2"1 的面积为
槡
' &':"*1,($3'则三棱锥
2!"1* 外接球体积的最小值为
"!!#
-. 槡
#( &
& !
/. 槡
&% %
& !
0. 槡
'( %
& !
1. 槡
(' %
& !
二#填空题!本大题共(小题$每小题#分$共"%分!
把答案填在题中的横线上"
!#!%研发题&已知函数% #
" #
% ,#
&4(6<#
%的图象在
点""'%""##处的切线过点"%'&*#'则(,
!
!$!%研发题&已知等差数列%(,&的前, 项和为3,'
3(,#"'3"),'%#'则数列
"
(,!(,
%
&
4"
的前#项和
等于
!
!%!%研发题&已知双曲线+
%
(
% !#
%
&
% ,""('$'&'$#的
上2下顶点分别为""'"%'过"% 且与渐近线垂直
的直线分别与该渐近线和# 轴相交于1'* 两点'
= 为坐标原点'若1"6
7
%4% 6
71*,$'则双曲线的离
心率为
!
!&!%细磨题&如图'在直角梯形"1*8 中'"1-"8'
"1.*8'"1,''"8,*8,%'图中圆弧所在圆
的圆心为点*'半径为"'且点2 在图中阴影部分
"包括边界#运动!若6
7"2,
6
7
#"14+ 6
7"*'其中#'
+5''则*#4'+ 的取值范围是
!
D
A
B
P
C
三#解答题!本大题共$小题$共)%分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤"
!'!%研发题&"本小题满分"%分#
在锐角,"1* 中'内角"'1'* 的对边分别为('
&'
''且&;2<":7;14&:7;";2<1,槡&
%'!
""#若(,%',''求&1
"##若;2<";2<*, "
''且&
槡
,% &'求,"1* 的
面积
+
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!全国卷! 数学"文科##$#
!!
!(!%细磨题&"本小题满分"%分#
二手车经销商小王对其所经营的" 型号二手汽
车的使用年数# 与销售价格+"单位(万元3辆#进
行整理'得到如下数据(
使用年数#
%
&
'
#
(
)
售价+
%$
"%
*
(!'
'!'
&
$,6<+
&!$$ %!'* %!$* "!*( "!'* "!"$
下面是$关于# 的散点图(
z
0
3
2.5
2
1.5
1
0.5
2
3
4
5
6
7
x/
""#由散点图看出'可以用线性回归模型拟合$
和# 的关系'请用相关系数加以说明1
"##求+ 关于# 的回归方程'某辆" 型号二手汽
车售价大约为"'($$元'根据求出的回归方程预
测在收购该型号二手汽车时'车辆的使用年数不
得超过多少年0 "
5
&'
5
( 的值精确到$!$"#
参考公式(
5
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,
6,""#6!1
##"+6!&
+#
/
,
6,""#6!1
##
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相关系数D,
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,
6,""#6!1
##"+6!&
+#
/
,
6,""#6!1
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,
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+#
槡
%
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参考数据(/
(
6,"#6+6,"*)!'' /
(
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槡
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(
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槡
%;"&!+(' /
(
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槡
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6<"!'(;$!&*!
!)!%细磨题&"本小题满分"%分#
如图'多面体"1*8E) 中'四边形"1*8 是边
长为% 的正方形'平面"8E) 垂直于平面"1F
*8'且)" - "8'1* . 平面"8E)'E) ,
"),"!
""#设9 是线段*) 上一动点'求证(18-"91
"##若2'4 分别为棱1) 和8E 的中点'求证(
24.平面"1*81
"$#求多面体"1*8E) 的体积!
E
F
Q
P
A
D
B
C
"*!%细磨题&"本小题满分"%分#
已知椭圆#
%
(
%4+
%
&
% ,""('&'$#的离心率为"
%'过
点槡%'槡(
"
#
% !
""#求椭圆的标准方程1
"##若9 为+ 轴正半轴上的定点'过9 的直线0
交椭圆于"'1 两点'设= 为坐标原点'3,"=1 ,
!&
%>?<:"=1'求点9 的坐标
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"!!%细磨题&"本小题满分"%分#
已知函数%"##,(
%#
%!&(#46<#"(5'#!
""#求%"##的单调区间1
"##若对于任意的#)=
%"=为自然对数的底数#'
%"##)$恒成立'求(的取值范围!
!!请考生在第""$"*两题中任选一题作答$如果多
做$则按所做的第一题记分!
""!%研发题&"本小题满分"$分#选修'!'(坐标系与参
数方程
在直角坐标系#=+ 中'平面区域2(#4%)>"+"!
以坐标原点为极点'# 轴正半轴为极轴建立极坐
标系'曲线* 的极坐标方程为$,(:7;#!
""#求* 的直角坐标方程1
"##若* 在平面区域2 内'求>的取值范围!
"#!%研发题&"本小题满分"$分#选修'!#(不等式
选讲
已知函数%"##,"#4%>"4"%#!""">5'#!
""#若>,%'求不等式%"##)"%#!""4' 的
解集1
"##设>*!%'当#5)"'%*时都有%"##)#
%!
%#4''求>的取值范围
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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!数学"文科#$答!
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知识巩固卷!一"
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"
$
$
!
!!#答案$!
#考查角度$本题考查集合的交集运算!集合的元素
个数!
#解题分析$""+# 元素是指在集合" 中且又是正整
数的元素"满足条件的元素有%"&"'"一共' 个"故
选!!
"!#答案$"
#考查角度$本题考查共轭复数的概念!以及复数的乘
法与除法运算和复数的模"考查数学运算核心素养!
#解题分析$()
&*&* +%")
&*%, + -)".$
#+
/
%0&)+
/#%-&)$
#%0&)$#%-&)$+/#%-&)$
/
+%-&)".#+%0&)"则
%#% 槡
+ /"故选"!
#!#答案$"
#考查角度$本题考查几何体的三视图"掌握正俯长对
正!正侧高平齐!俯侧宽相等的基本原理"属于回归教
材的一种练习试题!
#解题分析$由俯视图是顶角为%&*1的等腰三角形"底
边长为
槡
& '"易得底边的高等于%"也就是说侧视图
的底边宽是%"正视图的高为&"也就是告诉我们侧视
图的高等于&"所以面积$+ %
& 2&2%+%"故选"!
$!#答案$!
#考查角度$本题考查二次函数对称轴"以及图象性质
的综合运用"考查运用数学基础知识解决问题的
能力!
#解题分析$由%#&-&$+%#30&$"得出函数图象关
于直线&+'对称"所以'+ -4"%#&$+&
&-4&0("
又%#&-)$&%#3$代入即可解得")&*或)'-&"故
选!!
%!#答案$!
#考查角度$本题考查双曲线方程中的)"'"
(的关系!
焦点坐标!渐近线方程!点到直线的距离公式"考查基
本数学运算能力的养成!
#解题分析$将-&
&03*
&+%4 化为双曲线的标准方
程为-&
&
%40*
&
3 +%"故'+3")+&"(
槡
+& /"则+#*"
槡
5& /$"由题意"渐近线方程为*+5 %
&&"*5 %
&&+
*"由点到直线的距离公式得,+
槡
& /
槡
/
3
+3"故选!!
&!#答案$#
#考查角度$本题考查对数运算!对数函数的单调性!
简单的对数不等式的解法!几何概型!
#解题分析$由*(678'&(& 可得678'%(678'&(
678',"而*+678'& 是#*"09$上的单调递增函数"所
以%(&(,"由几何概型的概率公式得
,-%
%%-#-%$+
&
' "故选#!
'!#答案$"
#考查角度$本题考查等比数列的性质"完全平方公
式"考查考生观察问题"解决问题的能力!
#解题分析$由题可知"数列%)-&为等比数列"由等比
数列性质可得)&)4 +)
&
3")'), +)
&
4"从而得到
#)30)4$
&+'4"由已知)- '*"可知公比.&*"则
)30)4+-4"故选"!
(!#答案$#
#考查角度$本题考查平均数!标准差!方差之间的关
系及运算!
#解题分析$由标准差是3"可知方差为%4"&&% -'"
&&&-'"'"&&--'的平均数等于&2/-'+:"方差
等于&
&2%4+43"故选#!
)!#答案$"
#考查角度$本题考查导数与函数单调性"二次函数图
象与判别式的处理!
#解题分析$%/#&$+-'&
&0&0&-'"因为函数%#&$
不是, 上的单调函数"所以导函数的图象和& 轴有
两个不同交点"故!+#&0$
&-32#-'$2#-'$&*"
解得0'-'或0&'"故选"!
!*!#答案$$
#考查角度$本题考查三角函数的最小正周期!图象
平移!诱导公式!特殊角的三角函数值!
#解题分析$因为1+&"所以"+&!
1 +!"%# $
%
'
+&
可得";7<!
' +&"所以"+3"所以%#&$+3;7<!&"
函数%#&$的图象向左平移%
& 个单位长度得到*+
3;7<! &0
#
$
%
&
+3;7< !&0 !
#
$
&
+-3<)=!&"故选$!
