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2021 年湖北省恩施州中考数学试卷
一、选择题：本大题共有12 个小题，每小题3 分，共36 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．﹣6 的相反数是（ ）
A．﹣6
B．6
C．±6
D．
2．全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780 万，将数5780 万用科学记数法表示为（
）
A．5.780×108
B．57.80×106
C．5.780×107
D．5.780×106
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．图中几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．7a3﹣3a2＝4a
B．（a2）3＝a5
C．a6÷a3＝a2
D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a
6．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男
工人的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．从
，﹣
，﹣
这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2 的有（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3
8．分式方程
+1＝
的解是（ ）
A．x＝1
B．x＝﹣2
C．x＝
D．x＝2
9．某物体在力F 的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W 与s 的对应
关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．W＝
s
B．W＝20s
C．W＝8s
D．s＝
10．如图，在▱ABCD 中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD 的面积为（ ）
A．30
B．60
C．65
D．
11．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E 为BD 与正方形网格线
的交点，下列结论正确的是（ ）
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2
A．CE≠
BD
B．△ABC≌△CBD
C．AC＝CD
D．∠ABC＝∠CBD
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，
m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2 或x≥0；
④b+c＝
m．其中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共有4 小题，每小题3 分，共12 分.
13．分解因式：a﹣ax2＝ ．
14．如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝ ．
15．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形
木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1 寸，锯道AB 长1
尺，问圆形木材的直径是多少？（1 尺＝10 寸）
答：圆材直径 寸．
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3
16．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，
图形中的点的个数即五边形数；
图形
…
五边形
数
1
5
12
22
35
51
…
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2 个数为 ．
三、解答题：本大题8 个小题，共72 分.
17．（8 分）先化简，再求值：1﹣
÷
，其中a＝
﹣2．
18．（8 分）如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接
OE．求证：OE⊥AD．
19．（8 分）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，
在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如
下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
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4
平均数
中位数
众数
方差
甲
175
a
b
93.75
乙
175
175
180，175，170
c
（1）求a、b 的值；
（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生
一分钟跳绳成绩谁优．
20．（8 分）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村
中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D 处观测乙居民楼楼底B 处的俯角是30°，观
测乙居民楼楼顶C 处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参
考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果精确到0.1m）
21．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC
的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝
经过点A．
（1）求k；
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5
（2）直线AC 与双曲线y＝﹣
在第四象限交于点D，求△ABD 的面积．
22．（10 分）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃
勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品
助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40 元，销售50 千克花生与销售10
千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6 元/千克，茶叶的成本为36 元/千克，甲计划两种产品共助销
60 千克，总成本不高于1260 元，且花生的数量不高于茶叶数量的2 倍．则花生、茶叶
各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
23．（10 分）如图，在Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，⊙O 与AB 相交于点C，与AO 相交于
点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE 的长．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A，B 在x 轴上，
抛物线y＝x2+bx+c 经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
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6
（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，
E，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究
EM+MP+PB 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，
请说明理由．
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2021 年湖北省恩施州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12 个小题，每小题3 分，共36 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．﹣6 的相反数是（ ）
A．﹣6
B．6
C．±6
D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣（﹣6）＝6，则﹣6 的相反数是6．
故选：B．
2．全国第七次人口普查湖北省常住人口约为5780 万，将数5780 万用科学记数法表示为（
）
A．5.780×108
B．57.80×106
C．5.780×107
D．5.780×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．
【解答】解：5780 万＝57800000＝5.780×107，
故选：C．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个
图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫
做中心对称图形．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
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8
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．图中几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据俯视图是从上面看的到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．7a3﹣3a2＝4a
B．（a2）3＝a5
C．a6÷a3＝a2
D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、
单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：A.7a3﹣3a2，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a6÷a3＝a3，故此选项不合题意；
D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a，故此选项符合题意．
