文档文本内容
绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试
卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1 若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10 位社区居民，让
他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确
率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3. 设全集
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为
（ ）
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
5. 函数
在区间
的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A.
B.
C.
D. 1
7. 在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，则（ ）
A.
B. AB 与平面
所成的角为
C.
D.
与平面
所成的角为
8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在
上，
．“会圆术”给出
的弧
长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A
B.
C.
D.
11. 设函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
12. 已知
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13. 设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
_________．
14. 若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________．
15. 从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率为________．
16. 已知
中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值时，
________．
三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60 分．
17. 记
为数列
的前n 项和．已知
．
（1）证明：
等差数列；
（2）若
成等比数列，求
的最小值．
18. 在四棱锥
中，
底面
．
（1）证明：
；
（2）求PD 与平面
所成的角的正弦值．
19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0 分，没有平局．
三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，
0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
20. 设抛物线
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M，N 两点．当直线MD
垂直于x 轴时，
．
（1）求C 的方程；
（2）设直线
与C 的另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得最大值时，求直线AB 的方程．
21. 已知函数
．
（1）若
，求a
取值范围；
（2）证明：若
有两个零点
，则环
．
（二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（t 为参数），曲线
的参数方程为
（s 为参数）．
（1）写出
的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
极坐标方程为
，
求
与
交点的直角坐标，及
与
交点的直角坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知a，b，c 均为正数，且
，证明：
（1）
；
（2）若
，则
．