!!!#答案$$
#考查角度$本题考查数学文化!长方体表面积!体对
角线!以及体对角线与外接球的关系"球的体积
公式!
#解题分析$由题得该直四棱柱为长方体"设长!宽!
高分别为)"'"("所以得)0'0(+4"!!! "
&)'0&)(0&'(+&&"!
%
#
由
"式平方减去#式得)
&0'
&0(
&+%3+#&2$
&"2+
槡%3
& "3 +3!
' 2
'"其中2 为外接球的半径"3 +
槡
:
%3
'
!"故选$!
!"!#答案$!
#考查角度$本题考查椭圆方程中)"'"(的关系!离
心率的定义!短轴长的定义!三角形内切圆半径公
式!到直线距离的最值"考查考生综合运用数学知识
的能力!
#解题分析$由三角形内切圆面积为!得半径4+%"
而4+&$
5 "其中$"5 分别是三角形的面积与周长!由
椭圆定义可知三角形"6+& 周长5+3)"所以)+3
)
)
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!数学"文科#$答"
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因为&'+4"故'+'"椭圆方程为&
&
3
& 0*
&
'
& +%"椭圆上
任意一点7#3;7<#"'<)=#$到直线&0*-%*+*之的
距离,+%3;7<#0'<)=#-%*%
%
&0%
槡
&
*%/-%*%
槡&
+
槡
/ &
& "故
选!!
!#!#答案$&
#考查角度$本题考查直线倾斜角!三角函数的定义!
齐次式以及三角函数的基本运算!
#解题分析$$终边经过点7#-'"'$可得>?=$+ '
-'+
-%" &<)=$;7<$
<)=
&$-&;7<
&$ +
&<)=$;7<$
;7<
&$
<)=
&$-&;7<
&$
;7<
&$
+
&>?=$
>?=
&$-& +
&2#-%$
%-&
+&!
!$!#答案$%&*1或&!
'
#考查角度$本题考查向量模的定义及运算!向量垂
直的充要条件!向量夹角的范围及夹角公式!特殊角
的三角函数值!
#解题分析$因为向量!与向量&!0"垂直"所以!(
#&!0"$+*"所以&!
&0!("+*"所以!("+-&!
&+
-&"由"+#
槡
-& '"&$"可知%"%+
#
槡
-& '$
&0&
槡
&+
3"则;7<#+ !("
%!%%"%+ -&
%23+- %
& "而#+)*"!*"所以
!与"的夹角#为%&*1或&!
' !
!%!#答案$%*
&%
#考查角度$本题考查数列$- 与)- 的关系!数列裂
项相消求和"考查考生的运算求解能力!
#解题分析$数列%)-&的前- 项和$-+-
&"得到)%+
$%+%"当-*& 时")-+$--$--%+-
&- #--%$
&+
&--%"因为-+%也成立"所以)-+&--%" %
)-)-0%+
%
#&--%$#&-0%$+
#
%
&
%
&--%-
%
&-
$
0% "所以1%*+
)#
%
&
%
% -
$
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'
#
0
%
' -
$
%
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0' #
0
%
%,- %$*
&%
+
#
%
& %- %$
&% +%*
&%!
!&!#答案$3&-*0%4+*或3&-*-%@+*
#考查角度$本题考查换元法求解析式!用导数求切
线方程!平行线之间的距离公式!点斜式方程"考查
学生的综合运用能力!
#解题分析$设A
&+0"则&+6=0".%#
0$+6=00'0"即
%#&$+6=&0'&#&&*$"%#%$+'"故切点是#%"'$"
又%/#&$+ %
& 0'".8+%/#%$+3". 切线方程是
*-'+3#&-%$"即3&-*-%+*"设与切线平行的
直线的方程是3& - * 0 ( + *"
槡
.
%: +
%(-#-%$%
3
&0#-%$
槡
& "即%(0%%+%:".(+%4或-%@".所
求直线的一般方程是3&-*0%4+* 或3&-*-
%@+*!
!'!#考查角度$本题考查正弦!余弦定理角边互化!面积
最值或取值范围问题以及均值不等式的应用"考查
逻辑推理!数学运算!一题多法发散思维等数学思想
方法!
#$$先用正弦定理进行角边互化"再用三角函数中
两角和与差的正弦公式"即可求得6+#%$先由余弦
定理化角为边"再由均值不等式来解决+也可由正弦
定理化边为角"由和差角公式化为一个三角函数"由
角的范围求最值!
#解题分析$#$$由正弦定理知)+&2<)=""
'+&2<)=6"
(+&2<)=5"
其中2 为,"65 外接圆半径"
得&2<)="+&2<)=6;7<50&2<)=5<)=6"
即<)="+<)=6;7<50<)=5<)=6!
#&分$
又"+!-#605$"
.<)=" +<)=)!-#605$*+<)=#605$
+<)=6;7<50;7<6<)=5"
即<)=6;7<50;7<6<)=5+<)=6;7<50<)=5<)=6"
#3分$
.;7<6<)=5+<)=5<)=6!
(<)=5-*"
.;7<6+<)=6"且6 为三角形内角"
.6+ !
3 !
#4分$
#%$解法一,
'
&+)
&0(
&-&)(;7<6"
3+)
&0(
&-&)(;7<!
3 "
3+)
&0(
&
槡
- &)(*&)( 槡
- &)("
)((
3
槡
&- &
+&#
槡
&0 &$"
#,分$
当且仅当)+(时取-+."
$,"65 + %
&)(<)=6+槡&
3)((槡&0%"
故$,"65 的最大值为槡&0%!
#%&分$
解法二,由正弦定理"得
)+'<)="
<)=6 + &
槡&
&
2<)="
槡
+& &<)=""
同理得(
槡
+& &<)=5"
#@分$
.$,"65 + %
&)(<)=6
+槡&
3
槡
2& &<)="
槡
2& &<)=5
槡
+& &<)="<)=5
槡
+& &<)="<)= '!
3 -
#
$
"
槡
+& &<)=" <)='!
3;7<"-;7<'!
3<)=
#
$
"
+&#<)=";7<"0<)=
&"$
+<)=&"0%-;7<&"
槡
+ &<)= &"- !
#
$
3
0%"
#%%分
)
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!数学"文科#$答#
! !
.当&"- !
3 + !
& "即"+'!
@ 时"
$,"65 的最大值为槡&0%!
#%&分$
!(!#考查角度$本题考查直棱柱的定义及性质!线面平
行的多种判定方法及中位线定理"考查考生逻辑推
理能力!空间想象能力为主的数学思想方法综合运
用"考查数形结合!化归与转化思想!
#$$利用中位线定理和平行四边形定义"可得线线
平行"再由线面平行的判定定理即可得证+#%$三棱
锥体积的计算与等体积法的知识转换!
#解题分析$#$$证明,取"%5 的中点9"
连接79"95%!
#%分$
P
Q
A
C
B
B
A
C
G
(7"9": 分别为"%6""%5"6%5% 的中点"
.79.65"且79+ %
&65":5%.65"
且:5%+ %
&65"
.79.:5% 且79+:5%"
.四边形7:5%9 为平行四边形"
.7:.95%!
#3分$
又7:/平面"%"55%"95%0平面"%"55%"
.7:.平面"%"55%!
#4分$
#%$由已知得"%6%+"%5%": 为6%5% 的中点"
."%:16%5%!
#@分$
(棱柱"65/"%6%5% 为直棱柱"
."%:155%!
又6%5%"55%0平面6%655%"
且6%5%"55%+5%"
."%:1平面6%655%!
#%*分$
."%: 是棱锥"%/:65 的高!
(26"5+,*1""6+"5
槡
+' &"
.65+4""%:+'!
又55%+""%+&"
.$,:65 + %
& (65(55%+ %
& 242&+4" #%%分$
.3"/:65 + %
' ($,:65 ("%:+ %
' 242'+4"
.36/":5 +3"/:65 +4!
#%&分$
!)!#考查角度$本题考查最小二乘法求线性回归方程的
相关知识"考查学生的运算求解和思维转换能力"考
查数学运算!数据分析和数学建模核心素养!
#$$本题是统计与实际生活例子的结合"由最小二
乘法公式求;
'"再由过样本点的中心"得线性回归方
程+#%$代&+%&"即可得*!
#解题分析$#$$由题意知
&+ %
/ #&0'030/04$+3"
*+ %
/ #&!'0'!:0/!/04!/0:!*$+/"
#&分$
;
'+&2&!
'0'2'!
:032/!
/0/24!
/042:-/232/
#30,0%40&/0'4$-/2%4
+%!&&"
#4分$
;
)+/-32%!&&+*!%&"
所求线性回归方程为;
*+%!&&&0*!%&!
#@分$
#%$当自变量&+%&时"预计维修费用是
*+%!&&2%&0*!%&+%3!:4#万元$!
答,当使用年限为%& 年时"预计维修费用是%3!:4
万元!
#%&分$
"*!#考查角度$本题考查抛物线标准方程及直线与抛物
线的位置关系的应用与掌握程度"探求直线经过定
点"考查考生的分析能力!计算能力"考查分类讨论"
变量转换等数学核心素养!
