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§1.1 集 合
考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理
解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn 图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集
(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，
就称集合A 为集合B 的子集，记作A ⊆
B (或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x ∉ A ，就称集合A 是集合B 的真子集，记
作A B (或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆
A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集．
3．集合的基本运算
1
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表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
A ∪
B
交集
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
A ∩
B
补集
{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
∁UA
常用结论
1．若集合A 有n(n≥1)个元素，则集合A 有2n个子集，2n－1 个真子集．
2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1 或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
教材改编题
1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B 等于( )
A．{－1,2}
B．{1,2}
C．{1,4}
D．{－1,4}
答案 B
解析 由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝
{1,2}，故选B.
2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是( )
A．(1,2 022)
B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}
C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}
D．{(2 022,1)}
答案 C
解析 (1,2 022)表示一个点，不是集合，A 不符合题意；
集合{(x，y)|x＝2 022，y＝1}的元素是点，与集合A 不相等，B 不符合题意；
{x|x2－2 023x＋2 022＝0}＝{2 022,1}＝A，故C 符合题意；
集合{(2 022,1)}的元素是点，与集合A 不相等，D 不符合题意．
2
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3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，
∁U(A∩B)＝________.
答案 {x|x≥－1} {x|x<2 或x≥3}
解析 因为A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}＝{x|x≥2}，
所以A∪B＝{x|x≥－1}，A∩B＝{x|2≤x<3}，
∁U(A∩B)＝{x|x<2 或x≥3}.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B 的元素
个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，函数y＝x 与y＝x2的图象有两个交点，
故集合A∩B 有两个元素．
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a 的值为( )
A．1
B．1 或0
C．0
D．－1 或0
答案 C
解析 ∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1 时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0 时，
A＝{1，－2，－1}，
故a＝0.
思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限
制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是(
)
A．0∉M
B．{0}∈M
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C．{1}⊆M
D．1⊆M
答案 ABD
解析 对于A，因为M＝{x|x－2<0，x∈N}，所以0∈M，所以A 错误；
对于B，因为{0}是集合，且0∈M，所以{0}⊆M，所以B 错误；
对于C，因为1∈M，所以{1}⊆M，所以C 正确；
对于D，因为1 是元素，1∈M，所以D 错误．
(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B 中元素的个数为(
)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 因为A＝{0,1,2}，a∈A，b∈A，
所以ab＝0 或ab＝1 或ab＝2 或ab＝4，
故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0,1,2,4}，
即集合B 中含有4 个元素．
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的
是( )
A．A＝B
B．A∩B＝∅
C．AB
D．B⊆A
答案 C
解析 由题设，可得A＝{x|x>2}，
又B＝{x|x≥－3}，
所以A 是B 的真子集，
故A，B，D 错误，C 正确．
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z 时，集合A 的真子集有
________个；当B⊆A 时，实数m 的取值范围是________．
答案 15 (－∞，－2)∪[－1,0]
解析 A＝{x|－2≤x≤1}，
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1}，
故集合A 的真子集有24－1＝15(个)．
由B⊆A，
得①若B＝∅，则2m＋1<m－1，即m<－2，
②若B≠∅，则
解得－1≤m≤0，
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综上，实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪[－1,0]．
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否
则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)(多选)已知非空集合M 满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则
x2∈M.则集合M 可能是( )
A．{－1,1}
B．{－1,1,2,4}
C．{1}
D．{1，－2,2}
答案 AC
解析 由题意可知3∉M 且4∉M，而－2 或2 与4 同时出现，
所以－2∉M 且2∉M，
所以满足条件的非空集合M 有{－1,1}，{1}．
(2)函数f(x)＝的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a 的取值范围是
________________．
答案 (－∞，－3]∪[5，＋∞)
解析 由x2－2x－3≥0，得x≥3 或x≤－1，
即A＝{x|x≥3 或x≤－1}．
∵B⊆A，
显然B≠∅，
∴4－a≤－1 或－a≥3，
解得a≥5 或a≤－3，
故实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[5，＋∞)．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则
S∩T 等于( )
A．∅ B．S C．T D．Z
答案 C
解析 方法一 在集合T 中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S 中，s
＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.
方法二 S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以
S∩T＝T.
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝}，则图中阴影部分表示的集合为( )
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A．{x|x≤－2}
B．{x|x>－2}
C．{x|x≥4}
D．{x|x≤4}
答案 C
解析 观察Venn 图，可知阴影部分的元素由属于B 而不属于A 的元素构成，所以阴影部分
表示的集合为(∁UA)∩B.
∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R，
∴∁UA＝{x|x<－2 或x≥4}，
又B＝{x|y＝}⇒B＝{x|x≥－2}，
∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁RA)∪B＝R，则实
数a 的取值范围为( )
A．(1，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
答案 B
解析 由题可知A＝{x|y＝ln(1－x2)}＝{x|－1<x<1}，
∁RA＝{x|x≤－1 或x≥1}，
所以由(∁RA)∪B＝R，得a≥1.
