2020能力提升卷6套-理科数学-58页_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

! 全国卷" 数学#理科$! "!!
能力提升卷!一"
数!学!理科"
本试卷满分!"#分%考试时间!$#分钟!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
!!已知集合"%!#"$#&'##"#$%!#"$
#&!$'"#则
"%$%
$!!%
(!$!#$&
)!$$#*&
+!$$#,-%
.!'*#,-%
"!已知%%'&/
0
$,/#则%的共轭复数&
% 对应复平面内的
点在
$!!%
(!第一象限
)!第二象限
+!第三象限
.!第四象限
#!(#
$#*)是(123$##!)的
$!!%
(!充分必要条件
)!充分不必要条件
+!必要不充分条件
.!既不充分又不必要条件
$!已知向量!%$&!#$%#"%$*#&'%#则! 在!,"
上的投影为
$!!%
(! 槡
$ *
)!
槡
&$ *
+! 槡
* $
$
.!& 槡
* $
$
%!命题('##&(&##
$,&
$ 与#& 至少有一个是正
数)的否定为
$!!%
(!)###&#(&##
$
#,&
$
# 与##&# 都不是正数
)!'##&(&##
$,&
$ 与#& 都不是正数
+!)###&#(&##
$
#,&
$
# 与##&# 不都是正数
.!'##&(&##
$,&
$ 与#& 都是正数
&!$#!4年' 月!" 日#巴黎圣母院发生大火#导致
5##年的古建筑被焚毁#火灾发生以后#全世界许
多名人都通过网络对巴黎圣母院表示惋惜#法国
总统马克龙也表示将重修巴黎圣母院#为了解世
界名人对巴黎圣母院重修的看法#某同学计划在
$名英国名人#*名美国名人和*名中国名人中选
择其中的'人#在其微博下留言#这'人恰好来自
两个不同国家#则不同的选取方法有
$!!%
(!'"种
)!'#种
+!*#种
.!$"种
'!已知双曲线'*#
$
(
$&&
$
)
$ %!$(###
)##%的右焦点为
*$
+##%#左+右顶点分别为,#-#点. 在双曲线上
$点. 在第一象限%#且.**,-#若双曲线' 的
一条渐近线的斜率恰好等于/.- &/., $其中/.- #
/., 分别为直线.-#., 的斜率%#则双曲线' 的
渐近线方程为
$!!%
(!&%6#
)!&%6$#
+!&%6'#
.!&%60#
(!如图所示的程序框图#程序运行时#若输入的0%!#
则输出1的值为
$!!%
(!'
)!"
+!5
.!4
)!已知某函数的图象如图所示#则该函数的解析式
可能是
$!!%
(!&% 7
#&!
7
#
$
%
,! 829#
)!&%$"#"&#
$&$
+!&%$
#&"#",$
.!&%$#
$&!%829#
!*!若##& 满足不等式组
#&&,!$##
$#&*&,0+##
#+#
,
-
.
#
则%%
&'#,$& 的最小值为
$!!%
(!&!$
)!&'
+!!
.!$
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
! 全国卷" 数学#理科$! ""
!!
!!!已知将一个长方体挖掉一个四棱锥后得到的几何体
的三视图如图所示#则该几何体的体积为
$!!%
(!!0
)!$0
*
+!5
.!!0
*
!"!设*!
5 是函数2$#%%7
$#9/:$$#,!%"!"/!
$
%
$ 的
一个零点#若曲线&%2$#%在#%1!$1('
0 %处
的切线为31#且31 与# 轴交于点$#1##%#则
1
$#
4%!#4%
$!!%
(!$##!&"
)!$##!,"
+!$!#!&"
.!$!#!,$
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
!#!直线&%# 被圆$#&!%
$,$&&*%
$%'截得的弦
长为
!
!$!如图#在三棱锥"&$'5 中#"$* 平面$'5#
"'*'5#且"$ %'#$'%'5 %$#则三棱锥
"&$'5 的外接球的表面积为
!
!%!过抛物线6*&
$%'# 的焦点*#作直线3!#
3$#分别
交抛物线6 于点"#' 和$#5#其中3! 的斜率为
/$/#!%#若2
3"', 2
3$5%##且四边形"$'5 的面
积为!$5#则/%
!
!&!在4"$' 中#5"$'%0#;#"$%$#点5 在线段
"' 上#且满足"5%*5'#若$5%'#则边$' 的
长为
!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#$#题
为必考题%每个试题考生都必须作答%第$$%$+题
为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
!'!$本小题满分!$分%
已知!(1"是等差数列#其前1 项和为01#若(*,
(4%!$#且0!4%!4#!
$"%求数列!(1"的通项公式-
$#%若)1%(1,!
$
1 #且数列!)1"的前1 项和为71#
求证*71/*!
!(!$本小题满分!$分%
某地计划从$#!4年4月!日开始实行每周四天
半$即每周休息两天半%工作制#在新制度执行之
前#先在本地部分单位抽取了1 名职工进行了调
查#得到如下数据*
分组
支持(四天半工作制)的人数占本组的频率
'$##$"%
'#
#!5
'$"#*#%
"#
8
'*##*"%
!$#
#!5
'*"#'#%
5#
#!5
''##'"%
$#
#!'
''"#"#&
!#
#!$
$"%求8 与1 的值-
$#%试根据频率分布直方图估计参与调查的职
工年龄的中位数$精确到整数%-
$$%从年龄在'*##*"%#'*"#'#%之间的被调查职
工中按照年龄分布进行分层抽样#抽取"人#若从
这"人中再随机抽取* 人进行座谈#记年龄在
'*##*"%之间的职工数为9#求9 的分布列与数
学期望!
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! 全国卷" 数学#理科$! "#
!!
!)!$本小题满分!$分%
如图#在长方体"$'5 &"!$!'!5! 中#"$ %
$'%$#""!
槡
% $!
$"%求证*平面"$!5!*平面'$!5!-
$#%求二面角'&"$!&5! 的大小!
"*!$本小题满分!$分%
已知椭圆6*#
$
(
$,&
$
)
$ %!$(#)##%的左+右焦点分
别为*!#*$#点, 在椭圆6 上#若",*$"%
"*!*$"#8295,*$*!%&!
5#且4,*!*$ 的周长
为!'!
$"%求椭圆6 的方程-
$#%过点*! 作直线3与椭圆6 交于"#$ 两点#
直线3与直线&% &$# 交于点.#若. 恰好是
"$ 的中点#求直线3的方程!
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! 全国卷" 数学#理科$! "$
!!
"!!$本小题满分!$分%
已知2$#%%:1:#&$#$:##%!
$"%若'####都有2$#%$##求: 的取值范围-
$#%若:%!#曲线&%2$#%上的点$###&#%$###
#%处的切线3与&%#
$ 相切#求满足条件的## 的
个数!
!二"选考题$共#" 分!请考生在第$$%$+ 题中任选
一题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
""!$本小题满分!#分%选修'&'*坐标系与参数方程
在直角坐标系#;& 中#直线3 的参数方程为
#%!,<829"#
&%<9/:
!
"
<为参数##$"/!
$
%
$ #以原点为
极点## 轴正半轴为极轴建立极坐标系#曲线' 的
极坐标方程为#% 5829$
!&829$$!
$"%求过曲线'的焦点且垂直于其对称轴的弦长-
$#%若曲线' 的焦点为*#且直线3与曲线' 交于
点"#$ 两点#"*"","*$"%4#求直线3的斜率!
"#!$本小题满分!#分%选修'&"*不等式选讲
已知(###
)###且(,!0)%5()#若()的最小值
为.!
$"%求. 的值-
$#%若不等式"#","#,!"$$. 在#(':&!#
:&上恒成立#求实数: 的取值范围!
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! 全国卷" 数学#理科$" "!!
能力提升卷!二"
数!学!理科"
本试卷满分!"#分%考试时间!$#分钟!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
!!若集合"%!#(,"#
$,$#$#"#则集合" 的子集
个数为
$!!%
(!*
)!0
+!5
.!4
"!若复数%% /
!,/#则复数% 的共轭复数&
% 在复平面
内对应的点位于
$!!%
(!第一象限
)!第二象限
+!第三象限
.!第四象限
#!为了了解市民对学习强国(<<的关注情况#某调查
机构在'月份的某两天抽取了部分市民作为样本#
分析其年龄和性别结构#并制作出如下等高条形图!
根据图中$*"岁以上含*"岁%的信息#下列结论
中不一定正确的是
$!!%
(!样本中男性比女性更关注学习强国(<<
)!样本中关注学习强国(<<的多数女性在*"岁以
上
+!关注学习强国(<<的*"岁以下的男性人数比
*"岁以上的女性人数多
.!样本中*"岁以上的人对学习强国(<<的关注
度更高
$!若((&
, #二项式$(#,!%
0 的展开式中所有项的
系数之和为=$4#则实数(的值为
$!!%
(!&*
)!&$
+!*
.!$
%!若正六边形"$'56* 是圆; 的内接正六边形#则
在圆; 中任取一点#该点取自正六边形"$'56*
内$含边界%的概率为
$!!%
(!槡*
$!
)! 槡
* *
$!
+!槡*
!
.!*
$!
&!根据如图所示的程序框图#若输出的1 的值为'#
则在判断框内应填入
$!!%
(!0+!#. )!0/!#.
+!0+&0. .!0/*.
'!如图#网格纸上的每个小正方形的边长为!#若图
中粗线画的是某几何体的三视图#则该几何体的
体积等于
$!!%
(!5
*
)!$
+!*
.!4
$
(!若函数2$#%满足*对任意实数##&#都有2$#%,
2$&&#%%2$&%#且当###时#2$#%%7
#&#&!#
则不等式"2$#%"$1:7
$的解集为
$!!%
(!$##
1:$&
)!$&-#&1:$&6'1:$#,-%
+!$&-#
1:$&
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! 全国卷" 数学#理科$" ""
!!
.!'&1:$#
1:$&
)!若抛物线'*&
$%'# 的焦点为*#过* 点的直线交
抛物线' 于.#= 两点#且使2
3.*%$ 2
3*=#; 为坐标
原点#则4.;* 的面积为
$!!%
(! 槡
$ $
)! 槡
* $
+!槡$
.!'
!*!已知函数2$#%%9/:%#,9/: %#,!
$
%
* #将2$#%
图象上所有点向左平移!
'个单位长度后#再将所
得图象上各点的纵坐标扩大为原来的两倍#横坐
标不变#得到函数>$#%的图象#同时函数>$#%的
图象关于& 轴对称!若>$#%在&!
$##
'
&
# 上是单
调递减函数#则正数% 的值为
$!!%
(!'
*
)!!#
*
+!!*
*
.!'
!!!已知*!#*$ 分别是双曲线'*#
$
(
$ &&
$
)
$ %!$(###)
##%的左+右焦点#过*$ 的直线与双曲线交于
"#$ 两点#若5*!"$% 5*!*$"#且"*!$"%
$"*!""#则)
( 的值为
$!!%
(!槡*
)!槡*
*
+!槡$
.!$
!"!已知函数2$#%%1:#&(# 有两个不相等的零点
#!##$!设函数>$#%满足> >$#%&'
$
%
# %'#比较
>$!%与#!#$ 的大小
$!!%
(!>$!%##!#$
)!>$!%/#!#$
+!>$!%%#!#$
.!无法比较
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
!#!已知"!" 槡
% *#"""%$#! 在" 的方向上的投影为
*
$#则!,"为
!
!$!在4"$' 中#5 是$' 边的中点#且"$%*#"'
%$#"5
槡
% *#则4"$' 的形状为
三角
形!
!%!已知函数2$#%%1:#&!
# 在#%!处的切线与曲
线"&&$"%
(&#
槡
$ 只有一个公共点#则实数(
的值为
!
!&!甲+乙+丙+丁四人玩数字游戏#其中一人进行监督#
每人从标有数字!到!$的!$张卡片中抽取'张!
甲说*我抽到的数字有0和!!-
乙说*我抽到的数字有!#和!$-
丙说*我抽到的数字特别有意思#你们能猜中其
中两个吗.
监督员丁看了丙抽到的数字#说*真奇妙#你们三
个所抽的数字之和相等!
从他们的对话#你可以推断丙所抽到的数字中必
有的两个数字为
!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#$#题
为必考题%每个试题考生都必须作答%第$$%$+题
为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
!'!$本小题满分!$分%
已知单调递增的等比数列!(1"的前1 项和为01#
且满足0"%0*,$'#($(=,('("%$"0!
$"%求数列!(1"的通项公式-
$#%设数列!)1"满足*)1%123$(1,!,123$(1,$#设
+1%!
)1
#求数列!
+1"的前1项和71!
!(!$本小题满分!$分%
在三棱柱"$'&"!$!'! 中#侧面"''!"! 是菱形#
5"!"'%0#;#底面三角形"$' 是等腰三角形#
5"$'%4#;#在侧面"$$!"! 中#8295"!"$%
槡$
'!
$"%求证*平面"$'*平面"''!"!-
$#%设5#* 分别为"!'! 和$' 的中点#求锐二
面角$&"5&* 的余弦值!
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! 全国卷" 数学#理科$" "#
!!
!)!$本小题满分!$分%
某校随机抽取了部分高三年级学生学业水平考
试的成绩$单位*分%#并将所得成绩绘制成如图
的频率分布直方图#其中成绩范围为'4##!"#&#
样本数据分组为'4##!##%#'!###!!#%#'!!##
!$#%#'!$##!*#%#'!*##!'#%#'!'##!"#&!在高校
自主招生考试中对于学业水平考试的成绩在!*#
分以上$含!*#分%的学生可以作为推荐对象!
频率分布直方图
$"%求图中# 的值-
$#%若该年级有!'##人#则估计有多少人具有
推荐资格.
$$%该校拟定一个中长期计划#在高二年级也同
样用这种高三年级的方式!在高二年级学生中任
选'名学生#设这'名学生中具有推荐资格的人
数为9#求9 的分布列和数学期望!
"*!$本小题满分!$分%
已知椭圆&
$
(
$ ,#
$
)
$ %!$(#)##%的离心率?%槡0
*#
由椭圆中心+上顶点+右顶点所围成的三角形面
积为槡*
$!
$"%求椭圆的标准方程-
$#%* 是椭圆的上焦点#直线#%:&,1$:/##1
##%不过点*#且与圆#
$,&
$%)
$ 相切#交椭圆
于,#- 两点!试比较4,-* 的周长与椭圆的长
轴长的大小!
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! 全国卷" 数学#理科$" "$
!!
"!!$本小题满分!$分%
设函数2$#%% $(,!%1:#&#
$
$ ,(#$((&%#
>$#%%&)
'#
*,),$
$ #
$,),!$)(&%!
$"%求函数2$#%的单调区间和极值-
$#%当(%! 时#*$#%%>$#%&)
$#,2$#%在
'!#7&上有零点#求实数)的取值范围!
!二"选考题$共#" 分!请考生在第$$%$+ 题中任选
一题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
""!$本小题满分!#分%选修'&'*坐标系与参数方程
已知曲线'! 的参数方程为#%$,$829$#
&%$9/:
!
$
$$ 为
参数%#曲线'$ 的参数方程为#%&$,<829"#
&%<9/:
!
"
<为参数#
"7!
$
%
$ !曲线'$ 与曲线'! 交于,#-
两点!
$"%求曲线'! 的极坐标方程和曲线'$ 的普通
方程-
$#%设点.$&$##%#若".,"#",-"#".-"成等
比数列#
"( !
$#
$
%
! #求>?:"的值!
"#!$本小题满分!#分%选修'&"*不等式选讲
已知函数2$#%%"$#,!"&"#&!"!
$"%解不等式2$#%+#-
$#%若不等式$:
$&=:,*
$$2$#%对任意#(&
恒成立#求实数: 的取值范围!
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! 全国卷" 数学#理科$# "!!
能力提升卷!三"
数!学!理科"
本试卷满分!"#分%考试时间!$#分钟!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
!!已知复数%%*,/
$&/#则&
%%
$!!%
(!!&/
)!!,/
+!'
*,"
*/
.!'
*&"
*/
"!已知集合"%!&"&%7
'#&#
槡
$ "#集合$%!#"#
$&
0#&!0$#"#则"%$%
$!!%
(!$##5&
)!'!#7
$&
+!'!#5&
.!'&$#7
$&
#!执行下面的程序框图#若输出的值为*#则输入的
# 的值是
$!!%
(!'
)!&$#$#'
+!$#'
.!&$#'
$!已知函数2$#%%#829
$##则2@$#%%
$!!%
(!829
$#&9/:$#
)!829
$#&#9/:$#
+!829
$#&$#9/:$#
.!9/:
$#,#829$#
%!已知棱长为$的正四面体.&"$'#5 为.' 的中
点#则." 与$5 所成角的余弦值为
$!!%
(!槡*
0
)!槡*
*
+!槡**
0
.!槡0
*
&!已知2$#%%#
$&!##,4#数列!(1"为等比数列#
(*#(4 是2$#%%#的两实数根#则2$(0%% $!!%
(!&!$
)!'5
+!&!$或'5
.!!$或'5
'!设##& 满足约束条件
#&&,!+##
#,&&!+##
*#&$&$#
,
-
.
#
则%%&,*
#,!
的最小值是
$!!%
(!!5
=
)!'
+!*
.!$
(!已知曲线'*&%9/: $#,!
$
%
0 ,829 $#&!
$
%
* 可以
由曲线'!*&%$829# 通过如何变换得到
$!!%
(!将曲线'! 上各点横坐标缩短到原来的!
$#纵坐
标不变#再把得到的曲线向左平移!
0个单位长度
)!将曲线'! 上各点横坐标扩大到原来的$倍#纵坐
标不变#再把得到的曲线向左平移!
0个单位长度
+!将曲线'! 向右平移!
*个单位长度#再把曲线上
各点的横坐标扩大到原来的$倍#纵坐标不变
.!将曲线'! 向右平移!
*个单位长度#再把曲线上
各点的横坐标缩短到原来的!
$#纵坐标不变
)!由&%#
*#&%!
###%$与# 轴围成的封闭区域为
, #由不等式组#/#/$#
#/&/
!
!
表示的区域为-#记(在
- 内随机取一点=#则点= 落在, 内)为事件"#
则.$"%%
$!!%
(!!&1:$
$
)!!&!
$1:$
+!!
5,1:$
.!!
5,!
$1:$
!*!已知双曲线#
$
(
$&&
$
)
$ %!$(###
)##%#点.$$#槡*%到
双曲线的两条渐近线距离之积为!$
=#则双曲线的
离心率为
$!!%
(!槡=
$或
槡
=
!#
$#
)!=
'或
槡
=
!#
!#
+!=
'或
槡
=
!#
$#
.! 槡
=
!#
!#
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! 全国卷" 数学#理科$# ""
!!
!!!已知8.*$#&$%
$ , $&&!%
$ %'#直线3 过
点'$*##%且与8. 交于"#$ 两点#当""$"的长
度最短时#则以""$"为直径的圆的方程为$!!%
(!$#&$%
$,&
$%$
)!$#&*%
$,&
$%*
+!$#&$%
$,&
$%'
.!$#&*%
$,&
$%$
!"!对任意的实数<#函数2$#%%#
*
*&!
#&$#
$&'1:#,
'0&(,$
<&7
<%
$&# 是增函数#则实数( 的取值范
围是
$!!%
(!$&-#!%
)!$&-#!&
+!$##,-%
.!'!#,-%
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
!#!如图所示三视图#该几何体的体积是
!
!$!设函数2$#%%(9/:$#,"%,)9/:$#,&%#则条件
8*2$!%%#是条件A*2$#%是奇函数的
$充分不必要条件+必要不充分条件+充要条件+
既不充分也不必要条件%!
!%!已知在平面直角坐标系中#"$&!##%#$$##!%#
'$*##%#.$###%#2
3.=%!
*
2
3.",$
*
2
3.$#" 2
3'5"%!#
" 2
3.=& 2
3.5"的最小值是
!
!&!已知数列!(1"#(!%!#(1%$(1&!,*#01%(!+
!
1,
($+
$
1,(*+
*
1,/,(1+
1
1#则01%
!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#$#题
为必考题%每个试题考生都必须作答%第$$%$+题
为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
!'!$本小题满分!$分%
已知函数2$#%%829
$#&*9/:
$#
槡
&' *9/:#829#,*!
$"%求2$#%最大值和最小正周期-
$#%设(#)#+ 分别为内角"#$#' 的对边#若
2$"%%&$#且),+%"#求(的最小值!
!(!$本小题满分!$分%
."*平面"$'5#"59$'#"5*'5#"5%$#
'5%!#$'%*#."%$#'B%!
*'.!
$"%求证*5B9平面."$-
$#%求二面角$&.'&5 的余弦值!
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! 全国卷" 数学#理科$# "#
!!
!)!$本小题满分!$分%
已知椭圆6*#
$
(
$ ,&
$
)
$ %!$(#)##%的一个顶点为
"$ 槡
$ $##%#且椭圆的焦距等于短轴长!
$"%求椭圆的方程-
$#%过椭圆6 的右焦点作垂直于# 轴的直线#交
椭圆6 于$ 点!过"#$ 两点分别作两条斜率互
为相反数的直线交椭圆6 于-#, 点#假设直线
,- 斜率存在#问直线,- 的斜率是否为定值.
若不是#请说明理由-若是#请给出答案!
"*!$本小题满分!$分%
某大学有一项历时近!年的调查显示#全国"万
多名受访者接触电视的频率+时间正在严重下
滑!不过#研究者并不因此感到悲观#因为调查数
据同时揭示了媒介融合带来的一系列有趣现象!
在传统媒体中依然保持领先地位的电视#遇到
(上网)#表现就显得逊色了!所以现在小屏幕#就
有大用途#调查显示#受访者每天使用电脑上网
的时间达!!== 个小时#使用手机上网的时间最
多#为$!=个小时!研究得出#在所有的受访者中#
="C 的受访者拥有智能手机#而手机上网已经成
为这些拥有智能手机受访者获取信息+寻求娱乐
的第一媒介接触方式!