#名师指导$#$$由椭圆焦点即可得抛物线的< 值+
#%$直线与抛物线联立"利用韦达定理和中点坐标
公式即得= 坐标"5>1"6"得85> "同理得点? 坐
标"直线=? 恒过定点归结为用参数把直线的方程
表示出来"无论参数如何变化这个方程必有一组常
数解!
#解题分析$#$$由题意知+#%"*$"
则<
& +%"<+&"
所以抛物线的标准方程为*
&+3&!
#'分$
#%$证明,由题意知直线"6 的斜率存在且不为*"
设@"6 ,*+8#&-%$#8-*$"代入*
&+3&"
得8
&&
&-
&0&$&08
&+*"
得&= +&"0&6
&
+8
&0&
8
&
"又*= +8#&= -%$+ &
8 "
故= 8
&0&
8
&
"&
#
$
8
!
#:分$
因为5>1"6"所以85> +- %
8 !以- %
8 代8"
同理"可得?#&8
&0%"-&8$!
所以直线=? 的方程为
&8
&0%-8
&0&
8
#
$
&
#* 0 &8$+
-&8- &
#
$
8
#& -
&8
&-%$"
#,分$
化简整理"得#8
&-%$*+8#'-&$"
该方程对任意8恒成立"故得&+'"
*+*
%
!
故不论8为何值"直线=? 恒过点#'"*$!
#%&分$
"!!#考查角度$本题考查导数与函数的单调性与极值!
不等式的恒成立问题及求参数的取值范围的知识"
考查考生的运算求解!逻辑推理能力"考查数学运
算!分析转化!逻辑推理和数学建模核心素养!
#$$本题求导等于*"即得极值点"讨论增减性后即
可代入得极小值+#%$作差构造函数"由) 的取值范
围得单调性"A#&$*A#*$+*"得证!
#解题分析$#$$由题意得"+#&$+A
&-&&0&)"
&+,"
则+/#&$+A
&-&"&+,!
令+/#&$+*"得&+6=&!
于是当& 变化时"+/#&$"+#&$的变化情况如下表
)
)
)
)
)
)
)
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!数学"文科#$答$
! !
&
#-9"
6=&$
6=&
#6=&"09$
+/#&$
-
*
0
+#&$
单调递减
极小值
单调递增
故+#&$的单调递减区间是#-9"
6=&$"
单调递增区间是#6=&"09$"
#'分$
+#&$在&+6=&处取得极小值"
极小值为+#6=&$+A
6=&-&6=&0&)+&#%-6=&0)$"
无极大值!
#/分$
#%$证明,设B#&$+&
&-&)&0("B#*$+%"
所以(+%"
所以B#&$+&
&-&)&0%"
设A#&$+%#&$-B#&$+A
&-&
&0&)&-%"&+,"
#:分$
于是A/#&$+A
&-&&0&)"&+,!
由#$$知当)&6=&-%时"
A/#&$取最小值为A/#6=&$+&#%-6=&0)$&*!
#,分$
于是对任意&+,"都有A/#&$&*"
所以A#&$在, 内单调递增!
于是当)&6=&-%时"对任意&+)*"09$"
都有A#&$*A#*$!
#%%分$
而A#*$+*"从而对任意&+)*"09$"
都有A#&$**!
即A
&-&
&0&)&-%**"
故A
&*&
&-&)&0%"即%#&$*B#&$!
#%&分$
""!#考查角度$本题考查参数方程与普通方程的转化"
极坐标方程与直角坐标方程的转化"直线与抛物线
的位置关系!
本题利用直接法将参数方程和极坐标方程都化成直
角坐标方程后"用两点间距离公式即可求解!
#解题分析$#$$( &
槡
+40 &0"
* 槡
+ &
%
0
#
0为参数$"
消去参数0得*04+&"
.曲线5% 对应的普通方程为&-*-4+*! #'分$
又(%<)=
&#+@;7<#".%
&<)=
&#+@%;7<#"
(&+%;7<#"*+%<)=#"
.曲线5& 对应的直角坐标方程是*
&+@&! #4分$
#%$由#$$得方程组&-*+4"
*
&+@&
%
"
得&+&"
*
%+-3
或&+%@"
*+%&
%
"
#@分$
所以"#&"-3$"6#%@"%&$"
所以"6+
#%@-&$
&0)%&-#-3$*
槡
&
槡
+%4 &!
即线段"6 的长为
槡
%4 &!
#%*分$
"#!#考查角度$本题考查绝对值不等式的解法"柯西不
等式及恒成立求参数的取值范围!
#$$零点分段法讨论得解+#%$先用绝对值三角不
等式的性质求得最小值"再利用柯西不等式即可
求解!
#解题分析$#$$因为)+'+(+%"
所以%#&$+%&0%%0%&-%%0%!
当&&%时"&0%0&-%&&"得&&%"
当-%(&(%时"不等式不成立"
当&'-%时"-&-%0%-&&&"得&'-%!
所以不等式的解集为#-9"-%$3#%"09$! #/分$
#%$由绝对值三角不等式的性质得
%&0)%0%&-'%0(*%#&0)$- #&-'$%0(+
%)0'%0("!
)"
'"
(均为正实数"所以%)0'%+)0'!
所以%#&$的最小值为)0'0(!
已知%#&$的最小值为3"
所以)0'0(+3!
#@分$
由%
) 0 %
' 0 %
( *8"得
%
3 #)0'0($ %
) 0 %
' 0 %
#
$
(
* %
3 2'2
'槡)'(2'2
' %
槡
)'(+ ,
3 *8"当且仅当)+'+(时取等号!
所以8( ,
3 !
#%*分$
知识巩固卷!二"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
"
!
#
#
!
$
"
#
"
"
!
$
!!#答案$"
#考查角度$本题考查一元二次不等式!集合的概念及
交集运算"考查运算求解能力"考查逻辑推理!数学抽
象!数学运算的核心素养!
#解题分析$6+%&%&
&-'&(*&+)*"'*"""6+%*"
%&"故选"!
#方法技巧$遇到集合运算问题应注意以下三点,
"看元素组成!集合是由元素组成的"从研究集合中
元素的构成入手是解决集合运算问题的关键+
#对集合化简!有些集合是可以化简的"先化简再研
究其关系并进行运算"可使问题简单明了!易于解决+
&注意数形结合思想的应用"常用的数形结合形式有
数轴!坐标系和韦恩#BA==$图!
"!#答案$!
#考查角度$本题考查复数的基本运算"考查运算求解
能力"考查数学运算素养!
#解题分析$由题意"#+))且)&*"且%#%+%"所以
#+)" )
%0#+ )
%0)+
)#%-)$
#%0)$#%-)$+%0)
& "故选!!
#名师点睛$首先对于复数的四则运算"要切实掌握其
运算技巧和常规思路"如#)0')$#(0,)$+ #)(-
',$0#),0'($
)"#)"'"(!,+,$!其次要熟悉复数相
关的基本概念"如复数)0')#)"'+,$的实部为)"虚
部为'"模为
)
&0'
槡
&"在复平面内对应的点为#)"'$"
共轭复数为)-')!
#!#答案$#
#考查角度$本题考查扇形图!折线图的基础知识"考
查运算求解能力"考查数形结合思想!
#解题分析$设小明这个月工资为& 元"则由题意得
4***2%/C -&2%*C +%**"解得&+@***"故
选#
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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)
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!数学"文科#$答%
! !
$!#答案$#
#考查角度$本题考查程序框图基本逻辑结构"考查推
理计算能力"考查数学运算!数学建模核心素养!
#解题分析$第一次循环,&+%"C+@03+%&"-+&2
&+3+第二次循环,&+&"C+%&04+%@"-+@+第三
次循环,&+'"C+%@0,+&:"-+%4+第四次循环,
&+3"C+&:0&:
& +@%
& "-+'&+第五次循环,&+/"
C+@%
& 0@%
3 +&3'
3 "-+43"结束循环"故选#!
#名师点睛$先明确算法及流程图的相关概念"包括选
择结构!循环结构!伪代码"其次要重视循环起点条
件!循环次数!循环终止条件"更要通过循环规律"明
确流程图研究的数学问题"是求和还是求项!
%!#答案$!
#考查角度$本题考查推理与证明"考查推理计算能
力"考查数学运算!数学建模的核心素养!
#解题分析$在甲!乙!丙!丁四人的对话中"可以看出
乙!丁两人的观点是一致的"因此乙!丁两人的对话应
该是同真或同假#即都是真话或者都是假话"不会出
现一真一假的情况$!假设乙!丁两人说的是真话"那
么甲!丙两人说的是假话"由乙说真话推出丙是第一
的结论"由甲说假话"推出乙!丙!丁三人不是第一的
结论"显然这两个结论是相互矛盾的"所以乙!丁两人
说的是假话"而甲!丙两人说的是真话"由甲!丙的对
话可以断定乙是第一名"故选!!
#教材链接$推理与证明,人教" 版选修&-&D:*!