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；
如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3 (1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2
－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于( )
A．{1,3}
B．{0,3}
C．{－2,1}
D．{－2,0}
答案 D
解析 由题意得集合B＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，
所以∁U(A∪B)＝{－2,0}．故选D.
(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a
的取值范围是( )
A．[1,4)
B．(1,4)
C．[4，＋∞)
D．(4，＋∞)
答案 A
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解析 由题意可得A＝{x|1<x<4}．
因为A∪B＝{x|x>1}，
所以1≤a<4.
题型四 集合的新定义问题
例5 (1)(多选)当一个非空数集F 满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b，ab∈F，且当
b≠0 时，∈F”时，称F 为一个数域，以下说法正确的是( )
A．0 是任何数域的元素
B．若数域F 有非零元素，则2 023∈F
C．集合P＝{x|x＝3k，k∈Z}为数域
D．有理数集为数域
答案 ABD
解析 对于A，若a∈F，则a－a＝0∈F，故A 正确；
对于B，若a∈F 且a≠0，则1＝∈F，2＝1＋1∈F，3＝1＋2∈F，依此类推，可得2
023∈F，故B 正确；
对于C，P＝{x|x＝3k，k∈Z},3∈P,6∈P，但∉P，故P 不是数域，故C 错误；
对于D，若a，b 是两个有理数，则a＋b，a－b，ab，(b≠0)都是有理数，所以有理数集是
数域，故D 正确．
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且
规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A
的累积值为n.
①若n＝3，则这样的集合A 共有________个；
②若n 为偶数，则这样的集合A 共有________个．
答案 2 13
解析 ①若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A 共有2 个；
②因为集合M 的子集共有24＝16(个)，
其中“累积值”为奇数的子集为{1}，{3}，{1,3}，共3 个，
所以“累积值”为偶数的集合共有13 个．
思维升华 解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义
和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
跟踪训练4 设集合U＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非
空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越
大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，
依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6 位的子集是________．
答案 {2,4}
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解析 根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：∅，{2}，{3}，{4}，
{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}．
故排在第6 位的子集为{2,4}．
课时精练
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M 满足∁UM＝{1,3}，则( )
A．2∈M
B．3∈M
C．4∉M
D．5∉M
答案 A
解析 由题意知M＝{2,4,5}，故选A.
2．设集合A＝{x∈N*|2x<4}，B＝{x∈N|－1<x<2}，则A∪B 等于( )
A．{x|－1<x<2}
B．{x|x<2}
C．{0,1}
D．{1}
答案 C
解析 由2x<4 可得x<2，
则A＝{x∈N*|2x<4}＝{1}，
B＝{x∈N|－1<x<2}＝{0,1}，
所以A∪B＝{0,1}．
3．(2022·娄底质检)集合M＝{(x，y)|2x－y＝0}，N＝{(x，y)|x＋y－3＝0}，则M∩N 等于(
)
A．{(2，－1)}
B．{2，－1}
C．{(1,2)}
D．{1,2}
答案 C
解析 联立
解得则M∩N＝{(1,2)}．
4．(2023·南京模拟)已知集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{y|y＝3x，x<1}，则A∩(∁RB)等于(
)
A．[3,7)
B．(－1,0]∪[3,7)
C．[7，＋∞)
D．(－∞，－1)∪[7，＋∞)
答案 B
解析 A＝{x|x2－6x－7<0}＝(－1,7)，
B＝{y|y＝3x，x<1}＝(0,3)，
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所以∁RB＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，
所以A∩(∁RB)＝(－1,0]∪[3,7)．
5．(2022·海南模拟)已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z 且x＋1∈A}，则B 等于( )
A．{－1,0,1}
B．{－2，－1,0}
C．{－2，－1,0,1}
D．{－2，－1,0,1,2}
答案 B
解析 因为集合A＝{x|x2≤1}，
所以A＝{x|－1≤x≤1}，
在集合B 中，由x＋1∈A，得－1≤x＋1≤1，即－2≤x≤0，又x∈Z，所以x＝－2，－1,0，
即B＝{－2，－1,0}．
6．(2022·怀仁模拟)已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>m}，若A∩(∁RB)＝∅，则实数m 的取
值范围为( )
A．(－∞，1]
B．(－∞，1)
C．[1，＋∞)
D．(1，＋∞)
答案 A
解析 由题知A∩(∁RB)＝∅，得A⊆B，则m≤1.
7．(多选)已知集合A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则实数m 的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 AD
解析 因为A∪B＝A，所以B⊆A.
因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m 或m＝3，解得m＝0 或m＝1 或m＝3.
当m＝0 时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
当m＝1 时，集合A、集合B 均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3 时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意．
综上，m＝0 或3.