现在要对智能手机运行情况进行调查#要对受访
者中拥有不同数量智能手机的人采用分层抽样
的方法抽取$#人#如图是受访者拥有智能手机数
量的比例图表!
智能手机拥有数量$C %
$"%应从拥有不同数量智能手机的人中如何
抽取.
$#%现从抽取的拥有智能手机的人中再抽取*人
做测评!
$%%用9 表示抽取的*人中拥有$部手机的人
数#求随机变量9 的分布列与数学期望-
$&%设" 为事件(抽取的*人中#既包含有$部
智能手机的人#又包含有*部及以上智能手机的
人)#求事件" 发生的概率!
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! 全国卷" 数学#理科$# "$
!!
"!!$本小题满分!$分%
已知函数2$#%%*#
$,:
#
#>$#%%$1:#,#!
$"%若&%#,!是2$#%的一条切线#求: 的值-
$#%设*$#%%2$#%&>$#%##!##$ 为*$#%的极
值点#且#!/#$#证明**$#$%#$#$!
!二"选考题$共#" 分!请考生在第$$%$+ 题中任选
一题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
""!$本小题满分!#分%选修'&'*坐标系与参数方程
已知曲线'*# 槡
% *,$829$#
&%!,$9/:
,
-
.
$
$
$为参数%!
$"%求曲线' 的极坐标方程-
$#%若曲线' 上有.#= 两点#且5.;=%!
0#求
4.;= 面积的最大值!
"#!$本小题满分!#分%选修'&"*不等式选讲
已知函数2$#%%"$#,$"&"#&("!
$"%当(%$时#求2$#%$'的解集-
$#%证明*2$#%的最小值小于等于零恒成立!
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! 全国卷" 数学#理科$! ""
!!
能力提升卷!四"
数!学!理科"
本试卷满分!"#分%考试时间!$#分钟!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
"!已知集合"%!#"&'"#(!###$%$%!#"#
$)*$#$%则
"%$%
"!!#
+!"#%$#
,!"#%$&
-!'#%$#
.!'#%$&
#!!($/
)$(/%
"!!#
+!)!(*
"/ ,!)*
"(/ -!)/
.!
/
$!下列命题中%真命题是
"!!#
+!&#'&%0/'#(120#%$,!(#'&%$
###
$
-!&#'&%#
$)#(!%# .!(#'&%120#$!
!!设随机变量% 服从正态分布& "!%!
$#%若'"#)
%)!#%(%则'"##$#的值为
"!!#
+!!
$)(
,!!
$((
-!!)(
.!!
*)(
%!设等差数列!)*$的前* 项和为+*%若)! % )3%
+!#%!##%则+* 的最小值为
"!!#
+!)*
,!)3
-!)!#
.!)!$
&!已知变量#%, 满足约束条件
,$)#($%
$#)4,)5$#%
#*#
+
,
-
%
若
-%
#
$(,
槡
$%则-的最大值是
"!!#
+!$
,!4
-!槡!#
.! 槡
$ 4
'!运行如图所示的程序框图%则输出的+的值为"!!#
+!$#!3
$#!5
,!$#!6
$#!3
-!$#!7
$#!6
.!$#!"
$#!7
(!如图是某多面体的三视图%则该多面体最大面的
面积为
"!!#
+!4
,! 槡
4 "
-!7
.! 槡
* "
)! $
#
"
#
)!
7
"!(#
$#的展开式中常数项为
"!!#
+!)!$
,!!$
-!)7!
.!7!
"*!将函数,%0/' $#(!
"
#
4 图象上所有点的横坐标
伸长到原来的$倍"纵坐标不变#%再将所得图象
上所有点向左平移!
4个单位长度%则所得图象对
应的函数解析式为."##%则关于."##的图象正
确的说法是
"!!#
+!一条对称轴为#%)!
7
,!周期为!
-!一个对称中心为!
$%
"
#
#
.!在区间)!
4%"!
"
#
7 上单调递减
""!已知函数/"##% &'#%
###%
)#
$))#%#$#
!
%若方程
/"##%#() 有4个不同实根%则实数) 的取值
范围是
"!!#
+!")!%##
,!"#%!#
-!")8%)!#
.!'!%(8#
"#!已知数列!)*$满足()!%!%)*(!% )*
)*($"*''. #!
若0*(!%"*)$"#) !
)*
"
#
(! "*''. #%0!%)4"%
且数列!0*$是单调递增数列%则实数" 的取值范
围是
"!!#
+!"$%(8#
,! 4
$%(8
"
#
-! )8%
"
#
4
$
.!")8%$#
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! 全国卷" 数学#理科$! "#
!!
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
"$!已知椭圆#
$
)
$(,
$
0
$ %!")#0###%1!%1$ 分别为椭
圆的左*右焦点%" 为椭圆的左顶点%过1$ 作垂
直于# 轴的一条直线交椭圆于$%2 两点%若
/$"2%!
4%则椭圆的离心率为
!
"!!在三棱锥')"$2 中%'"%'2%!%'"0'2%
1"$2 为等腰直角三角形%"20$2%二面角'
)"2)$ 为!"#9%则该三棱锥外接球的体积
是
!
"%!已知函数, %/ #(
"
#
!
$
为偶函数%当# '
)!
$%
"
#
!
$ 时%/ "##%$0/'# (4:;'#!设)%
/ )
"
#
!
* %
0%/" #
!
* %
3%/"&'<#%则)%0%
3的大小
关系是
"用+),连接#!
"&!当直线,%4#(0 同时与曲线, %<
# 和, %
&'"#($#相切时%
0%
!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#$#题
为必考题%每个试题考生都必须作答%第$$%$+题
为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
"'!"本小题满分!$分#
在1"$2 中%角"%$%2 的对边分别为)%0%3%且
0
$(3
$))
$%0
$120"()0120$!
""#求角" 的大小-
"##已知1"$2 的外接圆半径5
槡
% 4%求1"$2
的周长6及面积+ 的取值范围!
"(!"本小题满分!$分#
在四棱锥')"$27 中%三角形$27 是边长为
槡
$ 4 的等边三角形%"7027%1"$7 和1'$7
为等腰三角形%"$%"7%'7%'$%$%平面'$7
0平面"$27!
""#若点8 为'2 的中点%求证($8 2 平面
'"7-
"##求二面角2)'7)$ 的余弦值!
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! 全国卷" 数学#理科$! "$
!!
")!"本小题满分!$分#
某班级文艺晚会上有积分兑奖游戏环节%规则如
下(盒子里面有黑*红*黄三种颜色的卡片各一
张%每位同学可以有放回的摸三次%摸中红色卡
片才能获得积分%摸中红色卡片一张可以获!#个
积分%两张获$#个积分%三张获"#个积分%没有
摸中积零分!设每次摸卡片是相互独立的!
""#求一位同学获得积分的分布列和数学期望-
"##两位同学玩这个游戏恰有一位同学获得积
分为"#的概率是多少-
"$#游戏玩到一半时%有同学提出更换游戏方
式(盒子里改为黑*红*黄三种颜色的卡片各放三
张%每位同学只可以摸一次%一次摸三张%摸中红
色卡片一张可以获!#个积分%两张获$#个积分%
三张获"#个积分%没有摸中积零分!你认为哪种
游戏方式可以获得更多的积分%说明理由!
#*!"本小题满分!$分#
已知1!")!%##%1$"!%##是椭圆2(#
$
)
$(,
$
0
$ %!")
#0###的左*右焦点%椭圆2 上任意一点到1!%
1$ 的距离之和为
槡
$ 7!
""#求椭圆2 的方程-
"##设点5 为椭圆长轴的左端点%'%9 为椭圆上
异于椭圆2 长轴端点的两点%记直线5'%59 斜
率分别为4!%4$%若4!4$ %!%证明直线'9 过
定点!
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#"!"本小题满分!$分#
已知函数/"##%&'#( !
)#")3##!
""#试讨论函数/"##的单调性-
"##若函数/"##%( 有两个零点#!%#$%且#!)
#$%求证(#!(#$#$
)!
!二"选考题$共#" 分!请考生在第$$%$+ 题中任选
一题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
##!"本小题满分!#分#选修*)*(坐标系与参数方程
在平面直角坐标系#:, 中%曲线; 的参数方程
为#%!(120#%
,%!(0/'
!
#
"# 为参数#%过原点: 且倾斜角
为$ 的直线6 交; 于"%$ 两点!以: 为极点%
# 轴的正半轴为极轴建立极坐标系!
""#求; 的极坐标方程-
"##求1;"$ 面积的最大值!
#$!"本小题满分!#分#选修*)"(不等式选讲
已知/"##%"#)!"(")#(!"!
""#当)%!时%求不等式/"##*4的解集-
"##若不等式/"##$4)# 的解集包含')!%!&%
求)的取值范围!
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!!
能力提升卷!五"
数!学!理科"
本试卷满分!"#分%考试时间!$#分钟!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
"!已知集合"%!# "$#)4")"$%$%!#"##4$%则
"%"&$#%
"!!#
+!!#")$)#$4$
,!!#"#)#$4$
-!!#"4$#)*$
.!!#")!)#$4$
#!若复数-满足-"4(*/#%!($/%则-的虚部为
"!!#
+!$
$"/
,!$
$"
-!!!
$"/
.!!!
$"
$!已知数列!)*$的前*项和是+*%*
$)5*(!%则+*
的最小值为
"!!#
+!)66
*
,!!
-!)5
.!)!5
!!已知双曲线#
$
)
$ ),
$
0
$ %! 的左*右焦点分别为1!%
1$%' 为双曲线右支上一点%"'1!"("'1$"%7%
/1!'1$%5#9%+11!'1$%*%则双曲线的离心率为
"!!#
+!槡$
,!槡"
-!$
.!槡4
%!设函数/"##%!#120
$ %#(#
"
#
$
"
)4 %##%) !
$ )
#)!#
$ 在#%!
7处取得最值%它的相邻两条对称轴
的距离是!
$%下列选项正确的是
"!!#
+!函数/"##是偶函数
,!函数/"##的最大值为!#
-!函数/"##的图象关于点"!
!$%
"
#
$ 对称
.!函数/"##的图象关于点!
7%
"
#
$ 对称
&!如图是一个算法流程图%则输出的结果为
"!!#
+!)!
*
,!*
"
-!"
.!$#!3
$#!5
'!函数/"##%#
4)"#
$(4#(5 与# 轴交点的个
数为
"!!#
+!#
,!!
-!$
.!4
(!已知在平行四边形"$27 中%/7"$%7#9%"7%
$%"$%*%8 为$2 的中点%则4
5"8) 4
5$7的值为
"!!#
+!)!$
,!!$
-!3
.!)3
)!在边长为!的正方形网格中%某几何体的三视图如
图所示%则该几何体的体积为
"!!#
+!$
4
,!*
4
-!3
4
.!$
"*!若#%, 满足约束条件
#(,)"$#%
#),($*#%
#)$,)4$#
+
,
-
%
则,($
#)4的
取值范围是
"!!#
+! )8%4
"
&
!# 6'$%(8#
,! )8%)
"
&
4
6 6'$%(8#
-! )8%4
"
&
!# 6'4%(8#
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! 全国卷" 数学#理科$% "#
!!
.! )8%
"
&
4
6 6'4%(8#
""!已知抛物线,
$%$<#"<###的焦点和椭圆#
$
*(,
$
4%
!的右焦点相同%直线6过抛物线焦点%且与抛物线
交于'%9 两点%与椭圆交于"%$ 两点%点; 为抛物
线的准线上一动点%满足"'1"(";1"%3%/;1'
%!
4%当1;1' 面积最大时%""$"%
"!!#
+!!7
"
,!3
"
-!*
"
.!4$
"
"#!已知函数/"##% &'#"#*!#%
#<
#"#)!
!
#%."##%4#(
/="$#%对(#!'&%&#$'')4%4&%使得/"#!#
*."#$#成立%则4的取值范围为
"!!#
+! )8%)!
4<)
"
&
!
7
,! !
4<(!
7%(8
'
#
-! )!
4<)!
7%!
4<(
'
&
!
7
.! )8%)!
4<)
"
&
!
7 6 !
4<(!
7%(8
'
#
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
"$!已知曲线,%#
!
$ *直线#%#和$#),)7%#%则
它们所围成的封闭图形的面积为
!
"!!某杂志社为了优化命题质量%现从"名"卷考区和
4名#卷考区的教师中选派4名教师成立命题小
组%则该命题小组中%来自#卷考区的教师至少有
!名的选派方法有
种!"用数字作答#
"%!已知数列!0*$的前* 项和>* % *
4 "*
* )!#%若
)*%&2=*0*%数列!
)*$的前*项和为+*%数列!
+
! $
*
的
前*项和;**!!
7%则*的最小值是
!
"&!如图%在三棱锥')"$2 中%1'"2 为等边三角
形%底面"$2 为等腰直角三角形%"2%'$%$%
/"$2%5#9%则三棱锥')"$2 外接球的体积
为
!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#$#题
为必考题%每个试题考生都必须作答%第$$%$+题
为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
"'!"本小题满分!$分#
在1"$2 中%角"%$%2 所对的三边分别为)%0%
3%已知平面向量! % "$120"%$0/'"#与"%
")!%槡4#不共线%且"槡$!(""%"!
槡
) $""!
""#求角" 的大小-
"##若0
槡
%4 4%+1"$2% 槡
5 4
* %求)%
3!
"(!"本小题满分!$分#
$#!5年!月$3日%中国球员武磊正式加盟西甲
西班牙人足球俱乐部!目前%西甲足球联赛共有
$#个俱乐部参加!足球俱乐部为了了解足球爱好
者月收入与到现场观看比赛的情况%随机抽取了
$##名足球爱好者进行调查%其中选择在家观看
网络直播的有!7#名%在月收入超过4###欧元
的5#名足球爱好者中会有4# 名去现场观看比
赛!
""#根据已知条件完成下面的$>$列联表%并据
此资料判断是否有55!5? 的把握认为+足球爱好
者的月收入与到现场观看比赛有关,-
月收入超过
4###欧元
月收入不超过
4###欧元
合计
现场观看
网络直播
合计
"##若在月收入不超过4###欧元且到现场观看
的足球爱好者中%有!人来自" 城市%$人来自$
城市%* 人来自2 城市%*人来自7 城市%现从这
些足球爱好者中随机选取4人%设来自2 城市的
人数为%%求% 的分布列和数学期望!
附(@
$%
*")A)03#
$
")(0#"
3(A#")(3#"0(A#%其中*%)
(0(3(A!
'"@
$*4## #!#!#
#!##"
#!##!
4#
7!74"
6!365
!#!3$3
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
! 全国卷" 数学#理科$% "$
!!
")!"本小题满分!$分#
已知在四棱锥')"$27 中%'"0平面"$27%
'"%"$%在四边形"$27 中%7"0"$%"72
$2%"$%"7%$$2%$%8 为'$ 的中点%连接
78%1 为78 的中点%连接"1!
""#求证("10'$-
"##求二面角1)"8)2 的余弦值!
#*!"本小题满分!$分#
已知点' 为圆"("#
槡
( 4#
$(,
$%!7上的动点%
点$"槡4%##%线段$' 的垂直平分线和半径"'
相交于点9!
""#求点9 的轨迹方程2-
"##过7"4%##的直线6与曲线2 相交于; %&
两点%点7 关于曲线2 与# 轴正半轴交点的对称
点为8%当18;& 的面积为槡4
4 时%求直线6的方
程!
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! 全国卷" 数学#理科$% "!!
#"!"本小题满分!$分#
已知函数/"##% )$)&'#( !
$#
$ ( "))$##
")'&#!
""#讨论/"##的单调性-
"##当)%$ 时%讨论."##%/"##
#
( 0)
"
#
!
$ #
零点的个数!
!二"选考题$共#" 分!请考生在第$$%$+ 题中任选
一题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
##!"本小题满分!#分#选修*)*(坐标系与参数方程
已知曲线2 的参数方程为# 槡
% "120$%
,%0/'
+
,
-
$
"$ 为参
数#%以直角坐标系原点为极点%以# 正半轴为极
轴建立极坐标系%点; 的极坐标为
槡
4 $%!
"
#
* !
""#求出曲线2 的普通方程和点; 的直角坐标-
"##直线6经过点"$%##%且与曲线2 交于"%$
两点%""$"% 槡
$ "
4 %求点; 到直线6的距离!
#$!"本小题满分!#分#选修*)"(不等式选讲
已知函数/"##%"#)4")"#($"!
""#若/"##$)
$)*) 恒成立%求实数) 的取值
范围-
"##若."##%")$#()"%/"##)."##%#有两
个实数解%求实数)的取值范围!
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! 全国卷" 数学#理科$& ""
!!
能力提升卷!六"
数!学!理科"
本试卷满分!"#分%考试时间!$#分钟!
第!卷!选择题!共!"分"
一#选择题$本大题共#$小题%每小题%分%共!"分!
在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题
目要求的!
"!若)'&%纯虚数-满足-"
)(/#%!)/%则"-()"%
"!!#
+!$
,!槡$
-!3
.! 槡
$ $
#!若集合"%!#"$
#$)4#)$$*$%$%!#''"$#)#
$*
#$%则"%$%
"!!#
+!!#%!%$$
,!!#%!$
-!!#$
.!!!%$%4$
$!若双曲线2(#
$
)
$),
$
0
$ %!")##%
0###的右焦点为1
"4%##%点"槡!#%槡$#在双曲线2 上%则双曲线2
的方程为
"!!#
+!#
$
4),
$
7%!
,!#
$
7),
$
4%!
-!#
$
"),
$
*%!
.!#
$
*),
$
"%!
!!若等差数列!)*$的前* 项和为+*%满足+7 %3%
+5%!$%则+!"%
"!!#
+!!7
,!!3
-!$#
.!$$
%!已知函数/"##%#
$(!%若&##'&%使得/"###)
$
))$成立%则实数)的取值范围为
"!!#
+!")$%(8#
,!")8%)$#
-!")8%$#
.!"$%(8#
&!如图%网格纸上小正方形的边长为!%粗实线画出的是
某几何体的三视图%则该几何体的表面积为
"!!#
+! 槡
* 7(!7
,! 槡
3 7(!7
-! 槡
!$ 7(!7
.! 槡
!7 7(!7
'!执行如图所示的程序框图%如果输入的)%4%*%
*%则输出的B%
"!!#
+!$7
,!"5
-!!$*
.!$"4
(!在1"$2 中%若点' 为线段"$ 上一点且满足4
52'%
4
5
C2$($ 4
5
B2"%
C' !
4%
'
&
!
$ %则B7C的取值范围是
"!!#
+!#%
'
&
!
5
,! )!
5%
'
&
!
3
-! !
5%
'
&
!
3
.!#%
'
&
!
3
)!若实数#%, 满足
#),)!$#%
4#),(!*#%
#(,)"$#
+
,
-
%
则- %
#
$(7#(,
$)$,
槡
(!#的取值范围是
"!!#
+!
槡
5
!#
!# %槡
'
&
46
,!3!
!#%
'
&
46
-!'槡!4%"&
.!'!4%$"&
"*!古希腊三大几何难题之一
的化圆为方问题是三大问
题中最具魅力的%希波克
拉底在屡次尺规作图失败
后意识到(仅利用直尺和
圆规是不能解决化圆为方问题的!虽然他未能实
现化圆为方%却获得了化弓月形或弓月形与圆之
和为方的结果!如图%1"$2 是等腰直角三角形%
.
"2$%.
"82分别是以斜边"$ 和腰"2 为直径的
半圆%若在两个半圆内任取一点%则该点恰好取
自阴影部分的概率为
"!!#
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! 全国卷" 数学#理科$& "#
!!
+!!
4
,!!
!
-!!
!(!
.!!
!($
""!函数/"##%"0/'"%#(# "
#"##%%##%"#")
!#
$ 的部分图象如图所示%"'9"%$
!
$
槡(*%则
下列结论中正确的是
"!!#
+!函数,%/"##的最大值为*
,!函数,%/"##在"*!%"!#上单调递增
-!函数,%/"##的图象关于点)6!
4 %
"
#
# 对称
.!函数,%/"##的图象关于直线#%)*!
4 对称
"#!若函数/"##%#()
$
# (!%."##%&'#( !
# ()
")'&#%若&#!'')%)(!&%(#$''!%$&%都有
/"#!#$."#$#成立%则实数)的取值范围是"!!#
+! !
<%
"
#
!
,!")!%<#
-! )8%)!
"
#
<
.!")8%)!#
第"卷!非选择题!共("分"
二#填空题$本大题共)小题%每小题%分%共$"分!
把答案填在题中的横线上!
"$!!(#(!
"
#
# "!)##
* 的展开式中# 的系数
是
!
"!!若数列!)*$的前* 项和为+*%)!%!%)$%$%对任
意* ' '. 都有)*($ ( )*(! % $)* ( *%则
+"%
!
"%!在三棱锥')"$2 中%"'%"$%"2
槡
% $%$'
%$%120/'"2%4
*%/$'2%7#9%则该三棱锥外
接球的体积为
!
"&!已知点'"#%,#")!)#)$#在抛物线2(,%$#
$
上%"")!%$#%$"$%3#%且$90"'%垂足为9%当
1'"$ 的面积最大时%"'"")"'9"的值
为
!
三#解答题$本大题共!小题%共*"分!解答应写出必
要的文字说明#证明过程或演算步骤!第#*#$#题
为必考题%每个试题考生都必须作答%第$$%$+题
为选考题%考生根据要求作答!
!一"必考题$共!"分!
"'!"本小题满分!$分#
已知!%"$0/'#%槡4120
$##%"%"120#%$#%/"##
%!)"!