&!#答案$$
#考查角度$本题考查直线与圆的位置关系!点到直线
的距离公式"考查推理论证能力"考查逻辑推理!数学
抽象!数学运算素养!
#解题分析$已知*-8&0&8-%+*恒过点=#&"%$"
且点= 在圆的内部"所以当直线*-8&0&8-%+*
与D= 垂直时"相交弦最短"因为D=
槡
+ /"圆的半径
4+3"所以半弦长为槡%%"全弦长为
槡
&
%%"故选$!
'!#答案$"
#考查角度$本题考查同角三角函数的基本关系!两角
和与差的三角函数公式的运用"考查推理论证能力"
考查逻辑推理!应用意识!数学抽象!数学运算的核心
素养!
#解题分析$因为<)=$0&;7<$+ &
%'"<)=
&$0;7<
&$+%"可
得<)=$+%&
%'"
;7<$+- /
%'"则>?=$+-%&
/ "
>?=$- !
#
$
3
+
>?=$->?= !
3
%0>?=$>?= !
3
+
-%&
/ -%
%-%&
/
+%:
: "故选"!
(!#答案$#
#考查角度$本题考查由几何体的三视图还原直观图"
考查空间想象力!识图能力及计算能力"考查逻辑推
理!数学抽象!识图看图的核心素养!
#解题分析$画出该几何体的直观图可知"其为四棱锥
7-"65>"$,75> +$,"7> + %
& 2&2&+&"$,765 +
$,"76 + %
&
槡
槡
槡
2& &2 '+ 4"故选#!
D
A
C
B
P
#方法归纳$#%$由实物图画三视图或判断!选择三视
图时需要遵循-长对正!高平齐!宽相等.的原则+
#&$由三视图还原实物图"解题时首先对柱!锥!台!球
的三视图要熟悉"再复杂的几何体也是由这些简单的
几何体组合而成的+其次"要遵循以下三步," 看视
图"明关系+#分部分"想整体+&综合起来"定整体!
)!#答案$"
#考查角度$本题考查简单的三角恒等变换!三角函数
图象的平移变换!三角函数的对称性"考查推理运算
能力"考查逻辑推理!应用意识!数学抽象!数学运算
的核心素养!
#解题分析$因为函数%#&$+<)=#"&0& #
$"&*"%&%'
!$
&
的最小正周期为!"所以"+&"向右平移!
4 个单位
长度得到偶函数图象"则E#&$
#
+<)= &&- !
' 0 $
#
&
"&*"%&%' !$
&
"&+- !
4 "所以%#&$
#
+<)= &&-
!$
4
"对称轴&&- !
4 +8!0 !
& "8+-"解得&+8!
& 0
!
' "8+-"故选"!
#思维提升$在三角函数的图象变换中"无论是-先平
移后伸缩."还是-先伸缩后平移."须记清每次变换均
对& 而言!
!*!#答案$"
#考查角度$本题考查平面向量基本定理"考查运算
求解能力"考查逻辑推理!数学运算的核心素养!
#解题分析$由题意得4
5"7+ 4
5"50 4
557+ 4
5"50 %
'
4
55?+
4
5"50 %
' #4
5560 4
56?$+ 4
5"50 %
'
4
5560 %
' 2 %
'
4
56= +
4
5"50 %
'
4
5"6- %
'
4
5"50 %
,
4
56"0 %
,
4
5"= + &
'
4
5"50
&
,
4
5"60 %
,
4
5"=+ &
'
4
5"50 &
,
4
5"60 %
&:
4
5"7"所以&4
&:
4
5"7+
&
'
4
5"50 &
,
4
5"6"4
5"7+ ,
%'
4
5"50 '
%'
4
5"6+ '
%'!0 ,
%'""故
选"!
!!!#答案$!
#考查角度$本题考查基本不等式!正弦定理!余弦定
理"考查推理运算能力"考查逻辑推理!数学运算的
核心素养!
#解题分析$因为三角形"65 的角""6"5 成等差数
列"所以6+ !
' "<)=#"-5$-<)=6+-槡'
& "所以"
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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! !
6+5+ !
' "设边长为&"由已知有*'&'&"则
$,"5> + %
& & #&-&$<)= &!
' + 槡'
3 & #&-&$(
槡'#
3
&0&-&$
&
&
+槡'
3 #当且仅当&+&-&"即&+%
时取等号$"故选!!
#易错点晴$正弦定理和余弦定理是高中数学中较
为重要的知识点和考点!本题根据三角函数化简以
及三角形面积公式得到面积最大值!
!"!#答案$$
#考查角度$本题考查圆锥曲线的几何性质"考查逻
辑思维能力!推理运算能力"考查逻辑推理!数学抽
象!数学运算的核心素养!
#解题分析$(@ 的斜率存在"可设直线@ 为*+
8#&0($"代入椭圆方程&
&
3 0*
&
'
& +%#*'''&$可得
#'
&038
&$&
&0@(8
&&038
&(
&-3'
&+*"设"#&%"*%$"
6#&&"
*&$"则&%0&&+- @(8
&
'
&038
&"&%&&+38
&(
&-3'
&
'
&038
& "又
4
5=++'
4
5="
% 4
5="%0
4
5=6
% 4
5=6
#
$
%
#'&*$"直线=+ 恰好平分
2"=6".8"= 086= +*"即
*%
&%030
*&
&&03+*"
.*%#&&03$0*&#&%03$+*"8#&%0($#&&03$0
8#&&0($#&%03$+*".&&%&&0#30($#&%0&&$0
@(+*".&238
&(
&-3'
&
'
&038
&
0 #30($ - @(8
&
'
&038
#
$
&
0
@(+*".@('
&-@'
&+*".(+%"又)+&".F+ %
& "
故选$!
!#!#答案$%
#考查角度$本题考查函数性质"考查推理运算能力"
考查逻辑推理"数学抽象"数学运算素养!
#解题分析$%#-'$+%#-'0&0&$+%#%$+678&%0
%+%!
!$!#答案$-:
#考查角度$本题考查简单的线性规划"考查推理运
算能力"考查逻辑推理!数学抽象!数学运算素养!
#解题分析$不等式组表示的平面区域如图中的
,"65#及其内部$由#+&&0'* 得*+ - &
'&0
#
' "平移直线*+ - &
'&0 #
' "由图象可知当直线
*+- &
'&0 #
' "经过点6 #-&"-%$时最小"
#E)=+-:!!
y
x
O
1
1
2
3
4
5
2 3 4 5
1
1
2
3
4
5
2
3
4
5
A
B
y=
y= x
y=x
2
3
z
3
!%!#答案$C*@
#考查角度$本题考查充要条件与集合之间的关系!
一元二次不等式的解法"考查推理能力与计算能力!
#解题分析$由题意知"<,-'(%-&-%
& ('"-'(
&(,"6<,&' -' 或&&,".,&
&-&&0%-C
&(*
#C&*$"%-C(&(%0C"6.,&'%-C 或&&%0
C"因为6< 是6. 的必要不充分条件"所以
C&*"
%-C(-'"
%0C*,
7
8
9
"
解得C*@!
#教材链接$充要条件与必要条件,人教" 版选修
&-%!D,!
!&!#答案$ 槡
'
%*
%*
#考查角度$本题考查函数的图象!函数的零点"考查
推理论证能力!化归与转化能力!运算求解能力"考
查函数与方程思想!数形结合思想!应用创新意识!
#解题分析$%#&$+'<)=&&0;7<&&-C
槡
+
%*<)=#&&0
&$-C"因为&%"&& 是函数%#&$ 槡
+
%*<)=#&&0&$-
C 在*"!
)
*
&
内的两个零点"所以%#&%$ 槡
+ %*<)=#&&%0
&$-C +*"%#&&$
槡
+
%*<)=#&&& 0&$-C +*"
<)=#&&%0&$+<)=#&&&0&$!因为&%-&&"则&&%0
&0&&& 0&+!"&% 0&& 0&+ !
& "'<)=#&% 0&&$0
;7<#&%0&&$ 槡
+
%*<)=#&%0&&0&$
槡
+
%*"又因为
<)=
&#&%0&&$0;7<
&#&%0&&$+%"&%0&&+)*"!*"
所以<)=#&%0&&$+
槡
'
%*
%*
!
!'!#考查角度$本题考查求数列通项的方法"考查推理
运算能力"考查数学抽象!数学运算的核心素养!
#$$利用等比数列的定义求解+#%$求出前三项"根
据等比数列的性质求出' 的值"需验证' 是否符合
题意!
#解题分析$#$$设等比数列公比为."
由$'+:")3+3)&"
得)%0)%.0)%.
&+:"
)%.
'+3)%.
%
"
#'分$
所以)%+%".+&"或)%+ :
' ".+-&#舍$"
因为.&*"所以)-+&
--%"
$-+&
--%!
