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§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的
必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反
角．角α 的相反角记为－
α .
(4)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋
k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度单位用符号rad 表示．
(2)公式
角α 的弧度数公式
|α|＝(弧长用l 表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝| α | r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
1
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设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r，则sin α＝，cos α
＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－是第三象限角．( × )
(2)若角α 的终边过点P(－3,4)，则cos α＝－.( √ )
(3)若sin α>0，则α 是第一或第二象限角．( × )
(4)若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为.( √ )
教材改编题
1. －660°等于( )
A．－π rad
B．－π rad
C．－π rad
D．－π rad
答案 C
解析 －660°＝－660× rad＝－π rad.
2．某次考试时间为120 分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
答案 －4π
解析 某次考试时间为120 分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，
即－4π.
3．已知角α 的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
2
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答案 － －
解析 因为x＝2，y＝－3，所以点P 到原点的距离r＝＝.则sin α＝＝＝－，tan α＝＝－.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2023·宁波模拟)若α 是第二象限角，则( )
A．－α 是第一象限角
B.是第三象限角
C.＋α 是第二象限角
D．2α 是第三或第四象限角或在y 轴负半轴上
答案 D
解析 因为α 是第二象限角，可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，此时－α 位于第三象限，所以A 错误；
对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k 为偶数时，位于第一象限；当k 为奇数时，位于第三象限，所以B 错误；
对于C，可得2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，
即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α 位于第一象限，所以C 错误；
对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α 是第三或第四象限角或在y 轴负半轴上，
所以D 正确．
延伸探究 若α 是第一象限角，则是第几象限角？
解 因为α 是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，
所以k·180°<<k·180°＋45°，k∈Z，
当k 为偶数时，是第一象限角，
当k 为奇数时，是第三象限角．
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
答案 －675°和－315°
解析 所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
当k＝－1 时，β＝45°－360°＝－315°，
当k＝－2 时，β＝45°－2×360°＝－675°.
思维升华 确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα 或的范围，然后根据k 的可能取值确定kα 或的终边所在位置．
跟踪训练1 (1)“α 是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当α 是第四象限角时，＋2kπ<α<2π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，即是第二
或第四象限角．当＝为第二象限角时，α＝不是第四象限角，故“α 是第四象限角”是“是
第二或第四象限角”的充分不必要条件．
(2)(2021·北京)若点P(cos θ，sin θ)与点Q 关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ＝
________.
答案
解析 ∵P(cos θ，sin θ)与Q
关于y 轴对称，
即θ，θ＋关于y 轴对称，
θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋，k∈Z，
当k＝0 时，可取θ 的一个值为.
题型二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S 的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
解 (1)α＝35°＝35× rad＝π rad，
扇形的弧长l＝αr＝π×8＝π(cm)．
(2)方法一 由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)，
则S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝＝2，
∴S 的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad.
方法二 S＝lr＝l·2r≤·2＝16，
当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S 的最大值是16 cm2.
此时扇形的圆心角α＝2 rad.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
跟踪训练2 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环
面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD 与
，
的长度之和为30，圆心角为θ 弧度．
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(1)求θ 关于x 的函数表达式；
(2)记铭牌的截面面积为y，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值．
解 (1)根据题意，可算得
＝θx，
＝10θ.
因为AB＋CD＋
＋
＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，
所以θ＝(0<x<10)．
(2)根据题意，可知y＝S 扇形AOD－S 扇形BOC＝θ·(102－x2)＝×＝(x＋5)(10－x)＝－x2＋5x＋50＝－2
＋，
当x＝时，ymax＝.
综上所述，当x＝时，铭牌的截面面积最大，且最大面积为.
题型三 三角函数的概念
例3 (1)(多选)已知角θ 的终边经过点(－2，－)，且θ 与α 的终边关于x 轴对称，则下列选
项正确的是( )
A．sin θ＝－
B．α 为钝角
C．cos α＝－
D．点(tan θ，sin α)在第一象限
答案 ACD
解析 角θ 的终边经过点(－2，－)，sin θ＝－，A 正确；
θ 与α 的终边关于x 轴对称，由题意得α 的终边经过点(－2，)，α 为第二象限角，不一定为
钝角，cos α＝－，B 错误，C 正确；
因为tan θ＝>0，sin α＝>0，所以点(tan θ，sin α)在第一象限，D 正确．
(2)已知角θ 的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a 的值是( )
A．－2
B.
C．－2 或
D．1
答案 B
解析 由题设可知，＝且2a＋1>0，即a>－，
∴＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2 或a＝，又a>－，
∴a＝.
(3)若sin αtan α<0，且>0，则角α 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
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答案 B
解析 由sin αtan α<0，知α 是第二象限或第三象限角，
由>0，知α 是第一象限或第二象限角，
所以角α 是第二象限角．
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α 终边上一点P 的坐标，可以求出α 的三角函
数值；已知角α 的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标
轴上的情况．
跟踪训练3 (1)若角α 的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α 的值是( )
A．－
B.
C．－
D.或－
答案 D
解析 若α 的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，
则cos α＝＝＝
sin α＝＝＝
所以2sin α－cos α＝
(2)sin 2cos 3tan 4 的值( )
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
答案 A
解析 ∵<2<3<π<4<，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.
