文档文本内容
2021 年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共有10 个小题，每小题3 分，共30 分)
1．在实数﹣1，0，
，
中，无理数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．
2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（ ）
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．
证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1＝90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
A．①
B．②
C．③
D．④
5．若点P（a+1，2﹣2a）关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知：如图，直线y1＝kx+1 与双曲线y2＝
在第一象限交于点P（1，t），与x 轴、y
轴分别交于A，B 两点，则下列结论错误的是（ ）
A．t＝2
B．△AOB 是等腰直角三角形
C．k＝1
D．当x＞1 时，y2＞y1
7．如图，矩形OABC 的边OA，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上，
若A（2，0），D（4，0），以O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点B，交y 轴正半轴于
点E，连接DE，BE，则∠BED 的度数是（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
2
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P 分别是图中所作直线和射线与AB，
CD 的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．AD＝CD
B．∠ABP＝∠CBP
C．∠BPC＝115°
D．∠PBC＝∠A
9．如图，在菱形ABCD 中，∠D＝60°，AB＝2，以B 为圆心、BC 长为半径画
，点P 为
菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积
为（ ）
A．
B．
C．2π
D．
10．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右
边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x 的方程
[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜
且k≠0
B．k
C．k
且k≠0
D．k≥
二、填空题(本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分)
11．已知：a＝（
）﹣1+（﹣
）0，b＝（
+
）（
﹣
），则
＝ ．
12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能
打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是
．
13．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，OD⊥AC 于D，连接OC，过点D 作
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
3
DF∥OC 交AB 于F，过点B 的切线交AC 的延长线于E．若AD＝4，DF＝
，则BE＝
．
14．如图1 是一台手机支架，图2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点A，B 转动，测量
知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC 转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C 到AE
的距离为 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，
≈1.73）
15．若关于x 的方程
+
＝3 的解是正数，则m 的取值范围为 ．
16．如图，过反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x 轴的
垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4 分别作y 轴，P1A1，P2A2，
P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，
S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 ．
三、解答题(本大题共有8 个小题，共72 分)
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
4
17．（8 分）先化简，再求值：
÷（1+
），其中a＝2
．
18．（8 分）已知：a 是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7 的最小整数解，请用配方法解
关于x 的方程x2+2ax+a+1＝0．
19．（8 分）如图，在5×5 的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED 与AD
的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．
请在网格图形中画图：
（1）以线段AD 为边画正方形ABCD，再以线段DE 为斜边画等腰直角三角形DEF，其
中顶点F 在正方形ABCD 外；
（2）在（1）中所画图形基础上，以点B 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形
的面积为正方形ABCD 和△DEF 面积之和，其它顶点也在格点上．
20．（8 分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…
为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24 天）的
阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），
阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D
（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
5
（3）扇形统计图中a 的值为 ，圆心角β 的度数为 ；
（4）若该校有2000 名学生，估计寒假阅读的总时间少于24 小时的学生有多少名？对
这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
21．（8 分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、
描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1 的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a 有四个实数根，则a 的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3 的图
象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3 时，自变量x 的取值范围．
22．（10 分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买
2 支百合和1 支康乃馨共需花费14 元，3 支康乃馨的价格比2 支百合的价格多2 元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11 支，且百合不少于2 支．设买这束鲜花所需费用为
w 元，康乃馨有x 支，求w 与x 之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，
写出最少费用．
23．（10 分）在矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，F 是对角线AC 上不与点A，C 重合的一
点，过F 作FE⊥AD 于E，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF，点G 在射线AD 上，连接
CG．