#4分$
#%$$%0'+%0'"$&0'+'0'"$'0'+:0'"
#@分$
由等比中项的性质可得
#'0'$
&+#%0'$#:0'$"
'+%"
#%*分$
当'+%时"$-0%+&
-"
此时$-0%0%
$-0% +&"满足%$-0'&成等比数列!#%&分$
!(!#考查角度$本题考查线面平行的判定和侧面积的求
法"考查推理论证能力!空间想象能力!运算求解能
力"考查数形结合思想"考查逻辑推理!数学抽象!数
学运算的核心素养
)
)
)
)
)
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#$$求证线面平行"一般是构造平行四边形或者是
面面平行性质来证明+#%$逐步的寻找各个三角形
的面积"逐个求解!
#解题分析$#$$证明,在五边形"6$5> 中"
"6+5>+&"5>."6""61">"
.四边形"65> 为矩形"
.">.65"
#'分$
">/平面$65"650平面$65"
.">.平面$65!
#4分$
#%$由将三角形$65 沿65 折起"使得点$ 在平面
"65> 上的射影恰好在线段"> 上"
易得"61$""同理5>1$>"
S
D
C
A
B
O
("6+5>+&"$6+$5+3"
则由勾股定理可得$"+$>
槡
+& '"
.$,$65 +槡'
3 23
&
槡
+3 '"
$,$"6 +$,$5> + %
&5>($>+ %
&
槡
槡
2&2& '+& '"
#@分$
过点$ 作$D1"> 于点D"则$D1">"
$D
&+$"
&-"D
&+# 槡
& '$
&-&
&+@"$D
槡
+& &"
.$,$"> + %
&
槡
槡
232& &+3 &"
#%*分$
.四棱锥$-"65> 的侧面积为$
槡
槡
+@ '03 &!
#%&分$
!)!#考查角度$本题考查数据的计算和古典概型"考查
学生数据处理能力!识图能力!应用意识"考查逻辑
推理!数学抽象!数学运算的核心素养!
#$$先分别求出这'组的人数"再利用分层抽样的
方法即可得出答案+#%$利用古典概型的概率计算
公式即可得出!
#解题分析$#$$第'组的人数为
*!*42/2%**+'*"
第3组的人数为*!*32/2%**+&*"
第/组的人数为*!*&2/2%**+%*!
#'分$
因为第'"3"/组共有4*人"
利用分层抽样的方法在4*人中抽取4名"
第'组抽取的人数为'*
4*24+'+
第3组抽取的人数为&*
4*24+&+
第/组抽取的人数为%*
4*24+%!
所以应从第'"3"/组各抽取'人"&人"%人!#4分$
#%$记第'组的'人为"%""&""'"
第3组的&人为6%"6&"
则从/人中抽取&名有
#"%""&$"#"%""'$"#"%"6%$"#"%"6&$"#"&""'$"
#"&"6%$"#"&"6&$"#"'"6%$"#"'"6&$"#6%"6&$"共
有%*种等可能的结果"
#,分$
其中第3组的& 人6%"6& 至少有一名被抽中的有
#"%"6%$"#"%"6&$"#"&"6%$"#"&"6&$"#"'"6%$"
#"'"6&$"#6%"6&$"共有:种"
所以第3组至少有一人被抽中的概率为:
%*!#%&分$
"*!#考查角度$本题考查抛物线的几何性质"考查推理
运算能力"考查逻辑推理!数学抽象!数学运算的核
心素养!
#$$利用坐标法表示向量"利用
4
57:0 %
&
4
5
#
$
:+ (
4
5:++*求得曲线方程"#%$利用直线和曲线关系联
立方程表达="? 的坐标"表示成函数求解!
#解题分析$#$$设曲线5 上任意一点7#&"*$"
又+#%"*$":#-%"*$"
从而4
57:+#-%-&"*$"4
5:++#&"-*$"
#&分$
4
57:0 %
&
4
5:++
-&"- %
&
#
$
* "
由
4
57:0 %
&
4
5
#
$
:+ ( 4
5:++*"得
-&"- %
&
#
$
* (#&"-*$+*"
#3分$
即-&&0 %
&*
&+*!
化简得*
&+3&"即为所求的7 点的轨迹5 的方程!
#4分$
B
M
y
O
F
x
A
N
#%$设" *
&
%
3 "*
#
$
%
"6 *
&
&
3 "*
#
$
&
"
.8"D + 3
*%
"86D + 3
*&
"
.直线"D 的方程是*+ 3
*%&"
#@分$
由*+ 3
*%&"
&+-%
7
8
9
"
得*= + 3
-*%
"
同理由*+ 3
*&&"
&+-%
7
8
9
"
得*? + 3
-*&
"
.%=?%+%*= -*?%+
3
-*%- 3
-*&
+3 *%-*&
*%*&
"!"
设直线"6 的方程为&+'*0%"
联立*
&+3&"
&+'*
%
0%
可得*
&-3'*-3+*"
#,分
)
)
)
)
)
)
)
)
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)
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)
)
)
)
)
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)
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由韦达定理得*%*&+-3"*%0*&+3'"
.%*%-*&%+
#*%0*& $
&-3*%*
槡
&+3
'
&
槡0%"
代入"得%=?%+%*%-*&%+3
'
&
槡0%*3"
当且仅当'+*时"%=?%取得最小值3"
#%%分$
综上所述"%=?%的最小值是3!
#%&分$
"!!#考查角度$本题考查导数研究函数的单调性"考查
推理运算能力"考查逻辑推理!数学抽象!数学运算
的核心素养!
#$$求出函数的导数"解关于导函数的不等式"求出
函数的单调区间即可+#%$根据函数的单调性求出
函数%#&$在&+&* 处取得极小值% #&$极小值+
A
&* -)&* -6=#&* 0%$"得到% #&$极小值+A
&* -
A
&*-
%
&*
#
$
0% &*-6=#&*0%$"令<#&$+A
&
#
- A
& -
%
&
$
0% &-6=#&0%$+ #%-&$A
& -6=#&0%$0%-
%
&0%"根据函数的单调性求出<#&$的最大值"从而
求出%#&$的极小值的最大值!
#解题分析$#$$由题意知"
函数的定义域为#-%"09$"
#%分$
当)+*时"%/#&$+A
&- %
&0%"
令B#&$+A
&- %
&0%"
B/#&$+A
&0
%
#&0%$
&&*"
#3分$
所以B#&$+A
&- %
&0%在#-%"09$上单调递增"
B#*$+%/#*$+*"当&+#-%"*$"%/#&$'*"%#&$单
调递减"
当&+#*"09$"%/#&$&*"%#&$单调递增! #4分$
#%$%#&$+A
&-)&-6=#&0%$")+,"
%/#&$+A
&- %
&0%-)"
由#$$可得"%/#&$在#-%"09$上单调递增"
当&4-%时"%/#&$4-9+
当&409时"%/#&$409"
则%/#&$+*有唯一解&*!
%#&$+A
&-)&-6=#&0%$有极小值"
% #&$极小值+A
&* -)&*-6=#&*0%$"
%/#&*$+A
&* -
%
&*0%-)+*")+A
&* -
%
&*0%"#@分$
所以%#&$
极小值+A
&* - A
&* -
%
&*
#
$
0% &*-6=#&*0%$"
设<#&$+A
&- A&- %
&
#
$
0% &-6=#&0%$
+#%-&$A
&-6=#&0%$0%- %
&0%"#%*分$
</#&$+-& A
&0
%
#&0%$
#
$
&
"
当&+#-%"*$时"</#&$&*"<#&$单调递增"
当&+#*"09$时"</#&$'*"<#&$单调递减"
<E?F+<#*$+%"
所以函数%#&$+A
& -)&-6=#&0%$")+, 极小值
的最大值为%!
#%&分$
""!#考查角度$本题考查直线的参数方程中参数的几何
意义"考查运算求解能力"考查逻辑推理!数学抽象!
数学运算的核心素养!
#$$曲线5 可以利用;7<
�<)=
&#+%来消去参数"
直线@可以直接消去参数0"同时注意$ 的分类讨
论+#%$将@的参数方程代入5 的直角坐标方程"列
出含0的一元二次方程"可以利用0的意义和$ 的意
义进行解题!
#解题分析$#$$5 的直角坐标方程为&
&
%40*
&
3 +%"
#&分$
当;7<$+*时"
@的直角坐标方程为&+&+
当;7<$-*时"
@的直角坐标方程为
*+>?=$(&0%-&>?=$!
#/分$
#%$将@的参数方程代入5 的直角坐标方程"整理
得关于0的方程
#%0'<)=
&$$
0
&03#;7<$0&<)=$$
0-@+*!!##$
因为曲线5 截直线@所得线段的中点#&"%$在5 内"
所以##$有两个解"
设为0%"
0&"则0%00&+*!
#@分$
又由##$得0%00&+-3#;7<$0&<)=$$
%0'<)=
&$
+*"
故;7<$0&<)=$+*"
于是直线@的斜率为8+>?=$+- %
& !
#%*分$
"#!#考查角度$本题考查绝对值不等式"考查运算求解
能力"考查逻辑推理!数学抽象!数学运算的核心
素养!
#$$解含有绝对值的不等式"一般用的方法就是通
过零点分段法"得到分段函数"分别求解"最后求并
集+#%$转化为函数最小值的问题即可!
