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2019 年河南省平顶山市叶县中考数学一模试卷（3 月份）
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．﹣8 的相反数是（ ）
A．﹣8
B．
C．8
D．﹣
2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆
盖总人口44 亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．44×108
B．4.4×109
C．4.4×108
D．4.4×1010
3．第14 届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方向
看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a12÷a3＝a4
B．（3a2）3＝9a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2
D．2a•3a＝6a2
5．一组数据﹣3，2，2，0，2，1 的众数是（ ）
A．﹣3
B．2
C．0
D．1
6．游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳
帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2 倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下
列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+2＝0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣2
B．k＜﹣2
C．k＜2
D．k＞2
8．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1 等于（ ）
A．75°
B．90°
C．105°
D．115°
9．如图，以矩形ABOD 的两边OD、OB 为坐标轴建立直角坐标系，若E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE
折叠后得到△GBE，延长BG 交OD 于F 点．若OF＝I，FD＝2，则G 点的坐标为（ ）
A．（
，
）
B．（
，
）
C．（
，
）
D．（
，
）
10．如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E 分别为边AB，AC 上的点，且DE∥BC，BD＝
DE＝2，CE＝
，BC＝
．动点P 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿B→D→E→C 匀速
运动，运动到点C 时停止．过点P 作PQ⊥BC 于点Q，设△BPQ 的面积为S，点P 的运动时间为t，
则S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共5 小题，满分15 分，每小题3 分）
11．
＝ ．
12．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5 个单位．再向下平移3 个单位，可以得到新的抛物线是：
13．从﹣2，﹣1，2 这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是 ．
14．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C，交AD 于点E，延
长BA 与⊙A 相交于点F．若
的长为
，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP，将
△APE 沿PE 折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF 为直角三角形时，AP 的长为 ．
三．解答题（共8 小题，满分75 分）
16．（8 分）先化简再求值（a+2b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2+5b（a+b）．其中a＝2﹣
，b＝2+
．
17．（9 分）某品牌牛奶供应商提供A，B，C，D 四种不同口味的牛奶供学生饮用．某校为了了解学生对
不同口味的牛奶的喜好，对全校订牛奶的学生进行了随机调查，并根据调查结果绘制了如下两幅
不完整的统计图．
根据统计图的信息解决下列问题：
（1）本次调查的学生有多少人？
（2）补全上面的条形统计图；
（3）扇形统计图中C 对应的中心角度数是 ；
（4）若该校有600 名学生订了该品牌的牛奶，每名学生每天只订一盒牛奶，要使学生能喝到自己喜
欢的牛奶，则该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B 口味的牛奶共约多少盒？
18．（9 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D，连接BD、
CD，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P．
（1）求证：PD 是⊙O 的切线；
（2）求证：AB•CP＝BD•CD；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm 时，求线段PC 的长．
19．（9 分）某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点
A 处，测得河的南岸边点B 处在其南偏东45°方向，然后向北走20 米到达点C 处，测得点B 在点C
的南偏东33°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到1 米，参考数据：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，
tan33°＝0.65，
≈1.41）
20．（9 分）如图，校园有两条路OA、OB，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏
路灯，要求灯柱的位置P 离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯
柱的位置点P． （请保留作图痕迹）
21．（10 分）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：
信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25 天；
信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：
生产甲产品数（件）
生产乙产品数（件）
所用时间（分钟）
10
10
350
30
20
850
信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50 元，每生产一件乙种产品得2.80 元．
信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900 元，请根据以
上信息，解答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；
（2）2018 年1 月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60 件，则小王该月收入最多是多少元？
此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？
