2021 年江西省中考数学试卷
一、选择题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分.每小题只有一个正确选项）
1．﹣2 的相反数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
2．如图，几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．计算
的结果为（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
4．如图是2020 年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（
）
A．一线城市购买新能源汽车的用户最多
B．二线城市购买新能源汽车用户达37%
C．三四线城市购买新能源汽车用户达到11 万
D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二
次函数y＝ax2+bx+c 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分
别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形
的个数为（ ）
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2
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
7．国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5 月11 日发布，江西人口数约为45100000
人，将45100000 用科学记数法表示为 ．
8．因式分解：x2﹣4y2＝ ．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0 的两根，则x1+x1﹣x1x2＝ ．
10．如表在我国宋朝数学家杨辉1261 年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这
个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 ．
11．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F，若∠B＝
80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD 的周长为 ．
12．如图，在边长为6
的正六边形ABCDEF 中，连接BE，CF，其中点M，N 分别为BE
和CF 上的动点．若以M，N，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该
等边三角形的边长为 ．
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3
三、（本大题共5 小题，每小题6 分，共30 分）
13．（6 分）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣
|；
（2）如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，
ED⊥AB 于点D，求证：AD＝BD．
14．（6 分）解不等式组：
并将解集在数轴上表示出来．
15．（6 分）为庆祝建党100 周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决
定从A，B，C，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四
名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀
后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取
第二张，记下名字．
（1）“A 志愿者被选中”是 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B 两名志
愿者被选中的概率．
16．（6 分）已知正方形ABCD 的边长为4 个单位长度，点E 是CD 的中点，请仅用无刻度
直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1 中，将直线AC 绕着正方形ABCD 的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2 中，将直线AC 向上平移1 个单位长度．
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4
17．（6 分）如图，正比例函数y＝x 的图象与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A
（1，a）在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C 坐标为（﹣2，0）．
（1）求k 的值；
（2）求AB 所在直线的解析式．
四、（本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分）
18．（8 分）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400 元购买的商品数量
比乙用3000 元购买的商品数量少10 件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20 元/件，甲购买商品的总
价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是
元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，
结合（2）的计算结果，建议按相同 加油更合算（填“金额”或“油量”）．
19．（8 分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行
了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g 的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价
格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20 只鸡腿，它们的质
量（单位：g）如下：
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5
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，
79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，
79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x
（g）
频数
频率
68≤x＜
71
2
0.1
71≤x＜
74
3
0.15
74≤x＜
77
10
a
77≤x＜
80
5
0.25
合计
20
1
分析上述数据，得到下表：
统计量
厂家
平均数
中位数
众数
方差
甲厂
75
76
b
6.3
乙厂
75
75
77
6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供
参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000 只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77 的鸡
腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
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20．（8 分）图1 是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2 是其侧面示
意图，其中枪柄BC 与手臂MC 始终在同一直线上，枪身BA 与额头保持垂直．量得胳膊
MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M 与枪身端点A 之间的水平宽度为25.3cm（即MP 的
长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC 的度数；
（2）测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为3~5cm．在图2 中，若测得∠BMN＝
68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规
定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，
≈1.414）
五、（本大题共2 小题，每小题9 分，共18 分）
21．（9 分）如图1，四边形ABCD 内接于⊙O，AD 为直径，点C 作CE⊥AB 于点E，连接
AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
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7
（2）若CE 是⊙O 的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO 的形状，并说明理由；
②当AB＝2 时，求AD，AC 与
围成阴影部分的面积．
22．（9 分）二次函数y＝x2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A．
感知特例
（1）当m＝1 时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x 上的点B，O，C，A，D 分别关于点A
中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：
… B（﹣1，3）
O（0，
0）
C（1，﹣1）
A（ ， ）
D（3，
3）
…
… B'（5，﹣3）O′（4，
0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，
﹣3）
…
①补全表格；
②在图1 中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L'是L
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的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2 时，图2 中的抛物线L'是抛物线L 的“孔像抛物
线”．
探究问题
（2）①当m＝﹣1 时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x 的增大而
减小，则x 的取值范围为 ；
②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次
函数y＝x2﹣2mx 的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是
（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y＝m 有且只有三个交点，求m
的值．
六、（本大题共12 分）
23．（12 分）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1 即可
证明，其中与∠A 相等的角是 ；
类比迁移
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9
（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC 与∠ADC 互余，小明发现四边形ABCD 中这
对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C 作CE⊥DF
于点E，连接AE，发现AD，DE，AE 之间的数量关系是 ；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD 中，连接AC，∠BAC＝90°，点O 是△ACD 两边垂直平
分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，
＝2，求BD 的长（用含m，n 的式子表
示）．
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2021 年江西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分.每小题只有一个正确选项）
1．﹣2 的相反数是（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2 的相反数是2．
故选：A．
2．如图，几何体的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据简单组合体的三视图的画法得出该组合体的主视图即可．
【解答】解：从正面看该组合体，长方体的主视图为长方形，圆柱体的主视图是长方形，
因此选项C 中的图形符合题意，
故选：C．
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3．计算
的结果为（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝1，
故选：A．
4．如图是2020 年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（
）
A．一线城市购买新能源汽车的用户最多
B．二线城市购买新能源汽车用户达37%
C．三四线城市购买新能源汽车用户达到11 万
D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少
【分析】根据扇形统计图中的数据一一分析即可判断．
【解答】解：A、一线城市购买新能源汽车的用户最多，故本选项正确，不符合题意；
B、二线城市购买新能源汽车用户达37%，故本选项正确，不符合题意；
C、由扇形统计图中的数据不能得出三四线城市购买新能源汽车用户达到11 万，故本选
项错误，符合题意；
D、四线城市以下购买新能源汽车用户最少，故本选项正确，不符合题意；
故选：C．
5．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二
次函数y＝ax2+bx+c 的图象可能是（ ）
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12
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜
0，由此即可得出：二次函数y＝ax2﹣bx+c 的图象开口向上，对称轴x＝﹣
＜0，与y
轴的交点在y 轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2﹣bx+c 的图象开口向上，对称轴x＝﹣
＜0，与y 轴的交点在y 轴
负半轴．
故选：D．
6．如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分
别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形
