文档文本内容
广东省深圳市2021 年中考数学真题试卷
一、选择题（每题3 分，共30 分）（共10 题；共30 分）
1.如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“建”字所在面相对的面上
的字是（ ）
A. 跟 B.
百 C.
走 D. 年
2.
的相反数（ ）
A. 2021 B.
C. －2021 D.
3.不等式
的解集在数轴上表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.《你好，李焕英》的票房数据是：109，133，120，118，124，那么这组数据的中位数是（
）
A. 124 B. 120 C. 118 D. 109
5.下列运算中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.计算
的值为（ ）
A.
B. 0 C.
D.
7.《九章算术》中有问题：1 亩好田是300 元，7 亩坏田是500 元，一人买了好田坏田一共是
100 亩，花费了10000 元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x 元，一亩坏田为y
元，根据题意列方程组得（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在点F 处，看建筑物顶端D 的仰角为32°，向前走了15 米到达点E 即
米，在
点E 处看点D 的仰角为64°，则
的长用三角函数表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.二次函数
的图象与一次函数
在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
A.
B.
C.
D.
10.在矩形
中，
，点E 是
边的中点，连接
，延长
至点F ， 使得
，过点F 作
，分别交
、
于N、G 两点，连接
、
、
，
下列正确的是（ ）
①
； ②
； ③
； ④
．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（每题3 分，共15 分）（共5 题；共15 分）
11.因式分解：
________．
12.已知方程
的一个根是1，则m 的值为________．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
3
13.如图，已知
，
是角平分线且
，作
的垂直平分线交
于点F ， 作
，则
周长为________．
14.如图，已知反比例函数过A ， B 两点，A 点坐标
，直线
经过原点，将线段
绕点B 顺时针旋转90°得到线段
，则C 点坐标为________．
15.如图，在
中，D ， E 分别为
，
上的点，将
沿
折叠，得到
，连接
，
，
，若
，
，
，则
的长为________.
三、解答题（共55 分）（共7 题；共53 分）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
4
16.先化简再求值：
，其中
．
17.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1 个单位．
（1）过直线m 作四边形
的对称图形；
（2）求四边形
的面积．
18.随机调查某城市30 天空气质量指数（
），绘制成如下扇形统计图．
空气质量等级
空气质量指数
（
）
频数
优
m
良
15
中
9
差
n
（1）
________，
________；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这个一个月内的统计进行估测一年的
空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9 天．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
5
根据折线统计图，一个月（30 天）中有________天AQI 为中，估测该城市一年（以365 天计）中
大约有________天
为中．
19.如图，
为
的弦，D ， C 为
的三等分点，
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的长．
20.某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8 万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）
的关系如下表所示：
x（万元）10121416
y（件）40302010
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
21.探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2 倍、 倍、k 倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2 的正方形的2
倍？________（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2 的矩形的2 倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y ， 则依题意
，
，
联立
得
，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
6
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ：
， ：
，那么，
a ． 是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2 倍？
b ． 请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c ． 请直接写出当结论成立时k 的取值范围：．
22.在正方形
中，等腰直角
，
，连接
，H 为
中点，连接
、
、
，发现
和
为定值.
（1）①
▲
；
②
▲
.
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
7
③小明为了证明①②，连接
交
于O ， 连接
，证明了
和
的关系，请你
按他的思路证明①②.
（2）小明又用三个相似三角形（两个大三角形全等）摆出如图2，
，
（
）
求①
________（用k 的代数式表示）
②
________（用k、 的代数式表示）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
8
答案解析部分
一、选择题（每题3 分，共30 分）
1.【答案】 B
【考点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方
形，“建”与“百”是相对面，“党”与“年”是相对面，“跟”与“走”是相对面，
故答案为：B.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行解答，
即可得出答案.
2.【答案】 B
【考点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：-
的相反数是
.
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得出答案.
3.【答案】 D
【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：x-1＞2，
x
∴＞3，
在数轴上表示为 ：
故答案为：D.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出答案.
4.【答案】 B
【考点】中位数
【解析】【解答】解：从小到大排列：109，118，120，124，133，
∴这组数据的中位数是120.
故答案为：B.
【分析】中位数是将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处
于最中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数是这组数据的中位数，据此即可得出答案.