""#求/"##的最小正周期和单调递减区间-
"##在1"$2 中%角"%$%2 的对边分别为)%0%
3%若/""# 槡
% 4%)
槡
% 4%则当0($3 取到最大值
时%求1"$2 的面积!
"(!"本小题满分!$分#
如图%在三棱柱"$2)"=$=2=中%"="%"=2%$%
"2
槡
%$ $%"$%$2%"=$
槡
% 7%点; 为"2 的
中点!
""#求证("=; 0平面"$2-
"##若' 为线段"$ 上一点"不含端点#%当二面
角')"=2)$ 的余弦值为槡
$ "
" 时%求"'
"$的值!
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!!
")!"本小题满分!$分#
为了解某校高中学生对数学史的掌握情况%现从
全体高中学生中随机抽取!"人%测试其对数学史
的掌握情况"百分制#%得到的茎叶图如图所示%
测试成绩不低于5#为优秀%'6"%5##为良好%其余
为一般!
""#将频率视为概率%从该校高中学生中任选
*人进行测试%求至少有一人+一般,的概率-
"##从抽取的!"人中随机选取*人%记% 表示
测试成绩+优秀,的学生人数%求% 的分布列和数
学期望!
#*!"本小题满分!$分#
已知点' 在圆"("#(!#
$(,
$%!7上%点$"!%##%
线段'$ 的垂直平分线交'" 于点; %点; 的轨
迹为2!
""#求曲线2 的方程-
"##若直线6与曲线2 交于7%8 两点"7%8 不
是曲线2 的端点#%曲线2 的右端点为1%且
71081!求证(直线6过定点%并求出定点坐标!
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#"!"本小题满分!$分#
已知函数/"##%)&'#)#")'&#!
""#讨论/"##的单调性-
"##若."##%/"##(#%求证(当#))) !
* 时%
8
*
4%!
!
."4
$(!##$!
!二"选考题$共#" 分!请考生在第$$%$+ 题中任选
一题作答%如果多做%则按所做的第一题计分!
##!"本小题满分!#分#选修*)*(坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中%曲线2! 的参数方程
为#%$120&%
,%$0/'
!
&
"
&为参数且#$&$!#%以坐标原点
为极点%# 轴的正半轴为极轴建立极坐标系%曲线
2$ 的极坐标方程为'0/'&)!
"
#
* % 槡
" $
* !
""#求曲线2! 的普通方程和曲线2$ 的直角坐
标方程%并说明曲线的类型-
"##设; )!
$%
"
#
$ %曲线2! 与曲线2$ 分别交于
"%$ 两点%求
!
";""(
!
";$"
的值!
#$!"本小题满分!#分#选修*)"(不等式选讲
已知函数/"##%"#(!"()"#)!"")'&#!
""#当)%$时%求不等式/"##**的解集-
"##若不等式/"##*$的解集包含')!%!&%求)
的取值范围!
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!!数学"理科#$ 答!
" !
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$
$
$
$
高考命题规律与题!能力提升卷
答案详解
能力提升卷!一"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
!
"
#
$
"
$
!
!
!
!
"
#
!!#答案$!
#命题意图$本题考查集合的交集运算!简单的不等式
问题"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$因为"%#&"'($"#%#)("*%"故"%
#%#&"*%"故选!!
"!#答案$"
#命题意图$本题考查复数的概念与运算"考查数学运
算的核心素养!
#解题分析$+$%,)-
.
&'-% /
&'-%
/#&)-$
#&'-$#&)-$%&)-"
则&
$%&'-"对应复平面内的点为#&"0$"在第一象限"
故选"!
#!#答案$#
#命题意图$本题考查充分条件与必要条件的判定"考
查运算求解能力!
#解题分析$由%
&'*可得%'槡* 或%(
槡
) *"记"%
#)(" 槡
) *$)#槡*"'($!由123&%'0可得%'&"记
#%#&"'($"显然# 是" 的真子集"故&%
&'*'是
&123&%'0'的必要不充分条件"故选#!
$!#答案$$
#命题意图$本题考查平面向量的坐标运算!向量的数
量积"考查运算求解能力!
#解题分析$由条件可得!'"%#&")&$"故!(#!'
"$% )."则! 在!'" 上的投影为!(#!'"$
*!'"*
%
).
槡
& &
%) 槡
* &
& "故选$!
%!#答案$"
#命题意图$本题考查命题的否定"考查逻辑推理的核
心素养!
#解题分析$根据命题的否定的定义知"全称命题的否
定是特称命题"所以该命题的否定为&+%4"&4,+"
%
&
4'&
&
4 与%4&4 都不是正数'"故选"!
#易错点拨$命题的否定和否命题是有区别的%在解题
时要注意二者的区别%混淆两者之间的关系容易导
致错误!
&!#答案$$
#命题意图$本题考查排列组合的应用"考查应用意识
与推理论证能力!
#解题分析$若这,人来自英国与美国"不同的选取方
法有#
&
&#
&
*'#
0
&#
*
*%/#种$)若这, 人来自英国与中
国"不同的选取方法同样有/种)若这,人来自美国
与中国"不同的选取方法有#
0
*#
*
* '#
&
*#
&
* '#
*
*#
0
* %
0/#种$"故不同的选取方法共有/'/'0/%&/#种$"
故选$!
'!#答案$!
#命题意图$本题考查双曲线的性质!直线与双曲线的
位置关系"考查数形结合方法与运算求解能力!
#解题分析$把%%'代入%
&
(
& )&
&
)
& %0可得&%5)
&
( "
故* '")
&
#
$
(
"而+#)("4$",#("4$"故-*, )-*+ %
)
&
(
')( )
)
&
(
''( %
)
&
( 6&(
'
&)(
& %&)
&
)
& %&"所以双曲线. 的
渐近线方程为&%5&%"故选!!
(!#答案$!
#命题意图$本题考查算法与程序框图的应用"考查运
算求解能力"考查逻辑推理的核心素养!
#解题分析$第一次循环"得/%060)0
&%4"0%&)
第二次循环"得/%&64)&
&% ),"0%*)第三次循
环"得/%*6#),$)*
&% )&0"0%,)第四次循环"
得/%,6#)&0$),
&% )044"0%/"此时/' )*&
不成立"退出循环"输出0%/"故选!!
)!#答案$!
#命题意图$本题考查函数的图象与基本初等函数的简
单性质"考查数形结合的思想与逻辑推理的核心素养!
#解题分析$由函数的图象可知"该函数的图象关于
& 轴对称"故函数为偶函数"逐个检验可知"选项" 中
的函数&% 7
%)0
7
%
#
$
'0 829% 为奇函数)选项# 中的&%
&
%)*%*'&为非奇非偶函数"故排除""#)选项$ 中
的&%#%
&)0$829% 为偶函数"但是函数的零点有无
穷个"与图象不符"故排除$)符合条件的函数解析式
只有选项!"故选!!
#方法技巧$对于函数图象的判断问题%通常可以通过
逐个验证%利用排除法进行求解!在实际问题中%一般
是从函数的奇偶性&单调性及一些特殊点出发%逐步
排除掉不符合条件的选项即可!
!*!#答案$!
#命题意图$本题考查线性规划的应用"考查数形结
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合的思想与运算求解能力!
#解题分析$作出不等式组表示的平面区域如图中阴
影部分#含边界$所示"由%)&'0%4"
&%)*&
*
'.%4
可得点"
的坐标为#*",$"平移直线,%)&&%4"易得目标函
数$%),%'&& 在点" 处取得最小值$:-;%),6
*'&6,%),"故选!!
!!!#答案$"
#命题意图$本题考查空间几何体的三视图及体积的
计算"考查空间想象能力与运算求解能力!
#解题分析$由三视图可知"该几何体是如图所示的
长方体"#.1)"0#0.010 中挖去一个四棱锥.0)
##0101 的剩余部分"故其体积为2%2"#1)"0#010
'2.0)#.1 %
0
&
#
$
6,6& 6*' 0
* 6
0
&
#
$
6,6& 6
*%0."故选"!
!"!#答案$#
#命题意图$本题考查函数的零点!导数的几何意义
及求和"考查函数与方程的思想与运算求解能力!
#解题分析$由条件可得3 *!
# $
<
%4"故*!
, '!%-!#-
,,$"即!%-!)*!
, #-,,$"而*!*( !
& "故!% !
, "
故3#%$%7
&%9-; &%' !
#
$
,
"则34#%$%&7
&% (
9-; &%' !
#
$
,
'829 &%' !
#
$
+
%
,
槡
%& &7
&%
#
9-; &%'
!$
&
槡
%& &7
&%829&%"则切线50 的方程为&)槡&
&7
&0!
槡
%& &7
&0!#%)0!$"令&%4可得%%0!) 0
, "故-
&4
6%0%6
%#0'&'*','&4$!)/%&04!)/"故选#!
!#!#答案$ 槡
& &
#命题意图$本题考查直线与圆的位置关系"考查数
形结合思想与运算求解能力!
#解题分析$圆心#0"*$到直线&%%的距离为7% &
槡
&
%
槡&"圆的半径为&"故所得弦长为
槡
槡
&
,)&%& &!
!$!#答案$&,!
#命题意图$本题考查三棱锥与外接球的关系及表面
积的计算"考查空间想象能力与运算求解能力!
#解题分析$由"#.平面#.1 可得"#..1"再由
"...1"故.1. 平面"#."即/"#1 和/".1
都是直角三角形"故外接球的球心恰好是"1 的中
点"而"1%
"#
&'#.
&'.1
槡
&
槡
%& ."故外接球的
半径8 槡
% ."则三棱锥")#.1 外接球的表面积为
,!8
&%&,!!
!%!#答案$
槡
&' *
#命题意图$本题考查抛物线的性质!直线与抛物线
的位置关系"考查数形结合思想与运算求解能力!
#解题分析$直线50 的方程为&%-#%)0$"由
&
&%,%"
&%-#%)0
*
$
可得-
&%
& ) #&-
& ',$%'-
& %4"设
"#%0"&0$".#%&"&&$"则%0'%&%&-
&',
-
&
"%0%&%0"
则*".* %
0'-
槡
& (
#%0'%&$
&),%0%
槡
& %
,#0'-
&$
-
&
"同理可得*#1*%
, 0'
) 0
#
$
-
+
%
&
) 0
#
$
-
&
%
,#0'-
&$"则四边形"#.1 的面积为0
& (*".*(
*#1*%<#0'-
&$
&
-
&
%0&<"又-'0"故-
槡
%&' *!
!&!#答案$槡&/*)0
*
#命题意图$本题考查余弦定理的应用"考查数形结
合思想与运算求解能力!
#解题分析$解法一-设#.%%"由"1%*1. 可设
"1%*1.%*9"在/"#. 中"由余弦定理可得0.9
&%
,'%
&)&6&%829.4="即0.9
&%%
&)&%',"""在
/"#1 与/#.1 中"分别由余弦定理可得8290"1#
%>9
&'0.),
&6*96, %>9
&'0&
&,9
"8290#1.%9
&'0.)%
&
&696,
%9
&)%
&'0.
<9
"由条件可得8290"1#'8290#1.
%4"即>9
&'0&
&,9
'9
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&'0.
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%4"即,9
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%4"#"由"# 解得%% 槡&/*)0
*
#舍去负值$"即
边#. 的长为槡&/*)0
*
!解法二-设#.%%"由条件
可得1
2"1% *
,
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2".% *
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2#.) 1
2#"$"则1
2#1% 1
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解得%% 槡&/*)0
*
#舍去负值$"即#.% 槡&/*)0
*
!
!'!#命题意图$本题考查等差数列的通项公式与求和!
错位相减法的应用"考查运算求解能力"考查数学分
析与逻辑推理的核心素养!
#名师指导$#$$利用等差数列的性质与前0 项和公
式建立方程组"求出公差"即可求出通项公式)
#%$求出*)0.的通项公式"利用错位相减法求出
:0"再利用不等式的性质即可证明结论!
#解题分析$#$$设数列*(0.的公差为7"
由(*'(>%0&可得&(.%0&"即(.%."
由/0>%0>4可得0>#(0'(0>$
&
%0>4"
故(0'(0>%&(04%&4"即(04%04"
#*分$
?7%(04)(.
04). %0"
?数列*(0.的通项公式为(0%(.'#0).$7%0!
#.分$
#%$证明-由#$$可知"
)0%(0'0
&
0 %0'0
&
0 "
则:0% &
& ' *
&
& ' ,
&
* ','0'0
&
0 """
? 0
&:0% &
&
& ' *
&
* ' ,
&
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&
0'0 ""#
由")#可得
0
&:0 %0' 0
&
& ' 0
&
* ' 0
&
, ',' 0
&
0 )0'0
&
0'0
#>分$
%0'
0
, 0) 0
&
0
#
$
)0
0) 0
&
)0'0
&
0'0 % *
& )0'*
&
0'0 "
?:0%*)0'*
&
0 !
+0'*
&
0 '4"?:0(*!
#0&分$
!(!#命题意图$本题考查概率与统计的应用"考查应用
意识与数据的分析处理能力!
#名师指导$#$$先根据表格中的数据"求出年龄在
+&4"&/$之间的人数"再根据频数求出所占频率即可
求出0"再根据+&/"*4$区间之间的人数"即可求出;
的值)#%$根据频率分布直方图中中位数两边的面
积相等"再求各组频率"根据最后一组对应的频率比
值即可得出结论)#&$先确定< 的值"再分别求出
< 对应的概率"借助数学期望的公式即可得出结论!
#解题分析$#$$由条件可得年龄在+&4"&/$之间"且
支持&四天半工作制'的人数为,4人"占本组的频率
为4!<"故年龄在+&4"&/$之间的人数为,4
4!<%/4!
#&分$
由频率分布直方图可知"年龄在+&4"&/$"+&/"*4$之
间的频率分别为4!4&6/%4!0"4!4,6/%4!&"
故0%/4
4!0%/44";%
/4
4!&6/44%4!/!
#,分$
#%$在频率分布直方图中"前两组数据的频率之和
为#4!4&'4!4,$6/%4!*(4!/"
前三组数据的频率之和为4!*'4!4.6/%4!.'4!/"
?参与调查的职工年龄的中位数为*4'4!/)4!*
4!*
6/3**!
#@分$
#&$根据分层抽样可知"年龄在+*4"*/$之间的职工
抽取的人数为
4!4.6/
#4!4.'4!4,$6/6/%*#人$"年龄在
+*/",4$之间的职工抽取的人数为&人"
则< 的可能取值有0"&"*!
#>分$
*#<%0$%#
0
*
#
*
/% *
04"
*#<%&$%#
&
*#
0
&
#
*
/ % .
04% *
/ "
*#<%*$% 0
#
*
/% 0
04"
?< 的分布列为
<
0
&
*
*
*
04
*
/
0
04
?< 的数学期望为=#<$%06 *
04'&6 *
/ '*6
0
04%0!<!
#0&分$
!)!#命题意图$本题考查空间线面垂直关系的证明!二
面角的求解"考查空间想象能力"考查逻辑推理与数
学运算的核心素养!
#名师指导$#$$根据两个平面垂直的判定定理"只
需证明">. 平面.#010"再利用线面垂直的判定
定理即可得出结论)#%$建立空间直角坐标系"利用
空间向量求出二面角.)"#0)10 的余弦值即可
求解!
#解题分析$#$$证明-由条件可得"10%"#0"
如图"取#010 的中点>"连接>"">."
?">.#010"
又由条件可得">%.>%&"".
槡
%& &"
?">
&'.>
&%".
&"?">..>"
#*分$
又.>%#010%>"且.>"#0104平面.#010"
?">.平面.#010"
又">4"#010"
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" !
?平面"#010.平面.#010!
#.分$
#%$如图"以1 为坐标原点"分别以1""1."
110 所在直线为% 轴!& 轴!$ 轴"建立空间直角坐
标系1)%&$"
则"#&"4"4$"#0 #&"&"槡&$".#4"&"4$"10 #4"4"
槡&$"
故"#1
2
0%#4"&"槡&$"1
2".%#)&"&"4$!
"11
2
0%#)&"4"槡&$!
设平面"#0. 的法向量为#0%#%"&"$$"
由"#1
2
0(#0%4"
1
2".(#0%4
*
"
可得&& 槡
' &$%4"
)&%'&&%4
*
"
令%%0可得#0%#0"0" 槡
) &$"
#>分$
同理可得平面"#010 的一个法向量为#& %
#0")0"槡&$"
则829/#0"#&0%
#0(#&
*#0*(*#&*
%
0)0)&
槡0'0'&( 槡0'0'&
%) 0
& !
由图可知"二面角.)"#0)10 为钝角"
?二面角.)"#0)10 的大小为0&4=!
#0&分$
"*!#命题意图$本题考查椭圆标准方程的求解!直线与
椭圆的位置关系"考查数形结合的数学思想!运算求
解能力"考查数学运算的核心素养!
#名师指导$#$$根据椭圆的标准方程"在/+?0?&
中根据余弦定理及周长建立方程组求出(")即可)
#%$设出点""# 的坐标"代入椭圆方程"利用点差
法及"# 的中点在直线&% )&% 上"求出直线的斜
率即可求出5的方程!
#解题分析$#$$设*+?&*%*?0?&*%&'"
在/+?0?& 中"由余弦定理可得
*+?0*
& %*+?&*
&'*?0?&*
&)&*+?&*(*?0?&*
(8290+?&?0
%,'
&','
&''
&%>'
&!
?*+?0*%*'"
?*+?0*'*+?&*%*''&'%&("即&(%/'!#*分$
由/+?0?& 的周长为0,可得/''&'%0,"
故'%&"(%/"
?)
&%(
&)'
&%&0"
?椭圆= 的方程为%
&
&/'&
&
&0%0!
#.分$
#%$设"#%0"&0$"##%&"&&$"*#%4"&4$"
则&4%)&%4"且
%
&
0
&/'&
&
0
&0%0"""
%
&
&
&/'&
&
&
&0%0""
5
6
7
#
由")#可得%
&
0)%
&
&
&/
'&
&
0)&
&
&
&0
%4"
即#%0'%&$#%0)%&$
&/
'#&0'&&$#&0)&&$
&0
%4"
#>分$
根据条件可得%0'%&%&%4"&0'&&%&&4"
故&%4#%0)%&$
&/
'&&4#&0)&&$
&0
%4"
由&4%)&%4 可得&0)&&
%0)%&%&0
/4"
即直线5的斜率为&0
/4!
?直线5的方程为&%&0
/4#%'&$"
即&0%)/4&',&%4!
#0&分$
#方法归纳$与圆锥曲线的弦的中点有关的问题%通
常可以借助'点差法(进行求解%这样可以避免联立
方程带来的复杂运算!
"!!#命题意图$本题考查导数的几何意义与运算!导数
在研究函数性质中的应用"考查化归与转化的思想
及运算求解能力!
#名师指导$#$$把问题转化为3#%$
:AB84"进而利
用导数研究函数的单调性求出3#%$
:AB"再解不等式
即可)#%$把问题转化为求函数的零点个数"再借助
函数的单调性与极值"分析函数的零点个数即可!
#解题分析$#$$由3#%$%91;%)&%"
可得34#%$% 9
% )&%9)&%
%
#%'4$"
令34#%$%4可得%% 9
& "
#&分$
当4(%( 9
& 时"34#%$'4)
当%' 9
& 时"34#%$(4"
?当%%9
& 时"3#%$取得最大值3 9
# $
&
%91;9
& )9"
根据条件"只需91;9
& )984"
再由9'4可得4(98&7"
即9 的取值范围为#4"&7%!
#,分$
#%$当9%0时"&%1;%)&%"
则&4% 0
% )&%0)&%
%
"
则切线5的斜率为-%0)&%4
%4
"
切线方程为&)#1;%4)&%4$%0)&%4
%4
#%)%4$"
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" !
即&%#0)&%4$%
%4
'1;%4)0"
#.分$
设切线5与&%%
& 相切于点#%0"%
&
0$"
由&4%&%"得切线方程为&)%
&
0%&%0#%)%0$"
即&%&%0%)%
&
0"
则
0)&%4
%4
%&%0"
1;%4)0%)%
&
0
5
6
7
"
故0)1;%4% 0)&%4
&%
#
$
4
&
"
#<分$
整理可得,%
&
41;%4),%4'0%4"
令@#%$%,%
&1;%),%'0"
则@4#%$%<%1;%',%),"
令A#%$%<%1;%',%),"
则A4#%$%<1;%'0&"
令A4#%$%4可得%%7
)*
& "
当4(%(7
)*
& 时"A4#%$(4"
当%'7
)*
& 时"A4#%$'4"
即A#%$ #
在4"7
) $
*
&
上单调递减" #
在7
)*
& "'($上
单调递增"
?当%%7
)*
& 时"A#%$取得最小值
#
A 7
)
$
*
&
%
)<7
)*
& ),(4!
#04分$
当4(%(7
)*
& 时"<1;%'0&(4"
则A#%$%%#<1;%',$),(%#<1;%'0&$),(),"
而A#0$%4"
?当4(%(0时"A#%$(4"即@4#%$(4"
当%'0时"A#%$'4"即@4#%$'4"
即@#%$在#4"0$上单调递减"在#0"' ($上单调
递增"
?当%%0时"@#%$取得极小值@#0$%)*(4!
又@#4$%0'4"且@#7$%,7
&),7'0'4!
?@#%$%4在#4"0$和#0"'($上各有0个零点!
即方程,%
&
41;%4),%4'0%4有两个实数根"即满足
条件的%4 有&个!
#0&分$
""!#命题意图$本题考查极坐标方程与直角坐标方程的
互化!参数的几何意义"考查运算求解能力!
#名师指导$#$$先把曲线. 的极坐标方程转化为直
角坐标方程"再联立方程即可求解)#%$把直线的参
数方程代入曲线. 的直角坐标方程"再借助参数的
几何意义即可得出结论!