22．（10 分）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图
1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD 与线段MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM 于点K
（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β 的度数；
（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD 交于点P，A2M2与BD 交于
点N，当NP∥AB 时，求平移的距离．
23．
（11 分）在平面直角坐标系xOy 中抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD 的面积最大时，
求点P 的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x 轴于F 点，N 是线段EF 上一动点，M（m，0）是x 轴上一动点，
若∠MNC＝90°，直接写出实数m 的取值范围．
2019 年河南省平顶山市叶县中考数学一模试卷（3 月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．
【解答】解：﹣8 的相反数是8，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即
可．
【解答】解：44 亿＝4.4×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a
与n 的值是解题的关键．
3．【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形．
【解答】解：由立体图形可得其俯视图为：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的观察角度是解题关键．
4．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a9，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．【分析】众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：这组数据中2 出现次数最多，有3 次，
所以众数为2，
故选：B．
【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
6．【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1
倍，进而分别得出等式即可．
【解答】解：设男孩x 人，女孩有y 人，根据题意得出：
，
解得：
，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键．
7．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取
值范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2kx+k2﹣k+2＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2k）2﹣4（k2﹣k+2）＝4k﹣8＞0，
解得：k＞2．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根．
8．
【分析】依据AB∥EF，即可得∠BDE＝∠E＝45°，再根据∠A＝30°，可得∠B＝60°，利用三角形外角
性质，即可得到∠1＝∠BDE+∠B＝105°．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠BDE＝∠E＝45°，
又∵∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠1＝∠BDE+∠B＝45°+60°＝105°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
9．
【分析】连结EF，作GH⊥x 轴于H，根据矩形的性质得AB＝OD＝OF+FD＝3，再根据折叠的性质得
BA＝BG＝3，EA＝EG，∠BGE＝∠A＝90°，而AE＝DE，则GE＝DE，于是可根据“HL”证明
Rt△DEF≌Rt△GEF，得到FD＝FG＝2，则BF＝BG+GF＝5，在Rt△OBF 中，利用勾股定理计算出
OB＝2
，然后根据△FGH∽△FBO，利用相似比计算出GH＝
，FH＝
，则OH＝OF﹣HF
＝
，所以G 点坐标为（
，
）．
【解答】解：连结EF，作GH⊥x 轴于H，如图，
∵四边形ABOD 为矩形，
∴AB＝OD＝OF+FD＝1+2＝3，
∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE，
∴BA＝BG＝3，EA＝EG，∠BGE＝∠A＝90°，
∵点E 为AD 的中点，
∴AE＝DE，
∴GE＝DE，
在Rt△DEF 和Rt△GEF 中
，
∴Rt△DEF≌Rt△GEF（HL），
∴FD＝FG＝2，
∴BF＝BG+GF＝3+2＝5，
在Rt△OBF 中，OF＝1，BF＝5，
∴OB＝
＝2
，
∵GH∥OB，
∴△FGH∽△FBO，
∴
＝
＝
，即
＝
＝
，
∴GH＝
，FH＝
，
∴OH＝OF﹣HF＝1﹣
＝
，
∴G 点坐标为（
，
）．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大
小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了坐标与图形的性质和相似三角形的判定与性质．
10．【分析】根据题意易知道当P 在BD 上由B 向D 运动时，△BPQ 的高PQ 和底BQ 都随着t 的增大
而增大，那么S△BPQ 就是PQ 和BQ 两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次函数，
然后根据它们的斜率乘积的正负性判别抛物线开口方向；当P 在DE 上有D 向E 运动时，高PQ 不
变，底BQ 随着t 的增大而增大，则S△BPQ 是一个一次函数，然后根据斜率的正负性判别图象上
升还是下降；当P 在EC 上由E 向C 运动时高PQ 逐渐减小，底BQ 逐渐增大，S△BPQ 的图象会是
一二次函数，再根据PQ 和BQ 两个一次函数的斜率乘积的正负性来判断抛物线开口方向．
【解答】解：∵PQ⊥BQ
∴在P、Q 运动过程中△BPQ 始终是直角三角形．
∴S△BPQ＝
PQ•BQ
①当点P 在BD 上，Q 在BC 上时（即0s≤t≤2s）
BP＝t，BQ＝PQ•cos60°＝
t，PQ＝BP•sin60°＝
t
S△BPQ＝
PQ•BQ＝
•
t•
t＝
t2
此时S△BPQ的图象是关于t（0s≤t≤2s）的二次函数．
∵
＞0
∴抛物线开口向上；
②当P 在DE 上，Q 在BC 上时（即2s＜t≤4s）
PQ＝BD•sin60°＝
×2＝
，BQ＝BD•cos60°+（t﹣2）＝t﹣1
S△BPQ＝
PQ•BQ＝
•
•（t﹣1）＝
t﹣
此时S△BPQ的图象是关于t（2s＜t≤4s）的一次函数．
∵斜率
＞0
∴S△BPQ随t 的增大而增大，直线由左向右依次上升．
③当P 在DE 上，P 在EC 上时（即4s＜t≤
s）
PQ＝[CE﹣（t﹣4）]•sin45°＝
﹣
t（4s＜t≤
s），BQ＝BC﹣CQ＝BC﹣[CE﹣（t﹣
4）]•cos45°＝
﹣（
﹣
t）＝
t+
S△BPQ＝
PQ•BQ
由于展开二次项系数a＝
k1•k2＝
•（﹣
）•（
）＝﹣
抛物线开口向下，
故选：D．
