文档文本内容
2021 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，满分24 分，在每小题给出的四个选项中，选
出符合要求的一项）
1．在实数
，﹣1，0，2 中，为负数的是（ ）
A．
B．﹣1
C．0
D．2
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2
B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
D．（﹣a）2＝﹣a2
4．已知不等式组
，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1 的大小为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一
个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：
分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9
B．8.9，8.9
C．9.0，9.0
D．8.9，9.0
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如
图，在正方形OABC 中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2
﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1
B．
，﹣1
C．4，0
D．
，﹣1
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，满分32 分）
9．（4 分）因式分解：x2+2x+1＝ ．
10．（4 分）2021 年5 月15 日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了
中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000 公里，数据
55000000 用科学记数法表示为 ．
11．（4 分）一个不透明的袋子中装有5 个小球，其中3 个白球，2 个黑球，这些小球除颜
色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为
．
12．（4 分）已知关于x 的一元二次方程x2+6x+k＝0 有两个相等的实数根，则实数k 的值
为 ．
13．（4 分）要使分式
有意义，则x 的取值范围为 ．
14．（4 分）已知x+
＝
，则代数式x+
﹣
＝ ．
15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六
尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6 尺
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
8 寸，门对角线距离恰好为1 丈．问门高、宽各是多少？（1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸）
如图，设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为 ．
16．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、
E，BE＝8，⊙O 为△BCE 的外接圆，过点E 作⊙O 的切线EF 交AB 于点F，则下列结
论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则
的长为
；
④
＝
；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
三、解答题（本大题共8 小题，满分64 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6 分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（
﹣π）0．
18．（6 分）如图，在四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF 为平行四边形，你添
加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF 为平行四边形．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
3
19．（8 分）如图，已知反比例函数y＝
（k≠0）与正比例函数y＝2x 的图象交于A（1，
m），B 两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C 在x 轴上，且△BOC 的面积为3，求点C 的坐标．
20．（8 分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”
督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社
团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时
间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分
组
频数
频率
A
t＜6
4
0.08
B
6≤t＜7
8
0.16
C
7≤t＜8
10
a
D
8≤t＜9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝ ，b＝ ；
（2）扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数是 °；
（3）请估算该校600 名八年级学生中睡眠不足7 小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7 小时，会严重影响学习效率．请你根据以
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
4
上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
21．（8 分）星期天，小明与妈妈到离家16km 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先
走，1h 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开
车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4 倍，求妈妈开车的平均速度．
22．（8 分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行
观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB 的坡度i＝1：0.7（注：坡
度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A 与河岸E、F 在同一水平线上，从
山顶B 处测得河岸E 和对岸F 的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A 到河岸E 的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF 的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D 为AB 的中点，连接
CD，将线段CD 绕点D 顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED 交线段BC
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
5
于点G，∠CDE 的平分线DM 交BC 于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED 与BD 的数量关系是 ，
＝
；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C 作CF∥DE 交DM 于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF 的形状，并说明理由；
②求证：
＝
；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C 作CF∥DE 交DM 于点F，连接
EF，BE，请直接写出
的值（用含m 的式子表示）．
24．（10 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2 经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于
点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3 经过点A，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上
方，点Q 为抛物线上的一个动点，当PQ∥y 轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点
M 在点Q 的右侧），以PQ，QM 为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值
时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F 的坐标；若不