#解题分析$#$$曲线. 的极坐标方程可化为"%
<829#
&9-;
&#
"即"
&9-;
&#%,"829#"
#&分$
化为直角坐标方程可得&
&%,%"
过曲线.的焦点且垂直于对称轴的直线方程为%%0"
#*分$
由%%0"
&
&%,
*
%
可得&%5&"故所求弦长为,!
#/分$
#%$把%%0'B829$"
&%B9-;
*
$
代入&
&%,%"
整理可得B
&9-;
&$),B829$),%4"
#@分$
设""# 两点对应的参数分别为B0"
B&"
则B0B&%) ,
9-;
&$
"
则*?"*(*?#*%*B0B&*% ,
9-;
&$%>"
解得9-;
&$% ,
> "
#<分$
又48$( !
& "故9-;$% &
* "829$%槡/
* "
故直线5的斜率为CA;$% 槡
& /
/ !
#04分$
"#!#命题意图$本题考查基本不等式的应用!绝对值不
等式的解法"考查运算求解能力!
#名师指导$#$$利用基本不等式即可得出结论)
#%$先解不等式"再根据集合之间的包含关系即可
求出9 的取值范围!
#解题分析$#$$+('4"
)'4"且('0.)%<()"
?<()%('0.)9&
0.
槡()"
即()9 槡()"故()90"
#&分$
当且仅当(%0.)"
()%0
*
"
即(%,"
)% 0
, 时"取等号"
#,分$
故()的最小值*%0!
#/分$
#%$由#$$及*%*'*%'0*8&* 可得*%*'*%'
0*8&!
"当%()0时"不等式可变为)%)%)08&"解得
%9) *
& "故) *
& 8%()0)
#.分$
#当)08%84时"不等式可变为)%'%'08&"即
08&"故)08%84)
#@分$
'当%'4时"不等式可变为%'%'08&"解得%8
0
& "故4(%8 0
& !
#<分$
综上可知"原不等式成立的充分必要条件为) *
& 8
%8 0
& "
故只需+9)0"9%:
) *
& "
+
%
0
&
"
即
9)09) *
& "
98 0
&
5
6
7
"
解得) 0
& 898 0
& "
即实数9 的取值范围是
) 0
& "
+
%
0
&
!
#04分$
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"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
#
$
#
$
!
"
!
$
#
!
"
!
!!#答案$#
#命题意图$本题考查集合的基本性质"考查运算求解
能力!
#解题分析$"%*%,,*%
&'&%84.%*)&")0"4."
则集合" 的子集个数为&
*%<"故选#!
"!#答案$$
#命题意图$本题考查复数的四则运算"考查数学运算
核心素养!
#解题分析$$% -
0'-%
-#0)-$
#0'-$#0)-$% 0
& ' 0
&-"则
&
$% 0
& ) 0
&-"所以复数$的共轭复数&
$ 在复平面内对
应的点为
0
& ")
#
$
0
&
"位于第四象限"故选$!
#!#答案$#
#命题意图$本题考查统计图的应用"考查逻辑推理
能力!
#解题分析$由等高条形图可以看出选项"!选项!和
选项$ 均正确"关注学习强国"DD的*/岁以下的男
性人数不一定比*/岁以上的女性人数多"选项# 错
误"故选#!
$!#答案$$
#命题意图$本题考查二项式定理的应用"考查运算求
解能力!
#解题分析$当%%0时"可得二项展开式中的所有项
的系数之和"即#('0$
.%@&>"所以('0%5*"(%&
或(%),#舍$"故选$!
%!#答案$!
#命题意图$本题考查几何概型"考查运算求解能力!
#解题分析$设正六边形的边长为("则正六边形的外
接圆半径为("则/正六边形"#.1=?
/圆>
%
.6 0
& 6(6槡*(
&
!6(
&
%
槡
* *
&!
"故选!!
&!#答案$"
#命题意图$本题考查算法与程序框图"考查运算求解
能力!
#解题分析$第一次循环-/%)0"0%&)第二次循环-
/%*"0%*)第三次循环-/%)."0%,)第四次循环-
/%04"0的值为,"运行终止"故选"!
'!#答案$!
#命题意图$本题考查空间几何体的三视图!锥体的体
积"考查空间想象能力!
#解题分析$由几何体的三视图知"该几何体是如图所
示的四棱锥*)"#.1"则2*)"#.1 % 0
* 6 0
& 6#0'
&$6&6&%&"故选!!
(!#答案$$
#命题意图$本题考查抽象函数的基本性质"考查运算
求解能力和化归与转化的思想!
#解题分析$由3#%$'3#&)%$%3#&$"令&%4"得
3#%$'3#)%$%3#4$"令%%&%4"得3#4$%4"则函
数3#%$是奇函数"当%'4 时"3#%$%7
% )%)0"
34#%$%7
%)0'4"所以当%'4时"函数3#%$是单调
递增函数"由3#%$是奇函数"则函数3#%$在+ 上是
单调递增函数"因为3#1;&$%7
1;& )1;&)0%0)
1;&%1; 7
& "又*3#%$*81; 7
& "所以*%*81;&"即
)1;&8%81;&"故选$!
)!#答案$#
#命题意图$本题考查抛物线焦点弦的几何性质"考查
运算求解能力!推理论证能力和数学运算核心素养!
#解题分析$由题意可知?#0"4$"? 设直线*C 的方
程为% % 9&' 0"* #%0"&0 $"C #%&"&& $!联立
%%9&'0"
&
&%,%
*
"
消去%"化简得&
&),9&),%4"则&0&&%
),!由1
2*?%& 1
2?C"得#0)%0")&0$%&#%&)0"&&$"
)&0%&&&"?*&0*
槡
%& &!由三角形的面积公式"得
//*>? % 0
&*>?*(*&0*% 0
&
槡
槡
606& &% &"故选#!
!*!#答案$!
#命题意图$本题考查三角函数的图象与性质"考查
推理论证能力与数据处理能力!
#解题分析$化简3#%$%9-;%%(9-; %%' !
#
$
*
%
0
&9-;
&%%'槡*
&9-;%%(829%%% 0
& (0)829&%%
&
'
槡*
,9-;&%%% 0
&9-; &%%) !
#
$
.
' 0
, "由题意可得
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" !
@#%$% 9-; &% %' !
#
$
,
) !
+
%
.
' 0
, "因为函数
@#%$的图象关于& 轴对称"所以&%( !
, ) !
. %
-!' !
& #-,,$"即%%&-' ,
* #-,,$"所以@#%$的
单调递减区间为&-!' !
& 8&% %' !
#
$
,
) !
. 8&-!
'*!
& #-,,$"因为@#%$在
) !
&4"
+
%
4 上是单调递减
函数"可求得%%04
* "故选!!
!!!#答案$"
#命题意图$本题考查双曲线的定义与几何性质"考
查数形结合思想和运算求解能力!
#解题分析$设0?0"#%0?0?&"%#"则*?0?&*%*
?0"*"由双曲线的定义可知*?0"*%&'"*?&"*%&'
)&("由余弦定理得829#%')(
&' "因为*?0#*%
&*?0"*%,'"所以在/?0?&# 中"*?0?&*%&'"
*?0#*%,'"*?&#*% ,' ) &("由余弦定理得
8290?0?&#%'
&),(''(
&
&'#&')($ % ) 829# % ()'
&' "且
''("化简得'%&("因为(
&')
&%'
&"所以)
(
槡
% *"
故选"!
!"!#答案$!
#命题意图$本题考查函数的零点!函数构造!函数与
导数的关系"考查逻辑推理!数学运算核心素养!
#解题分析$由题意可知1;%0)(%0%4"1;%&)(%&%
4"
1;%0 '1;%&%(#%0 '%&$"1;%0 )1;%& %(#%0 )
%&$"?1;%0 '1;%& % #1;%0)1;%&$#%0'%&$
%0)%&
#%0 ;
%&$"可以证明#1;%0)1;%&$#%0'%&$
%0)%&
'&"?%0%&'
7
&"令B%@#%$) ,
% "则@#%$% ,
% 'B"?@#
B$% ,
B
'B"由已知"@#
B$%,"解得B%&"?@#%$% ,
% '&"
?@#0$%."故选!!
!#!#答案$*
#命题意图$本题考查平面向量的数量积的概念!
#解题分析$! 在" 的方向上的投影为*!*(829#%
!("
*"*% *
& "所以!("% *
& 6&%*!
!$!#答案$钝角
#命题意图$本题考查余弦定理的运用"考查数形结
合的思想!
#解题分析$延长"1 到点="使*"1*%*1=*"则四
边形"#=. 是平行四边形"由余弦定理知"*"=*
&'
*#.*
&%&#*"#*
& '*".*
&$"解得*#.*
& %0,'
*"#*
&'*".*
&"则/"#. 的形状为钝角三角形!
!%!#答案$/
#命题意图$本题考查直线与圆的位置关系!导数的
几何意义!
#解题分析$函数3#%$%1;%) 0
% 在%%0处的切线
方程为&%&%)*"曲线*&)&*%
()%
槡
& 为圆%
&'
#&)&$
&%("由题意"直线&%&%)*与圆相切"即圆
心#4"&$到直线& % &% ) * 的距离为槡
("
*&64)&)**
&
&'0
槡
&
%槡
("解得(%/!
!&!#答案$<">
#命题意图$本题考查逻辑推理"考查推理论证能力!
逻辑推理的核心素养!
#解题分析$由题意知"所有数字之和为@<"则甲乙
丙三人每人抽到的,个数字之和均为&."则乙抽到
的另外两张卡片必为0"*"甲抽到的另外两张卡片
为&"@或/","则丙所抽到的数字必有<">!
!'!#命题意图$本题考查等比数列的基本概念!通项公
式及裂项求和的基本方法!
#名师指导$#$$根据等比数列的定义和等比数列的
性质求通项公式)#%$由#$$和已知条件求.0 的通
项公式"从而求出:0 的值!
#解题分析$#$$因为数列*(0.是等比数列"
又//%/*'&,"(&(@'(,(/%&/."
所以(,(/%0&<"(,'(/%&,"
#&分$
解得(,%<"
(/
* %0.
或(,%0."
(/%<
*
"
#,分$
因为数列*(0.为递增数列"
所以(,%<"(/%0."
#/分$
所以(0%&
0)0!
#.分$
#%$因为)0%123&(0'0(123&(0'&%0#0'0$"
所以.0% 0
)0 %
0
0#0'0$% 0
0 ) 0
0'0"
所以:0 %'0''&',''0
% 0)
#
$
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'
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#
$
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*
','
0
0 ) 0
0
#
$
'0
%0) 0
0'0
% 0
0'0!
#0&分$
!(!#命题意图$本题考查平面与平面垂直的判断!二面
角平面角的求法"考查空间想象能力与运算求解
能力!
#名师指导$#$$利用勾股定理与面面垂直的判定定
理即可得证)#%$建立空间直角坐标系"分别求平面
"#1 与平面"1? 的法向量即可求解!
#解题分析$#$$证明-设> 为". 边中点"连接>#"
"0#""0.""0>"
因为侧面"..0"0 是菱形"0"0".%.4="
所以"0>."."
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因为/"#. 是等腰三角形"0"#.%>4="
所以#>.".!
设".%&("则"0> 槡
% *(">#%(""# 槡
% &(!#&分$
在/"0"# 中"由余弦定理得
"0#
&%"0"
&'"#
&)&"0"("#(8290"0"#"
则"0#
&%,(
&%>#
&'"0>
&"
可得"0>.#>!
#,分$
因为"0>."."".%#>%>"
所以"0>.平面"#.!
因为"0>4平面""0.0."
所以平面"#..平面"..0"0!
#.分$
#%$由#$$"分别以>#">.">"0 所在直线为% 轴!
& 轴!$轴建立空间直角坐标系>)%&$"
#@分$
则"#4")("4$"##("4"4$"1 #4"("槡*($"
? (
& "(
& "
#
$
4 !
设#0%#%0"&0"$0$是平面"#1 的法向量"
1
2"#%#("("4$"1
2"1%#4"&("槡*($"
由
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1
2"1(#0%4
*
"
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槡
' *($0%4
*
"
令$0%&"得&0
槡
%) *"%0
槡
% *"
即#0%#槡*" 槡
) *"&$!
#>分$
设#&%#%&"&&"$&$是平面"?1 的法向量"
1
2"?%
(
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#
$
4 "1
2"1%#4"&("槡*($"
由
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2"?(#&%4"
1
2"1(#&%4
*
"
得
(
&%&'*(
&&&%4"
&(&&
槡
' *($&%4
5
6
7
"
令$%&"可得#&%# 槡
* *" 槡
) *"&$!
#04分$
829/#0"#&0% #0(#&
*#0**#&*%
槡
<
</
</
"
#00分$
则锐二面角#)"1)? 的余弦值为
槡
<
</
</
!#0&分$
!)!#命题意图$本题考查频率分布直方图及统计知识的
数字特征的计算"考查二项分布"考查运算求解
能力!
#名师指导$#$$利用频率分布直方图的面积之和为
0即可求解)#%$根据图象即可求解)#&$利用二项
分布特征及数学期望定义即可得解!
#解题分析$#$$由频率分布直方图的面积之和为0"
得#4!44/'4!4&4'4!4&/'4!4*4'4!40,'%$6
04%0"
解得%%4!44.!
#*分$
#%$学业水平考试的成绩在0*4分以上#含0*4分$
的概率为#4!40,'4!44.$604%4!&"
则0,4464!&%&<4#人$"
估计有&<4人具有推荐资格!
#.分$
#&$由题意知< 服从于二项分布"即<(# ,"
#
$
0
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"
*#<%4$%#
4
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*#<%,$%#
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,
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0
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,
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#04分$
所以< 的分布列为
<
4
0
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*
,
*
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&/.
.&/
>.
.&/
0.
.&/
0
.&/
所以< 的数学期望=#<$%,6 0
/ %4!<!
#0&分$
"*!#命题意图$本题考查椭圆的几何性质!直线与椭圆
的位置关系"考查考生的运算求解能力和数形结合
思想!
#名师指导$#$$由题可得关于(")"'的方程组"即
可求解)#%$将直线方程与椭圆联立"利用韦达定理
与三角形周长公式即可求解!
#解题分析$#$$由题意得
D%'
( %槡.
* "
0
&()%槡*
& "
(
&%)
&''
&
5
6
7
"
解得
( 槡
% *"
)%0"
' 槡
% &
5
6
7
"
#*分$
所以椭圆的标准方程为&
&
* '%
&%0!
#/分$
#%$因为直线%%9&'0#9(4"0'4$与圆%
& '
&
&%0相切"
所以
*0*
0'9
槡
& %0"即0'9
&%0
&!
#.分$
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" !
设+#%0"&0$",#%&"&&$"联立
&
&
* '%
&%0"
%%9&'0
5
6
7
"
得#*9
&'0$&
&'.90&'*#0
&)0$%4"
所以
&%*.9
&0
&)0&#*9
&'0$#
0
&)0$%&,9
&'4"
&0'&&% ).90
*9
&'0"
&0&&%*#
0
&)0$
*9
&'0
5
6
7
!
因为*+,*%
0'9
槡
&*&0)&&*
% 槡
& *(
0'9
槡
&
*9
&'0
(
*9
&'0)0
槡
&"
且0
&%0'9
&"所以*+,*% 槡
& .90
*9
&'0!
#<分$
因为*+?*%
%
&
0'#&0
槡
) &$
槡
&
%
0)&
&
0
* '#&0
槡
) &$
槡
&
槡
% *)槡.
*&0!
同理*,?* 槡
% *)槡.
*&&"
#>分$
*+?*'*,?*
槡
%& *)槡.
* #&0'&&$
槡
%& *' 槡
& .90
*9
&'0"
所以/+,? 的周长是
槡
& *'
槡
& .90
*9
&'0)
槡
& .90
*9
&'0%
槡
& *"
#04分$
则/+,? 的周长为定值
槡
& *!
#00分$
故/+,? 的周长与椭圆的长轴长相等!
#0&分$
"!!#命题意图$本题考查导数在研究函数中的应用"考
查运算求解能力"考查化归与转化思想!
#名师指导$#$$求函数的导数"分类对( 的取值范
围进行讨论即可求解)#%$将?#%$在+0"7%上有零
点转化为))%1;%'%
&')'0%4在+0"7%上有实根"
分类讨论即可求解!
#解题分析$#$$由题意可知"函数3#%$的定义域为
#4"'($"
34#%$%('0
% )%'(
%)%
&'(%'('0
%
%)#%)()0$#%'0$
%
!
#0分$
"当('084"即(8)0时"34#%$84"
所以函数3#%$的单调递减区间为#4"' ($"没有
极值)
#&分$
#当('0'4"即(')0时"
由34#%$%4"解得%%('0"
当4(%(('0时"34#%$'4"
当%'('0时"34#%$(4"
所以函数3#%$的单调递增区间为#4"('0$"单调递
减区间为#('0"'($"函数3#%$有极大值"没有极
小值"
3#%$极大值为3#('0$%#('0$1;#('0$'(
&)0
&
!
#,分$
#%$当(%0时"3#%$%&1;%)%
&
& '%"
?#%$%))%1;%'%
&')'0在+0"7%上有零点"
即方程))%1;%'%
&')'0%4在+0"7%上有实根"
即方程))1;%'%')'0
% %4在+0"7%上有实根!
#/分$
设A#%$%))1;%'%')'0
% "
则A4#%$%0) )
% ))'0
%
& %#%'0$#%)))0$
%
&
!
#.分$
"当)'080"即)84"%,+0"7%时"A4#%$94"A#%$
在+0"7%上单调递增"
若A#%$%4在+0"7%上有实根"则A#0$84"
A#7$94
*
"
即
)8)&"
)87
&'0
7)0
5
6
7
"
所以)8)&!
#<分$
#当0()'0(7"即4()(7)0时"
%,+0"
)'0%时"A4#%$84"A#%$单调递减"
%,+)'0"7%时"A4#%$94"A#%$单调递增"
所以A#%$
:-;%A#)'0$%&')))1;#)'0$"
由0()'0(7"可得4()1;#)'0$()"
所以A#)'0$'&"
则A#%$%4在+0"7%上没有实根!
#04分$
'当)'097"即)97)0"%,+0"7%时"A4#%$84"
A#%$在+0"7%上单调递减"
若A#%$%4在+0"7%上有实根"则A#0$94"
A#7$84
*
"
即
)9)&"
)97
&'0
7)0
5
6
7
"
解得)97
&'0
7)0!
因为7
&'0
7)0'7)0"
所以)97
&'0
7)0时"A#%$%4在+0"7%上有实根!
综上可得实数) 的取值范围是#) (")&%)
7
&'0
7)0"'(
+
$!
#0&分$
""!#命题意图$本题考查坐标系与参数方程"考查运算
求解能力!化归与转化思想!
#名师指导$#$$利用参数方程与普通方程的互化"
极坐标方程与直角坐标方程的互化即可得解)
#%$根据等比数列性质与韦达定理即可求解!
#解题分析$#$$由曲线.0 的参数方程为
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!!数学"理科#$ 答!*
" !
%%&'&829#"
&%&9-;
*
#
#
#为参数$"
得普通方程为#%)&$
&'&
&%,"
#0分$
相应的曲线.0 的极坐标方程为"%,829#!
#*分$
由曲线.& 的参数方程为%%)&'B829$"
&%B9-;
*
#
$
B 为参
数"
$; !$
&
"得普通方程为&%#%'&$CA;$! #/分$
#%$点*#)&"4$在曲线.& 上"将曲线.& 的参数方
程代入曲线.0 的普通方程"
化简得B
&)<B829$'0&%4"
则B0'B&%<829$"
B0(B&%0&"
#.分$
由B的几何意义得**+*%B0"**,*%B&"*+,*%
*B0)B&*!
因为**+*"*+,*"**,*成等比数列"
所以**+*(**,*%*+,*
&"
整理得#
B0'B&$
&%/B0B&"解得829
&$%0/
0."
#<分$
由$,
!
& "
#
$
! "得829$%) 槡0/
, "9-;$% 0
, " #>分$
所以CA;$%) 槡0/
0/ !
#04分$
"#!#命题意图$本题考查解不等式!绝对值不等式恒成
立问题"考查运算求解能力!
#名师指导$#$$利用分段函数求解不等式即可)
#%$将问题转化为&9
& )@9' *
& 83#%$
:-; 即可
求解!
#解题分析$#$$3#%$%*&%'0*)*%)0*
%
)%)& %()
#
$
0
&
"
*% ) 0
& 8%(
#
$
0 "
%'&#%90$
5
6
7
!
#&分$
由3#%$94"得
)%)&94"
%()
5
6
7
0
&
或
*%94"
) 0
& 8%(
5
6
7
0
或
%'&94"
%90
*
"
#,分$
解得*%*%8)&或%94.!
#/分$
#%$由#$$得3#%$的最小值为) *
& !
#.分$
不等式&9
&)@9' *
& 83#%$对任意%,+ 恒成立"
即&9
&)@9' *
& 8) *
& "
#@分$
&9
&)@9'*84"
即#&9)0$#9)*$84"
#>分$
解得0
& 898*"
所以实数9 的取值范围为
0
& "
+
%
* !
#04分$
能力提升卷!三"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
"
!
"
!
"
#
$
$
$
#
$
!
!!#答案$"
#命题意图$本题考查复数的运算"考查运算求解能
力!数学运算核心素养!
#解题分析$将复数$ 的分子分母同时乘&'-得$%
*'-
&)-%#*'-$#&'-$
#&)-$#&'-$%/'/-
/
%0'-"则复数$ 的共轭
复数&
$%0)-"故选"!
"!#答案$!
#命题意图$本题考查二次函数的定义域!值域!集合
的交集运算"考查运算求解能力!数形结合的思想!数
学运算的核心素养!
#解题分析$+"% +0"7
&%"#% +)&"<%"?"%#%
+0"7
&%"故选!!
#易错提醒$本题的易错点在于集合的代表元素%集合"
表示函数的值域%而集合# 表示为不等式的解集!