的个数为（ ）
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13
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】能拼剪为等腰梯形，等腰直角三角形，矩形，由此即可判断．
【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3 个．
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
7．国务院第七次全国人口普查领导小组办公室5 月11 日发布，江西人口数约为45100000
人，将45100000 用科学记数法表示为
4.51×10
7
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：45100000＝4.51×107，
故答案为：4.51×107．
8．因式分解：x2﹣4y2＝ （
x +2
y ）（
x ﹣
2 y ）
．
【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0 的两根，则x1+x1﹣x1x2＝
1
．
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【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0 的两根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝3．
则x1+x2﹣x1x2＝4﹣3＝1．
故答案是：1．
10．如表在我国宋朝数学家杨辉1261 年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这
个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是
3
．
【分析】根据表中的数据和数据的变化特点，可以发现：每一行中间的数字都等于这个
数字上一行左上角和右上角的数字之和，然后即可写出第四行空缺的数字．
【解答】解：由表可知，每一行中间的数字都等于这个数字上一行左上角和右上角的数
字之和，
故第四行空缺的数字是1+2＝3，
故答案为：3．
11．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F，若∠B＝
80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则▱ABCD 的周长为
4 a +2
b
．
【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD 为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC 为等腰三
角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC 中，由三角形内角和
定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC 为等腰三角形．
所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD 的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝
4a+2b．
【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD 为平行四边形．
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∴∠D＝80°．
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
又AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠DAC，
∴△AFC 为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a．
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，
∴∠DAC＝2x，
在△ADC 中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，
解得：x＝20°．
∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
故△DFC 为等腰三角形．
∴DC＝FC＝a．
∴AD＝AF+FD＝a+b，
故平行四边形ABCD 的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b．
故答案为：4a+2b．
12．如图，在边长为6
的正六边形ABCDEF 中，连接BE，CF，其中点M，N 分别为BE
和CF 上的动点．若以M，N，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该
等边三角形的边长为
9 或
10
或
18
．
【分析】连接DF,DB,BF．则△DBF 是等边三角形．解直角三角形求出DF,可得结论．当
点N 在OC 上，点M 在OE 上时，求出等边三角形的边长的最大值，最小值，可得结论．
【解答】解：连接DF,DB,BF．则△DBF 是等边三角形．
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设BE 交DF 于J．
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝6
,
∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6
×
＝9,
∴DF＝18,
∴当点M 与B 重合，点N 与F 重合时，满足条件，
∴△DMN 的边长为18，
如图，当点N 在OC 上，点M 在OE 上时，
等边△DMN 的边长的最大值为6
≈10.39，最小值为9，
∴△DMN 的边长为整数时，边长为10 或9，
综上所述，等边△DMN 的边长为9 或10 或18．
故答案为：9 或10 或18．
三、（本大题共5 小题，每小题6 分，共30 分）
13．（6 分）（1）计算：（﹣1）2﹣（π﹣2021）0+|﹣
|；
（2）如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E，
ED⊥AB 于点D，求证：AD＝BD．
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【分析】(1)根据乘方的意义、零指数幂和绝对值的意义计算；
（2）先证明∠A＝∠ABE 得到△ABE 为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结
论．
【解答】（1）解：原式＝1﹣1+
＝
；
(2)证明：∵BE 平分∠ABC 交AC 于点E，
∴∠ABE＝
∠ABC＝
×80°＝40°，
∵∠A＝40°，
∴∠A＝∠ABE，
∴△ABE 为等腰三角形，
∵ED⊥AB，
∴AD＝BD．
14．（6 分）解不等式组：
并将解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣3≤1，得：x≤2，
解不等式
＞﹣1，得：x＞﹣4，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
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18
15．（6 分）为庆祝建党100 周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决