【点评】本道题考查了图形动点分析能力与分段函数分析能力．充分体现了数形结合的思想．
二．填空题（共5 小题，满分15 分，每小题3 分）
11．【分析】根据算术平方根的定义、负整数指数幂计算可得．
【解答】解：原式＝2
﹣4+4＝2
，
故答案为：2
．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义和负整数指数幂的定
义．
12．【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析
式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣5x2先向左平移5 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（﹣5，﹣3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝﹣5（x+5）2﹣3，
即y＝﹣5x2﹣50x﹣128，
故答案为y＝﹣5x2﹣50x﹣128．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化
求解更简便．
13．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利
用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：列表如下：
积
﹣2
﹣1
2
﹣2
2
﹣4
﹣1
2
﹣2
2
﹣4
﹣2
由表可知，共有6 种等可能结果，其中积为正数的有2 种结果，
所以积为正数的概率为
，
故答案为：
．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列
出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率
＝所求情况数与总情况数之比．
14．【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图
中阴影部分的面积＝△ACD 的面积﹣扇形ACE 的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AC，
∵DC 是⊙A 的切线，
∴AC⊥CD，
又∵AB＝AC＝CD，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°，
又∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，
又∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠FAD＝∠B＝45°，
∵
的长为
，
∴
，
解得：r＝2，
∴S 阴影＝S△ACD﹣S 扇形ACE＝
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和
差．
15．【分析】分两种情况进行讨论：当∠CFE＝90°时，△ECF 是直角三角形；当∠CEF＝90°时，△ECF
是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图所示，当∠CFE＝90°时，△ECF 是直角三角形，
由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，
∴∠CFP＝180°，即点P，F，C 在一条直线上，
在Rt△CDE 和Rt△CFE 中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CF＝CD＝4，
设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，
在Rt△BCP 中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，
解得x＝
，即AP＝
；
如图所示，当∠CEF＝90°时，△ECF 是直角三角形，
过F 作FH⊥AB 于H，作FQ⊥AD 于Q，则∠FQE＝∠D＝90°，
又∵∠FEQ+∠CED＝90°＝∠ECD+∠CED，
∴∠FEQ＝∠ECD，
∴△FEQ∽△ECD，
∴
＝
＝
，即
＝
＝
，
解得FQ＝
，QE＝
，
∴AQ＝HF＝
，AH＝
，
设AP＝FP＝x，则HP＝
﹣x，
∵Rt△PFH 中，HP2+HF2＝PF2，即（
﹣x）2+（
）2＝x2，
解得x＝1，即AP＝1．
综上所述，AP 的长为1 或
．
【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情
况，需要分类讨论，避免漏解．
三．解答题（共8 小题，满分75 分）
16．【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b 的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝a2﹣4b2﹣（a2﹣2ab+b2）+5ab+5b2
＝a2﹣4b2﹣a2+2ab﹣b2+5ab+5b2
＝7ab，
当a＝2﹣
，b＝2+
时，
原式＝7×（2﹣
）×（2+
）
＝7×（4﹣3）
＝7．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和
运算法则．
17．【分析】（1）利用A 类别人数及其百分比可得总人数；
（2）总人数减去A、B、D 类别人数，求得C 的人数即可补全图形；
（3）360°×C 类别人数所占比例可得；
（4）总人数乘以样本中A、B 人数占总人数的比例即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生有30÷20%＝150 人；
（2）C 类别人数为150﹣（30+45+15）＝60 人，
补全条形图如下：
（3）扇形统计图中C 对应的中心角度数是360°×
＝144°
故答案为：144°
（4）600×（
）＝300（人），
答：该牛奶供应商送往该校的牛奶中，A，B 口味的牛奶共约300 盒．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识．结合生活实际，绘制条形统计图，扇形统计图或
从统计图中获取有用的信息，是近年中考的热点．只要能认真准确读图，并作简单的计算，一般难
度不大．
18．【分析】（1）想办法证明OD⊥PD 即可．
（2）证明△BAD∽△CDP，即可解决问题．
（3）利用勾股定理求出BC，BD，CD，再利用（2）中结论即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵∠BAD＝∠CAD，
∴
＝
，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PA，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PA，
∴PD 是⊙O 的切线．
（2）证明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△BAD∽△CDP，
∴
＝
，
∴AB•CP＝BD•CD．
（3）解：∵BC 是直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝5，AC＝12，
∴BC＝
＝13，
∴BD＝CD＝
，
∵AB•CP＝BD•CD．
∴PC＝
＝
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题
的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．【分析】延长CA 交BE 于点D，得CD⊥BE，设AD＝x，得BD＝x 米，CD＝（20+x）米，根据
＝