#!#答案$"
#命题意图$本题考查程序框图"考查逻辑推理核心
素养!
#解题分析$由题可得%(&"
123&#
,)%
&$
*
%*
或%9&"
%
&)&%
*
)/%*
<
%%,"故选"!
$!#答案$!
#命题意图$本题考查导数的运算公式"考查数学运算
的核心素养!
#解题分析$34#%$% #%829
&%$
4%%4(829
&%'%(
#829
&%$
4%829
&%)%(&829%9-;%%829
&%)%9-;&%"故
选!!
#易错提醒$注意复合导数的求导过程为"3"%#$
@"%##
4%3"%#
4$@"%#'3"%#$@"%#
4!
%!#答案$"
#命题意图$本题考查异面直线所成的角"考查空间想
象能力!运算求解能力!
#解题分析$取". 中点="连接1="#="+1"= 分别
为*."". 的中点"?*"=1="?*" 与#1 所成的
角即为1= 与#1 所成的角!+异面直线所成角的范
围是#4=">4=%"即*" 与#1 所成的角为0#1= 或其
补角"由题意可得1=% 0
&*"%0"#1%#=
槡
% *!在
/#1= 中"由余弦定理可得829 0#1= %
#1
&'1=
&)#=
&
&#1(1=
%#槡*$
&'0
&)#槡*$
&
槡
&6 *60
%槡*
. "故选"!
&!#答案$#
#命题意图$本题考查等比数列的性质"考查运算求解
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" !
能力"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$+(*(> %>"?(. % 5*"?3#*$%*
& )
046*'>%)0&或3#)*$%#)*$
&)046#)*$'
>%,<"故选#!
'!#答案$$
#命题意图$本题考查线性规划问题"考查数形结合思
想和数学运算的核心素养!
#解题分析$$是可行域内的点与定点#)0")*$连线
所在直线的斜率!可行域如图中阴影部分#含边界$所
示"则直线5-$%)&'$)*%4 过" 点时"$ 最小"
%)&'0%4"
*%)&&
*
%4
< %%&"
&*%*
<"#&"*$"?$:-;%*'*
&'0%
&"故选$!
(!#答案$$
#命题意图$本题考查三角恒等变换!三角函数的平移
变换"考查逻辑推理核心素养!
#解题分析$& %9-; &%' !
#
$
.
'829 &%) !
#
$
*
%
槡*
&9-;&%' 0
&829&%' 0
&829&%'槡*
&9-;&%%829&%'
槡*9-;&%%&9-; &%' !
#
$
.
"&%&829%
#
%&9-; %' !$
&
图象向右平移!
*
1
22222222222
个单位长度
&
+#
%&9-;
%) !$
*
' !%
&
%
&9-; %' !
#
$
.
纵坐标不变"横坐标缩小到原来的
1
2222222222222222
0
&
&%
#
&9-; &%' !$
.
"故选$!
)!#答案$$
#命题意图$本题考查几何概型与定积分"考查数学运
算的核心素养!
#解题分析$+/, %&"/+ %>
0
4%
*E%'>
&
0
0
% E%%
0
,%
,
0
4'1;%
&
0% 0
, '1;&"?*#"$%/+
/, %
0
, '1;&
&
% 0
< ' 0
&1;&"故选$!
!*!#答案$#
#命题意图$本题考查双曲线的渐近线方程及离心率
的求法"考查数学运算的核心素养!
#解题分析$双曲线的渐近线方程为)%5(&%4!
+*#&"槡
*$到渐近线)%5(&%4的距离分别为70%
*&) 槡
' *(*
(
&')
槡
& "7&%*&) 槡
) *(*
(
&')
槡
& "?707&%*&) 槡
' *(*
(
&')
槡
& (
*&) 槡
) *(*
(
&')
槡
& %*,)
&)*(
&*
(
&')
&
%0&
@ "? 5,)
&)*(
&
(
&')
& %0&
@ "
?**(
&%0.)
& 或>(
&%,4)
&"?**(
&%0.#'
&)(
&$或
>(
&%,4#
'
&)(
&$"?,>(
&%0.'
& 或,>(
&%,4'
&"?离
心率D% @
, 或D%
槡
@
04
&4
"故选#!
!!!#答案$$
#命题意图$本题考查直线与圆的位置关系"考查数
学运算的核心素养!
#解题分析$由题知"过.#*"4$且最短的弦是圆心
*#&"0$与.#*"4$的连线的垂线与圆相交的弦长"直
线5 与圆相交于""# 两点""* %&"*.
槡
% &"
?". 槡
% &"?以*"#*为直径的圆的圆心.#*"4$"半
径E 槡
% &"则以*"#*为直径的圆的标准方程为#%)
*$
&'&
&%&"故选$!
!"!#答案$!
#命题意图$本题考查函数!导数与不等式的知识!构
造法在导数中的应用"考查化归与转化的思想!
#解题分析$由题可得定义域为#4"' ($"因为函数
3#%$为增函数"所以34#%$%%
&' 0
%
& ),%) ,
% '
.)('#
B)7
B$
&94在#4"'($上恒成立"所以(8
%' 0
%
#
$
)&
&
'#
B)7
B$
& 在#4"' ($上恒成立"等
价于( +
8
%' 0
%
#
$
)&
&
'#
B)7
B$%
&
:-;
"则由基本不
等式可得当%%0时"%' 0
%
#
$
)&
&
'#
B)7
B$
& 有最
小值为#
B)7
B$
&"所以(8#
B)7
B$
&!又因为对任意实
数B"函数3#%$为增函数"等价于(8+#
B)7
B$
&%
:-;!
设A#
B$%#
B)7
B$
&"则A4#
B$%&#
B)7
B$(#0)7
B$"当
B(4时"A4#
B$(4)当B'4时"A4#
B$'4"所以A#
B$在
#)("4$上单调递减"在#4"' ($上单调递增"则
A#
B$
:-;%A#4$%0"所以(8 +#B)7
B$
&%
:-; %0"故
选!!
!#!#答案$,
#命题意图$本题考查三视图"考查空间想象能力!数
学运算的核心素养!
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" !
#解题分析$由图可知"此几何体为四棱锥*)"#.1"
且底面是直角梯形"*". 平面"#.1""1%&"#.
%,".1%&"*"%&"则2*)"#.1 % 0
* (/四边形"#.1 (
*"% 0
* 6 0
& 6#&',$6&6&%,!
!$!#答案$充分不必要条件
#命题意图$本题考查充分必要条件的判断以及三角
函数中两角和与差的正余弦公式"考查函数与方程
思想!
#解题分析$3#!$%4"即(9-;#!'$$')9-;#!''$%
4"所以(9-;$')9-;'%4"3#%$'3#)%$%(9-;#%'
$$')9-;#%''$'(9-;#)%'$$')9-;#)%''$%
&829%#(9-;$')9-;'$%4"即3#)%$%)3#%$"为奇
函数!但是当3#&!$%4 时"3#%$也是奇函数"所以
条件;-3#!$%4是条件F-3#%$是奇函数的充分不
必要条件!
!%!#答案$ 槡
& &)0
#命题意图$本题考查平面向量的坐标运算!向量的
性质!圆的性质"考查化归与转化思想和运算求解
能力!
#解题分析$由1
2*C% 0
*
1
2*"' &
*
1
2*#知"C 在"# 所在
的直线上"
5"# -&%%'0!*1
2*C) 1
2*1*%*1
21C*"即求1
到C 的距离的最小值"1 是以.#*"4$为圆心"0 为
半径的圆上的点"那么点1 到点C 的距离"就可以
看成圆. 上的点到直线5"# 距离7 的最小值"即圆心
到直线的距离减去半径"7%**)4'0*
槡&
槡
%& &"所以
*1
2*C) 1
2*1*:-;
槡
%& &)0!
!&!#答案$&(*
0)*(&
0'0
#命题意图$本题考查数列与二项式定理的运用"考
查运算求解能力和函数与方程思想"考查数学运算
的核心素养!
#解题分析$+(0%&(0)0'*"?(0'*%&#(0)0'*$"
?*(0'*.是首项为0'*%,"公比为&的等比数列"
?(0 %&
0'0 )*"/0 %&##
4
0&
4 ' #
0
0&
0 ' #
&
0&
& '
#
*
0&
*','#
0
0&
0)0$)*##
4
0 '#
0
0 '#
&
0 '#
*
0 ' , '
#
0
0)0$%&+#0'&$
0)0%)*#&
0)0$%&(*
0)*(
&
0'0!
!'!#命题意图$本题考查余弦定理!三角恒等变换!二次
函数的性质"考查运算求解能力"考查数学运算的核
心素养!
#名师指导$#$$利用二倍角公式及两角和的正!余
弦公式进行变形即可)#%$利用余弦定理结合二次
函数或基本不等式求最值!
#解题分析$#$$由已知函数化简可得
3#%$%&829&%
槡
)& *9-;&%'&
%,829 &%' !
#
$
*
'&"
#*分$
?3#%$
:AB%."最小正周期:%&!
& %!!
#/分$
#%$+3#"$%)&"
?3#"$%,829 &"' !
#
$
*
'&%)&"
?829 &"' !
#
$
*
%)0!
#@分$
+" 为三角形内角"?4("(!"
? !
* (&"' !
* (@!
* "
?&"' !
* %!"?"% !
* !
#<分$
解法一-在/"#. 中"由余弦定理得
(
& %)
&''
&)&)'829!
*
%#)''$
&)*)'%&/)*)#/))$
%*#)
&)/)$'&/%* ))
#
$
/
&
&
'&/
, !
#04分$
+4()(/"?#(
&$
:-;%&/
, "?(:-;% /
& !
#0&分$
解法二-在/"#. 中"由余弦定理得
(
& %)
&''
&)&)'829!
*
%#)''$
&)*)'
9#)''$
&)* )''
#
$
&
&
#04分$
%#)''$
&
,
%&/
, "
当且仅当)%'"即)%'% /
& 时"取等号"
#00分$
?#(
&$
:-;%&/
, "?(:-;% /
& !
#0&分$
!(!#命题意图$本题考查线面平行!面面平行!二面角!
空间向量解决立体几何等知识"考查数形结合思想!
空间想象能力!推理论证能力!运算求解能力"考查
逻辑推理!直观想象!数学运算等核心素养!
#名师指导$#$$根据线线平行来证明线面平行"注
意线面平行的条件)#%$建立空间直角坐标系"利用
两个平面的法向量求二面角的余弦值!
#解题分析$#$$证明-在*# 上取一点="使#=%
0
*#*"连接"="G=!
在/*#. 中"+.G% 0
*.*"#=% 0
*#*"
?=G=#. 且=G % &
*#.%&!
+"1=#.""1%&"
?=G="1 且=G %"1"
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" !
?四边形"=G1 为平行四边形"
?"==1G!
#*分$
又+"=4平面*"#"1G?平面*"#"
?1G=平面*"#!
#/分$
#%$在平面"#.1 内"过点" 作"?.#."且交#.
于点?"以" 为坐标原点"分别以直线"?""1""*
为% 轴!& 轴!$轴"建立空间直角坐标系")%&$"
则##0")0"4$".#0"&"4$"1#4"&"4$"*#4"4"
&$"
1
2#.%#4"*"4$"1
2#*%#)0"0"&$!
设平面*#. 的法向量为$%#%0"&0"$0$"
则*&0%4"
)%0'&0'&$0
*
%4
< &0%4"
)%0'&$0%4
*
"
令$0%0"则%0%&"?$%#&"4"0$!
#@分$
+ 1
2.1%#)0"4"4$"1
21*%#4")&"&$"
设平面*.1 的法向量为#%#%&"&&"$&$"
?
)%&%4"
)&&&'&$&%4
*
"
令&&%0"则$&%0"?#%#4"0"0$"
#>分$
?829/$"#0%
$(#
*$*(*#*%
0
槡
槡
/6 &
% 槡04
04 ! #00分$
由题意知二面角#)*.)1 为钝二面角"
?二面角#)*.)1 的余弦值为) 槡04
04 ! #0&分$
!)!#命题意图$本题考查椭圆的性质!直线的方程!直线
与椭圆的位置关系"考查数形结合思想!分类与整合
思想!化归与转化思想!运算求解能力"考查逻辑推
理!直观想象!数学运算核心素养!
#名师指导$#$$利用已知条件结合(
&))
&%'
& 得到
椭圆的标准方程)#%$利用条件得到直线方程"再利
用点差法得到直线的斜率!
#解题分析$#$$由题可得(
槡
%& &"
因为椭圆的焦距等于短轴长"即)%'"
所以)%&"
'%&"
所以得到椭圆= 的方程为%
&
< '&
&
, %0!
#,分$
#%$由题意设##&"槡&$"
设直线#+ 的方程为& 槡
) &%-#%)&$"与椭圆方程
联立消去&"可得#0'&-
&$%
& ' # 槡
, &-)<-
&$%'
<-
&
槡
)< &-),%4!
设+#%0"&0$",#%&"&&$"
所以可得%0'&%) 槡
, &-)<-
&
0'&-
&
"
可得%0%,-
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槡
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#/分$
同理可得直线", 方程为&%)-#%
槡
)& &$"与椭圆
方程联立消去&"
可得#0'&-
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槡
)< &-
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可得到%&% 槡
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#.分$
所以%0'%&%#
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于是得到&0'&&%-#%0)%&$'# 槡
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#<分$
因为点+", 均在椭圆上"
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两式相减可得&0)&&
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% 槡
& &'&
槡
& &
%0'槡&
& "
因此若直线+, 斜率存在"直线+, 的斜率为定值
0'槡&
& !
#0&分$
"*!#命题意图$本题考查分层抽样!概率!数学期望"考
查数据处理能力!应用意识!创新意识!运算求解能
力"考查数学运算!数据分析等核心素养!
#名师指导$#$$利用分层抽样的方法求解即可)
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" !
#%$#)$这是一个超几何分布的问题"列出分布列
即可)#*$利用相互独立事件的概率求解方法计算
即可!
#解题分析$#$$由题得拥有智能手机数量不同的人
数比例为/F<F/F&"由于采用分层抽样的方法从
中抽取&4 人"所以分别从拥有智能手机数量为4
部!0部!&部和*部及以上的人中抽取/人!<人!/
人!&人!
#,分$
#%$抽取的&4人中拥有智能手机的人数为0/人"
#/分$
#)$随机变量< 的所有可能值为4"0"&"*"
*#<%-$%#
-
/#
*)-
04
#
*
0/
#-%4"0"&"*$"
#.分$
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&
*
*
&,
>0
,/
>0
&4
>0
&
>0
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>0'06,/
>0'&6
&4
>0'*6 &
>0%0!
#<分$
#*$设事件# 为&拥有智能手机0部的0人"拥有智
能手机& 部的0 人"拥有智能手机* 部及以上的
0人')事件. 为&拥有智能手机&部的&人"拥有智
能手机*部及以上的0人')事件1 为&拥有智能手
机&部的0人"拥有智能手机*部及以上的&人'!
*##$%#
0
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*
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#04分$
*#"$%*##).)1$
%*##$'*#.$'*#1$
%0.
>0' ,
>0' 0
>0%&0
>0% *
0*"
所以事件" 发生的概率为*
0*!
#0&分$
"!!#命题意图$本题考查函数的单调性!函数的极值"考
查函数与方程思想!化归与转化思想!推理论证能
力!运算求解能力"考查逻辑推理!数学运算!数据分
析等核心素养!
#名师指导$#$$根据导数的几何意义求解即可)
#%$求出极值点的值"并得到%& 的取值范围"进而
构造函数"求函数的最值即可得证!
#解题分析$#$ $3#%$的定义域为#) ("4$)
#4"'($"
34#%$%*%
&)9
%
&
!
设切点坐标为*#%4"&4$"
?34#%4$%*%
&
4)9
%
&
4
%0"?9%&%
&
4!
#&分$
+*#%4"&4$在&%%'0直线上"?*#%4"%4'0$!
+*#%4"%4'0$在3#%$%*%
&'9
%
上"
?*%
&
4'9
%4
%%4'0"?9%)&%
&
4'%4!
#,分$
又+9%&%
&
4"?9% 0
< !
#/分$
#%$证明-?#%$%3#%$)@#%$%&%
&'9
%
)&1;%"
定义域为#4"'($"
?4#%$%&%
&)&%)9
%
&
!
#.分$
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??4#%$%&%
&)&%)9
%
&
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槡
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&
"%&%0'
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槡
9
&
"
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& '4"
&%,'<9'4
5
6
7
"
?) 0
& (9(4!
#<分$
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&
&'9
%&
)&1;%&'&%&"
即证明&1;%&)9
%& (4!
+9%&%
&
&)&%&"
?证明&1;%&)&%&'&(4"
即证明1;%&)%&()0"
#>分$
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槡
9
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,
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& "
#
$
0 "
设函数A#%$%1;%)%"%,
0
& "
#
$
0 "
#04分$
则A4#%$% 0
% )0%0)%
%
"
?A4#%$'4在
0
& "
#
$
0 上恒成立"
?A#%$在
0
& "
#
$
0 上单调递增"
?A#%$(A#0$%)0"
?1;%&)%&()0在
0
& "
#
$
0 上恒成立"
?函数?#%$有两个极值点%0"%&"且%0 (%& 时"
?#%&$'&%&!
#0&分$
""!#命题意图$本题考查参数方程与普通方程!直角坐
标方程与极坐标方程的互相转化以及用极坐标的思
想去解决解析几何问题"考查数学运算的核心素养!
#名师指导$#$$利用参数方程与普通方程的转化方
法及直角坐标方程与极坐标方程的转化方法求解即
可)#%$直接利用极坐标的几何意义结合三角形的
面积公式"根据三角函数的性质求解!
#解题析题$#$$曲线. 的普通方程为#%
槡
) *$
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#&)0$
&%,"
#&分$
即%
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&
槡
)& *%)&&%4"
?极坐标方程为"
槡
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#>分$
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#04分$
"#!#命题意图$本题考查解不等式及不等式的证明"考
查分类与整合思想!化归与转化思想!推理论证能
力!运算求解能力"考查逻辑推理!数学运算核心
素养!
#名师指导$#$$当(%&时"利用绝对值不等式性质
找到临界点去绝对值进而求解)#%$去绝对值后求
函数的最小值即可得证!
#解题分析$#$$当(%&时"
3#%$%*&%'&*)*%)&*
%
)%),"%8)0"
*%"
)0(%(&"
%'," %9&
5
6
7
"
#&分$
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)%),8,"
%8
*
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或*%8,"
)0(%(
*
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或%',8,"
%9&
*
"
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* 或%,@"
?)<8%8 ,
* "
?3#%$8,的解集为% )<8%8
*
.
,
*
!
#/分$
#%$证明-当(9)0时"
3#%$%*&%'&*)*%)(*
%
)%)&)("%8)0"
*%'&)(" )0(%(("
%'&'(" %9(
5
6
7
"
#@分$
?3#%$
:-;%)0)(!
+(9)0"?)0)(84)
当(()0时"
3#%$%*&%'&*)*%)(*
%
)%)&)("%8("
)*%)&'("((%()0"
%'&'("
%9)0
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6
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"
#>分$
?3#%$
:-;%0'("
+(()0"?0'((4!
综上所述"3#%$的最小值小于等于零恒成立!#04分$
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" !
############################################
#####
############################################
#####
$
$
$
$
高考命题规律与题!能力提升卷
答案详解
能力提升卷!四"
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) !* !! !"
!
"
#
$
#
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$
!
#
$
"
"
!!#答案$!
#命题意图$本题考查集合的基本运算!考查运算求解
能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$%&'""()#%*!解得"%*!+#,$"&"%*%!
又解得$, $"&-.'"'.%!+#($, "*!.&!故
选!!
"!#答案$"
#命题意图$本题考查复数的运算!考查运算求解能
力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$)(./
-.(/, ")(./#"-.-/#
"-.(/#"-.-/#, -0/
0 , -/!
故选"!
#!#答案$#
#命题意图$本题考查全称命题'特称命题'常用逻辑
用语!考查运算求解能力和推理论证能力!考查数学
运算和逻辑推理核心素养!
#解题分析$因为1/'"(231"
槡
, .1/' "( !
"
#
4
).!所
以$ 不正确(因为当",-0时!.
-0)"-0#
.!所以!
不正确(因为!,)-4)*!所以" 不正确(因为
231"')!所以# 正确!故选#!
$!#答案$$
#命题意图$本题考查正态分布!考查运算求解能力和
应用意识!考查数据分析核心素养!
#解题分析$%%"&")!"
.#且'"*)%))#,(!
+'"))%).#,(!因此'""%.#,)-'"*)%).#
.
,
)
. -(!故选$!
%!#答案$#
#命题意图$本题考查数列的概念'通项公式及其性
质!考查运算求解能力和推理论证能力!考查数学运
算核心素养!
#解题分析$由于数列$)*%是等差数列且)),-5!设
等差数列$)*%的公差为+!故,)*,)*))(40+,)**!
解得+,4!故$)*%为单调递增数列!故).,-4!)6,
*!所以,* 的最小值为-).!故选#!
&!#答案$"
#命题意图$本题考查简单的线性规划问题!考查运算
求解能力和应用意识!考查数学运算和数学建模核心
素养!
#解题分析$由题知!平面区域如图中阴影部分"含边
界#所示!-,
"
.(.
槡
. 表示平面区域内的点到原点
的距离!由图知平面区域内的点#"6!-)#到原点的
距离最大!所以-789,
6.("-)#
槡
.
槡
,
)*!故选"!
'!#答案$$
#命题意图$本题考查算法与程序框图!考查运算求解
能力和推理论证能力!考查数学运算和逻辑推理核心
素养!
#解题分析$运行程序!,,*( )
):.,)- )
. !/,.(
,,)- )
. ( )
. - )
6 ,)- )
6 !
/,6(,,)- )
4 !
