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2019 年湖南省邵阳市邵东县团山镇中考数学一模试卷
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．在下列实数中：0，
，﹣3.1415，
，
，0.343343334…无理数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对长江水质情况的调查
B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C．对某班40 名同学体重情况的调查
D．对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查
4．正比例函数y＝kx（k＞0）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列图形中，∠1 一定大于∠2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝60°，则∠C＝（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
7．一元二次方程x（x﹣2）＝0 根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
8．如图把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D、C 分别落在D′、C′位置，若∠EFB＝60°，则∠AED′
＝（ ）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
9．在Rt△ABC 中，各边都扩大5 倍，则角A 的三角函数值（ ）
A．不变
B．扩大5 倍
C．缩小5 倍
D．不能确定
10．小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛
得分满60 则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛
中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合
理的是（ ）
①小亮测试成绩的平均数比小明的高
②小亮测试成绩比小明的稳定
③小亮测试成绩的中位数比小明的高
④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
11．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2 的度数为（ ）
A．90°
B．120°
C．270°
D．360°
12．已知：如图，在等边△ABC 中取点P，使得PA，PB，PC 的长分别为3，4，5，将线段AP 以点A 为旋
转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论：
①△ABD 可以由△APC 绕点A 顺时针旋转60°得到；②点P 与点D 的距离为3；③∠APB＝150°；
④S△APC+S△APB＝
，其中正确的结论有（ ）
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．②③④
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
13．
的倒数是 ．
14．若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0 的一个根为0，则m 值是 ．
15．已知关于x 的不等式2x+m＞3 的解如图所示，则m 的值为 ．
16．如图，在△ABC 中，E，F 分别是AB，AC 上的两点，∠1+∠2＝214°，则∠A＝ 度．
17．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是
的中点，连接AF 交过E 的切线于点D，AB 的延长线交该切线
于点C，若∠C＝30°，⊙O 的半径是2，则图形中阴影部分的面积是 ．
18．用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2 个图案开始每个
图案比前一个图案多4 个等边三角形和1 个正方形，则第n 个图案中等边三角形的个数为
个．
19．如图，在平面鱼角坐标系xOy 中，A（﹣3，0），点B 为y 轴正半轴上一点，将线段AB 绕点B 旋转
90°至BC 处，过点C 作CD 垂直x 轴于点D，若四边形ABCD 的面积为36，则线AC 的解析式为
．
20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若原来点A 的坐
标是（a，b），则经过第2018 次变换后所得的A 点坐标是 ．
三．解答题（共8 小题）
21．计算
（1）
﹣
+
（2）（
）（
）﹣（
﹣
）2
22．解方程：
﹣
＝1．
23．如图，某地方政府决定在相距50km 的A、B 两站之间的公路旁E 点，修建一个土特产加工基地，且
使C、D 两村到E 点的距离相等，已知DA⊥AB 于A，CB⊥AB 于B，DA＝30km，CB＝20km，那么基
地E 应建在离A 站多少千米的地方？
24．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE＝30
米，坝顶宽CD＝10 米，求大坝的截面的周长和面积．
25．某地区为进一步发展基础教育，自2016 年以来加大了教育经费的投入，2016 年该地区投入教育
经费5000 万元，2018 年投入教育经费7200 万元．
（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019 年该地区投入教育经费
为 万元．
26．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50 盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是
160 元，花卉的平均每盆利润是19 元．调研发现：
①盆景每增加1 盆，盆景的平均每盆利润减少2 元；每减少1 盆，盆景的平均每盆利润增加2 元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100 盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉
售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x 的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？
27．如图，已知P 是正方形ABCD 边BC 上一点，BP＝3PC，Q 是CD 的中点，
（1）求证：△ADQ∽△QCP；
（2）若AB＝10，连接BD 交AP 于点M，交AQ 于点N，求BM，QN 的长．
28．探究与发现：
如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么
在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下
问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC 与∠A、∠B、∠C 之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C，
若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝ °；
②如图3，DC 平分∠ADB，EC 平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数；
③如图4，∠ABD，∠ACD 的10 等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求
∠A 的度数．
2019 年湖南省邵阳市邵东县团山镇中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：