故选：D．
6．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男
工人的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
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9
【分析】画树状图，共有20 种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6
种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有20 种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6 种，
∴这两名工人恰好都是男工人的概率为
＝
，
故选：C．
7．从
，﹣
，﹣
这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2 的有（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3
【分析】依题意任选两数相乘，将所得的三个乘积与2 作比较，即可得出结论．
【解答】解：∵
，
，
（﹣
）×
＝
＞2，
∴从
，﹣
，﹣
这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2 的有2 个．
故选：C．
8．分式方程
+1＝
的解是（ ）
A．x＝1
B．x＝﹣2
C．x＝
D．x＝2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可
得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+x﹣1＝3，
解得：x＝2，
经检验x＝2 是分式方程的解．
故选：D．
9．某物体在力F 的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W 与s 的对应
关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
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10
A．W＝
s
B．W＝20s
C．W＝8s
D．s＝
【分析】两点确定一条直线解析式，设W 与s 的解析式为W＝Ks，把s＝20，W＝160 代
入上式，可得解析式．
【解答】解：设W 与s 的关系解析式为W＝Ks（K≠0），
当s＝20 时，W＝160，
把（20，160）代入上式得，
160＝20K，
解得K＝8，
∴W＝8s，
故选：C．
10．如图，在▱ABCD 中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则▱ABCD 的面积为（ ）
A．30
B．60
C．65
D．
【分析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD 的底边BC 和其对角线
AC 的值，然后根据平行四边形的面积计算公式求解．
【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴BC＝AD＝5．
∵AC⊥BC，
∴△ACB 是直角三角形．
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11
∴AC＝
＝
＝12．
∴S▱ABCD＝BC•AC＝5×12＝60．
故选：B．
11．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E 为BD 与正方形网格线
的交点，下列结论正确的是（ ）
A．CE≠
BD
B．△ABC≌△CBD
C．AC＝CD
D．∠ABC＝∠CBD
【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD 的长，再根据勾股定理的逆定理可以得
到△BCD 的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF 的长，然后即可得到
CE 的长，从而可以得到CE 和BD 的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD 和
AC＝CD 不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC 和∠CBD 的关系．
【解答】解：由图可得，
BC＝
＝2
，CD＝
＝
，BD＝
＝5，
∴BC2+CD2＝（2
）2+（
）2＝25＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形，
∵EF∥GD，
∴△BFE∽△BGD，
∴
，
即
，
解得EF＝1.5，
∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，
∴
＝
，故选项A 错误；
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12
由图可知，显然△ABC 和△CBD 不全等，故选项B 错误；
∵AC＝2，CD＝
，
∴AC≠CD，故选项C 错误；
∵tan∠ABC＝
＝
，tan∠
＝
＝
，
∴∠ABC＝∠CBD，故选项D 正确；
故选：D．
12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，
m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2 或x≥0；
④b+c＝
m．其中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y 轴的交点，可得a、b、c 的符号，进
而可得abc 的符号，结论①错误；
②由抛物线与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），可判断出抛物线与x 轴的另一
个交点为（1，0），当x＝2 时，y＝4a+2b+c＞0，结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，即
，得b＝2a，把y＝c，b＝2a 代入y
＝ax2+bx+c 并化简得：x2+2x＝0，解得x＝0 或﹣2，可判断出结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c 并计算可得b＝
，由对称轴可得b＝
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13
2a，∴a＝
，由a+b+c＝0 可得c＝
，再计算b+c 的值，可判断④错误．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴左边，与y 轴交于负半轴，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
故结论①错误；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2 时，y＝4a+2b+c＞0，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，
∴x＝
，
∴b＝2a，
把y＝c，b＝2a 代入y＝ax2+bx+c 得：
ax2+2ax+c＝c，
∴x2+2x＝0，
解得x＝0 或﹣2，
∴当y≥c，则x≤﹣2 或x≥0，
故结论③正确；
④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c 得：
a﹣b+c＝m，，a+b+c＝0，
∴b＝
，
∵b＝2a，
∴a＝
，
∵抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝
，
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14
∴b+c＝
，
故选：B．
二、填空题：本大题共有4 小题，每小题3 分，共12 分.
13．分解因式：a﹣ax2＝
a （
1+
x ）（
1 ﹣
x ）
．
【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a﹣ax2＝a（1﹣x2）
＝a（1+x）（1﹣x）．
故答案为：a（1+x）（1﹣x）．
14．如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，则∠C＝
30°
．
【分析】由平角的定义求出∠CAE，根据平行线的性质即可求出∠C．
【解答】解：∵∠BAC+∠CAE+∠DAD＝180°，∠BAC＝100°，∠DAE＝50°，
∴∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝30°，
故答案为：30°．
15．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形
木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1 寸，锯道AB 长1
尺，问圆形木材的直径是多少？（1 尺＝10 寸）
答：圆材直径
26
寸．
【分析】过圆心O 作OC⊥AB 于点C，延长OC 交圆于点D，则CD＝1 寸，AC＝BC＝
AB，连接OA，设圆的半径为x，利用勾股定理在Rt△OAC 中，列出方程，解方程可
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15
得半径，进而直径可求．
【解答】解：过圆心O 作OC⊥AB 于点C，延长OC 交圆于点D，连接OA，如图：
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝
AB，
．
则CD＝1 寸，AC＝BC＝
AB＝5 寸．
设圆的半径为x 寸，则OC＝（x﹣1）寸．
在Rt△OAC 中，由勾股定理得：
52+（x﹣1）2＝x2，
解得：x＝13．
∴圆材直径为2×13＝26（寸）．
故答案为：26．
16．古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，
图形中的点的个数即五边形数；
图形
…
五边形
数
1
5
12
22
35
51
…
将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；
观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2 个数为
1335
．
【分析】观察表中图形及数字的变化规律可发现第n 个五边形数可表示为：1+2+3+...+
（n﹣1）+n2，观察数表找到规律，计算出这个数表中的第八行从左至右第2 个数是第
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16
几个五边形数即n 的值，代入上面的代数式即可求得答案．
【解答】解：观察表中图形及数字的变化规律可得第n 个五边形数可表示为：1+2+3+...