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
9
5.【答案】 A
【考点】同底数幂的除法，单项式乘单项式，合并同类项法则及应用，幂的乘方
【解析】【解答】解：A、2a2·a=2a3 ， 故A 正确；
B、（a2）
3=a6 ， 故B 错误；
C、a2和a3不是同类项，不能合并，故C 错误；
D、a6÷a2=a4 ， 故D 错误.
故答案为：A.
【分析】根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法
则，逐项进行判断，即可得出答案.
6.【答案】 C
【考点】特殊角的三角函数值，实数的绝对值
【解析】【解答】解：
.
故答案为：C.
【分析】把
代入，再根据绝对值的意义进行计算，即可得出答案.
7.【答案】 B
【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解： 设一亩好田为x 元，一亩坏田为y 元，
根据题意得：
.
故答案为：B.
【分析】设一亩好田为x 元，一亩坏田为y 元，根据题意找出等量关系，列出方程组即可.
8.【答案】 C
【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的判定，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠F=32°，∠DEC=64°，
EDF= DEC- F=64°-32°=32°= F
∴∠
∠
∠
∠，
DE=EF=15
∴
，
在Rt
DCE
△
中，
，
CD=
∴
.
故答案为：C.
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10
【分析】根据三角形的外角性质求出∠EDF=32°= F
∠，得出DE=EF=15，再根据锐角三角函数的
定义得出
， 即可得出答案.
9.【答案】 A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+1 的对称轴为直线x=- ， 一次函数y=2ax+b 与x 轴
的交点坐标为（- ， 0），
∴抛物线的对称轴与直线的交点为（- ， 0），
故A 符合题意.
故答案为：A.
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x=- ， 直线与x 轴的交点坐标为（- ， 0），得出抛物
线的对称轴与直线的交点为（- ， 0），逐项进行判断，即可得出答案.
10.【答案】 B
【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角
函数的定义
【解析】【解答】
故答案为：①
，①正确；
②∵
，
，
∴
，
∵
，
，
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
11
∴
（
），∴
，∴
，
∵
，
，
，
∴
（
），∴
，故②正确；
③∵
，
，∴
，
∵在
和
中：
，
，
∴
（
），∴
，
∵
，∴
，
又∵
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，
，
∴
，故③错误；
④由上述可知：
，
，∴
，
∵
，∴
，
∴
，故④正确．
故选B．
【分析】①先证出∠GFB= EDC
∠
，得出
， 即可判断①正确；
②先证出△DEC
FEM
△
≌
，得出EM=EC，从而得出DM=FC，进而证出△DMN
FCN
≌△
，得出
MN=NC，即可判断②正确；
③先证出MC GE
∥
，得出
， 再求出EF，CF 的长，得出
， 即
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
12
可判断③错误；
④先求出BF 的长，根据
， 求出GB 的长，利用
， 即可判断④正确.
二、填空题（每题3 分，共15 分）
11.【答案】 7（a+2）（a-2）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：7a2-28=7（a2-4）=7（a+2）（a-2）.
【分析】先提公因式7，再根据平方差公式分解因式，即可得出答案.
12.【答案】 2
【考点】二元一次方程的解
【解析】【解答】将
代入得：
，解得
【分析】根据一元二次方程根的定义把x=1 代入方程，得出关于m 的 一元一次方程，解方程
求出m 的值 ，即可得出答案.
13.【答案】
【考点】线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形，角平分线的定义
【解析】【解答】
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵
，
是角平分线
∴
∵
∴
，
∴
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DF=AF，根据角平分线的定义得出∠DAE=30°，从而
求出DE 和AE 的长，再利用△DEF 的周长=DE+DF+EF=AE+DE，即可得出答案.
14.【答案】 （4，-7）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
13
【考点】坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，
三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】设
：
，反比例：
将点A 代入可得：
；
联立可得：
过点B 作y 轴的平行线l
过点A ， 点C 作l 的垂线，分别交于D ， E 两点
则
利用“一线三垂直”易证
，
∴
．
【分析】利用待定系数法求出反比例函数和正比例函数的解析式，求出点B 的坐标，过点B 作
y 轴的平行线l，过点A、点C 作l 的垂线，垂足分别为D，E 两点，求出点D 的坐标，再证出
△ABD
BEC
≌△
，得出BE 和CE 的长，即可求出点C 的坐标.