定从A，B，C，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加．抽签规则：将四
名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀
后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取
第二张，记下名字．
（1）“A 志愿者被选中”是 随机 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；
（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A，B 两名志
愿者被选中的概率．
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果数，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式
求解即可．
【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：
A
B
C
D
A
﹣﹣﹣
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
﹣﹣﹣
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
﹣﹣﹣
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
﹣﹣﹣
由表可知，共有12 种等可能结果，其中A，B 两名志愿者被选中的有2 种结果，
所以A，B 两名志愿者被选中的概率为
＝
．
16．（6 分）已知正方形ABCD 的边长为4 个单位长度，点E 是CD 的中点，请仅用无刻度
直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1 中，将直线AC 绕着正方形ABCD 的中心顺时针旋转45°；
（2）在图2 中，将直线AC 向上平移1 个单位长度．
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【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可作出图形；
（2）根据平移的性质即可作出图形．
【解答】解：（1）如图1，直线l 即为所求；
（2）如图2 中，直线a 即为所求．
17．（6 分）如图，正比例函数y＝x 的图象与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A
（1，a）在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C 坐标为（﹣2，0）．
（1）求k 的值；
（2）求AB 所在直线的解析式．
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20
【分析】(1)先求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得k 的值；
（2）作AD⊥x 轴于D,BE⊥x 轴于E,通过证得△BCE≌△CAD，求得B(﹣3,3),然后根据
待定系数法即可求得直线AB 的解析式．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝x 的图象经过点A（1，a），
∴a＝1,
∴A(1,1),
∵点A 在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，
∴k＝1×1＝1；
(2)作AD⊥x 轴于D,BE⊥x 轴于E,
∵A(1,1),C(﹣2,0),
∴AD＝1,CD＝3,
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°,
∵∠ACD+∠CAD＝90°,
∴∠BCE＝∠CAD,
在△BCE 和△CAD 中，
,
∴△BCE≌△CAD(AAS),
∴CE＝AD＝1,BE＝CD＝3,
∴B(﹣3,3),
设直线AB 的解析式为y＝mx+n,
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21
∴
,解得
,
∴直线AB 的解析式为y＝﹣
+
．
四、（本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分）
18．（8 分）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400 元购买的商品数量
比乙用3000 元购买的商品数量少10 件．
（1）求这种商品的单价；
（2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20 元/件，甲购买商品的总
价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是
48
元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是
50
元/件．
（3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，
结合（2）的计算结果，建议按相同 金额 加油更合算（填“金额”或“油量”）．
【分析】(1)设这种商品的单价为x 元/件．根据“甲用2400 元购买的商品数量比乙用
3000 元购买的商品数量少10 件”找到相等关系，列出方程,解出方程即可得出答案；
(2)先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和乙购买的总价，再用两次总价和除以两
次的数量和即可得出两次的平均单价；
（3）通过比较（2）的计算结果即可得出答案．
【解答】(1)解：设这种商品的单价为x 元/件．
由题意得：
,
解得：x＝60,
经检验：x＝60 是原方程的根．
答：这种商品的单价为60 元/件．
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22
（2）解：第二次购买该商品时的单价为：60﹣20＝40（元/件），
第二次购买该商品时甲购买的件数为：2400÷40＝60（件），第二次购买该商品时乙购
买的总价为：（3000÷60）×40＝2000（元），
∴甲两次购买这种商品的平均单价是：2400×2÷（
）＝48（元/件），乙两次
购买这种商品的平均单价是：（3000+2000）÷（
×2）＝50（元/件）．
故答案为：48；50．
（3）解：∵48＜50,
∴按相同金额加油更合算．
故答案为：金额．
19．（8 分）为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行
了划分．某外贸公司要出口一批规格为75g 的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价
格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了20 只鸡腿，它们的质
量（单位：g）如下：
甲厂：76，74，74，76，73，76，76，77，78，74，76，70，76，76，73，70，77，
79，78，71；
乙厂：75，76，77，77，78，77，76，71，74，75，79，71，72，74，73，74，70，
79，75，77．
甲厂鸡腿质量频数统计表
质量x
（g）
频数
频率
68≤x＜
71
2
0.1
71≤x＜
74
3
0.15
74≤x＜
77
10
a
77≤x＜
80
5
0.25
合计
20
1
分析上述数据，得到下表：
统计量
平均数
中位数
众数
方差
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23