#解题分析$#$ $%&0%%0&&-&&* 等价于
&0%**"
&0%0&&-&&
%
*
或&0%'*"
-&-%0&&-&&*
%
"
#'分$
解得&+
%
' "09
#
$!
#/分$
#%$令E#&$+%&0%%0%)&0%%"
()&%"
.-%'- %
) "
.E#&$+
-#)0%$&-&"&'-%"
#%-)$&"
-%(&(- %
) "
#)0%$&0&" &&- %
)
7
8
9
"
#@分$
易得函数E#&$在
-9"- %
#
$
)
上单调递减"
在
- %
) "09
#
$上单调递增"
E#&$
E)=+E - %
#
$
)
+%- %
) * %
& "
解得)*&"
.)的最小值为&!
#%*分
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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知识巩固卷!三"
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!
#
$
#
"
!
$
"
#
!!#答案$$
#考查角度$本题考查集合的交集补集运算"考查运算
求解能力"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$由&
&-&&-''*得-%'&''"又:,?+
%&%&(-&或&*%&"所以="#:,?$+%&%%(&'
'&"故选$!
"!#答案$!
#考查角度$本题考查复数的概念与运算"考查运算求
解能力"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$因为#+%0%-)
%0)+%-)"所以$
#+%0)"所
以#(#&$
#-%$+#%-)$2#&0&)-%$+'0)"故选!!
#!#答案$"
#考查角度$本题考查幂函数的性质"考查逻辑推理能
力"考查数形结合的数学思想!
#解题分析$四个选项中的是幂函数有""$"#"故排
除!+又因为*+-&
& 在定义域内先增后减"不满足
单调递增"*+&
* 在定义域内不满足单调性的概念"
排除$"#"故选"G
$!#答案$!
#考查角度$本题考查函数的图象与性质"考查数形结
合思想"考查数学运算和直观想象的核心素养!
#解题分析$因为%#-&$+#A
-& 0A
&$(<)=#-&$+
-#A
-&0A
&$(<)=&+-%#&$"所以函数%#&$是奇函
数"根据奇函数的图象性质可排除""#"又因为函数
%#&$的定义域是全体实数"排除$"故选!!
#方法点拨$本题考查利用函数的奇偶性与单调性来
选取正确的函数图象!考查了利用特殊值法解选择题
的技巧!首先根据奇偶性来排除"奇函数图象关于原
点对称"偶函数图象关于* 轴对称!然后利用特殊点
来排除!也可以利用导数来判断"注意极值点的位置"
可以令导数为零"求得极小值点对应的横坐标为负数
来选出正确选项!
%!#答案$#
#考查角度$本题考查等差中项和数列的特定项求值!
数列的求和"考查运算求解能力"考查逻辑推理的核
心素养!
#解题分析$% %%!
# $
4
+&;7< &2%%!
4-!
#
$
'
+&;7< %*!
# $
'
+
-&;7<!
' +-%"又因为)- 为$-"% %%!
#
$
4
的等差中
项"所以&)-+$--%"当-+%时")%+$%"&)%+$%-
%")%+-%+当-&%时")-+$--$--%"&)-+$--%!
""&)--%+$--%-%!#""-#"得)-+&)--%!所以
数列%)-&是以)%+-%为首项"以&为公比的等比数
列!)4+-%2&
/+-'&"故选#!
#教材链接$人教" 版必修/D:3章末小结!
&!#答案$$
#考查角度$本题考查三角函数的图象与性质"考查数
形结合思想"考查逻辑推理的核心素养!
#解题分析$%#&$+;7<
&G& - %
& <)=
&G& - %
3 +
%0;7<&G&
&
- %
& 2%-;7<&G&
&
- %
3 + '
3;7<&G&"因
为函数%#&$+;7<
&G&- %
&<)=
&G&- %
3 的零点间的
最小距离是!
& "所以最小正周期1+!+&!
&G"所以G+
%"%#&$+ '
3;7<&&"%
31+ !
3 "E#&$+ #
% &- !$
3
+
'
3;7<& &- !
#
$
3
+ '
3<)=&&"当*'&' !
3 时"*'&&'
!
& "故E#&$+ '
3<)=&& 在*"!
#
$
3
上单调递增"又当
&+ !
3 时"'
3<)= &2 !
#
$
3
+ '
3 "因此&+ !
3 是*+
E#&$的一条对称轴"故选$!
#考向分析$三角函数的图象与性质是高考的重要知
识模块"在实际命题中常把三角函数的性质!三角函
数图象的平移相结合进行考查"有时候会融入三角函
数的计算"总体难度属于中等"但需要充分理解三角
函数的变化特点才能真正得出结论!
'!#答案$#
#考查角度$本题考查古典概型概率的求解"考查应用
意识!
#解题分析$甲!乙两位学生参加3个小组的所有可能
性有323+%4#种$"其中甲!乙两人参加不同小组的
情况有32'+%&#种$!故甲!乙两位学生参加不同小
组的概率7+%&
%4+ '
3 "故选#!
(!#答案$"
#考查角度$本题考查三视图与表面积的计算"考查数
形结合思想与空间想象能力!
#解题分析$由三视图知"该几何体是如图所示的三棱
锥"且三棱锥的侧面$"51底面"65"高为$D
槡
+ '"
其中D"+D6+D5+%"$D1 平面"65"$"+$5+
$6+&""6+65
槡
+ &"所以$表+$,$"6 0$,6"5 0
$,$"50$,$65+&$,$"6 0$,6"50$,$"5+&2 %
&
槡
2 &2
槡
槡
:
&
0 %
& 2&2%0 %
&
槡
槡
槡
2&2 '+ :0%0 '"故选"!
S
A
C
O
B
)!#答案$!
#考查角度$本题考查线性规划求最值问题"考查数形
结合思想"考查应用意识!
#解题分析$根据题意得到可行域如图中阴影部分所
示#含边界$!当目标函数线到达5 点位置时"#
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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! !
&&-* 取得最大值!联立*+%"
&-&*+&
%
"得点5#3"%$"故
#+&&-*+&23-%+:"故选!!
D
y
C
O
x
A
B
x y
y
y
x
y
#方法点拨$求目标函数最值的一般步骤是-一画!二
移!三求.!
#教材链接$人教" 版必修/D%*'练习!
!*!#答案$$
#考查角度$本题考查函数的单调性的应用!奇偶性
的应用!恒成立问题!二次不等式求解"考查数形结
合思想"考查应用意识!
#解题分析$因为%/#&$+&A
&0 &
A
& 0&
&-3*&2&2
A
&( %
A
槡
& 0&
&-3+&
&**!所以函数%#&$是, 上的
增函数!因为%#-&$+&A
-& 0 %
' #-&$
'-3#-&$-
&
A
-&+- &A
&0 %
'&
'-3&- &
A
#
$
&
+ -%#&$"所以函
数%#&$是奇函数!因为%#)
&-%$0%#3)03$(*"
%#)
&-%$(%#-3)-3$"又因为函数%#&$是, 上的
增函数"所以)
&-%( -3)-3"-'()( -%!又因
为对任意0+,"不等式C0
&-C00&*) 恒成立"故
C0
&-C00&*-%"即C0
&-C00'**"当C+*时"
不等式显然成立+当C&* 时"!+C
&-32C2'(
*"即*'C(%&"综上可得*(C(%&"故选$!
!!!#答案$"
#考查角度$本题考查函数的图象与性质!函数与方
程的应用!导数在函数中的应用"考查数形结合!函
数与方程等数学思想"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$由题意得%/#&$+A
&#&-&$
&
'
08
& - %
&8+
#&-&$A
&-8
&&
#
$
&
&
'
"%/#&$+*"令E#&$+A
&- 8
&&
&"
E#&$在#*"09$上恒大于*或恒小于*"即E#&$&*
或E#&$'*"当E#&$&*时"8
& 'A
&
&
& !令B#&$+A
&
&
& "则
B/#&$+A
&#&-&$
&
'
"函数B#&$在#*"&$上单调递减"在
#&"09$上单调递增!所以B#&$的最小值为B#&$+
A
&
3 "所以当8
& 'A
&
3 "即8'A
&
& 时"符合题意+当E#&$'*
时"8
& &A
&
&
& !令H#&$+A
&
&
& "则H/#&$+A
&#&-&$
&
'
"函
数H#&$在#*"&$上单调递减"在#&"09$上单调递增"
有最小值"无最大值"故8
& &A
&
&
& 不恒成立"故选"!
!"!#答案$#
#考查角度$本题考查空间几何体的特征与体积的计
算"考查数形结合思想与空间想象能力"考查逻辑推
理的核心素养!
#解题分析$三棱锥7-"65 的外接球可转化为直
三棱柱的外接球"设球心为D""6+&"则$,7"6 +
%
& (&(76
槡
+3 '"76+ 槡
@ '
& ","65 外接圆半径
4+ %
& (
&
<)=4*1+ &
槡'
"设,"65 外接圆的圆心为D/"
在H>,"D/D 中""D/
&0DD/
&+"D
&""D+2""D/+
4"所以2
&+
槡
3 '
#
$
&
&
0
&
槡
# $
'
&
*&( 槡
3 '
& (&
槡
'
+@"所以
外接球体积3+ 3
'!2
'* 3
'!#槡
& &$
'+
槡
43 &
' !"故选#!