15.【答案】
【考点】等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质
【解析】【解答】解法1：如图，延长
，交
于点G ，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
14
由折叠，可知
，
∵
，∴
，
延长
，
，交于点M ，
∵
，且
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
又易证
，
∴
，
∵
，
∴
．
解法2：如图，延长
，交
于点G ，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
15
由折叠，可知
，
∵
，
∴
，
∴
，
延长
，
，交于点M ，
∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
．
解法3：由题意易证点D 为
的中点，
如图，取
的中点M ， 连接
，
∴
，
，
∵
，
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
16
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，且
，
∴
．
解法4：由折叠，易证
，
∴
，∴
，
过点F 作
，交
延长线于点M ，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，∴
，
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
17
∴
，
∴
．
解法5：如图过点B 作
，交
于点M ，
∴四边形
为平行四边形，
且
，
由折叠，可知
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵四边形
为平行四边形，
∴
，
，
∵
，
∴
．
解法6：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
18
延长
至点M ， 使得
，连接
，
易证
，
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
【分析】解法1：延长ED，交CF 于点G，先证出四边形BFEM 为平行四边形，得出BM=10，再证
出AE=AM，利用AM=BM-AB，即可求出AE 的长；
解法2：根据平行线的性质和等腰三角形的判定得出EM=EF=10，AM=AB=4
， 再利用
AE=EM-AM，即可求出AE 的长；
解法3 ：取AC 的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
∠MED= MDE
∠
，得出EM=MD=2
， 从而求出AM 的长，利用AE=AM-EM，即可求出AE 的
长；
解法4：先证出四边形AMFE 为平行四边形，得出AM=EF=EC=10，AE=MF=MB，利用MB=AM-
AB ， 即可求出AE 的长；
解法5：过点B 作BM AC
∥
，交EF 于点M，先证出四边形ABME 为平行四边形，得出
AE=MB=MF，EM=AB=4
， 利用MF=EF-EM=EC-EM， 即可求出AE 的长；
解法6：延长ED 至点M，使得DM=ED ，连接BM，根据等角对等边证出BN=BM=10，AE=AN ,
利用AN=BN-AB，即可求出AE 的长.
三、解答题（共55 分）
16.【答案】 解：原式
当
时，原式
【考点】分式的混合运算，利用分式运算化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把x 的值代入进行计算，
即可得出答案.
17.【答案】 （1）解：如图所示：
（2）解：
【考点】三角形的面积，作图﹣轴对称
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
20
【解析】【解答】（2）S 四边形ABCD=S
ACB
△
+S
ACD
△
=
.
【分析】（1） 分别作出点A、B、C、D 关于直线m 的对称点A′、B′、C′、D′，顺次连接各点即可；
（2）利用S 四边形ABCD=S
ACB
△
+S
ACD
△
=
， 即可得出答案.
18.【答案】 （1）4；2
（2）
，
∴良的占比为50%；
（3）
，
∴差的圆心角为24°；
（4）9；100
【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）∵m+15+9+n=30，
m+n=6
∴
，
m
∵，n 为整数，m＞n，
m=5
∴
，n=1 或m=4，n=2，
m
∵：n=2：1，
m=4
∴
，n=2，
故答案为：4；2；
（4） ∵空气污染指数为中的有9 天，
∴
≈109（天），
∴估测该城市一年（以365 天计）中大约有109 天.
【分析】（1）根据题意得出m+n=6，结合扇形统计图中优与差的占比得出m=4，n=2；
（2）利用良的占比=
， 即可得出答案；
（3）利用差的圆心角=差的占比×360°，即可得出答案；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
21
（4）根据频数分布表得出空气污染指数为中的有9 天，求出中的占比，再乘以365，即可得出
答案.