8．(多选)已知全集U 的两个非空真子集A，B 满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(
)
A．A∩B＝∅
B．A∩B＝B
C．A∪B＝U
D．(∁UB)∪A＝A
答案 CD
解析 令U ＝{1,2,3,4} ，A ＝{2,3,4} ，B ＝{1,2} ，满足(∁UA)∪B ＝B ，但A∩B≠∅，
A∩B≠B，故A，B 均不正确；
由(∁UA)∪B＝B，知∁UA⊆B，
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∴U＝A∪(∁UA)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，
由∁UA⊆B，知∁UB⊆A，
∴(∁UB)∪A＝A，故C，D 均正确．
9．(2023·金华模拟)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁UT)＝
________，集合S 共有________个子集．
答案 {1,5} 8
解析 由题意可得∁UT＝{1,4,5}，
则S∩(∁UT)＝{1,5}．
集合S 的子集有23个，即8 个．
10.(2023·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则
Venn 图中阴影部分的集合为________．
答案 {－1,2,3}
解析 集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3<x－1<3}＝{x∈Z|－2<x<4}＝{－1,0,1,2,3}，
则Venn 图中阴影部分表示的集合是M∩(∁RN)＝{－1,2,3}．
11．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m 的值可能是
________．
答案 0，－，
解析 由x2＋x－6＝0，得x＝2 或x＝－3，
所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当B＝∅时，B⊆A 成立，此时方程mx＋1＝0 无解，得m＝0；
当B≠∅时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝，
因为B⊆A，所以－＝－3 或－＝2，
解得m＝或m＝－，
综上，m＝0，m＝或m＝－.
12．已知集合A＝{x|(x＋3)(x－3)≤0}，B＝{x|2m－3≤x≤m＋1}．当m＝－1 时，则A∪B＝
________；若A∩B＝B，则m 的取值范围为________．
答案 [－5,3] [0,2]∪(4，＋∞)
解析 A＝{x|－3≤x≤3}，
当m＝－1 时，B＝{x|－5≤x≤0}，
此时A∪B＝[－5,3]．
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由A∩B＝B 可知B⊆A.
若B＝∅，则2m－3>m＋1 解得m>4；
若B≠∅，则解得0≤m≤2，
综上所述，实数m 的取值范围为[0,2]∪(4，＋∞)．
13．(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B 可
能为( )
A．{2,3,4}
B．{3,4,5}
C．{4,5,6}
D．{3,5,6}
答案 BD
解析 由log2x<3 得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C 不正确；
若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A 不正确；
若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B 正确；
若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D 正确．
14．某小区连续三天举办公益活动，第一天有190 人参加，第二天有130 人参加，第三天有
180 人参加，其中，前两天都参加的有30 人，后两天都参加的有40 人．第一天参加但第二
天没参加活动的有________人，这三天参加活动的最少有________人．
答案 160 290
解析 根据题意画出Venn 图，如图所示，
a 表示只参加第一天的人，
b 表示只参加第二天的人，
c 表示只参加第三天的人，
d 表示只参加第一天与第二天的人，
e 表示只参加第一天与第三天的人，
f 表示只参加第二天与第三天的人，
g 表示三天都参加的人，
∴要使总人数最少，则令g 最大，其次d，e，f 也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，
∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160 人，
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∴gmax＝30，d＝0，f＝10，a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，
∴emax＝140，∴c＝0，a＝20，
则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)．
15．(多选)1872 年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理
数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认
为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q 划分为两个非空的
子集M 与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，
则称(M，N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是( )
A．M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}满足戴德金分割
B．M 没有最大元素，N 有一个最小元素
C．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素
D．M 没有最大元素，N 也没有最小元素
答案 BD
解析 对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，故A
错误；
对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M 没有最大元素，
N 有一个最小元素0，故B 正确；
对于选项C，若M 有一个最大元素m，N 有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)
使M∪N＝Q 不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C 错误；
对于选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M 没有最大元素，
N 也没有最小元素，故D 正确．
16．我们将b－a 称为集合{x|a≤x≤b}的“长度”．若集合M＝{x|m≤x≤m＋2 022}，N＝{x|
n－2 023≤x≤n}，且M，N 都是集合{x|0≤x≤2 024}的子集，则集合M∩N 的“长度”的最
小值为________．
答案 2 021
解析 由题意得，M 的“长度”为2 022，N 的“长度”为2 023，
要使M∩N 的“长度”最小，则M，N 分别在{x|0≤x≤2 024}的两端．
当m＝0，n＝2 024 时，得M＝{x|0≤x≤2 022}，N＝{x|1≤x≤2 024}，
则M∩N＝{x|1≤x≤2 022}，此时集合M∩N 的“长度”为2 022－1＝2 021；
当m＝2，n＝2 023 时，M＝{x|2≤x≤2 024}，N＝{x|0≤x≤2 023}，
则M∩N＝{x|2≤x≤2 023}，此时集合M∩N 的“长度”为2 023－2＝2 021.
故M∩N 的“长度”的最小值为2 021.
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