存在，请说明理由．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
6
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
7
2021 年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，满分24 分，在每小题给出的四个选项中，选
出符合要求的一项）
1．在实数
，﹣1，0，2 中，为负数的是（ ）
A．
B．﹣1
C．0
D．2
【分析】根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数．
【解答】解：在
，﹣1，0，2 这四个数中，负数是﹣1，
故选：B．
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2
B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
D．（﹣a）2＝﹣a2
【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运
算法则正确计算即可求出正确答案．
【解答】解：3a 和a 属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A 项不符合题意，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
8
根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B 项不符合题意，
根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C 项符合题意，
（﹣a）2＝a2，故D 项不符合题意，
故选：C．
4．已知不等式组
，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
解不等式2x≥﹣4，得：x≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
故选：D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1 的大小为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠ABC＝180°，进而可求出∠1．
【解答】解：由题意知，∠ABC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
9
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心
的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，
不符合题意，
故选：B．
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一
个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：
分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9
B．8.9，8.9
C．9.0，9.0
D．8.9，9.0
【分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5 即可，众数即出现次数最多的
数，便可选出正确答案．
【解答】解：＝
＝9.0,
该组数众数为：9.0，
∴这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0，9.0，
故选：C．
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如
图，在正方形OABC 中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2
﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10
A．4，﹣1
B．
，﹣1
C．4，0
D．
，﹣1
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点
时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，
两次经过点A，两次经过点O，点B 和点C，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，
即可求出m 的最大值及最小值．
【解答】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 的顶点（m，﹣m）
在直线y＝﹣x 上运动，
在正方形OABC 中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再
逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次
经过点O，点B 和点C，
∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 经过点A（0，2）时，m＝0，或m＝﹣1；
当互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 经过点B（2，2）时，m＝
或m＝
．
∴互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
11
，﹣1．
故选：D．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，满分32 分）
9．（4 分）因式分解：x2+2x+1＝ （
x +1
）
2
．
【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2+2x+1＝（x+1）2,
故答案为：（x+1）2．
10．（4 分）2021 年5 月15 日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了
中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000 公里，数据
55000000 用科学记数法表示为
5.5×10
7
．
【分析】根据科学记数法的方法对55000000 进行科学记数即可．
【解答】解：55000000＝5.5×107，
故答案为：5.5×107．
11．（4 分）一个不透明的袋子中装有5 个小球，其中3 个白球，2 个黑球，这些小球除颜
色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为
．
【分析】用白球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有5 种等可能结果，摸出的小球是白球的
结果数为3，
∴摸出的小球是红球的概率为
，
故答案为：
．
12．（4 分）已知关于x 的一元二次方程x2+6x+k＝0 有两个相等的实数根，则实数k 的值
为
9
．
【分析】利用判别式的意义得到△＝62﹣4k＝0，然后解关于k 的方程即可．
【解答】解：根据题意，△＝62﹣4k＝0，
解得k＝9,
故答案为9．
13．（4 分）要使分式
有意义，则x 的取值范围为
x ≠
1
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
12
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．
【解答】解：∵分式
有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
14．（4 分）已知x+
＝
，则代数式x+
﹣
＝
0
．
【分析】把x+
的值代入计算即可．
【解答】解：∵x+
＝
，
∴x+
﹣
＝
﹣
＝0，
故答案为：0．
15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六
尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6 尺
8 寸，门对角线距离恰好为1 丈．问门高、宽各是多少？（1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸）
如图，设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为 （
x ﹣
6.8
）
2 + x 2 ＝
10
2
．
【分析】设门高AB 为x 尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设门高AB 为x 尺，则门的宽为（x﹣6.8）尺，AC＝1 丈＝10 尺，
依题意得：AB2+BC2＝AC2,
即（x﹣6.8）2+x2＝102．
故答案为：（x﹣6.8）2+x2＝102．
16．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、
E，BE＝8，⊙O 为△BCE 的外接圆，过点E 作⊙O 的切线EF 交AB 于点F，则下列结
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
13
论正确的是
②④⑤
.（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则
的长为
；
④
＝
；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
【分析】①DE 垂直平分AB，AE＝BE，BE＞BC，则AE＞BC，故①错误；