（1）如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC＝90°，延长GF 交AB 于H，连接
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
6
CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF 与
△AEF 是否全等，并说明理由．
24．（12 分）已知：直线y＝﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 为直线AB 上一
动点，连接OC，∠AOC 为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE，连接BE，设
BE＝t．
（1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，经过点A 的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有
6a+3b+2c＝0，△POA 的面积为
，当t＝
时，求抛物线的解析式．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
7
2021 年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共有10 个小题，每小题3 分，共30 分)
1．在实数﹣1，0，
，
中，无理数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．
【分析】根据有理数（包括整数和分数）和无理数（无限不循环的小数）的定义判断即
可．
【解答】解：选项A、B：∵﹣1、0 是整数，∴﹣1、0 是有理数，∴选项A、B 不符合
题意；
选项C：∵
是分数，∴
是有理数，∴选项C 不符合题意；
选项D：∵
是无限不循环的小数，∴
是无理数，∴选项D 符合题意．
故选：D．
2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一个矩形，矩形的内部有一个与矩形两边相切的圆．
故选：A．
3．若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（ ）
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
8
【分析】直接利用单项式乘单项式以及合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：∵等式2a2•a+□＝3a3成立，
∴2a3+□＝3a3，
∴□填写单项式可以是：3a3﹣2a3＝a3．
故选：C．
4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．
证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1＝90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
A．①
B．②
C．③
D．④
【分析】根据垂直的定义得到∠1＝90°，再根据两直线平行，同位角相等得到∠2＝
90°，即可判定a⊥c．
【解答】证明：①∵a⊥b（已知），
∴∠1＝90°（垂直的定义），
②又∵b∥c（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等），
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换），
∴a⊥c（垂直的定义），
①～④步中数学依据错误的是②，
故选：B．
5．若点P（a+1，2﹣2a）关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示为
（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
9
A．
B．
C．
D．
【分析】由P 点关于x 轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，
即可得出选项．
【解答】解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x 轴的对称点在第四象限，
∴点P 在第一象限，
∴
，
解得：﹣1＜a＜1，
在数轴上表示为：
，
故选：C．
6．已知：如图，直线y1＝kx+1 与双曲线y2＝
在第一象限交于点P（1，t），与x 轴、y
轴分别交于A，B 两点，则下列结论错误的是（ ）
A．t＝2
B．△AOB 是等腰直角三角形
C．k＝1
D．当x＞1 时，y2＞y1
【分析】利用待定系数法求得t，k，利用直线的解析式求得A，B 的坐标，可得线段
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10
OA，OB 的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
【解答】解：∵点P（1，t）在双曲线y2＝
上，
∴t＝
＝2，正确；
∴A 选项不符合题意；
∴P（1，2）．
∵P（1，2）在直线y1＝kx+1 上，
∴2＝k+1．
∴k＝1，正确；
∴C 选项不符合题意；
∴直线AB 的解析式为y＝x+1
令x＝0，则y＝1，
∴B（0，1）．
∴OB＝1．
令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0）．
∴OA＝1．
∴OA＝OB．
∴△OAB 为等腰直角三角形，正确；
∴B 选项不符合题意；
由图像可知，当x＞1 时，y1＞y2．
∴D 选项不正确，符合题意．
故选：D．
7．如图，矩形OABC 的边OA，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上，
若A（2，0），D（4，0），以O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点B，交y 轴正半轴于
点E，连接DE，BE，则∠BED 的度数是（ ）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
11
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
【分析】连接OB，根据直角三角形的边角关系可求出∠BOC＝30°，进而求出∠BOD＝
60°最后再由圆周角定理得出答案．
【解答】解：如图，连接OB，
∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，
∴OA＝2，OD＝4＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BED＝
∠BOD＝
×60°＝30°，
故选：C．
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P 分别是图中所作直线和射线与AB，
CD 的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．AD＝CD
B．∠ABP＝∠CBP
C．∠BPC＝115°
D．∠PBC＝∠A
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
12
【分析】利用线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理一一判断
即可．
【解答】解：由作图可知，点D 在AC 的垂直平分线上，
∴DA＝DC，故选项A 正确，
∴∠A＝∠ACD＝40°，
由作图可知，BP 平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，故选项B 正确，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝
（180°﹣40°）＝70°，
∵∠PBC＝
∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故选项C 正确，
若∠PBC＝∠A，则∠A＝36°，显然不符合题意．
故选：D．
9．如图，在菱形ABCD 中，∠D＝60°，AB＝2，以B 为圆心、BC 长为半径画
，点P 为
菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积
为（ ）
A．
B．
C．2π
D．
【分析】连接AC，延长AP，交BC 于E，根据菱形的性质得出△ABC 是等边三角形，
进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S 阴影＝S 扇形ABC﹣S△PAB﹣
S△PBC即可求得．
【解答】解：连接AC，延长AP，交BC 于E，
在菱形ABCD 中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
13