(3)若A(1，a)是角θ 终边上的一点，且sin θ＝，则实数a 的值为________．
答案
解析 根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝，
所以sin θ＝＝>0，即a>0 且a2＝11，所以a＝.
课时精练
1．与－2 023°终边相同的最小正角是( )
A．137° B．133° C．57° D．43°
答案 A
解析 因为－2 023°＝－360°×6＋137°，
所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°.
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2．(2023·合肥模拟)在平面直角坐标系中，若角θ 的终边经过点P，则cos θ 等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 由角θ 的终边经过点P，即P，
所以cos θ＝＝－.
3．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π)．若一个半径
为1 的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由图可知，α＝×2π＝，所以该扇形的面积S＝××12＝.
4．(2023·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ 所在的象限为(
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 B
解析 ∵点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，
∴即∴角θ 所在的象限是第二象限．
5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号
探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，
嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，
嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转
弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)( )
A．1 069 千米
B．1 119 千米
C．2 138 千米
D．2 238 千米
答案 D
解析 嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1 738＝2 138(千米)，
所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为l＝αr＝×2 138≈×2 138≈2 238(千米)．
6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代．某屏风工艺厂设计了一款造型
优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6 m，内环弧长为1.2 m，径长(外环半径与内
环半径之差)为1.2 m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为( )
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A．2.58 m2
B．2.68 m2
C．2.78 m2
D．2.88 m2
答案 D
解析 设扇形的圆心角为α，内环半径为r m，外环半径为R m，则R－r＝1.2(m)，
由题意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，
所以α(R＋r)＝4.8，
所以扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为S＝α(R2－r2)＝α(R＋r)(R－r)
＝×4.8×1.2＝2.88(m2)．
7．(2023·安阳模拟)已知角α 的终边上一点P 的坐标为，则角α 的最小正值为________．
答案
解析 因为sin >0，cos <0，
所以角α 的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin α＝cos ＝－，
故角α 的最小正值为α＝2π－＝.
8.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形
的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到
莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________．
答案 2π－2
解析 由条件可知，弧长
＝
＝
＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则
以点A，B，C 为圆心，圆弧AB，BC，AC 所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC 的面
积S＝×2×＝.
所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.
9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
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(1)试判断角α 所在的象限；
(2)若角α 的终边上一点M，且|OM|＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α 的值．
解 (1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α 是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α 为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
10．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，角α 的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于
点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B 的横坐标为－，求sin α 的值和与角α 终边相同的角β 的集合；
(2)若α∈，请写出弓形AB 的面积S 与α 的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对
的弧组成的图形)
解 (1)由题意知，若点B 的横坐标为－，可得B 的坐标为，∴sin α＝，
于是α＝＋2kπ，k∈Z，
与角α 终边相同的角β 的集合为.
(2)△AOB 的高为1×cos ，AB＝2sin ，
故S△AOB＝×2sin ×cos ＝sin α，
故弓形AB 的面积S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈.
11．在平面直角坐标系中，若α 与β 的终边互相垂直，那么α 与β 的关系式为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)
D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
答案 D
解析 ∵α 与β 的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．
12．(多选)已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x 可能位于的区间是( )
A.
B.
C.
D.
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答案 AD
解析 由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所以
－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0 时，x 所在的一个区间是，当k＝1 时，x 所在的一个区间是.
13．已知△ABC 为锐角三角形，若角θ 的终边过点P(sin A－cos B，cos A－sin C)，则＋＋
的值为( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案 B
解析 因为△ABC 为锐角三角形，所以A＋B>，A＋C>，即A>－B，C>－A，
所以sin A>cos B，sin C>cos A，
所以θ 是第四象限角，
所以＋＋＝－1＋1－1＝－1.
14．在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2 分37 秒348 的成绩获得金牌．
如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5 m，直道长为28.85 m，点O
为半圆的圆心，点N 为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑
比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P 点处成功超过所有对手，并领先到达终
点Q(终点Q 为直道的中点)．若从P 点滑行到Q 点的距离为31.425 m，则∠PON 等于( )
A. B. C．2 D.
答案 C
解析 扇形PON 的弧长为31.425－×28.85＝17，故∠PON＝＝2.
15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222 年，赵爽在注解《周髀
算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与
一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正
方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α 的值为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设直角三角形的短直角边为x，一个直角三角形的面积为＝20，
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小正方形的面积为20，则边长为2.大正方形的面积为100，则边长为10.
直角三角形的面积为·x(x＋2)＝20⇒x＝2.
则直角三角形的长直角边为4.故sin α＝，
cos α＝，即sin αcos α＝.
16．如图，点P 是半径为2 的圆O 上一点，现将如图放置的边长为2 的正方形ABCD(顶点A
与P 重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A 离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A 再次
回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A 第一次回到点P 的位置时，正方形滚
动了________轮，此时点A 走过的路径的长度为________．
答案 3 (＋2)π
解析 正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，
顶点两次回到点P 时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，
又4 和6 的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，
所以到点A 首次与P 重合时，正方形滚动了3 轮．
这一轮中，点A 路径A→A′→A″→A 是圆心角为，半径分别为2,2，2 的三段弧，故路径长
l＝·(2＋2＋2)＝，
所以点A 与P 重合时总路径长为(＋2)π.
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