，0.343343334…是无理数，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两
部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
3．【分析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，
普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查
的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受
到限制，这时就应选择抽样调查．
【解答】解：A：长江水污染的情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；
B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，数量较大；不容易掌控，适合抽样调查，故此选项错
误；
C：对某班40 名同学体重情况的调查，数量少，范围小，采用全面调查；故此选项正确；
D：对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查，具有破坏性，应选择抽样调查；故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有
破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普
查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．
4．【分析】根据正比例函数的性质；当k＞0 时，正比例函数y＝kx 的图象在第一、三象限选出答案即可．
【解答】解：因为正比例函数y＝kx（k＞0），
所以正比例函数y＝kx 的图象在第一、三象限，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，关键是熟练掌握：在直线y＝kx 中，当k＞0 时，y 随x
的增大而增大，直线经过第一、三象限；当k＜0 时，y 随x 的增大而减小，直线经过第二、四象限．
5．【分析】根据对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，对选项依次判断即可得出答案．
【解答】解：A、根据对顶角相等，∠1＝∠2，故本选项错误；
B、根据两直线平行、内错角相等，∠1＝∠2，故本选项错误；
C、根据外角等于不相邻的两内角和，∠1＞∠2，故本选项正确；
D、根据圆周角性质，∠1＝∠2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了对顶角、内错角、外角、圆周角的性质，难度适中．
6．【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝70°，∠B＝60°代入计算
即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
而∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣60°＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．
7．【分析】先把原方程变形为：x2﹣2x＝0，然后计算△，得到△＝4＞0，根据△的含义即可判断方程根
的情况．
【解答】解：原方程变形为：x2﹣2x＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0，（a≠0）根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，原方程
有两个不相等的实数根；当△＝0，原方程有两个相等的实数根；当△＜0，原方程没有实数根．
8．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠EFB，再根据翻折变换的性质可得∠2＝∠1，然
后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵长方形纸片对边平行，
∴∠1＝∠EFB＝60°，
由翻折的性质得，∠2＝∠1＝60°，
∴∠AED′＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记性质是解题的关键．
9．【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变．
【解答】解：∵各边都扩大5 倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A 的三角函数值不变，
故选：A．
【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等．三角函数值
只与角的大小有关，与角的边的长短无关．
10．【分析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．
【解答】解：①由折线统计图知小明的成绩有5 次高于小亮的成绩，有1 次和小亮相等，故小明的
测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；
②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；
③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；
④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，
∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了平均数和方差以及读折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．
11．【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3 表示出△ABC
各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，
∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，
∴∠1+∠2＝120°．
故选：B．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键．
12．【分析】由线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，根据旋转的性质有AD＝AP，
∠DAP＝60°，再根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，易得∠DAP＝∠PAC，于是
△ABD 可以由△APC 绕点A 顺时针旋转60°得到；△ADP 为等边三角形，则有PD＝PA＝3；在
△PBD 中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角
形，且∠BPD＝90°，则∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°；由△ADB≌△APC 得S△ADB＝
S△APC，则有S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的
倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP+S△BPD＝
×32+
×3×4＝6+
，可判断④不正确．
【解答】解：连PD，如图，
∵线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
又∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠DAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP，
∴∠DAP＝∠PAC，
