文档文本内容
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
参考答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答
案写在答题卡上.写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1. A 2. A 3. C. 4. D 5. B 6. B 7. A 8. D 9. C 10.D 11. C 12.
D
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．
13.
14.
或
或
或
；
15.
16.
三、解答题：共0 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共60 分．
17.
（1）
证明：因为
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
；
（2）
解：因为
，
由（1）得
，
由余弦定理可得
，
则
，
所以
，
故
，
所以
，
所以
的周长为
.
18.
（1）
因为
，E 为
的中点，所以
；
在
和
中，因为
，
所以
，所以
，又因为E 为
的中点，所以
；
又因为
平面
，
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）
连接
，由（1）知，
平面
，因为
平面
，
所以
，所以
，
当
时，
最小，即
的面积最小.
因为
，所以
，
又因为
，所以
是等边三角形，
因为E 为
的中点，所以
，
，
因为
，所以
,
在
中，
，所以
.
以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
又因为
，所以
，
所以
，
设
与平面
所成的角的正弦值为
，
所以
，
所以
与平面
所成的角的正弦值为
.
19.
（1）
样本中10 棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10 棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为
，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）
设该林区这种树木的总材积量的估计值为
，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得
，解之得
．
则该林区这种树木的总材积量估计为
20.
（1）
解：设椭圆E 的方程为
，过
，
则
，解得
，
，
所以椭圆E 的方程为：
.
（2）
，所以
，
①若过点
的直线斜率不存在，直线
.代入
，
可得
，
，代入AB 方程
，可得
，由
得到
.求得HN 方程：
，过点
.
②若过点
的直线斜率存在，设
.
联立
得
，
可得
，
，
且
联立
可得
可求得此时
，
将
，代入整理得
，
将
代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN 过定点
21.
（1）
的定义域为
当
时,
,所以切点为
,所以切线斜率为2
所以曲线
在点
处的切线方程为
（2）
设
若
,当
,即
所以
在
上单调递增,
故
在
上没有零点,不合题意
若
,当
,则
所以
在
上单调递增所以
,即
所以
在
上单调递增,
故
在
上没有零点,不合题意
若
(1)当
,则
,所以
在
上单调递增
所以存在
,使得
,即
当
单调递减
当
单调递增
所以
当
当
所以
在
上有唯一零点
又
没有零点,即
在
上有唯一零点
(2)当
设
所以
在
单调递增
所以存在
,使得
当
单调递减
当
单调递增,
又
所以存在
,使得
,即
当
单调递增,当
单调递减
有
而
,所以当
所以
在
上有唯一零点,
上无零点
即
在
上有唯一零点
所以
,符合题意
所以若
在区间
各恰有一个零点,求
的取值范围为
（二）选考题，共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，
则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.
（1）
因
l：
，所以
，
又因为
，所以化简为
，
整理得l 的直角坐标方程：
（2）
联立l 与C 的方程，即将
，
代入
中，可得
，
所以
，
化简为
，
要使l 与C 有公共点，则
有解，
令
，则
，令
，
，
对称轴为
，开口向上，
所以
，
，
所以
m 的取值范围为
.
[选修4-5：不等式选讲]
23.
（1）
证明：因为
，
，
，则
，
，
，
所以
，
即
，所以
，当且仅当
，即
时取等号．
（2）
证明：因为
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
当且仅当
时取等号．