/,4(
,,)- )
0 !/,0())!可知输出的,,)-
)
.*);,
.*)5
.*);!故选$!
(!#答案$!
#命题意图$本题考查空间几何体的三视图和直观图!
考查空间想象能力!考查直观想象和数学建模核心
素养!
#解题分析$该多面体的直观图如图所示!,#$01 ,,2345
,6!,#152 ,,1045 ,<!,#$32 ,6!,$043
槡
,6 0!故选
!!
)!#答案$#
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#命题意图$本题考查二项式定理!考查运算求解能
力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$因为
.
"
"
#
-)
<
的二项展开式的通项为
67(),"
7
<
.
" #
"
<-7
"-)#
7 ,.
<-7"
7
<"-)#
7"
7-<!故展
开式中常数项为.
*"
<
<"-)#
<(.
."
4
<"-)#
4,<)!故
选#!
!*!#答案$$
#命题意图$本题考查三角函数图象的变换与性质!
考查运算求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$先将函数图象上所有点的横坐标伸长到
原来的.倍!得.,1/' "( !
"
#
6
!再将图象上所有点
向左平移!
6 个单位长度得.,1/' "(.!
"
#
6
,
1/' "( !
. ( !
"
#
<
,231 "( !
"
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递增(因为"( !
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- !
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"
#
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8""#在
- !
< !0!
"
#
<
上单调递减!故# 错(因为"(
!
< , !
. !即", !
6 !所以
!
6 !
"
#
* 是8""#的对称中
心!所以
!
. !
"
#
* 不是8""#的对称中心!故"错("(
!
< ,*!即",- !
< !所以", - !
< 是8""#的对称
轴!故选$!
!!!#答案$"
#命题意图$本题考查函数的图象'分段函数'导数'
斜率问题!考查运算求解能力'推理论证能力!考查
逻辑推理和数学运算核心素养!
#解题分析$当直线.,"()与曲线.,&'" 相切时!
设切点为"
9!
&'9#!则切线斜率7,"&'"#
:
",9, )
9 ,
)!所以9,)!即)(),*!解得), -)!又当"'*
时!;""#,"()+""()#""()#,*!所以#当),
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""()#""()#,*""'*#有)个实根!不满足题意(
$当))-)时!
&'","()""%*#有.个实根!此时
""()#""()#,*""'*#有) 个实根!满足题意(
%当)% -) 时!&'","()""%*#无实根!此时
""()#""()#,*""'*#最多有. 个实根!不满足
题意!综上得))-)!故选"!
!"!#答案$"
#命题意图$本题考查数列的通项公式与单调性!考
查抽象概括能力'运算求解能力'推理论证能力!考
查数学抽象和逻辑推理核心素养!
#解题分析$由)*(), )*
)*(.!得)
)*(), .
)* ()!即)
)*()(
),. )
)*
"
#
() !所以数列
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$
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项!.为公比的等比数列!所以)
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)
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"
#
() *
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*-),.
*!所以<*(),"*-.##*.
*!因为数列$<*%是
单调递增数列!所以当*,. 时!由<*() %<*!得
"*-.##*.
*%"*-)-.##*.
*-)!解得*%.#-)!
#) 6
. (当*,)时!由<.%<) 得")-.##:.%-6#!
解得#).!故#) 6
. !故选"!
!#!#答案$)-槡6
6
#命题意图$本题考查椭圆的离心率!考查逻辑推理
和数学运算核心素养!
#解题分析$设0"
=!.#!代入椭圆方程有=
.
)
. (.
.
<
. ,)!
即.
.
<
. ,)-=
.
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. ,<
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)
. !解得&.&,<
.
) !即&03.&,<
.
) !又
&#3.&,)(=!-3.#0, !
< !+&#3.& 槡
, 6&03.&!
即)(=,槡6<
.
) ,槡6")
.-=
.#
)
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槡
- 6=
.,*!即槡6>
.(>-"槡6-)#,*!解得>,)-
槡6
6 或>,-)"舍去#!故椭圆的离心率>,)-槡6
6 !
!$!#答案$ 槡
0
)*
6
!
#命题意图$本题考查四面体的外接球!考查直观想
象和数学运算核心素养!
#解题分析$由已知得$0,#0
槡
, .!取#0 的中点
?)!则?) 为.'#0 的外心!取#$ 的中点?.!则?.
为.#$0 的外心!过?)!?. 分别作平面'#0 和平
面#$0 的垂线交于点?!则? 为该三棱锥外接球的
球心!连接?)?.!则?)?.,槡.
. !且-'?)?. 即为二
面角'-#0-$ 的平面角!所以-'?)?.,)0*>!又
因为?)? / 平面'#0!所以-'?)? , ;*>!
-??)?.,<*>!在?@.??)?. 中!??.
槡
, 6?)?.,
槡<
. !所以外接球半径@ ,?$ ,
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.
.(?.$
槡
. ,
槡<
" #
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.
()
槡
., 槡)*
. !所以三棱锥外接球的体积为
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槡
0
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" !
!%!#答案$))=)<
#命题意图$本题考查函数的基本性质!考查抽象概
括能力和运算求解能力!考查数学抽象和数学运算
核心素养!
#解题分析$因为函数; "(
"
#
)
.
为偶函数!所以函
数;""#的图象关于直线", )
. 对称!又因为当"*
- )
. !
"
#
)
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时!;""#,.1/'"(6@8'"!所以函数;
""#在"*
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上单调递增!在
)
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上
单调递减!所以;" #
)
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; -
"
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)
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!即))=)<!
!&!#答案$)或.
A
#命题意图$本题考查函数的图象及导数的应用!考
查抽象概括能力和运算求解能力!考查数学抽象和
数学运算核心素养!
#解题分析$设直线.,7"(<与曲线.,A
" 相切于
点#"")!.)#!直线.,7"(<与.,&'""(.#相切于
$"".!..#!则有7,A
") !7,
)
".(.!7,.)-..
")-". ,
A
") -&'"".(.#
")-".
!所以A
") -&'"".(.#
")-".
,
)
".(.!因为
A
") ,
)
".(.
0"),-&'"".(.#!代入上式消去") 得
)
".(.-&'"".(.#
-&'"".(.#-". ,
)
".(.!整理得"".(.#&'"".(
.#-&'"".(.#-)-".,*!令".(.,9!则9&'9-
&'9-9(),"
9-)#"&'9-)#,*!解得9,A或9,)!即
7,)或7, )
A!当7,)时!解得点#"*!)#!此时<,
)(当7, )
A!解得点# -)!)
"
#
A
!此时<, .
A!故<
,)或.
A!
!'!#命题意图$本题考查三角函数的化简'正弦定理'余
弦定理!考查运算求解能力!考查数学运算核心
素养!
#名师指导$"&#由正'余弦定理转化边角关系即可
求解("'#由外接圆半径和正弦定理可以先求出边
)!再利用余弦定理及基本不等式化简即可!
#解题分析$"&#因为<
.(=
.-)
.,<
.231#()<231$!
由余弦定理得<
.(=
.-)
.
.<=
,<231#()231$
.=
! ")分#
所以.=231#,<231#()231$!由正弦定理得
.1/'0231# ,1/'$231#(1/'#231$
,1/'"#($#,1/'0!
"6分#
因为1/'01*!所以231#, )
. !
又因为*)#)!!所以#, !
6 !
"<分#
"'#因为)
1/'#,.@!
所以),.@1/'#
槡
,. 61/' !
6 ,6!
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由余弦定理可得)
.,<
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4 "<(=#
.!
"5分#
解得<(='<!又<(=%6!故<)B';!
$;,<
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.-<=,"<(=#
.-6<=
,4<=-6<=!
")*分#
解得<=';!,, )
.<=1/'#' 槡
; 6
4 !
综上所述!<)B';!*),' 槡
; 6
4 !
").分#
!(!#命题意图$本题考查直线与平面平行的判定及其性
质'二面角!考查推理论证能力和空间想象能力!考
查直观想象和逻辑推理核心素养!
#名师指导$"&#通过作两条辅助线证面面平行从而
推出线面平行("'#建立空间直角坐标系!通过法向
量的夹角公式求二面角!
#解题分析$"&#证明+取01 的中点为C !连接
2C!$C!
由已知得.$01 为等边三角形!+$C/01!
%#1/01!+$C2#1!
"6分#
又%$C3平面'#1!#14平面'#1!
+$C2平面'#1!
%2 为'0 的中点!C 为01 的中点!
+2C2'1!
又%2C3平面'#1!'14平面'#1!
+2C2平面'#1!
%2C($C,C!2C!$C4平面$2C!
+平面$2C2平面'#1!
%$24平面$2C!+$22平面'#1!
"0分#
"'#如图!连接#0!交$1 于点?!连接'?!
则? 为$1 的中点!且#0/$1!'?/$1!
%.#$1 为等腰三角形!
且-#1$,6*>!#1,.!+#?,)!
%平面'$1/平面#$01!'?/$1!
+'?/平面#$01!且.'$1 和.#$1 全等!
+'?,#?,)!0?,6!
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!!数学"理科#$ 答$
" !
以? 为坐标原点!5
6?0的方向为" 轴正方向!5
6?$的方
向为. 轴正方向!5
6?'的方向为- 轴正方向!建立如
图所示的空间直角坐标系?-".-!
则1"*! 槡
- 6!*#!0"6!*!*#!'"*!*!)#!
由题知平面'$1 的一个法向量为!),")!*!*#!
"=分#
设平面'01 的法向量为!.,""!.!-#!
则!./ 5
610!!./ 5
61'!+
!.* 5
610,*!
!.* 5
61',*
$
!
% 5
610,"6!槡6!*#!5
61',"*!槡6!)#!
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( 6.,*!
槡6.(-,*
$
!
令. 槡
, 6!得",-)!-,-6!
+!.,"-)!槡6!-6#!
";分#
+231,!)!!.-,
!)*!.
&!)&*&!.&, -)
槡)6
,- 槡)6
)6 !
")*分#
设二面角0-'1-$ 的大小为$!
由于二面角0-'1-$ 为锐二面角!
则231$, 槡)6
)6 !
").分#
!)!#命题意图$本题考查二项分布'超几何分布!考查抽
象概括能力'推理论证能力'数据处理能力和应用意
识'创新意识!考查数学抽象'数学建模'数据分析核
心素养!
#名师指导$"&#求出二项分布的分布列!求出数学
期望即可("'#由"&#知一个同学获积分的概率!独
立重复性试验计算即可("(#求出超几何分布的分布
列!再求出期望!将所求结果和"&#的结果对比即可!
#解题分析$"&#由题意可知!一次摸卡摸中红色卡
片的概率为)
6 !
设获得积分数为随机变量%!% 的可能取值有*!
)*!.*!0*!
".分#
'"%,*#, )-
"
#
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6
6
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'"%,)*#,"
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'"%,.*#,"
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"
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'"%,0*#," #
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6
6
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"4分#
则% 的分布列为
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'
5
.=
4
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.
;
)
.=
所以2"%#,*: 5
.=()*: 4
; (.*: .
; (0*: )
.=
,.;*
.=!
"0分#
"'#由"&#知一个同学获积分为0*的概率为)
.=!
"<分#
设两个同学玩这个游戏恰有一个同学获得积分为
0*是事件C!
则'"C#,"
)
.
)
" #
.=
)
)- )
"
#
.=
)
,0.
=.;!
故两个同学玩这个游戏恰有一个同学获得积分为
0*的概率是0.
=.;!
"=分#
"(#设获得积分数为随机变量D!D 的可能取值有
*!)*!.*!0*!
此时有'"D,*#,"
6
<
"
6
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.)!
'"D,)*#,"
.
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6
"
6
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";分#
则D 的分布列为
D
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54
所以2"D#,*: 0
.)()*:)0
.5(.*: 6
)4(0*: )
54
,.)0
.)!
"))分#
因为.)0
.)).;*
.=!
所以第一种游戏方式能获得更多积分!
").分#
"*!#命题意图$本题考查椭圆的标准方程'直线与圆锥
曲线的位置关系!考查抽象概括能力和运算求解能
力!考查数学抽象和数学运算核心素养!
#名师指导$"&#已知焦点坐标!由椭圆的定义可求
)!进而求椭圆方程("'#设点'!E 的坐标和直线
'E 的方程!将条件转化为代数式!将直线方程代入
椭圆方程中!用韦达定理将代数式消元求解!
#解题分析$"&#由条件知椭圆半焦距=,)!
由椭圆的定义知.)
槡
,. <!
即) 槡
, <!则< 槡
, 0!
因此椭圆0 的方程为"
.
< (.
.
0 ,)!
"4分#
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!!数学"理科#$ 答%
" !
"'#证明+设点'!E 的坐标分别为"")!.) #!
"".!..#!点@ 的坐标为" 槡
- <!*#!
设直线'E 的方程为.,7"((!
由7)7.,
.)..
"")
槡
( <#"".
槡
( <#,)!
可得.).. ,"7")((#"7".((#
,"")
槡
( <#"".
槡
( <#!
整理得"7
.-)#")".( "7(
槡
- <#"") (".#((
. -
<,*!
"<分#
联立
"
.
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7
8
9
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得"<7
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由!,").7(#
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得<7
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")(".,- ).7(
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"5分#
因此"7
. -)#<(
.-6*
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.(0 - "7(
槡
- <#).7(
<7
.(0((
. -
<,*!
整理得<<7
.
槡
-). <7(((
.,*!
解得(
槡
,)) <7或(
槡
, <7!
")*分#
当(
槡
, <7时!直线'E 的方程为.,7""
槡
( <#!过
定点" 槡
- <!*#!不符合题意(
当(
槡
,)) <7时!直线'E 的方程.,7""
槡
()) <#!
过定点"
槡
-)) <!*#!
综上所述!直线'E 过定点"
槡
-)) <!*#!
").分#
"!!#命题意图$本题考查函数的单调性'零点与导数!考
查抽象概括能力'推理论证能力和运算求解能力!考
查数学抽象'逻辑推理和数学运算核心素养!
#名师指导$"&#通过求导!由导函数的正负讨论函
数的单调性("'#由零点得两个方程并整理化简!利
用换元法证恒成立问题!
#解题分析$"&#函数;""#的定义域为"*!(B#!
")分#
+;:""#, )
" - )
)"
.,)"-)
)"
. !
".分#
#当))*时!;:""#%* 恒成立!故;""#在"*!(
B#上单调递增(
$当)%*时!令;:""#)*!解得*)") )
) !
故;""#在*!)
"
#
)
上单调递减(
令;:""#%*!解得"% )
) !
故;""#在
)
) !(B
"
#上单调递增!
综上所述!当))*时!;""#在"*!(B#上单调递增(
当) %* 时!; ""#在
*!)
"
#
)
上单调递减!在
)
) !(B
"
#上单调递增!
"0分#
"'#证明+由")!". 为函数;""#,( 的两个零点!
得)%*!且&'")( )
)"),(!
&'".( )
)".,(!
两式相减!可得&'")-&'".( )
)")- )
)".,*! "=分#
即&'")
". ,")-".
)")".
!")"., ")-".
)&'")
".
!
因此"),
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)&'")
".
!".,
)-".
")
)&'")
".
!
"5分#
令9,")
".
!由"))".!得*)9))!
则")(".,9-)
)&'9 (
)- )
9
)&'9 ,
9- )
9
)&'9 !
";分#
要证")(".% .
) !即证9- )
9 -.&'9)*!
构造函数F"
9#,9- )
9 -.&'9"*)9))#!
则F:"
9#,)( )
9
. - .
9 ,"
9-)#
.
9
.
%*!
")*分#
+函数F"
9#在"*!)#上单调递增!
故F"
9#)F")#,*!即9- )
9 -.&'9)*!
+")(".% .
) !
").分#
""!#命题意图$本题考查极坐标方程和直角坐标方程的
互化'参数方程和普通方程的互化'极坐标的几何意
义!考查运算求解能力和抽象概括能力!考查数学运
算和数学抽象核心素养!
#名师指导$"&#将C 的参数方程先转化为普通方
程!再化为极坐标方程("'#利用极坐标的几何意义
求解即可!
#解题分析$"&#由题意可得曲线C 的普通方程为
""-)#
.(".-)#
.,)!
"6分#
因为",%231$!.,%1/'$!"
.(.
.,%
.!
所以C 的极坐标方程为%
.-."231$(1/'$#%(),*!
"4分#
"'#直线B) 的极坐标方程为$,&"%*+#!
设#"%)!
&#!$"%.!
&#!且%)!
%. 均为正数!
将$,&代入%
.-."231$(1/'$#%(),*!
得%
.-."231&(1/'&#%(),*!
!,41/'.&%*!解得*)&) !
. !
所以%)(%.,."231&(1/'&#!
%)%.,)!
"<分#
根据极坐标的几何意义!
得&#$&,&%)-%.&,
"%)(%.#
.-4%)%
槡
.
,.
1/'.
槡
&!
圆心C 到#$ 的距离+,
)-1/'.
槡
&!
从而,.C#$ ,
1/'.&-1/'
..
槡
&!
"5分#
令9,1/'.&!*)9))!则,.C#$ ,
9-9
槡
.!
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!!数学"理科#$ 答&
" !
当9, )
. !即&, !
).或&,0!
).时!.C#$ 面积的最大
值为)
. !
")*分#
"#!#命题意图$本题考查绝对值不等式!考查抽象概括
能力'运算求解能力!考查数学抽象和数学运算核心
素养!
#名师指导$"&#去绝对值分段讨论即可求解(
"'#将不等式转化为恒成立问题!整理转化为解绝
对值不等式即可!
#解题分析$"&#当),)时!
;""#,&"-)&(&"()&
,
."! ",)!
.!
-))"))!
-."!"'-)
7
8
9
!
"6分#
由;""#,6!得"'- 6
. 或", 6
. !
所以不等式的解集为" "'- 6
. 或",
$
%
6
.
!
"4分#
"'#;""#'6-" 的解集包含.-)!)&!
即为;""#'6-" 在.-)!)&上恒成立!
因为"*.-)!)&!
所以;""#,&"-)&(&)"()&
,)-"(&)"()&!
"<分#
故;""#'6-"!即为)-"(&)"()&'6-"!
即&)"()&'.!
所以-.')"()'.!-6')"')!
"5分#
又因为"*.-)!)&!所以
-6'"-)#*)')!
-6')*)')
$
!
则)*.-)!)&!
")*分#
能力提升卷!五"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
#
!
#
!
"
"
"
$
!
$
$
#
!!#答案$#
#命题意图$本题考查集合的基本运算'含绝对值不等
式的解法!考查数学运算核心素养!
#解题分析$集合#,$"&-))")4%!+$,$"&"'6%!
则#("+$#,$"&-))"'6%!故选#!
"!#答案$!
#命题意图$本题考查复数的运算!考查数学运算核心
素养!
#解题分析$- "6 ( 4/#, ) ( ./!- , )(./
6(4/ ,
")(./#"6-4/#
"6(4/#"6-4/#,))(./
.0
,))
.0( .
.0/!则- 的虚部为
.
.0!故选!!
#!#答案$#
#命题意图$本题考查数列的通项公式!考查数学运算
核心素养!
#解题分析$,*,*
.-;*(), *-
"
#
;
.
.
-==
4 !当*,
4或0时!,4,,0,-);!故选#!
$!#答案$!
#命题意图$本题考查双曲线的定义'三角形的面积公
式!考查数学建模核心素养!
#解题分析$%&'3)&(&'3.&,<!-3)'3. ,;*>!
,.3)'3.,4!+ )
.&'3)&&'3.&,4!+&'3)&*&'3.&,
5!+&'3)&-&'3.&,
"
&'3)&(&'3.&#
.-4&'3)&&'3.
槡
&
,
<.
槡-4:5,.!+.),&'3)&-&'3.&,.!又
%&'3)&(&'3.&,<!+&'3)&,4!&'3.&,.!
+.=,&3)3.&
槡
,. 0!则双曲线的离心率>,.=
.),
槡
. 0
.
槡
, 0!故选!!
%!#答案$"
#命题意图$本题考查三角函数的图象和性质!考查运
算求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$; ""#, )*231
.
'"((
"
#
.
- 6 , )* :
)(231"'"((#
.
-6,0231"'"((#(.!它的相邻两条
对称轴的距离是!
. !;""#的最小正周期6,.!
' ,!!
',.!又;""#在", !
< 处取得最值!则
"
231 .: !
< (
#
( ,C)!.: !
< ((,7!"7*,#!(,7!- !
6 "7*,#!
又- !
. )( ) !
. !则( , - !
6 !所以;""#,
0231 ."- !
"
#
6
(.!根据函数的解析式很容易排除$
选项和! 选项!令."- !
6 , !
. (7!"7*,#!则",
0!
).(7!
. "7*,#!当7,*时!",0!
).!故选"!
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!!数学"理科#$ 答'
" !
&!#答案$"
#命题意图$本题考查算法流程图'数列的递推公式'
周期数列!考查数学运算核心素养!
#解题分析$由算法流程图可知!初始化条件)),0!
*,)!第一次循环+).,)- )
)) , 4
0 !*,)).*);!*,
.(第二次循环+)6,)- )
). ,- )
4 !*,.).*);!*,
6(第三次循环+)4,)- )
)6 ,0!*,6).*);!*,4(
))!所以周期为6!当*,.*); 时!输出).*.* ,
)<=6:6(),)),0!故选"!
'!#答案$"
#命题意图$本题考查函数与导数的综合应用!考查函
数与方程思想!考查数学运算核心素养!
#解题分析$解法一+;""#,"
6-0"
.(6"(;!;:""#,
6"
.-)*"(6, "6"-)#""-6#,*!解得") , )
6 !
".,6!因为;" #
)
6
%*!;"6#,*!所以图象与" 轴交
点的个数是.!故选"!解法二+作出函数.,"
6 -
0"
.(6"(;的图象"如图所示#!观察图象与" 轴交
点的个数是.!故选"!解法三+;""#,"
6-0"
.(6"
(;,"
6("
. -<"
. (6"(;,"
.""()#-6"."