∴△ABD 可以由△APC 绕点A 顺时针旋转60°得到，所以①正确；
∵DA＝PA，∠DAP＝60°，
∴△ADP 为等边三角形，
∴PD＝PA＝3，所以②正确；
在△PBD 中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，
∵32+42＝52，即PD2+PB2＝BD2，
∴△PBD 为直角三角形，且∠BPD＝90°，
由②得∠APD＝60°，
∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°，所以③正确；
∵△ADB≌△APC，
∴S△ADB＝S△APC，
∴S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD＝
×32+
×3×4＝6+
，所以④不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连
线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质、勾
股定理的逆定理．
二．填空题（共8 小题，满分24 分，每小题3 分）
13．【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：
的倒数是4．
故答案为：4．
【点评】考查了倒数，关键是熟悉乘积是1 的两数互为倒数．
14．【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝0 代入关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
然后解关于m 的一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意，得
x＝0 满足关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元
二次方程的二次项系数不为0”这一条件．
15．【分析】由数轴可以得到不等式的解集是x＞﹣1，根据已知的不等式可以用关于m 的式子表示出
不等式的解集．就可以得到一个关于m 的方程，可以解方程求得．
【解答】解：解不等式2x+m＞3
得x
由图可得，x＞﹣1
则
＝﹣1
解之得，m＝5．
【点评】注意数轴上的空心表示不包括﹣1，即x＞﹣1．并且本题是不等式与方程相结合的综合题．
16．【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A 只要求出∠AEF+∠AFE 的度数或者∠B+∠C 的度
数即可，结合补角的性质和四边形内角和为360°可以解决问题．
【解答】解：方法一：
∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180°
∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360°
∵∠1+∠2＝214°
∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146°
∵在△AEF 中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A＝180°﹣146°＝34°
方法二：
∵在四边形BCEF 中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四边形内角和为360°）
∠1+∠2＝214°
∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146°
∵在△ABC 中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A＝180°﹣146°＝34°
【点评】本题是有关三角形角的计算问题．主要考察三角形内角和定理的应用和计算，找到∠A 所
在的三角形是关键．同时对邻补角的定义和四边形的内角和360°都有所涉及，对学生的推演能力
有一定要求．
17．【分析】首先根据切线的性质及圆周角定理得CE 的长以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关
系得出DE，AD 的长，利用S△ADE﹣S 扇形FOE＝图中阴影部分的面积求出即可．
【解答】解：连接OE，OF、EF，
∵DE 是切线，
∴OC⊥DE，
∵∠C＝30°，OB＝OE＝2，
∴∠EOC＝60°，OC＝2OE＝4，
∴CE＝OC×sin60°＝
，
∵点E 是
的中点，
∴∠EAB＝∠DAE＝30°，
∴F，E 是半圆弧的三等分点，
∴∠EOF＝∠EOB＝∠AOF＝60°，
∴BE∥AD，∠DAC＝60°，
∴∠ADC＝90°，
∵CE＝AE＝
∴DE＝
，
∴AD＝DE×tan60°＝
，
∴S△ADE＝
∵△FOE 和△AEF 同底等高，
∴△FOE 和△AEF 面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ADE﹣S 扇形FOE＝
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出△FOE 和
△AEF 面积相等是解题关键．
18．【分析】根据题目中的图形，可以发现正三角形个数的变化情况，从而可以求得第n 个图案中等边
三角形的个数．
【解答】解：当n＝1 时，等边三角形的个数为：2，
当n＝2 时，等边三角形的个数为：2+4×1＝6，
当n＝3 时，等边三角形的个数为：2+4×2＝10，
当n＝4 时，等边三角形的个数为：2+4×3＝14，
故第n 个图案中等边三角形的个数为：2+4（n﹣1）＝4n﹣2，
故答案为：（4n﹣2）．
【点评】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中三角形个数的变化规律，
利用数形结合的思想解答．
19．【分析】过C 作CE⊥OB 于E，则四边形CEOD 是矩形，得到CE＝OD，OE＝CD，根据旋转的性质
得到AB＝BC，∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到BO＝CE，BE＝OA，求得OA＝BE＝3，设
OD＝a，得到CD＝OE＝|a﹣3|，根据面积公式列方程得到C（﹣6，9）或（6，3），设直线AB 的解析
式为y＝kx+b，把A 点和C 点的坐标代入即可得到结论．
【解答】解：过C 作CE⊥OB 于E，
则四边形CEOD 是矩形，
∴CE＝OD，OE＝CD，
∵将线段AB 绕点B 旋转90°至BC 处，
∴AB＝BC，
∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠BCE，
∵∠AOB＝∠BEC＝90°，
∴△ABO≌△BCO（AAS），
∴BO＝CE，BE＝OA，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝BE＝3，
设OD＝a，
∴CD＝OE＝|a﹣3|，
∵四边形ABCD 的面积为36，
∴
AO•OB+
（CD+OB）•OD＝
×3×a+
（a﹣3+a）×a＝36，
∴a＝±6，
∴C（﹣6，9）或（6，3），
设直线AB 的解析式为y＝kx+b，
把A 点和C 点的坐标代入得，
或
，
解得：
或
，
∴直线AB 的解析式为y＝
x+1 或y＝﹣3x﹣9．
故答案为：y＝
x+1 或y＝﹣3x﹣9．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性
质，正确的作出图形是解题的关键．
20．【分析】观察不难发现，3 次变换为一个循环组依次循环，用2018÷3＝672 余2，推出经过第2018
次变换后所得的A 点与第二次变换的位置相同，在第二象限，从而得解．
【解答】解：点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限，
点A 第二次关于原点对称后在第二象限，
点A 第三次关于y 轴对称后在第一象限，即点A 回到原始位置，
所以，每3 次对称为一个循环组依次循环，
∵2018÷3＝672 余2，
∴经过第2018 次变换后所得的A 点与第二次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣a，b）．