+（n﹣1）+n2，
由数表可知前七行数的个数和为：1+2+3+...+7＝28，
∴数表中的第八行从左至右第2 个数是第30 个五边形数即n＝30，
∴把n＝30 代入得：1+2+3+...+29+302，＝1335，
故答案为：1335．
三、解答题：本大题8 个小题，共72 分.
17．（8 分）先化简，再求值：1﹣
÷
，其中a＝
﹣2．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解：1﹣
÷
＝1﹣
＝1﹣
＝
＝﹣
，
当a＝
﹣2 时，原式＝﹣
＝﹣
．
18．（8 分）如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接
OE．求证：OE⊥AD．
【分析】利用DE∥AC，AE∥BD，可得四边形AODE 为平行四边形，由四边形ABCD
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17
为矩形可得AO＝OD，于是解得平行四边形AODE 为菱形，根据菱形对角线的性质可得
结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD 为矩形，
∴OA＝OD．
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE 为平行四边形．
∵OA＝OD，
∴平行四边形AODE 为菱形．
∴OE⊥AD．
19．（8 分）九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，
在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成如
下不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
平均数
中位数
众数
方差
甲
175
a
b
93.75
乙
175
175
180，175，170
c
（1）求a、b 的值；
（2）若九（1）班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生
一分钟跳绳成绩谁优．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出b、c 的值；
（2）答案不唯一，可从平均数，方差，中位数等方面，写出理由；
（2）根据平均数，方差，中位数，可得答案．
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18
【解答】解：（1）甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，
185，
∴甲的中位数a＝
＝177.5，
∵185 出现了3 次，出现的次数最多，
∴众数b 是185，
故a＝177.5，b＝185；
（2）应选甲，
理由：从众数和中位数相结合看，甲的成绩好些；
（3）乙的方差为：
[2×（175﹣175）2+2×（180﹣175）2+2×（170﹣175）2+（185﹣
175）2+（165﹣175）2]＝37.5，
①从平均数和方差向结合看，乙的成绩比较稳定；
②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
20．（8 分）乡村振兴使人民有更舒适的居住条件，更优美的生活环境，如图是怡佳新村
中的两栋居民楼，小明在甲居民楼的楼顶D 处观测乙居民楼楼底B 处的俯角是30°，观
测乙居民楼楼顶C 处的仰角为15°，已知甲居民楼的高为10m，求乙居民楼的高．（参
考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果精确到0.1m）
【分析】根据矩形的性质得到BE＝AD＝10m，根据三角函数的定义得到BD，解直角三
角形求得BF＝
BC，CF＝
BC，DF＝CF，于是得到
BC+
BC＝20，解得
BC≈14.6m．
【解答】解：作DE⊥BC 于E，CF⊥BD 于F，
在Rt△BED 中，BE＝AD＝10m，∠EDB＝30°，
∴∠EBD＝60°，BD＝2BE＝20m，
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19
在Rt△CBF 中，∠CBF＝60°，
∴BF＝
BC，CF＝
BC，
在Rt△CDF 中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝
BC，
∵BD＝BF+DF，
∴
BC+
BC＝20，
∴BC＝
≈14.6（m），
答：乙居民楼的高约为14.6m．
21．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC
的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝
经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC 与双曲线y＝﹣
在第四象限交于点D，求△ABD 的面积．
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20
【分析】（1）作AH⊥BC 于H，求出AH 的长和OH 的长确定A 点坐标即可；
（2）求出直线AD 的解析式，确定D 点坐标，再根据三角形ABD 的面积等于三角形
ABC 面积加三角形BCD 面积即可求出．
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC 于H，
∵Rt△ABC 的斜边BC 在x 轴上，坐标原点是BC 的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴OC＝
BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，
∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，
∴∠HAC＝∠ABC＝30°，
∴CH＝AC×sin30°＝1，OH＝AC×cos30°＝
，
∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，
∴A（1，
），
∵双曲线y＝
经过点A，
∴1＝
，
即k＝
；
（2）设直线AC 的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，
），C（2，0），
∴
，
解得
，
∴直线AC 的解析式为y＝﹣
x+2
，
∵直线AC 与双曲线y＝﹣
在第四象限交于点D，
∴
，
解得
或
，
∵D 在第四象限，
∴D（3，﹣
），
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21
∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝
BC•BH+
BC•（﹣yD）＝
＝4
．
22．（10 分）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃
勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品