. -
"-6#,"
.""()#-6"."-6#""()#,""()#""
.-
<"(;#,""()#""-6#
.!所以图象与" 轴交点的个
数是.!故选"!
(!#答案$$
#命题意图$本题考查平面向量的线性运算'平面向量
数量积公式的应用!考查数学建模核心素养!
#解题分析$% 5
6#2, 5
6#$( 5
6$2, 5
6#$( )
.
5
6#1!5
6$1, 5
6#1-
5
6#$!+#25
6* 5
6$1,
5
6#$( )
.
5
6
"
#
#1 "5
6#1- 5
6#$#, 5
6#$*
5
6#1-&5
6#$&
.( )
.& 5
6#1&
.- )
.
5
6#1* 5
6#$, )
.& 5
6#1&
.-
&5
6#$&
.( )
.&5
6#$&& 5
6#1&231<*>, )
. :4-)<( )
. :.
:4: )
. ,-).!故选$!
#一题多解$以# 为坐标原点%#$ 所在的直线为
" 轴%过点# 垂直#$ 的直线为. 轴%建立平面直角
坐标系"#.%如图所示%过点1 作13 /#$%垂足
为3%%#1,.%-1#$,<*>%+#3,)%13
槡
, 6%
+1")%槡6#%又$"4%*#%5
6$1,"-6%槡6#!过点2 作
2C/" 轴%垂足为C!%点2 为$0 的中点%+$2,
)%$C, )
. %2C ,槡6
. %即点2 的坐标为
;
. %槡6
"
#
.
!
+ 5
6#2,
;
. %槡6
"
#
.
%+ 5
6#2$ 5
6$1, ;
. :"-6#(槡6
. :
槡6,-).%故选$!
)!#答案$!
#命题意图$本题考查空间几何体的三视图'空间几何
体体积的计算!考查空间想象能力!考查数学建模'直
观想象的核心素养!
#解题分析$画出几何体的直观图!可知该几何体是正
方体的一部分!即三棱锥$-#:1:1"如图所示#!所
以该几何体的体积为)
6 : )
. :.:.:., 4
6 !故选
!!
"
#方法技巧$空间几何体的三视图是分别从空间几何
体的正面&左面&上面用平行投影的方法得到的三个
平面投影图%因此在分析空间几何体的三视图时%先
根据俯视图确定几何体的底面%然后根据正视图或
侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征%调整实线
和虚线所对应的棱&面的位置%再确定几何体的形状%
即可得到结果!
!*!#答案$$
#命题意图$本题考查简单的线性规划问题!考查化
归与转化思想'数形结合思想!考查数学建模核心
素养!
#解题分析$在平面直角坐标系中!作出不等式组表
示的可行域!如图中阴影部分所示"含边界#!联立
"(.-0,*!
"-..-6,*
$
!
得# )6
6 !
"
#
.
6
!联立"-..-6,*!
"-.(.,*
$
!
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" !
得0"-=!-0#!.(.
"-6表示过可行域内的点""!.#与
定点'"6!-.#连线所在直线的斜率7!则7,7'# ,
.
6 (.
)6
6 -6
,.或7'7'0 ,-0(.
-=-6, 6
)*!所以.(.
"-6的取
值范围是
-B!6
"
&
)* :..!(B#!故选$!
!!!#答案$$
#命题意图$本题考查抛物线'椭圆的定义和均值不
等式!考查运算求解能力!考查数学建模的核心素养!
#解题分析$由椭圆方程"
.
4 (.
.
6 ,)!可知=,)!G
. ,
)!G,.!则.
. ,4"!,.C3' , )
.&'3&*&C3&*
1/' !
6 ,槡6
4&'3&*&C3&!由5,&'3&(&C3&,
.
&'3&*&C3
槡
&!得&'3&*&C3&')<!则,.C3'
,槡6
4&'3&*&C3&'槡6
4
槡
:)<,4 6"当且仅当&'3&
,&C3&,4时!等号成立#!%&C3&,4!&3)3&,.!
+-3C3), !
< !又-C33), !
6 !+直线#$ 的倾斜
角为!
6 !设直线#$ 方程为.
槡
, 6""-)#!与椭圆
"
.
4 (.
.
6 ,)联立!整理得0"
.-5",*!")("., 5
0 !
")*".,*!+&#$&,
)(7
槡
.*
"")(".#
.-4")"
槡
.
,
)("槡6#
槡
.*
" #
5
0
.
槡
-4:*,)<
0 !故选$!
!"!#答案$#
#命题意图$本题考查分段函数'函数的导数'存在性
问题'恒成立问题!考查分类与整合的数学思想!考
查数学抽象'逻辑推理'数学运算的核心素养!
#解题分析$对;")*+!<".*.-6!6&!使得;"")#,
8"".#成立!等价于;""#
7/' ,8""#
7/'!对于函数
;""#!当",)时!;""#,&'" 在.)!( B#上单调递
增!此时;""#
7/',;")#,*(当"))时!;""#,"A
"!
;:""#,")("#A
"!令;:""#,*!解得", -)!当
"*"-B!-)#时!;:""#)*!此时;""#在区间上
单调递减!当"*"-)!)#时!;:""#%*!此时;""#
在区间上单调递增!此时;""#
7/',;"-)#,"-)#
:A
-), - )
A!故在定义域上;""#
7/' , - )
A!又
;:".#, )
. !则8""#,7"( )
. !对于函数8""#!当
7%*时!在.-6!6&上的最小值为-67( )
. !此时有
- )
A , -67( )
. !解得7, )
6A( )
< (当7)* 时!
8""#在.-6!6&上的最小值为67( )
. !此时有
- )
A,67( )
. !解得7'- )
6A- )
< !综上所述!7 的
取值范围为
-B!- )
6A-
"
&
)
<
:
)
6A( )
< !(B
.
#!
故选#!
!#!#答案$4*
6
#命题意图$本题考查利用定积分求曲边梯形的面
积!考查数形结合的思想!考查数学建模的核心素养!
#解题分析$联立方程.,"
)
. 和."-.-<,*!得槡",
."-<!4"
.-.0"(6<,*!"4"-;#""-4#,*!",4
或", ;
4
舍去!;
4 )
"
#
6 !如图所示!所求封闭图形
面积,,=.
4
* "
)
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"
I
.
6"
6
. -"
. (
< #
"
4
*,4*
6 !
!$!#答案$4<
#命题意图$本题考查排列组合!考查数据分析的核
心素养!
#解题分析$该命题小组中来自'卷考区的教师至少
有)名教师!则来自' 卷考区的教师有) 名!.名!
6名!共6 类情况!故选派方法有"
)
6"
.
0 ("
.
6"
)
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"
6
6"
*
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!!数学"理科#$ 答)
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!%!#答案$))
#命题意图$本题考查数列的通项公式的求法'裂项
相消法求数列的前* 项和!考查数学运算的核心
素养!
#解题分析$当*,.时!
<*,6*-6*-), 4
6 "4
*-)#-
4
6 "4
*-)-)#,4
*(当*,)时!
<),6),4!+<*,4
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#
() , .*
*()!C*,))
< !解得*,))!所以* 的
最小值是))!
!&!#答案$ 槡
6. 6!
.=
#命题意图$本题考查空间几何体外接球的体积!考
查化归与转化的思想!考查直观想象的核心素养!
#解题分析$如图!过点' 作'1/#0!垂足为点1!
连接$1!%.'#0 为等边三角形!+点1 为#0 的
中点!% .#$0 为等腰直角三角形!#0,'$,.!
-#$0,;*>!+'1
槡
, 6!$1,)!%'$
. ,$1
. (
'1
.!+$1/'1!又%$1(#0,1!+'1/ 平面
#$0!%#1,$1,10!+三棱锥'-#$0 的外接
球球心为.'#0 的中心?!?',?#,?$,?0!?'
, .
6'1, 槡
. 6
6 !三棱锥'-#$0 外接球的体积为
4
6 :!:
槡
. 6
"
#
6
6
,
槡
6. 6!
.=
!
!'!#命题意图$本题考查平面向量数量积的运算'正弦
定理'余弦定理'三角形的面积公式!考查运算求解
能力!考查数学运算的核心素养!
#名师指导$"&#根据两个向量模相等和特殊角的三
角函数值!求出角# 的大小("'#运用三角形的面
积公式和正'余弦定理!进而求出)!
=的值!
#解题分析$"&#由",".231#!.1/'##!
!,"-)!槡
6#!
得&"&,
".231##
.(".1/'##
槡
.,.!
&!&,
"-)#
.("槡6#
槡
.,.!
则&"&,&!&!
".分#
由题意可知!"槡."(!#
.,"" 槡
- .!#
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得"*!,*!
"4分#
.231#:"-)#(.1/'# 槡
: 6,*!
@8'#,1/'#
231#,槡6
6 !
因为#*"*!!#!所以#, !
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"<分#
"'#由<
槡
,6 6!#, !
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; 6
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.
槡
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. , 槡
; 6
4 !
解得=,6!
";分#
由余弦定理得
)
. ,=
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.-.=<231#
,6
.(" 槡
6 6#
.
槡
-.:6:6 6:槡6
.
,;!
解得),6!
").分#
!(!#命题意图$本题考查独立性检验'.:. 列联表'二
项分布!考查运算求解能力!考查数学运算和数据分
析的核心素养!
#名师指导$"&#结合已知条件完成.:.列联表!利
用J
.,
*")+-<=#
.
")(<#"
=(+#")(=#"<(+#!计算出结果对
照观测值进行比较判断("'#由"&#中的数据!求出
*的值!列出% 的分布列进而求出数学期望!
#解题分析$"&#由已知条件可得.:.列联表如下+
月收入超过
6***欧元
月收入不超过
6***欧元
合计
现场观看
6*
)*
4*
网络直播
<*
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合计
;*
))*
.**
".分#
结合列联表可算得J
.,.**:"6*:)**-)*:<*#
.
4*:)<*:;*:))*
,.**
))>)5!)5.!
"4分#
因为)5!)5.%)*!5.5!所以有;;!;K 的把握认为
/足球爱好者的月收入与到现场观看比赛有关0!
"0分#
"'#由题可知!*,6!
"<分#
% 的取值可能为*!)!.!6!
'"%,*#,"
6
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"5分#
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所以% 的分布列为
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故2 "%#,*: 60
).*(): <6
).*(.: .)
).*(6:
)
).*, ;
)*!
").分#
!)!#命题意图$本题考查空间直线与直线垂直'线面垂
直'二面角的平面角知识!考查数形结合思想'化归
与转化思想!考查逻辑推理和数学建模核心素养!
#名师指导$"&#将证明直线与直线垂直转化为一条
直线与另外一条直线所在的平面垂直("'#建立空
间直角坐标系!利用空间向量的夹角公式即可求得
所求二面角的余弦值!
#解题分析$"&#证明+连接#2!
在四边形#$01 中!
1#/#$!'#/平面#$01!
#14平面#$01!
+#1/'#!'#(#$,#!
+#1/平面'#$!
又%'$4平面'#$!+'$/#1!
".分#
又%在?@.'#$ 中!'#,#$!2 为'$ 的中点!
+#2/'$!#1(#2,#!
+'$/平面#12!
"4分#
又%#34平面#12!+#3/'$!
"<分#
"'#以# 为坐标原点!分别以#'!#$!#1 所在直
线为"!.!- 轴建立如图所示空间直角坐标系# -
".-!
则'".!*!*#!$"*!.!*#!2")!)!*#!0"*!.!)#!
#"*!*!*#!
由"&#可知'$/平面#12!
+ 5
6$'为平面#12 的一个法向量!
5
6$',".!-.!*#!
"=分#
设!,""!.!-#为平面#20 的一个法向量!
5
6#0,"*!.!)#!5
6#2,")!)!*#!
"5分#
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6#0,*!
!* 5
6#2,*
$
!+
..(-,*!
"(.,*
$
!
令",)!则.,-)!-,.!+!,")!-)!.#!")*分#
设向量5
6$'与! 所成的角为$!
+231$,
):.("-.#:"-)#(*:.
)
.("-)#
.(.
槡
.*
.
.("-.#
.(*
槡
.
,槡6
6 !
"))分#
由图形知!二面角3-#2-0 为锐二面角!故它的
余弦值为槡6
6 !
").分#
#方法技巧$立体几何是高中数学中的重要知识点%
也是高考重点考查的内容和考点!这类问题的设置
一般有两类问题'其一是线面的位置关系的推证(其
二是角度距离以及几何体的体积面积的计算!本题
第一问考查直线与直线垂直%是利用一条直线垂直
另一条直线所在平面进而证出直线与直线垂直(第
二问求二面角的平面角%转化为求两个平面法向量
的夹角的余弦值!
"*!#命题意图$本题考查曲线与方程'直线与圆锥曲线
的位置关系'三角形的面积公式!考查数形结合思
想'化归与转化的思想!考查逻辑推理'数学建模核
心素养!
#名师指导$"&#利用已知条件结合椭圆的定义可
知!E 点的轨迹是以#!$ 为焦点!L 为长轴长的椭
圆!即可求出椭圆的方程("'#根据条件求出点2
的坐标!并将直线B的方程与"&#中求出的椭圆方
程联立!结合三角形的面积公式即可求出直线的
方程!
#解题分析$"&#如图!连接$E!
%$' 的垂直平分线和半径#' 相交于点E!
+&$E&,&'E&!
&#E&(&$E&,&#E&(&'E&,&#'&,L,4!其中L
为圆的半径!
".分#
根据椭圆的定义!点E 的轨迹是以#!$ 为焦点!
4为长轴长的椭圆!
+.),4!定点#" 槡
- 6!*#!$"槡6!*#!
+),.!
= 槡
, 6!
<,)!
+椭圆的方程是"
.
4 (.
.,)!
"4分#
"'#由题意可知!直线B的斜率不为*!
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" !
设直线B的方程为",(.(6!
C"")!.)#!&"".!..#!
%曲线0 与" 轴正半轴交点坐标为".!*#!1"6!
*#!+2 点坐标为")!*#!
"0分#
将直线B的方程",(.(6 代入椭圆的方程"
.
4 (
.
.,)!
整理得"(
.(4#.
.(<(.(0,*!
"<分#
!,6<(
.-.*"(
.(4#%*!
解得(
.%0!
"=分#
.)(.., -<(
(
.(4!.)*..,
0
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"5分#
,.2C& ,,.21C -,.2&1 , )
.&12&*&.)-..&
, )
. :.:
".)(..#
.-4.).
槡
.
,
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"
#
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.
槡
(4
,4
(
.
槡
-0
(
.(4
,槡6
6 !
";分#
令(
.,9"
9%0#!
则4 9
槡-0
9(4
,槡6
6 !
两边同时平方!得9
.-4*9(.0<,*!
即"
9-5#"
9-6.#,*!
解得9,5或9,6.!
")*分#
+(
.,5或(
.,6.!
+(
槡
,C. .或(
槡
,C4 .!
因此直线B的方程为"
槡
C. ..-6,*或"
槡
C4 ..-
6,*!
").分#
"!!#命题意图$本题考查函数的单调性'零点存在性定
理'导数的应用!考查分类与整合思想'化归与转化
思想!考查数学抽象'逻辑推理的核心素养!
#名师指导$"&#求出;""#的导数!然后分),*!))
*两种情况!讨论;:""#与*的大小关系!从而求得
函数;""#的单调性("'#对8""#进行等价转化!
8""#有零点等价于方程-4&'"
" (<",*有实数根!
分离参数得<,4&'"
"
. !利用换元转化成<,.&'9
9 !构造
函数F"
9#,.&'9
9 !讨论F"
9#的单调性!结合F"
9#的图
象!对<进行分类讨论!即可得到8""#零点的个数!
#解题分析$"&#;""#的定义域为"*!(B#!
;:""#,-.)
"
("(")-.#,""()#""-.#
"
!".分#
当),*时!"*"*!.#时!;:""#)*!"*".!( B#
时!;:""#%*!此时;""#在"*!.#上单调递减!在
".!(B#上单调递增(
"6分#
当))*时!令;:""#,*!解得"),-)!".,.!
#当-)).时!"*"*!-)#:".!(B#时!;:""#%
*!"*"-)!.#时!;:""#)*!
此时;""#在"*!-)#和".!( B#上单调递增!在
"-)!.#上单调递减(
$当-)%.时!"*"*!.#:"-)!(B#时!;:""#%
*!"*".!-)#时!;:""#)*!
此时;""#在"*!.#和"-)!( B#上单调递增!在
".!-)#上单调递减(
"4分#
%当-),.时!;:""#,""-.#
.
"
,*!
此时;""#在"*!(B#上单调递增!
"0分#
"'#当),.时!8""#, -4&'"
"
(<"!8""#有零
点等价于方程-4&'"
" (<",*有实数根!
令"
.,9"
9%*#!则原方程转化为<,.&'9
9 !
令F"
9#,.&'9
9 !F:"
9#,.")-&'9#
9
.
!
"=分#
令F:"
9#,*!
9,A!
+9*"*!A#!F:"
9#%*!
9*"A!(B#!F:"
9#)*!
F"
9#
789,F"A#, .
A!
当9, )
A时!F"
9#,-.A)*!
当9%A时!F"
9#%*!
由图象可知+
#当<'*时!F"
9#有)个零点!即8""#有)个零点(
";分#
$当*)<) .
A 时!F"
9#有.个零点!即8""#有.个
零点(
")*分#
%当<, .
A 时!F"9#有) 个零点!即8""#有) 个
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" !
零点(
"))分#
)当<% .
A 时!F"9#此时无零点!即8""#此时无
零点!
").分#
""!#命题意图$本题考查参数方程与普通方程'极坐标
中的点与直角坐标中的点之间的转化'直线参数方
程中参数的几何意义'点到直线的距离公式!考查化
归与转化思想!考查数学运算核心素养!
#名师指导$"&#消去参数!将参数方程化成普通方程!
极坐标化成直角坐标("'#直线B经过定点".!*#!设
直线B的倾斜角为$!设出直线B的参数方程!将直
线B的参数方程中的"!. 代入曲线0 的普通方程!
利用参数9的几何意义和&#$&的长度!即可求出直
线B倾斜角$ 的度数!就是到直线B的方程!再利用
点到直线的距离公式即可求解!
#解题分析$"&#由" 槡
, 0231&!
.,1/'
$
&
"& 为参数#!可得
"
槡
" #
0
.
,231
.&!
.
.,1/'
.&
7
8
9
!
则曲线0 的普通方程为"
.
0 (.
.,)!
".分#
点C 的极坐标为
槡
6 .!!
"
#
4
!
由"
槡
,6 .231!
4 ,6!.
槡
,6 .1/' !
4 ,6!
得点C 的直角坐标为"6!6#!
"4分#
"'#直线B经过点".!*#!设倾斜角为$!
则直线B的参数方程为",.(9231$!
.,91/'
$
$
"
9为参数#!
将直线B的参数方程代入"
.
0 (.
.,)!
整理得"41/'
.$()#
9
.(4231$*9-),*!
"<分#
设#!$ 两点对应的参数分别为9)!
9.!
则9)(9., -4231$
41/'
.$()!
9)*9.,-
)
41/'
.$()!
由9的几何意义可知
&9)-9.&,
"
9)(9.#
.-49)*9
槡
.
,
-4231$
41/'
.$
"
#
()
.
-4 -
)
41/'
.$
"
#
槡
()
, 槡
. 0
6 !
"=分#
即)<231
.$()<1/'
.$(4
"41/'
.$()#
.
,.*
; !
则"41/'
.$()#
.,;!
则1/'$,C槡.
. !
%$*.*!!#!+$, !
4 或$,6!
4 !
"5分#
直线B的方程为"-.-.,*或"(.-.,*!";分#
设点C"6!6#到直线"-.-.,*和"(.-.,*的
距离分别为+)!+.!
+),&6-6-.&
槡.
槡
, .!+.,&6(6-.&
槡.
槡
,. .!
+点C 到直线B的距离为槡. 或
槡
. .!
")*分#
"#!#命题意图$本题考查含绝对值不等式的解法'绝对
值三角不等式'一元二次不等式的解法!考查运算求
解能力'数形结合思想!考查数学运算'数学建模的
核心素养!
#名师指导$"&#利用&)&-&<&'&)-<&公式!求出
;""#的最大值!根据;""#')
.-4) 恒成立!转化成
0')
.-4)!解关于)的一元二次不等式("'#;""#-8
""#,*有两个实数解可以转化为;""#与8""#的图
象有两个交点!再利用数形结合!求出实数) 的取值
范围!
#解题分析$"&#;""#,&"-6&-&"(.&
'&""-6#-""(.#&
,0!
".分#
则0')
.-4)恒成立!
即)
.-4)-0,*!
解得)'-)或),0!
"4分#
"'#;""#,
0!
")-.!
-."()!-.'"'6!
-0!
"%6
7
8
9
!
"=分#
8""#,&-."()&!令8""#,*!得",)
. !
;""#与" 轴的交点为
)
. !
"
#
* !
"5分#
如图可知!)
. ) )
. 时!;""#与8""#的图象有两个
交点!
所以;""#-8""#,*有两个实数解时!) 的取值范
围是"-B!)#!
")*分#
能力提升卷!六"
!
"
#
$
%
&
'
(
) !* !! !"
!
$
!
"
#
#
"
"
$
"
!
#
!!#答案$!
#命题意图$本题考查复数的运算!考查运算求解能
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!!数学"理科#$ 答!#
" !
力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$
-,)-/
)(/,")-/#"
)-/#
"
)(/#"
)-/#,)-)-"
)()#
/
)
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为纯虚数!+),)!+-,-/!+&-()&,&)-/& 槡
, .!
故选!!