厂家
甲厂
75
76
b
6.3
乙厂
75
75
77
6.6
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）a＝
0.5
，b＝
76
；
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供
参考建议；
（4）某外贸公司从甲厂采购了20000 只鸡腿，并将质量（单位：g）在71≤x＜77 的鸡
腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出a 的值，根据众数的意义可求
出b 的值；
（2）求出乙厂鸡腿质量在74≤x＜77 的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数、众数、平均数综合进行判断即可；
（4）求出甲厂鸡腿质量在71≤x＜77 的鸡腿数量所占的百分比即可．
【解答】解：（1）2÷0.1＝20（个），a＝10÷20＝0.5，
甲厂鸡腿质量出现次数最多的是76g，因此众数是76，即b＝76，
故答案为：0.5，76；
（2）20﹣1﹣4﹣7＝8（个），补全频数分布直方图如下：
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24
（3）两个厂的平均数相同，都是75g，而甲厂的中位数、众数都是76g，接近平均数且
方差较小，数据的比较稳定，因此选择甲厂；
（4）20000×0.15＝3000（只），
答：从甲厂采购了20000 只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有3000 只．
20．（8 分）图1 是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2 是其侧面示
意图，其中枪柄BC 与手臂MC 始终在同一直线上，枪身BA 与额头保持垂直．量得胳膊
MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M 与枪身端点A 之间的水平宽度为25.3cm（即MP 的
长度），枪身BA＝8.5cm．
（1）求∠ABC 的度数；
（2）测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为3~5cm．在图2 中，若测得∠BMN＝
68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规
定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，
≈1.414）
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25
【分析】(1)过点B 作BH⊥MP,垂足为H,根据解直角三角形cos∠BMH＝
＝
＝
0.4,即可计算出∠BMH 的度数，再根据平行线的性质即可算出∠ABC 的度数；
（2）根据（1）中的结论和已知条件可计算出∠NMI 的度数，根据三角函数即可算出
MI 的长度，再根据已知条件即可算出PK 的长度，即可得出答案．
【解答】解：(1)过点B 作BH⊥MP,垂足为H,过点M 作MI⊥FG,垂足为I，过点P 作
PK⊥DE,垂足为K,
∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，
∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8(cm)，
在Rt△BMH 中，
cos∠BMH＝
＝
＝0.4,
∴∠BMH＝66.4°，
∵AB∥MP,
∴∠BMH+∠ABC＝180°,
∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；
(2)∴∠ABC＝180°﹣∠BMH＝180°﹣66.4°＝113.6°．
∵∠BMN＝68.6°,∠BMH＝66.4°,
∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°,
∵MN＝28cm，
∴cos45°＝
＝
,
∴MI≈19.74cm，
∵KI＝50cm,
∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.74﹣25.3＝4.96≈5.0(cm），
∴此时枪身端点A 与小红额头的距离是在规定范围内．
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五、（本大题共2 小题，每小题9 分，共18 分）
21．（9 分）如图1，四边形ABCD 内接于⊙O，AD 为直径，点C 作CE⊥AB 于点E，连接
AC．
（1）求证：∠CAD＝∠ECB；
（2）若CE 是⊙O 的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO 的形状，并说明理由；
②当AB＝2 时，求AD，AC 与
围成阴影部分的面积．
【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO 是平行四边形，
即可得出结论；
②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠CBE＝∠D，
∵AD 为⊙O 的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠D+∠CAD＝90°，
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27
∴∠CBE+∠CAD＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE；
(2)①四边形ABCO 是菱形，理由：
∵∠CAD＝30°，
∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，
∵CE 是⊙O 的切线，
∴OC⊥CE，
∴CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB＝∠COD＝60°，
由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO 是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴▱ABCO 是菱形；
②由①知，四边形ABCO 是菱形，
∴OA＝OC＝AB＝2，
∴AD＝2OA＝4，
由①知，∠COD＝60°，
在Rt△ACD 中，∠CAD＝30°，
∴CD＝2，AC＝2
，
∴AD，AC 与
围成阴影部分的面积为S△AOC+S 扇形COD
＝
S△ACD+S 扇形COD
＝
×
×2×2
+
＝
+
π．
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22．（9 分）二次函数y＝x2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A．
感知特例
（1）当m＝1 时，如图1，抛物线L：y＝x2﹣2x 上的点B，O，C，A，D 分别关于点A
中心对称的点为B′，O′，C′，A′，D′，如表：
… B（﹣1，3）
O（0，
0）
C（1，﹣1）
A（
2
，
0
）
D（3，
3）
…
… B'（5，﹣3）O′（4，
0）
C'（3，1）
A′（2，0）
D'（1，
﹣3）
…
①补全表格；
②在图1 中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象L'上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L'是L
的“孔像抛物线”．例如，当m＝﹣2 时，图2 中的抛物线L'是抛物线L 的“孔像抛物
线”．