助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40 元，销售50 千克花生与销售10
千克茶叶的总售价相同．
（1）求每千克花生、茶叶的售价；
（2）已知花生的成本为6 元/千克，茶叶的成本为36 元/千克，甲计划两种产品共助销
60 千克，总成本不高于1260 元，且花生的数量不高于茶叶数量的2 倍．则花生、茶叶
各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设每千克花生x 元，每千克茶叶（40+x）元列出一元一次方程求解即可；
（2）现根据花生销售m 千克，茶叶销售（60﹣m）千克，现根据总成本不高于1260 元，
且花生的数量不高于茶叶数量的2 倍求出m 的取值范围，再根据利润之和求出函数解析
式，根据函数的性质求最大值．
【解答】解：（1）设每千克花生x 元，每千克茶叶（40+x）元，
根据题意得：50x＝10（40+x），
解得：x＝10，
40+x＝40+10＝50（元），
答：每千克花生10 元，每千克茶叶50 元；
（2）设花生销售m 千克，茶叶销售（60﹣m）千克获利最大，利润w 元，
由题意得：
，
解得：30≤m≤40，
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22
w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，
∵﹣10＜0，
∴w 随m 的增大而减小，
∴当m＝30 时，利润最大，
此时花生销售30 千克，茶叶销售60﹣30＝30 千克，
w 最大＝﹣10×30+840＝540（元），
∴当花生销售30 千克，茶叶销售30 千克时利润最大，最大利润为540 元．
23．（10 分）如图，在Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，⊙O 与AB 相交于点C，与AO 相交于
点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE 的长．
【分析】（1）证OC⊥AB 即可证AB 为⊙O 的切线；
（2）作EH⊥AC 于H，利用三角形相似和勾股定理分别求出EH 和CH 的长度，再利用
勾股定理求出CE 即可．
【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝
（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝
＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB 为⊙O 的切线；
（2）解：作EH⊥AC 于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB＝
＝
＝25，
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23
∵
，
即
，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴
＝
，
即
＝
，
∴EH＝
，
∵BC＝
＝
＝9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH＝
＝
＝
，
∴CH＝AC﹣AH＝16﹣
＝
，
∴CE＝
＝
＝
．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A，B 在x 轴上，
抛物线y＝x2+bx+c 经过点B，D（﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，
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24
E，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究
EM+MP+PB 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）求出点B 的坐标为（1，0），再用待定系数法即可求解；
（2）以点Q，F，E，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，故点B 向右平移1 个单位
向上平移5 个单位得到点E，则Q（F）向右平移1 个单位向上平移5 个单位得到点F
（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），即可求解；
（3）设抛物线的对称轴交x 轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1 个单位得到点
B″（﹣2，0），连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M 作MP⊥y 轴，则点P、M
为所求点，此时EM+MP+PB 为最小，进而求解．
【解答】解：（1）由点D 的纵坐标知，正方形ABCD 的边长为5，
则OB＝AB﹣AO＝5﹣4＝1，故点B 的坐标为（1，0），
则
，解得
，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）存在，理由：
∵点D、E 关于抛物线对称轴对称，故点E 的坐标为（2，5），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，故设点F 的坐标为（﹣1，m），
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25
由点B、E 的坐标得，BE2＝（2﹣1）2+（5﹣0）2＝26，
设点Q 的坐标为（s，t），
∵以点Q，F，E，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，
故点B 向右平移1 个单位向上平移5 个单位得到点E，则Q（F）向右平移1 个单位向上
平移5 个单位得到点F（Q），且BE＝EF（BE＝EQ），
则
或
，
解得
或
，
故点F 的坐标为（﹣1，5+
）或（﹣1，5﹣
）或（﹣1，
）或（﹣1，﹣
）；
（3）存在，理由：
设抛物线的对称轴交x 轴于点B′（﹣1，0），将点B′向左平移1 个单位得到点B″
（﹣2，0），
连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M 作MP⊥y 轴，则点P、M 为所求点，此时
EM+MP+PB 为最小，
理由：∵B′B″＝PM＝1，且B′B″∥PM，故四边形B″B′PM 为平行四边形，则
B″M＝B′P＝BP，
则EM+MP+PB＝EM+1+MB″＝B″E 为最小，
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26
由点B″、E 的坐标得，直线B″E 的表达式为y＝
（x+2），
当x＝﹣1 时，y＝
（x+2）＝
，故点M 的坐标为（﹣1，
），
则EM+MP+PB 的最小值B″E＝
＝
+1．
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