!#!#答案$4
#考查角度$本题考查导数的运算!导数的几何意义"
考查数学运算和逻辑推理的核心素养!
#解题分析$% &
# $
&
+&
'0)6= &
& "则%#&$+@&
'0
)6=&"%/#&$+&3&
& 0 )
& "%#%$+@"所以%/#%$+
&30)+'@-@
&-%"得)+4!
!$!#答案$/
%4
#考查角度$本题考查等差数列求和公式!等差数列
的通项和裂项相消法求和"考查运算求解能力"考查
逻辑推理的核心素养!
#解题分析$设等差数列的公差为,"根据等差数列求
和公式可知
$4+4)%0 %
& 242/2,+/%"
$%:+%:)%0 %
& 2%:2%42,+3&/
7
8
9
"
解得
)%+%"
,+'
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所以)-+)%0#--%$,+%0'#--%$+'--
&!又因为
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#教材链接$人教" 版必修/D/*例&!
!%!#答案$槡'
#考查角度$本题考查双曲线的性质!直线和双曲线
的关系及距离公式"考查运算求解能力"考查逻辑推
理的核心素养!
#解题分析$解法一,点"&#*"-)$到渐近线*+ )
'&
的距离为
)
%0
)
# $
'
槡
& +')
( + '
F "其中F为离心率"
所以%6"&%+'
F "又因为6"4
5
&0& 4
565+*"所以%4
565%+
%
& 2'
F "根据,D"&6;,5D6"有%D6%
&+%4
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解法二,双曲线*
&
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'&*$的渐近线的方
程为*+ )
'&"过"& 且与渐近线垂直的直线为*+
-'
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8
9
"
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7
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9
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&"'#
(
&-)
&$+&(
&"(
&+')
&"故离心
率F+(
)
槡
+ '!
!&!#答案$)&"4*
#考查角度$本题考查平面向量!圆与直线!线性规划
的应用"考查数形结合思想!
#解题分析$以" 点为坐标原点"4
5"6"4
5">方向分别为
&轴!*轴正方向建立平面直角坐标系"如图所示"则
"#*"*$"6#3"*$">#*"&$"5#&"&$". 4
5"6+#3"*$"
4
5"5+#&"&$"设点7 的坐标为7#C"-$"由4
5"7+"
*$0*#&"&$+#3&0&*"&*$"可得C+3&0&*"
-+&*
%
"
则
&+C--
3
"
*+-
&
7
8
9
"
目标函数#+@&03*+&C"其中# 为直
线系#+&C 在& 轴的截距"当直线与圆相切时"目
标函数取得最大值4+当直线过点#%"&$时"目标函
数取得最小值&"则@&03* 的取值范围是)&"4*!
D
A
B
P
C
!'!#考查角度$本题考查正弦定理与余弦定理的应用"
考查运算求解能力"考查逻辑推理的核心素养!
#$$先根据已知条件可考虑用正弦定理"化边为角"
求出一个确定的角6"再利用余弦定理即可求解+
#%$根据已知条件"考虑利用正弦定理可得'
& +
')("再由三角形面积公式即可解得,"65 的面积!
#解题分析$#$$在,"65 中"由正弦定理可得
<)="<)=6;7<60<)=6;7<"<)=6+槡'
&<)=5"
#%分$
<)=6#<)=";7<60;7<"<)=6$+槡'
&<)=5"
所以<)=6<)=#"06$+槡'
&<)=5"
<)=6<)=5+槡'
&<)=5"
在锐角,"65 中"
因为<)=5&*"
所以<)=6+槡'
& "
#'分$
所以;7<6+ %
& "
由余弦定理得'
&+)
&0(
&-&)(;7<6+%&"
故'
槡
+& '!
#4分$
#%$由<)="<)=5+ %
3 "
正弦定理)
<)="+ '
<)=6+ (
<)=5"
#:分$
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)(
<)="<)=5+ '
&
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所以)(
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'
3
"
所以'
&+')(!
#,分$
因为'
&+%&"
所以)(+3"
#%*分$
所以$,"65 + %
&)(<)=6+ %
& 232槡'
&
槡
+ '! #%&分$
!(!#考查角度$本题考查线性回归方程!相关系数"考查
运算求解能力"考查应用意识!
#$$根据所给回归方程公式和相应数据"把所给的
相关系数的方程进行变形"然后代入数据即可+
#%$把所给的回归系数的方程进行变形"代入数据"
建立回归方程"根据方程"求得车辆的使用年数!
#解题分析$#$$由表中数据可知"
&+3!/"$
#+&"<
4
I+%&I#I+3:!43"
由相关系数公式可知#和& 的相关系数
4+
<
-
I+%#&I-&$##I-#$
<
-
I+%#&I-&$
&<
-
I+%##I-#$
槡
&
+
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4
I+%&I#I-4&$
#
<
4
I+%#&I-&$
&<
4
I+%##I-#$
槡
&
=3:!43-423!/2&
3!%@2%!/'
=-*!,,3!
#3分$
从而可知#和& 的线性相关程度很高!
#/分$
#%$由#$$及表中数据可知
&+3!/"#+&"<
4
I+%&
&
I+%',
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则;
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4
I+%#&I-&$##I-#$
<
4
I+%#&I-&$
&
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4
I+%&I#I-4&#
<
4
I+%&
&
I-4&
&
+
3:!43-423!/2&
%',-423!/
&
=-*!'4"
#:分$
;
)+#-;
'(&=&0*!'423!/+'!4&"
#@分$
所以#关于& 的线性回归方程为
;
#+-*!'4&0'!4&"
即6=*+-*!'4&0'!4&"
即*+A
-*!'4&0'!4&!
#%*分$
当*+%!34时"
6=*+6=%!34=*!'@"
因为*!'@+-*!'4&0'!4&"
所以&+,!
#%%分$
由此预测某辆" 型号二手汽车使用年数不得超过
,年!
#%&分$
!)!#考查角度$本题考查空间线面垂直的判定与证明!
线面平行的性质与证明!几何体体积的求解"考查运
算求解能力"考查逻辑推理的核心素养!
#$$根据条件只需证明6>1平面"+5"根据线面
垂直的性质定理即可得出结论+#%$作7$1"6"
:11">"构造平行四边形7$1:"再根据线面平行即
可得证+#'$把多面体的体积转化成所学的锥体体积
求解"即3多面体"65>J+ +3四棱锥+-"65> 03三棱锥5->J+ !
#解题分析$#$$证明,如图"连接"5"
(四边形"65> 是正方形"
.6>1"5!
#%分$
(平面"65>1平面">J+""+1">"
"> 是两平面的交线"
.+"1平面"65>"
而6>0平面"65>"
.6>1"+!
又("5"+"+""
#'分$
.6>1平面"+5"
而"=0平面"+5"
.6>1"=!
#3分$
#%$证明,(65.平面">J+"
650平面65J+"
平面">J+"平面65J++J+"
.J+.65"
又(65.">"
.J+.">"
.四边形">J+ 是直角梯形!
#/分$
如图"作7$1"6":11">"J?1">"
点$"1"? 是垂足"连接$1!
在,"6+ 中"7$I"++67I6++%I&"
7$+ %
&"+!
#4分$
在直角梯形">J+ 中"
:1+ %
&J?+ %
&"+!
.7$>:1"
.四边形7$1: 是平行四边形"
.7:.$1"
#:分$
而$10平面"65>"7:/平面"65>"
.7:.平面"65>!
#,分$
E
F
Q
P
A
N
T
D
B
C
S
#'$3多面体"65>J+ +3四棱锥+-"65> 03三棱锥5->J+ + %
' 2
&
&2%0 %
' 2 %
& 2%
&2&+ /
' !
#%%分$
.多面体"65>J+ 的体积为/
' !
#%&分$
#方法点拨$求锥体的体积要充分利用多面体的截面
和旋转体的轴截面"将空间问题转化为平面问题求
解"注意求体积的一些特殊方法///分割法!补形
法!等体积法!" 割补法,求一些不规则几何体的体
积时"常用割补法转化成已知体积公式的几何体进
行解决+# 等积法,等积法包括等面积法和等体积
法!等积法的前提是几何图形#或几何体$的面积#或
体积$通过已知条件可以得到"利用等积法可以用来
求解几何图形的高或几何体的高"特别是在求三角
形的高和三棱锥的高时"这一方法回避了通过具体
作图得到三角形#或三棱锥$的高"而通过直接计算
得到高的数值!
"*!#考查角度$本题考查椭圆的标准方程!直线与椭圆
的关系!数量积和三角形面积公式"考查运算求解能
力与数形结合的数学思想"考查逻辑推理的核心
素养!