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探究问题
（2）①当m＝﹣1 时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x 的增大而
减小，则x 的取值范围为 ﹣
3 ≤
x ≤﹣
1
；
②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次
函数y＝x2﹣2mx 的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是
y ＝
x 2
（填“y＝ax2+bx+c”或“y＝ax2+bx”或“y＝ax2+c”或“y＝ax2”，其中
abc≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y＝m 有且只有三个交点，求m
的值．
【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；
②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；
（2）①当m＝﹣1 时，抛物线L：y＝x2+2x＝(x+1)2﹣1，当x≤﹣1 时，L 的函数值随着
x 的增大而减小，抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣(x+3)2+1，当x≥﹣3 时，L′的函数
值随着x 的增大而减小，找出公共部分即可；
②先观察图1 和图2，可以看出随着m 的变化，二次函数y＝x2﹣2mx 的所有“孔像抛
物线”L'对称性分布在y 轴两侧，设这条抛物线解析式为y＝ax2，根据这条抛物线与二
次函数y＝x2﹣2mx 的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点，可知关于x 的一元二次方程
ax2＝﹣(x﹣3m)2+m2，有两个相等的实数根，求解即可；
③观察图1 和图2，可知直线y＝m 与抛物线y＝x2﹣2mx 及“孔像抛物线”L'有且只有
三个交点，即直线y＝m 经过抛物线L 的顶点或经过抛物线L′的顶点或经过公共点A,
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分别建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①∵B（﹣1，3）、B'（5，﹣3）关于点A 中心对称，
∴点A 为BB′的中点，
设点A(m，n)，
∴m＝
＝2，n＝
＝0，
故答案为：（2，0）；
②所画图象如图1 所示，
（2）①当m＝﹣1 时，抛物线L：y＝x2+2x＝(x+1)2﹣1，对称轴为直线x＝﹣1，开口向
上，当x≤﹣1 时，L 的函数值随着x 的增大而减小，
抛物线L′：y＝﹣x2﹣6x﹣8＝﹣(x+3)2+1，对称轴为直线x＝﹣3，开口向下，当x≥﹣3
时，L′的函数值随着x 的增大而减小，
∴当﹣3≤x≤﹣1 时，抛物线L 与它的“孔像抛物线”L'的函数值都随着x 的增大而减小，
故答案为：﹣3≤x≤﹣1；
②设这条抛物线解析式为y＝ax2，
∵二次函数y＝x2﹣2mx 的“孔像抛物线”L'为：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，
∴关于x 的一元二次方程ax2＝﹣(x﹣3m)2+m2，有两个相等的实数根，
整理得：（a+1）x2﹣6mx+8m2＝0，
∴△＝(﹣6m)2﹣4•(a+1)•8m2＝0，
∴(4﹣32a)m2＝0，
∵m≠0，
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∴4﹣32a＝0，
∴a＝
，
∴这条抛物线的解析式为y＝
x2，
故答案为：y＝
x2；
③抛物线L：y＝x2﹣2mx＝(x﹣m)2﹣m2，顶点坐标为M（m，﹣m2），
其“孔像抛物线”L'为：y＝﹣(x﹣3m)2+m2，顶点坐标为N（3m，m2），
抛物线L 与其“孔像抛物线”L'有一个公共点A(2m，0)，
∴二次函数y＝x2﹣2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y＝m 有且只有三个交点时，有三
种情况：
①直线y＝m 经过M（m，﹣m2），
∴m＝﹣m2，
解得：m＝﹣1 或m＝0（舍去），
②直线y＝m 经过N（3m，m2），
∴m＝m2，
解得：m＝1 或m＝0(舍去)，
③直线y＝m 经过A(2m，0)，
∴m＝0，
综上所述，m＝±1 或0．
六、（本大题共12 分）
23．（12 分）课本再现
（1）在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1 即可
证明，其中与∠A 相等的角是 ∠
DCA
′
；
类比迁移
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（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC 与∠ADC 互余，小明发现四边形ABCD 中这
对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作∠CDF＝∠ABC，再过点C 作CE⊥DF
于点E，连接AE，发现AD，DE，AE 之间的数量关系是
AD
2 + DE
2 ＝
AE
2
；
方法运用
（3）如图3，在四边形ABCD 中，连接AC，∠BAC＝90°，点O 是△ACD 两边垂直平
分线的交点，连接OA，∠OAC＝∠ABC．
①求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
②连接BD，如图4，已知AD＝m，DC＝n，
＝2，求BD 的长（用含m，n 的式子表
示）．
【分析】(1)根据图形的拼剪可得结论．
（2）利用勾股定理解决问题即可．
（3）①如图3 中，连接OC,作△ADC 的外接圆⊙O．利用圆周角定理以及三角形内角
和定理，即可解决问题．
②如图4 中，在射线DC 的下方作∠CDT＝∠ABC,过点C 作CT⊥DT 于T．利用相似三
角形的性质证明BD＝
AT,求出AT,可得结论．
【解答】（1）解：如图1 中，由图形的拼剪可知，∠A＝∠DCA′,
故答案为：∠DCA′．
（2）解：如图2 中，
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∵∠ADC+∠ABC＝90°,∠CDE＝∠ABC,
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°,
∴AD2+DE2＝AE2．
故答案为：AD2+DE2＝AE2．
（3）①证明：如图3 中，连接OC,作△ADC 的外接圆⊙O．
∵点O 是△ACD 两边垂直平分线的交点
∴点O 是△ADC 的外心，
∴∠AOC＝2∠ADC,
∵OA＝OC,
∴∠OAC＝∠OCA,
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°,∠OAC＝∠ABC,
∴2∠ADC+2∠ABC＝180°,
∴∠ADC+∠ABC＝90°．
②解：如图4 中，在射线DC 的下方作∠CDT＝∠ABC,过点C 作CT⊥DT 于T．
∵∠CTD＝∠CAB＝90°,∠CDT＝∠ABC,
∴△CTD∽△CAB,
∴∠DCT＝∠ACB,
＝
,
∴
＝
,∠DCB＝∠TCA
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∴△DCB∽△TCA,
∴
＝
,
∵
＝2,
∴AC:BC:BC＝CT:DT:CD＝1:2:
,
∴BD＝
AT,
∵∠ADT＝∠ADC+∠CDT＝∠ADC+∠ABC＝90°,DT＝
n,AD＝m,
∴AT＝
＝
＝
,
∴BD＝
．
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