②由题可知，四边形DBCE 是⊙O 的内接四边形，则∠AED＝∠CBD，故②正确；
③连接OD，若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，则
的长为
＝
，故
③错误；
④易得△EDF∽△BEF，则
＝
，故④正确；
⑤在Rt△BEF 中，EF＝6，BE＝8，BF＝10，又△BEF∽△ACB，则BE：AC＝EF：BC
＝6：8，设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，
即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，解得m＝1.28，则CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
【解答】解：①∵DE 垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
∴BE＞BC，
∴AE＞BC，
故①错误；
②由题可知，四边形DBCE 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AED＝∠CBD，
故②正确；
③连接OD，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
14
若∠DBE＝40°，则∠DOE＝80°，
∴
的长为
＝
，故③错误；
④∵EF 是⊙O 的切线，
∴∠BEF＝90°，
又DE⊥AB，
∴∠EDF＝∠BEF＝90°，
∴△EDF∽△BEF，
∴
＝
，故④正确；
⑤在Rt△BEF 中，EF＝6，BE＝8，
∴BF＝10，
由①AE＝BE＝8，
∴∠A＝∠ABE，
又∠C＝∠BEF＝90°，
∴△BEF∽△ACB，
∴BE：AC＝EF：BC＝6：8，
设BE＝6m，则AC＝8m，则CE＝8m﹣8，
在Rt△BCE 中，由勾股定理可得，EC2+BC2＝BE2，即（8m﹣8）2+（6m）2＝82，
解得m＝1.28，
∴CE＝8m﹣8＝2.24．故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
三、解答题（本大题共8 小题，满分64 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6 分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（
﹣π）0．
【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
15
【解答】解：原式＝﹣1+2+4×
﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．
18．（6 分）如图，在四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF 为平行四边形，你添
加的条件是
AE
＝
CF
；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF 为平行四边形．
【分析】（1）由题意添加条件即可；
（2）证AE∥CF，再由AE＝CF，即可得出结论．
【解答】解：（1）添加条件为：AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF 为平行四边形．
19．（8 分）如图，已知反比例函数y＝
（k≠0）与正比例函数y＝2x 的图象交于A（1，
m），B 两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C 在x 轴上，且△BOC 的面积为3，求点C 的坐标．
【分析】（1）先把A（1，m）代入y＝2x 中，即可算出点A 的坐标，再把点A 的坐标
代入反比例函数解析式中即可得出答案；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
16
（2）过点B 作BD 垂直与x 轴，垂足为D，设点C 的坐标为（a，0），根据反比例函数
与正比例函数的性质可得点B 的坐标，由题意可得BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，再根据三角
形面积计算方法即可算出a 的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝2x 中，
得m＝2，
∴点A 的坐标为（1，2），
把点A(1,2)代入y＝
中，
得k＝2，
∴反比例函数得解析式为y＝
；
（2）过点B 作BD 垂直与x 轴，垂足为D，
设点C 的坐标为（a，0），
∵点A 与点B 关于原点对称，
∴点B 的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，
S△BOC＝
＝
，
解得：a＝3 或a＝﹣3，
∴点C 的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．
20．（8 分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”
督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社
团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时
间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分
组
频数
频率
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
17
A
t＜6
4
0.08
B
6≤t＜7
8
0.16
C
7≤t＜8
10
a
D
8≤t＜9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝
0.2
，b＝
7
；
（2）扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数是
72
°；
（3）请估算该校600 名八年级学生中睡眠不足7 小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7 小时，会严重影响学习效率．请你根据以
上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【分析】（1）根据B 组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数
分布表中的数据，即可计算出a、b 的值；
（2）根据C 组的频率可计算出扇形统计图中C 组所在扇形的圆心角的大小；
（3）根据每天睡眠时长低于7 小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长
低于7 小时的人数．
（4）根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可．
【解答】解：（1）本次调查的同学共有：8÷0.16＝50（人），
a＝10÷50＝0.2，
b＝50﹣﹣8﹣10﹣21＝7，
故答案为：0.2，7；
（2）扇形统计图中C 组所在扇形的圆心角的大小是：360°×
＝72°，
故答案为：72；
（3）600×
＝144（人），
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
18
答：该校600 名八年级学生中睡眠不足7 小时的人数有144 人；
（4）按时入睡，保证睡眠时间．
21．（8 分）星期天，小明与妈妈到离家16km 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先
走，1h 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开
车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4 倍，求妈妈开车的平均速度．
【分析】设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，根据
时间＝路程÷速度，结合小明比妈妈多用1h，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验
后即可得出结论．
【解答】解：设小明骑自行车的平均速度为xkm/h，则妈妈开车的平均速度为4xkm/h，
依题意得：
﹣
＝1，
解得：x＝12，
经检验，x＝12 是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝48．
答：妈妈开车的平均速度为48km/h．
22．（8 分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行
观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB 的坡度i＝1：0.7（注：坡
度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A 与河岸E、F 在同一水平线上，从
山顶B 处测得河岸E 和对岸F 的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A 到河岸E 的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF 的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
【分析】（1）在RtABC 中，根据AB 的坡度求出AC，在RtBCE 中，根据等腰直角三角
形的性质可得CE＝BC，由线段的和差即可求得AE；