tan∠DCB 列方程求出x 的值即可得．
【解答】解：如图，延长CA 交BE 于点D，
则CD⊥BE，
由题意知，∠DAB＝45°，∠DCB＝33°，
设AD＝x 米，
则BD＝x 米，CD＝（20+x）米，
在Rt△CDB 中，
＝tan∠DCB，
∴
≈0.65，
解得x≈37，
答：这段河的宽约为37 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20．【分析】分别作线段CD 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线，它们的交点即为点P．
【解答】解；如图，点P 为所作．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答
此题的关键．
21．
【分析】
（1）设生产一件甲种产品需x 分，生产一件乙种产品需y 分，利用待定系数法求出x，y 的值．
（2）设生产甲种产品用x 分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分，分别求出甲乙两种生产多少件
产品．
【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需x 分，生产一件乙种产品需y 分．
由题意得：
，
解这个方程组得：
，
答：生产一件甲产品需要15 分，生产一件乙产品需要20 分．
（2）设生产甲种产品共用x 分，则生产乙种产品用（25×8×60﹣x）分．
则生产甲种产品
件，生产乙种产品
件．
∴w 总额＝1.5×
+2.8×
＝0.1x+
×2.8
＝0.1x+1680﹣0.14x
＝﹣0.04x+1680，
又
≥60，得x≥900，
由一次函数的增减性，当x＝900 时w 取得最大值，此时w＝﹣0.04×900+1680＝1644（元），
则小王该月收入最多是1644+1900＝3544（元），
此时甲有
＝60（件），
乙有：
＝555（件），
答：小王该月最多能得3544 元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555 件．
【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
22．【分析】（1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如
图1），得BD＝MF，△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM＝30°，进而可得∠DNM 的
大小．
（2）分两种情形讨论①当AK＝FK 时，②当AF＝FK 时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A 的长度．在矩形PNA2A 中，A2A＝PN，只要求出PN 的长度就行．用
△DPN∽△DAB 得出对应线段成比例，即可得到A2A 的大小．
【解答】解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM 交BD 于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．
又∵∠DMN＝∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，
∴∠DNM＝90°，
∴BD⊥MF．
（2）如图2，
①当AK＝FK 时，∠KAF＝∠F＝30°，
则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
即β＝60°；
②当AF＝FK 时，∠FAK＝
（180°﹣∠F）＝75°，
∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，
即β＝15°；
综上所述，β 的度数为60°或15°；
（3）如图3，
由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x，
在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，
∴A2M2＝8，A2F2＝8
，
∴AF2＝8
﹣x．
∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，
∴AP＝AF2•tan30°＝8﹣
x，
∴PD＝AD﹣AP＝8
﹣8+
x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP＝∠B．
∵∠D＝∠D，
∴△DPN∽△DAB，
∴
＝
，
∴
＝
，
解得x＝12﹣4
，即A2A＝12﹣4
，
∴平移的距离是（12﹣4
）cm．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的
运用，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及
注意分类思想的运用．
23．【分析】（1）由y＝﹣x2+bx+c 经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛
物线的解析式；
（2）首先令﹣x2+2x+3＝0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法
即可求得直线BC 的解析式，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD 的长，由
S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣
（a﹣
）2+
，利用二次函数的性质，即可求得当
△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣
）2﹣
，然后根据n 的取值得
到最小值．
【解答】解：（1）由题意得：
，
解得：
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC 的解析式为y＝kx+b′，
∴
，
解得：
，
∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+3，
设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），
∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，
∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB
＝
PD•a+
PD•（3﹣a）
＝
PD•3
＝
（﹣a2+3a）
＝﹣
（a﹣
）2+
，
∴当a＝
时，△BDC 的面积最大，此时P（
，
）；
（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
设N（1，n），则0≤n≤4，
取CM 的中点Q（
，
），
∵∠MNC＝90°，
∴NQ＝
CM，
∴4NQ2＝CM2，
∵NQ2＝（1﹣
）2+（n﹣
）2，
∴4[＝（1﹣
）2+（n﹣
）2]＝m2+9，
整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣
）2﹣
，
∵0≤n≤4，
当n＝
上，M 最小值＝﹣
，n＝4 时，M 最小值＝5，
综上，m 的取值范围为：﹣
≤m≤5．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、
判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合
思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