#$$根据已知的离心率得到)"'的关系"再将点的
坐标代入椭圆方程"解方程即可+#%$利用三角形面
积公式转化$,"D6 + - '
& >?= 2"D6 得到
%D"%%D6%;7<2"D6+-'"即4
5D"( 4
5D6+-'"从而
联立直线与椭圆的方程得到方程组"根据韦达定理
即可求解!
#解题分析$#$$设离心率为F"由题意知"
F
&+
(
# $
)
&
+%-
'
# $
)
&
+ %
3 " '
# $
)
&
+ '
3 " #%分$
又因为椭圆过点槡&"槡4
#
$
&
"
所以&
)
& 0
'
&
'
& +%!
所以)
&+3"
'
&+'"
#&分$
所以&
&
3 0*
&
' +%!
#3分$
#%$设=#*"
0$"直线@的方程为*+8&00"
"#&%"*%$"6#&&"*&$"
#/分$
因为$,"6D + %
&%D"%%D6%<)=2"D6
+- '
&>?=2"D6
)
)
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)
)
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所以%D"%%D6%;7<2"D6+-'"
4
5D"( 4
5D6+-'"
#:分$
联立直线@和椭圆5 的方程"有
*+8&00"
&
&
3 0*
&
' +%
7
8
9
"
整理得#'038
&$&
&0@80&030
&-%&+*"
! +#@80$
&-32#'038
&$2#30
&-%&$
+3@#38
&-0
&0'$&*"
则&%0&&+ -@80
'038
&"&%&&+3#
0
&-'$
'038
& "
#@分$
因为&%&&0#8&%00$#8&&00$+-'"
所以#%08
&$&%&&080(#&%0&&$00
&+-'"#,分$
即#%08
&$3#
0
&-'$
'038
& 080( -@80
'038
&00
&+-'"
3#8
&0
&-'8
&00
&-'$-@8
&0
&0#38
&0
&0%&8
&0'0
&0
,$+*"
解得0+ 槡&%
: !
#%%分$
所以点= 的坐标为*"槡&%
#
$
:
!
#%&分$
#方法点拨$该题考查的是直线与椭圆相交的问题"
在解题的过程中"一是需要掌握椭圆方程中对应的
参数)"
'"
(之间的关系"再者联立直线方程与椭圆方
程即K几何问题代数化K"应用韦达定理"把两个交点
问题转变为方程两个根的问题!同时直线的方程在
设的时候一定要注意斜率的存在与否问题"本题的
关键是从题中寻找对应的等量关系!
"!!#考查角度$本题考查函数的性质!导数的应用"考查
运算求解能力"考查分类讨论!数形结合!化归与转
化的数学思想"考查逻辑推理的核心素养!
#$$对%#&$进行求导"对参数) 进行分类讨论"以
确定导函数函数值的符号"进而求得%#&$的单调区
间+#%$在#$$的基础上"考查函数在指定区间的函
数最小值问题"对指定的区间进行函数单调性的讨
论"根据数形结合得出函数的最小值"分析可得) 的
取值范围!
#解题分析$#$$%#&$的定义域为#*"09$!
%/#&$+&)
&&-')0 %
& +&)
&&
&-')&0%
&
+
& )&-
#
$
%
&
#)&-%$
&
!
#&分$
"当)(*时"%/#&$&*恒成立"
%#&$的单调递增区间为#*"09$"
无单调递减区间+
#'分$
#当)&*时"令%/#&$+*"得&%+ %
&)"&&+ %
) "
由%/#&$&*解得&+ *"%
&
#
$
) 3
%
) "09
#
$"
由%/#&$'*解得&+
%
&)"%
#
$
)
!
.%#&$的单调递增区间为*"%
&
#
$
) 和
%
) "09
#
$"
单调递减区间为
%
&)"%
#
$
)
!
#3分$
综上"当)(*时"%#&$的单调递增区间为#*"09$"
无单调递减区间+
当)&* 时"%#&$的单调递增区间为*"%
&
#
$
)
和
%
) "09
#
$"单调递减区间为
%
&)"%
#
$
)
!
#/分$
#%$"当)(*时"%/#&$&*恒成立"
%#&$在#*"09$上单调递增"
.%#&$*%#A
&$+)
&A
3-')A
&0&+#)A
&-&$#)A
&-
%$**恒成立"符合题意+
#4分$
#当)&*时"由#$$知"
%#&$在*"%
&
#
$
) 和
%
) "09
#
$上单调递增"
在
%
&)"%
#
$
)
上单调递减!
#($若*'A
&( %
&)"即*')( %
&A
&"
%#&$在A
&"%
&
)
$
) 上单调递增"
在
%
&)"%
)
$
)
上单调递减"
在
%
) "09
#
$上单调递增!
.对任意的实数&*A
&"%#&$**恒成立"
只需%#A
&$**"且% %
# $
)
**!
#:分$
而当*')( %
&A
&时"
%#A
&$+)
&A
3-')A
&0&+#)A
&-&$#)A
&-%$**
且% %
# $
)
+%-'06=%
) +6=%
) -&**成立!
.*')( %
&A
&符合题意!
#@分$
#)$若%
&)'A
&( %
) 时"即%
&A
&')( %
A
& "
%#&$在A
&"%
)
$
)
上单调递减"
在
%
) "09
)
$上单调递增!
.对任意的实数&*A
&"%#&$**恒成立"
只需% %
# $
)
**即可"
#,分$
此时% %
# $
)
+%-'06=%
) +6=%
) -&**成立"
即%
) *A
&"即)( %
A
& !
. %
&)'A
&( %
) 符合题意"
即%
&A
&')( %
A
& !
#%*分$
#*$若A
&& %
) "即)& %
A
& "
%#&$在)A
&"09$上单调递增!
.对任意的实数&*A
&"%#&$**恒成立"
只需%#A
&$+)
&A
3-')A
&0&+#
)A
&-&$#
)A
&-%$**"
即)* &
A
& 或)( %
A
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! !
.)* &
A
& 符合题意!
#%%分$
综上所述"实数)的取值范围是
-9"%
A
#
*
&
3
&
A
& "09
)
$!
#%&分$
#链接高考$高考对导数的考查通常都比较综合"一
般以含有参数的函数为载体"考查分类讨论!数形
结合!函数与方程!化归与转化等数学思想"而函数
解析式中的A
& 或6=& 通常会交替考查"这对指数函
数与对数函数的转换提出了较高的要求"使运算的
难度大大提升"因此"对这类问题需要通过多多练
习"提高解题速度"才能在高考中得心应手!
#技巧点拨$导数是研究函数的单调性!极值#最值$
最有效的工具之一"而函数是高中数学中重要的知
识点"所以在历届高考中"对导数应用的考查都非
常突出!对导数应用的考查主要从以下几个角度进
行,#%$考查导数的几何意义"往往与解析几何!微积
分相联系+#&$利用导数求函数的单调区间"判断单
调性+#'$已知单调性"求参数+#3$利用导数求函数
的最值#极值$"解决生活中的优化问题+#/$考查数
形结合思想的应用!
""!#考查角度$本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标
方程的互化与应用!线性规划"考查运算求解能力!
#$$将&+%;7<#"*+%<)=#代入极坐标方程直接化
简即可+#%$结合不等式和线性规划知识"利用数形
结合思想"利用点到直线的距离大于一个常数求解
即可!
#解题分析$#$$将&+%;7<#"*+%<)=#代入%+4;7<#
中得曲线5 的直角坐标方程为
#&-'$
&0*
&+,!
#3分$
#%$平面区域7,&0&*8%*%"
可化简为***"
&0&*8*
%
"
或*(*"
&0&*-8*
%
"
#4分$
两条射线关于& 轴对称"由题意可知"点5#'"*$到
直线&0&+8* 的距离要大于或等于半径曲线5 才
能落在区域7 内"
#@分$
故'0&
%08
槡
& *'"
解得- 3
' (8( 3
' !
#,分$
所以8的取值范围是
- 3
' "
)
*
3
'
!
#%*分$
"#!#考查角度$本题考查绝对值不等式的求解!基本不
等式与绝对值不等式性质的应用"考查运算求解能
力"考查化归与转化!分类讨论思想!
#$$将%#&$代入不等式并化简"去绝对值符号"然
后解不等式即可+#%$不等式恒成立问题转为求函
数值域问题"利用函数的单调性求解即可!
#解题分析$#$$%&03%0%&&-%%*%&&-%%03"
即%&03%*3"所以&03*3或&03(-3" #&分$
解得&**或&(-@"
所以不等式%#&$*%&&-%%03的解集是%&%&**
或&(-@&!
#/分$
#%$因为8'-&"所以&8'-3"
因为&+)%"&*"所以%#&$+&-%-&8"
#4分$
因为%#&$*&
&-&&03在)%"&*上恒成立"
所以&-%-&8*&
&-&&03"
即-&8*&
&-'&0/!
#:分$
令E#&$+&
&-'&0/#&+)%"&*$"
函数E#&$+&
&-'&0/的对称轴是&+ '
& "
所以函数E#&$的最大值为E#%$或E#&$"
且E#%$+E#&$+'"故-&8*'"8(- '
& !
#,分$
因为8'-&"
所以8+#-9"-&$!
#%*分
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