故答案为：（﹣a，b）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个
循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
三．解答题（共8 小题）
21．【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝
﹣2
+10
＝
；
（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+
）
＝﹣4﹣
＝﹣4
．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法
则．
22．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方
程的解．
【解答】解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
检验：当x＝2 时，方程左右两边相等，
所以x＝2 是原方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
23．【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE 和直角三角
形CBE 中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE 为x，则BE＝10﹣x，将
DA＝8，CB＝2 代入关系式即可求得．
【解答】解：设基地E 应建在离A 站x 千米的地方．
则BE＝（50﹣x）千米
在Rt△ADE 中，根据勾股定理得：AD2+AE2＝DE2
∴302+x2＝DE2…
在Rt△CBE 中，根据勾股定理得：CB2+BE2＝CE2
∴202+（50﹣x）2＝CE2
又∵C、D 两村到E 点的距离相等．
∴DE＝CE∴DE2＝CE2
∴302+x2＝202+（50﹣x）2
解得x＝20
∴基地E 应建在离A 站多少20 千米的地方．
【点评】考查了勾股定理的应用，本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两
边相等求解即可．
24．【分析】先根据两个坡比求出AE 和BF 的长，然后利用勾股定理求出AD 和BC，再由大坝的截面
的周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．
【解答】解：∵迎水坡坡比（DE 与AE 的长度之比）为1：0.6，DE＝30m，
∴AE＝18 米，
在RT△ADE 中，AD＝
＝6
米
∵背水坡坡比为1：2，
∴BF＝60 米，
在RT△BCF 中，BC＝
＝30
米，
∴周长＝DC+AD+AE+EF+BF+BC＝6
+10+30
+88＝（6
+30
+98）米，
面积＝（10+18+10+60）×30÷2＝1470（平方米）．
故大坝的截面的周长是（6
+30
+98）米，面积是1470 平方米．
【点评】本题考查了坡度和坡比问题，利用三角函数求得梯形的各边，还涉及了勾股定理的应用，
解答本题关键是理解坡比所表示的意义．
25．【分析】（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2016 年及2018 年该县投入的
教育经费钱数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019 年该县投入教育经费钱数＝2018 年该县投入教育经费钱数×（1+20%），即可求出结
论．
【解答】（1）解：设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得
5000（1+x）2＝7200．
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
∴x＝0.2＝20%．
答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）7200（1+20%）＝8640（万元）
故答案是：8640．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据
“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x 的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数
的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以W1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
W2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
W＝W1+W2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x﹣
）2+
，
∵﹣2＜0，且x 为整数，
∴当x＝10 时，W 取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10 时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是9160 元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此
列出函数解析式及二次函数的性质．
27．【分析】（1）根据正方形的性质可表示出PC，DQ，CQ，AD 的长，从而根据两组对应边的比相等且
相应的夹角相等的两个三角形相似来进行判定．
（2）根据相似三角形的对应边成比例及已知不难求得BM，QN 的长．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD 中，BP＝3PC，Q 是CD 的中点
∴PC＝
﹣BC，CQ＝DQ＝
CD，且BC＝CD＝AD
∴PC：DQ＝CQ：AD＝1：2
∵∠PCQ＝∠ADQ＝90°
∴△PCQ∽△ADQ
（2）∵△BMP∽△AMD
∴BM：DM＝BP：AD＝3：4
∵AB＝10，
∴BD＝10
，
∴BM＝
同理QN＝
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质及相似三角形的判定及性质的综合运用．
28．
【分析】
（1）根据题意观察图形连接AD 并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与
它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即
可得到∠ABX+∠ACX 的值．
②结合图形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到
∠ADB+∠AEB 的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，进而可得答案．
【解答】解：（1）连接AD 并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
且∠BDC＝∠BDF+∠CDF 及∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，
所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；
而∠DCE＝
（∠ADB+∠AEB）+∠A，
代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；
③∠BG1C═
（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A 为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°
∴
（140﹣x）+x＝77，
14﹣
x+x＝77，
x＝70
∴∠A 为70°．
【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