19.【答案】 （1）证明：连接
，∵A、D、C、B 四点共圆
∴
又
∴
又
∴
∴
，又
∴四边形
为平行四边形
∴
（2）解：∵
，∴
又∵
，∴
又∵
，即
∴
，∴
【考点】平行四边形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形的性
质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出∠BAD= BCE
∠
，根据圆周角定理得出
∠BAD= ABC
∠
，从而得出∠ABC= BCE
∠
，证出AB CD
∥
，从而证出四边形ACEB 是平行四边形，即
可得出∠BAC= E
∠；
（2）根据等弧所对的弦相等得出CD=BD=3，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
22
20.【答案】 （1）解：
（2）解：
【考点】一次函数的实际应用，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1） 设y 与x 的函数关系式为y=kx+b，
当x=10 时，y=40，当x=12 时，y=30，
∴
，
解得
，
y
∴与x 的函数关系式为y=-5x+90；
（2）设利润为w 万元，
w=
∴
（x-8）（-5x+90）=-5x2+130x-720=-5（x-13）
2+125，
∴当x=13 时，w 有最大值，最大值为125，
∴当销售单价为13 元时，有最大利润，最大利润为125 万元.
【分析】（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b，利用待定系数法求出函数的表达式即可；
（2）设利润为w 万元，根据利润=一件的利润×销售量，得出二次函数，再根据二次函数的性
质求解即可.
21.【答案】 （1）不存在
（2）解：a 存在；
∵
的判别式
，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ：
， ：
在第一象限有两个交点，故存在；
b 设新矩形长和宽为x、y，则依题意
，
，联立
得
，
因为
，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
23
从图像来看， ：
， ：
在第一象限无交点，故不存在；
c.
；
设新矩形长和宽为x 和y，则由题意
，
，
联立
得
，
，故
．
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，反比例函数与一次函数的交点问题，相似多边形的
性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2 时，则面积比必定是4，所以不存在；
【分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形
不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样
的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10 与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可
得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程
根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+ 与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
24
样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程
根的判别式△≥0，求出k 的取值范围，即可得出答案.
22.【答案】 （1）解：①
；②45°；③证明：如图所示：
由正方形性质得：
，O 为
的中点
又∵H 为
的中点，则
，
∴
是等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴
，又∵
∴
又
∴
，又∵
∴
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
25
∴
，
∴
（2）；
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定
义
【解析】【解答】解：（2）①如图，连接AC，交BD 于点O，连接OH，
BCD
DAB
∵△
≌△
，
BC=AD
∴
，CD=AB，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
OD=
∴
BD，OA=OC，
H
∵
为CE 的中点 ，
OH AE
∴
∥
，OH= AE，
HOC= EAC
∴∠
∠
，
COD= BDA+ DAC
∵∠
∠
∠
，∠BAD= EAF
∠
，
HOD= HOC+ COD=
EAC+ EAF+ DAC= DAF
∴∠
∠
∠
∠∠
∠
∠
∠
，
∵
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
26
∴
，
，
DAF
DOH
∴△
△
∽
，
∴
，
故答案为：；
②如图，过点H 作HM DF
⊥
于点M，
HMD= HMF=90°
∴∠
∠
，
DAF
DOH
∵△
∽△
，
HDO= ADF
∴∠
∠
，
HDF= HOD+ ODF= ADF+ ODF= BDA=
∴∠
∠
∠
∠
∠
∠
，
HM=OH·
∴
， DM=OH·
，
∵
，
FD=
∴
，
HF
∵
2=HM2+MF2=HM2+（DF-DM）
2 ，
=（OH·
）
2+（
-OH·
）
2 ，
=
,
∴
，
故答案为：
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
27
【分析】（1）①先证出
， ∠BOH= BAF
∠
，从而得出△DAF
DOH
∽△
，即可得出
；
②根据△DAF
DOH
∽△
，得出∠HBO= FBA
∠
，利用∠HBF= HBO+ DBF= DBA=45°
∠
∠
∠
，即可得出答
案；
（2）①连接AC，交BD 于点O，连接OH，先证出∠HOD= DAF
∠
，
， 从而得出
△DAF
DOH
∽△
，即可得出
；
②过点H 作HM DF
⊥
于点M，先证出∠HDF= ， 再根据锐角三角函数定义得出HM=OH·
， DM=OH·
， 由
， 得出FD=
， 利用勾股定理得出HF2=HM2+（DF-DM）
2
， 代入进行化简，求出HF2=
， 即可求出
.
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
28