#一题多解$由题意可知!令-,(/"(1*#!则(/")(
/#,)(/-(,)-/!+ -(,) 且)(, -)!+(,
-)!),)!-,-/!&-()&,&)-/& 槡
, .!故选!!
"!#答案$$
#命题意图$本题考查集合的运算及一元二次不等式
的解法!考查运算求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$%.
".-6"-.'4,.
.!+"
.-6"-.'.!即
"
.-6"-4'*!解得#,$"&-)'"'4%!%."-"
.
,*!+"
.-."'*!+"""-.#'*!+$, $*!)!.%!
+#($,$*!)!.%!故选$!
#!#答案$!
#命题意图$本题考查双曲线的方程!考查运算求解能
力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$设双曲线0 的半焦距为=!由题意可得
=,6!
=
.,)
.(<
.!
)*
)
. - .
<
. ,)
7
8
9
!
解得) 槡
, <!
< 槡
, 6
7
8
9
!
+ 双曲线0 的方程为
"
.
< -.
.
6 ,)!故选!!
$!#答案$"
#命题意图$本题考查等差数列的通项公式'等差数列
前*项和!考查运算求解能力!考查数学运算核心
素养!
#解题分析$解法一+由,* ,*)) ( *"*-)#
.
+ 得
5,<))()0+!
).,;))(6<+
$
!++ ,*!)) , 4
6 !+,* , 4
6*!
+,)0,)0: 4
6 ,.*!故选"!解法二+% 数列$)*%为
等差数列!前*项和为,*!则,( !,.( -,( !,6( -,.(
仍成等差数列!令,6,)!则)!,<-)!,;-,<!,).-
,;!,)0-,).也成等差数列!%)(4,."5-)#!解得)
,4!+,)0,4(4(4(4(4,.*!故选"!解法三+令
,*,#*
. ($*!则5,6<#(<$!
).,5)#(;$
$
!
解得#,*!$,
4
6 !+,*, 4
6*!+,)0,)0: 4
6 ,.*!故选"!
%!#答案$#
#命题意图$本题考查函数的单调性及存在性命题的
相关不等式的运算!考查运算求解能力!考查数学运
算核心素养!
#解题分析$由题意可知!<"**+!使得;""*#).
)-.
成立+;""#
7/').
)-.成立!%;""#
7/',)!+.
)-.%)!
+)%.!故选#!
&!#答案$#
#命题意图$本题考查几何体的三视图'棱锥的表面积
公式!考查运算求解能力!考查数学建模和数学运算
核心素养!
#解题分析$把几何体放到棱长为4的正方体中!得到
如图所示的四棱锥#-$012!显然#$,$0,$2,
12,01,#1
槡
,. 0!#2
槡
,4 .!+,.#12 ,,.#$2 ,
槡
4 <!,.#$0 ,,.#10 ,5!,四边形$012
槡
,5 <!+四棱锥的
表面积为
槡
)<()< <!故选#!
'!#答案$"
#命题意图$本题考查程序框图!考查运算求解能力!
考查数学运算核心素养!
#解题分析$阅读并执行程序得<,0!
/,)!
M,*!<,.
:0-),;!M,;!/,),4 不成立(/,.!<,.:;-
),)=!
M,.<!
/,.,4不成立(
/,6!<,.:)=-),
66!
M,0;!
/,6,4不成立(
/,4!<,.:66-),<0!
M,).4!
/,4,4成立!输出M,).4!故选"!
(!#答案$"
#命题意图$本题考查向量的基本运算及二次函数的
性质!考查运算求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$由题意知'!#!$ 三点共线!
9(.M,)!
M,
)-9
. !M9 , 9-9
.
.
,
- 9-
"
#
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4
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! % 9 *
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6 !
.
&
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.
!+M9*
)
; !
.
&
)
5
!故选"!
)!#答案$$
#命题意图$本题考查线性规划!考查运算求解能力!
考查直观想象'数学运算核心素养!
#解题分析$由题意作出平面区域如图中阴影部分"含
边界#所示!# ")!4#!$"6!.#!0"-)!-.#!-,
"
.(<"(.
.-..
槡
()*,
""(6#
.(".-)#
槡
.!则N
表示点""!.#到点'"-6!)#的距离!如图所示!作
'1 / #0!垂足为1!'1 为最小值且&'1&,
&-6:6-)()&
6
.()
槡
.
,
槡
;
)*
)*
!'$ 为最大值且&'$&,
"-6-6#
.(")-.#
槡
.
槡
,
6=! 故
而
-
*
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!!数学"理科#$ 答!$
" !
槡
;
)*
)*
!槡
.
&
6= !故选$!
!*!#答案$"
#命题意图$本题考查数学文化'几何概型!考查运算
求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$令#0,.)!则#$
槡
,. .)!阴影部分的
面积为)
.!)
.-
)
4!"槡.)#
.- )
.槡.)* 槡.
"
#
) ,)
.!
半圆1
#0$与阴影部分面积之和为)
.!"槡.)#
.()
.,
"!()#)
.!令事件# 表示/在两个半圆内任取一点!
则该点恰好取自阴影部分0!则'"##,
)
.
"!()#)
.,
)
!()!故选"!
!!!#答案$!
#命题意图$本题考查三角函数的图象与性质!考查
运算求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$根据函数图象可知'
4!
6 !
"
#
# !
E -.!
6!-
"
#
# !%&'E&,
4!
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.,
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. ,4!
6 -
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"
#
6
,.!!+6,
4!!又%6, .!
&'&
!+', )
. !由五点作图法可知)
. :
4!
6 ((, !
. (.7!"7*,#!%&(&) !
. !解得(, -
!
< !+;""#,.1/' )
."- !
"
#
<
!;""#
789,.!+选项
$ 错误(.7!- !
. ' )
."- !
< '.7!( !
. !7*,047!
-.!
6 '" '47!( 4!
6 !7* ,!当7,) 时!" *
)*!
6 !)<!
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6
!%"4!!0!#4 )*!
6 !)<!
.
&
6
!+选项! 正
确()
."- !
< ,7!!7*,0",.7!( !
6 !7*,0对称
中心为.7!( !
6 !
"
#
* !7*,!+ 选项" 错误()
."-
!
< ,7!( !
. !7*,0",.7!(4!
6 !选项# 错误!故
选!!
!"!#答案$#
#命题意图$本题考查利用导数求解参数范围问题的
运算!考查运算求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$由题意可知!若<")*.)!)()&!;".*
.)!.&!都有;"")#'8"".#+;""#
7/''8""#
7/'!从
而问题就转化为分别求两个函数的最小值!8:""#,
)
" - )
"
. ,"-)
"
. !显然!当"* .)!.&时!8:""#,*!
+8""#在.)!.&上单调递增!+8""#
7/',8")#,)()!
;:""#,)-)
.
"
. , ""()#""-)#
"
.
!当),* 时!;""#
在.)!)()&上单调递增!;""#
7/',;")#,.)()!显
然此时.)()%)()!不符合题意(当))*时!#当
)())-)!即))- )
. 时!;""#在.)!)()&上单调
递减!;""#
7/',;")()#,)(.( )
.
)()')()+
)
.()()
)()
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"
#
)
.
.
( 6
4
)()
'*0))-)($当)
(),-)!即- )
. '))*时!;""#在.)!-)&上单调
递减!在.-)!)()&上单调递增!+;""#
7/' ,
;"-)#,)-.)')()0),*与- )
. )))*矛盾!
不符合题意!综上所述!+))-)!故选#!
!#!#答案$6
#命题意图$本题考查利用二项式定理求解展开式项
的系数!考查运算求解能力!考查数学运算核心
素养!
#解题分析$ )("( )
"
#
"
")-"#
4 , ")-"#
4 (
"")-"#
4(")-"#
4
"
!")-"#
4 展开式的通项为
6L(),"
L
4"-"#
L,"
L
4"-)#
L"
L!+ 所求" 的系数为
"
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)("
*
4"-)#
*("
.
4"-)#
.,6!
#一题多解$)("( )
"
#
"
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"
#
"
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.#")-"#
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"
, ")-"#
6 -"
. ")-"#
6 ( ")-"#
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"
!
%")-"#
4 展开式的通项为6L() , "
L
4"-"#
L,
"
L
4"-)#
L"
L!")-"#
6 展开式的通项为"
L
6"-)#
L"
L!
+所求" 的系数为"
)
6"-)#
)("
.
4"-)#
.,6!
!$!#答案$);
#命题意图$本题考查数列递推公式及前* 项和的求
法!考查运算求解能力!考查数学运算核心素养!
#解题分析$由题意可知!当*,)时!)6().,.))(
4!+)6,4!当*,.时!)4()6,.).(4!+)4,4!当
*,6时!)0()4,.)6(4!+)0,5!+,0,)(.(
4(4(5,);!
!%!#答案$4!
6
#命题意图$本题考查锥体外接球的知识'余弦定理
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!!数学"理科#$ 答!%
" !
及三棱锥外接球体积的运算!考查运算求解能力!考
查直观想象'数学运算核心素养!
#解题分析$如图!在.'#0 和.'$0 中!由余弦定理
'0
.,#'
. (#0
. -.#'*#0*231-'#0!可得
'0,)!同理!$0
槡
, 6!% '0
. ( $0
. , $'
.!
+.'$0 是以$' 为斜边的直角三角形!同理!
.'#$ 也是以$' 为斜边的直角三角形!+$' 为
三棱锥'-#$0 外接球的直径!+该三棱锥外接球
的体积为4!
6 !
!&!#答案$;
#命题意图$本题考查直线与抛物线的位置关系及三
角形面积的运算!考查运算求解能力!考查直观想
象'数学运算核心素养!
#解题分析$由题意可知!直线#$ 的方程为."-.
(4,*!设点' 到直线#$ 的距离为+!则+,
&."-.(4&
槡0
, &."-."
.(4&
槡0
, .&"
.-"-.&
槡0
!又
-))").!++789 ,
槡
; 0
)* !+ ",.'#$ #
789 , )
. :
&#$&:+789, )
.
槡
:6 0: 槡
; 0
)* ,.=
4 !此时点' 的坐
标为
)
. !
"
#
)
.
!直线#' 的方程为"(.-),*!+
直线$E 的方程为"-.(<,*!+E 点的坐标为
- 0
. !
"
#
=
.
!+ &'#&* &'E&, 5
6'# * 5
6'E ,
- 6
. !
"
#
6
.
*"-6!6#,;!
#一题多解$由题意可知直线#$ 的斜率为.!使得
.,."
. 的切线的斜率为.的点' 到直线#$ 的距
离最大!此时.'#$ 的面积最大!+.:,4",.!则
点' 的坐标为
)
. !
"
#
)
.
!直线#' 的方程为"(.
-),*!+直线$E 的方程为"-.(<,*!+E 点
的坐标为
- 0
. !
"
#
=
.
!+&'#&*&'E&, 5
6'#* 5
6'E
,
- 6
. !
"
#
6
.
*"-6!6#,;!
!'!#命题意图$本题考查解三角形'正余弦定理的应用
以及平面向量的相关计算!考查运算求解能力!考查
数学运算核心素养!
#名师指导$"&#由已知条件化简;""#即可求出最
小正周期和单调递减区间("'#先由正弦定理将
<(.=转换成角!并利用内角和为)5*>来化简!求出
其最值后再求出<和= 的值!从而求出满足条件的
三角形面积!
#解题分析$"&#由题意可得
;""#,"*!,".1/'"!槡6231
."#"231"!.#
,.1/'"*231"
槡
(. 6231
."
,1/'."
槡
(. 6*)(231."
.
,1/'." 槡
槡
( 6( 6231."
,. )
.1/'."(槡6
.231.
"
#
"
槡
( 6
,.1/' ."( !
"
#
6
槡
( 6!
+最小正周期6,.!
' ,.!
. ,!!
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. (.7!)."( !
6 )6!
. (.7!!7*,!
!
< (.7!).")=!
< (.7!!7*,!
!
).(7!)")=!
).(7!!7*,!
+;""#的最小正周期为!!单调递减区间为
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).(7!!=!
).(7
.
&
! !7*,!
"<分#
"'#;"##,.1/' .#( !
"
#
6
槡
槡
( 6, 6!
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6 ,7!!7*,!
%#*"*!!#!+#, !
6 !
"5分#
由正弦定理得槡6
1/' !
6
, <
1/'$, =
1/'0!
+<,.1/'$!
=,.1/'0!
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,.1/'$(41/' .!
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"
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.231$( )
.1/'
"
#
$
槡
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#1/'(, 槡.)
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. =#
=
!
")*分#
当且仅当1/'"$((#,)!$((, !
. !
即1/'$,1/' !
. -
"
#
( ,231(, 槡
. =
= !
231$,231 !
. -
"
#
( ,1/'(, 槡.)
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槡
. =!
此时1/'0 ,1/'"#($#
,1/'#231$(231#1/'$, 槡
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+<, 槡
4 =
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=, 槡
0 =
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"))分#
【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
!!数学"理科#$ 答!&
" !
+此时.#$0 的面积,, )
.<=1/'#, )
. : 槡
4 =
= :
槡
0 =
= :槡6
. , 槡
0 6
= !
").分#
!(!#命题意图$本题考查线线垂直'线面垂直'二面角的
运算!考查运算求解能力!考查直观想象和数学运算
核心素养!
#名师指导$"&#首先利用已知条件先证明#:C /
#0!然后利用已知条件结合勾股定理证明#:C /
$C!从而得出结论("'#建立空间直角坐标系!令
5
6#',# 5
6#$!#* "*!)#!求出点' 坐标"槡
槡
.- .#!
.#!*#!然后利用已知二面角的余弦值求出# 的值!
从而得解!
#解题分析$"&#证明+%#:#,#:0,.!#0
槡
,. .!
点C 为#0 的中点!
+#:C /#0 且C#,C0,#:C
槡
, .!
".分#
又#$,$0 槡
, <!+$C,.!
"6分#
%$C
.(#:C
.,#:$
.!+#:C /$C!
又$C(#0,C!+#:C /平面#$0!
"<分#
"'#由"&#可知C#:!C#!C$ 两两垂直!
故建立如图所示空间直角坐标系C-".-!
则#:"*!*!槡.#!#"槡.!*!*#!$"*!.!*#!0" 槡
- .!
*!*#!
令5
6#',# 5
6#$!
#*"*!)#!
则'"槡
槡
.- .#!.#!*#!
"=分#
5
6
#:',"槡
槡
.- .#!.#! 槡
- .#!
5
6
#:0," 槡
- .!*! 槡
- .#! 5
6
#:$,"*!.! 槡
- .#!
设平面#:'0 的法向量",""!.!-#!
则"* 5
6
#:',*!
"* 5
6
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$
,*
0
"槡
槡
.- .##"(.#. 槡
- .-,*!
槡
- ." 槡
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"
7
8
9
!
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, .#!
则","槡.#!
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";分#
设平面#:$0 的法向量!,")!
<!
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则!* 5
6
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6
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, .<!
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$
!
取<,)!
则!," 槡
- .!)!槡.#!
")*分#
+231,"!!-,
"*!
&"&*&!&,
-6#-.
0#
.-4#
槡
(4* 槡0
!
由题意可知
6#(.
0#
.-4#
槡
(4* 槡0
, 槡
. 0
0 !
化简得))#
.-.5#().,*+"))#-<#"#-.#,*!
%#*"*!)#!+#, <
))!+#'
#$, <
))!
").分#
!)!#命题意图$本题考查茎叶图'相互独立事件概率的
求法'超几何分布的分布列及期望!考查推理论证能
力'运算求解能力!
#名师指导$"&#利用已知条件即可得出结果(
"'#首先判断随机变量的取值!然后再利用超几何
分布去计算相应概率!列出分布列并求出期望!
#解题分析$"&#由题意可知!在抽取的)0人中!测
试成绩优秀的有6人!测试成绩良好的有=人!测试
成绩一般的有0人!
".分#
设/从该校高中学生中任选4 人进行测试!至少有
一人2一般30为事件#!
"6分#
则'"##,)-"
4
4 )*
" #
)0
4
,<0
5)!
"0分#
+从该校高中学生中任选4 人进行测试!至少有
一人/一般0的概率为<0
5)!
"<分#
"'#% 的可能取值为*!)!.!6!
"=分#
则'"%,*#,"
4
).
"
4
)0, 4;0
)6<0,66
;)!
'"%,)#,"
6
)."
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6
"
4
)0 , <<*
)6<0,44
;)!
'"%,.#,"
.
)."
.
6
"
4
)0 , );5
)6<0,<<
400!
'"%,6#,"
)
)."
6
6
"
4
)0 , ).
)6<0, 4
400!
")*分#
+% 的分布列为
%
*
)
.
6
'
66
;)
44
;)
<<
400
4
400
+2"%#,*:66
;)():44
;)(.:<<
400(6: 4
400,6<4
400!
").分#
"*!#命题意图$本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位
置关系!考查推理论证能力'运算求解能力!
#名师指导$"&#利用已知条件可判断出点C 到#!
$ 两点的距离之和为定值!从而利用椭圆的定义即
可得到椭圆的方程("'#首先设出直线方程!然后联
立方程利用韦达定理及已知条件13/23!化简即
可得出结论!
#解题分析$"&#由题意可知!
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" !
&C'&,&C$&且&C#&(&C'&,4!
+&C#&(&C$&,4!
即点C 到#!$ 两点距离之和为4!
+点C 的轨迹是以#!$ 为焦点的椭圆!
设椭圆的长半轴'短半轴'半焦距为)!
<!
=!
+.),4!.=,.!
又)
.,<
.(=
.!+),.!
< 槡
, 6!
=,)!
+曲线0+"
.
4 (.
.
6 ,)!
"4分#
"'#证明+设直线B的方程为.,7"((!
1"")!.)#!2"".!..#!
则联立直线方程与椭圆0 的方程
.,7"((!
"
.
4 (.
.
6 ,)
7
8
9
!
得"6(47
.#"
.(5(7"(4"(
.-6#,*!
则
!,"5(7#
.-)<"6(47
.#"(
.-6#%*0(
.)6(47
.!
")(".,-5(7
6(47
.!
")".,4"(
.-6#
6(47
.
7
8
9
!
"<分#
又曲线0 的右端点3".!*#!13/23!
+ 5
613* 5
623,".-")!-.)#".-".!-..#,*!
"=分#
即")".(.)..-."")(".#(4,*!
又.)..,"7")((#"7".((#,6"(
.-47
.#
6(47
.
!
+4"(
.-6#
6(47
. (6"(
.-47
.#
6(47
.
-.: -5(7
6(47
.(4,*!
即=(
.()<(7(47
.,*!
解得(,-.7或(,-.7
= !
";分#
当(,-.7时!满足(
.)6(47
.!直线B的方程为.
,7"-.7,7""-.#!直线经过右端点3!不符合题
意!舍去(
当(,-.7
= 时!满足(
.)6(47
.!直线B的方程为
.,7"-.7
= ,7 "-
"
#
.
=
!直线经过定点
.
= !
"
#
* !满
足题意!
"))分#
综上可知!直线B过定点!定点坐标为
.
= !
"
#
* !").分#
"!!#命题意图$本题考查导数及其应用'数列相关的不
等式的证明!考查运算求解能力!考查数学运算核心
素养!
#名师指导$"&#根据题意求出函数的导数!利用导
函数的正负来确定原函数的单调区间!注意分类讨
论("'#根据"&#的结果可以求出8""#的解析式!
然后构造F""#,&'""()#-"!对F""#求导!从而得
出)&'"7
.()#))7
.!然后把所证明的不等式问题转
换为数列求和问题!从而利用题目已知条件得出结
论!
#解题分析$"&#由题意可知"*"*!(B#!
;:""#,)
" -),)-"
"
!
")分#
当)'*时!;:""#)*!
+;""#在"*!(B#上单调递减(
当)%*时!令;:""#,*!则",)!
+;""#在"*!)#上单调递增!在")!( B#上单调
递减!
"4分#
"'#证明+由题意可知8""#,)&'"!
+8"7
.()#,)&'"7
.()#!
"0分#
令F""#,&'""()#-"!
则F:""#, )
"()-), -"
"()!
"<分#
+当"%*时!F:""#)*!F""#单调递减!
+F""#)F"*#,*!+&'""()#)"!
"5分#
又)%*!+)&'"7
.()#))7
.!
+
)
)&'"7
.()#% )
)7
.%
)
)7"7()#, )
)
)
7 - )
7
"
#
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";分#
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8"7
.()#, ?
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)&'"7
.()#% ?
*
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7 - )
7
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*
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"))分#
当*,)时!- )
*(),- )
. !+ )
) )- )
*
"
#
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.)!
%当*))) )
4 时!)
.)%.!
+当*))) )
4 时!?
*
7,)
)
8"7
.()#%.!
").分#
""!#命题意图$本题考查极坐标方程与直角坐标方程的
互化'参数方程与普通方程的互化'直线参数方程中
参数的几何意义!考查化归与转化思想'运算求解能
力'方程思想与数形结合思想!考查数学运算核心
素养!
#名师指导$"&#利用普通方程与参数方程'直角坐
标方程与极坐标方程互化公式即可求解("'#首先
判断点C 在曲线0. 上!再把曲线0)!0. 方程联立!
再利用直线参数方程中参数的几何意义即可求解!
#解题分析$"&#由题意可得曲线0) 的普通方程为
"
.(.
.,4".*.*!.&#!
")分#
+曲线0) 是以原点为圆心!以. 为半径的上半
个圆!
".分#
由曲线0. 的极坐标方程可得%1/'$-%231$, 0
. !
+曲线0.+.-"- 0
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【公众号：实用视界 +VX：18071191557】
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类与整合思想以及化归与转化思想!考查运算求解
能力!考查数学运算核心素养!
#名师指导$"&#当),.时!利用零点分段法对函数
进行分段!在每一段上求解" 的取值范围!从而求出
不等式的解集("' #首先利用不等式解集包含
.-)!)&!等价于当"* .-)!)&时!;""#,. 恒成
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