（2）在RtBCF 中，由三角函数的定义求出，根据线段的和差即可求出．
【解答】解：（1）在RtABC 中，BC＝80，
∵AB 的坡度i＝1：0.7，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴AC＝56，
在RtBCE 中，BC＝80，∠BEC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBE＝90°﹣∠BEC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BEC＝∠CBE，
∴CE＝BC＝80，
∴AE＝CE﹣AC＝80﹣56＝24（m），
答：山脚A 到河岸E 的距离为24m；
（2）在RtBCF 中，BC＝80，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝
，
∴
≈0.6，
∴CF≈133.33，
∴EF＝CF﹣CE＝133.33﹣80＝53.33≈53.3（m），
答：河宽EF 的长度约53.3m．
23．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D 为AB 的中点，连接
CD，将线段CD 绕点D 顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED 交线段BC
于点G，∠CDE 的平分线DM 交BC 于点H．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
20
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED 与BD 的数量关系是
ED
＝
BD
，
＝
；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C 作CF∥DE 交DM 于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF 的形状，并说明理由；
②求证：
＝
；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C 作CF∥DE 交DM 于点F，连接
EF，BE，请直接写出
的值（用含m 的式子表示）．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC＝CD＝BD，根据
旋转的性质可以得到CD＝DE，则DE＝BD；又在Rt△CGD 中，含30°的直角三角形边
之间的关系可得结论；
（2）①由∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，得CF＝CD＝ED，又CF∥DE，则四边形CDEF
是菱形，又∠CDE＝90°，可得结论：菱形CDEF 是正方形．
②由题意可得，∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，则△BEG∽△FHC，又DG＝BG，
CD＝CF，所以
＝
＝
＝
．
（3）过点D 作DN⊥BC 于点N，由tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝
＝m，得NG＝m，
所以DG＝
＝
，又△BEG∽△FHC，DG＝BG，CD＝CF，所以
＝
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
21
＝
＝
．
【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝30°，△ABD 是等边三角形，
∴∠DCB＝30°，
∵∠CDE＝α＝90°，
∴tan∠CGD＝tan60°＝
＝
，
∴
＝
．
∵线段CD 绕点D 顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，
∴ED＝CD＝BD，
故答案为：ED＝BD；
．
（2）①四边形CDEF 是正方形，理由如下，
∵DM 平分∠CDE，∠CDE＝90°，
∴∠CDM＝∠EDM＝45°，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝45°，
∴∠CFD＝∠EDM＝∠CDM，
∴CF＝CD＝ED，
∴四边形CDEF 是菱形，
∵∠CDE＝90°，
∴菱形CDEF 是正方形．
②由（1）可知，∠ADC＝60°，∠CGD＝60°，BD＝DE，
∴∠BDE＝30°，∠EGB＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝75°，
∴∠EBG＝45°，
∵∠GDB＝90°﹣∠ADE＝30°，∠ABC＝30°，
∴∠GDB＝∠ABC，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
22
∴DG＝BG，
由①知∠CFD＝∠CDF＝45°，∠DCF＝90°，
∴∠FCH＝60°，
∴∠EGB＝∠FCH，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴
＝
，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴
＝
＝
＝
．
（3）如图3，过点D 作DN⊥BC 于点N，
∴AC∥DN，
∴∠ACD＝∠CDN，
∵△ACD 是等边三角形，AC＝2，
∴CD＝AC＝2，∠CDN＝∠ACD＝60°，
∴∠NDG＝α﹣60°，DN＝1，
∴tan∠NDG＝tan（α﹣60°）＝
＝m，
∴NG＝m，
∴DG＝
＝
，
∵∠ADC＝60°，∠ADG＝α，
∴∠BDE＝120°﹣α，
∴∠BEG＝∠EBG＝30°+
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
23
∴∠EBG＝
，
∴∠BGE＝150°﹣α，
∵DM 平分∠CDE，∠CDE＝α，
∴∠CDM＝∠EDM＝
，
∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDM＝
，∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝180°﹣α，
∴∠FCG＝150°﹣α，
∴∠EGB＝∠FCG，∠EBG＝∠CFD，
∴△BEG∽△FHC，
∴
＝
，
∵DG＝BG，CD＝CF，
∴
＝
＝
＝
．
24．（10 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2 经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于
点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3 经过点A，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上
方，点Q 为抛物线上的一个动点，当PQ∥y 轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点
M 在点Q 的右侧），以PQ，QM 为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值
时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F 的坐标；若不
存在，请说明理由．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
24
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点Q 的坐标为（x，﹣
x2+
x+2），则点P 的坐标为（x，3x+3），设矩形周长
为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣
x2+
x+2）]＝x2﹣x+8，即可求解；
（3）过点D 作DK⊥QM 于点K，则DK＝yD﹣yQ＝
﹣
＝
，同理可得，QK＝1，
则tan∠DQM＝
，在△BOC 中，tan∠CBO＝
＝
，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
即y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，
即﹣4a＝2，解得a＝﹣
，
故抛物线的表达式为y＝﹣
x2+
x+2；
（2）将点A 的坐标代入直线l 的表达式得：0＝﹣k+3，解得k＝3，
故直线l 的表达式为y＝3x+3，
设点Q 的坐标为（x，﹣
x2+
x+2），则点P 的坐标为（x，3x+3），
由题意得，点Q、M 关于抛物线对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝
，
故点M 的横坐标为3﹣x，则QM＝3﹣x﹣x＝3﹣2x，
设矩形周长为C，则C＝2（PQ+QM）＝2[3﹣2x+3x+3﹣（﹣
x2+
x+2）]＝x2﹣x+8，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
25
∵1＜0，故C 有最小值，
当x＝
时，矩形周长最小值为
；
（3）当x＝
时，y＝﹣
x2+
x+2＝
，即点Q 的坐标为（
，
），
由抛物线的表达式知，点D 的坐标为（
，
），
过点D 作DK⊥QM 于点K，
则DK＝yD﹣yQ＝
﹣
＝
，
同理可得，QK＝1，
则tan∠DQM＝
，
∵∠CBF＝∠DQM，
故tan∠CBF＝tan∠DQM＝
，
在△BOC 中，tan∠CBO＝
＝
，
故BF 和BO 重合，
故点F 和点A 重合，
即点F 的坐标为（﹣1，0）．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
26