在△APB 和△APC 中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC 为等腰直角三角形，
∴PE＝
BC＝1，
在Rt△ABE 中，AE＝
AB＝
，
∴AP＝
﹣1，
∴S 阴影＝S 扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝
﹣
（
﹣1）×1﹣
＝
π﹣
，
故选：A．
10．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右
边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x 的方程
[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜
且k≠0
B．k
C．k
且k≠0
D．k≥
【分析】先根据新定理得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一
元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0 且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式
即可．
【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因为方程有两个实数解，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
14
所以k≠0 且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤
且k≠0．
故选：C．
二、填空题(本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分)
11．已知：a＝（
）﹣1+（﹣
）0，b＝（
+
）（
﹣
），则
＝
2
．
【分析】先计算出a，b 的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
【解答】解：∵a＝（
）﹣1+（﹣
）0＝2+1＝3，b＝（
+
）（
﹣
）＝3﹣
2＝1，
∴
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能
打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是
．
【分析】随机事件A 的概率P（A）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：由题意得，
共有2×4＝8 种等可能情况，其中能打开锁的情况有2 种，
故一次打开锁的概率为
＝
，
故答案为：
．
13．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，OD⊥AC 于D，连接OC，过点D 作
DF∥OC 交AB 于F，过点B 的切线交AC 的延长线于E．若AD＝4，DF＝
，则BE＝
．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
15
【分析】根据垂径定理得到AD＝DC，根据三角形中位线定理求出OC，根据勾股定理
求出OD，证明△AOD∽△AEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，
∴AD＝DC＝4，
∵DF∥OC，DF＝
，
∴OC＝2DF＝5，
在Rt△COD 中，OD＝
＝3，
∵BE 是⊙O 的切线，
∴AB⊥BE，
∵OD⊥AD，
∴∠ADO＝∠ABE，
∵∠OAD＝∠EAB，
∴△AOD∽△AEB，
∴
＝
，即
＝
，
解得：BE＝
，
故答案为：
．
14．如图1 是一台手机支架，图2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点A，B 转动，测量
知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC 转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C 到AE
的距离为
6.3
cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，
≈1.73）
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
16
【分析】通过作垂线构造直角三角形，在在Rt△ABM 中，求出BM，在Rt△BCD 中，
求出BD，即可求出CN，从而解决问题．
【解答】解：如图，过点B、C 分别作AE 的垂线，垂足分别为M、N，过点C 作
CD⊥BM，垂足为D，
在Rt△ABM 中，
∵∠BAE＝60°，AB＝16，
∴BM＝sin60°•AB＝
×16＝8
（cm），
∠ABM＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCD 中，
∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
又∵BC＝8，
∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），
∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8
﹣7.52≈6.3（cm），
即点C 到AE 的距离约为6.3cm，
故答案为：6.3．
15．若关于x 的方程
+
＝3 的解是正数，则m 的取值范围为
m ＞﹣
7 且
m ≠﹣
3
．
【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
17
m 的取值范围．
【解答】解：原方程左右两边同时乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2），
解得：x＝
，
∵原方程的解为正数且x≠2，
∴
，
解得：m＞﹣7 且m≠﹣3，
故答案为：m＞﹣7 且m≠﹣3．
16．如图，过反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x 轴的
垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4 分别作y 轴，P1A1，P2A2，
P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，
S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为
S 1＝
4 S 4 ．
【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，S＝k，
由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝
k，S3＝
k，S4＝
k，即可得出S1＝
4S4．
【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，
OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴S1＝k，S2＝
k，S3＝
k，S4＝
k，
∴S1＝4S4．
故答案为：S1＝4S4．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
18
三、解答题(本大题共有8 个小题，共72 分)
17．（8 分）先化简，再求值：
÷（1+
），其中a＝2
．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解：
÷（1+
）
＝
÷
＝
＝
，
当a＝2
时，原式＝
＝
．
18．（8 分）已知：a 是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7 的最小整数解，请用配方法解
关于x 的方程x2+2ax+a+1＝0．
【分析】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于
是将a＝﹣2 代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可．
【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，
∴最小整数解为﹣2，
将a＝﹣2 代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，
配方，得（x﹣2）2＝5．
直接开平方，得x﹣2＝±
．
解得x1＝2+
，x2＝2﹣
．
19．（8 分）如图，在5×5 的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED 与AD
的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．
请在网格图形中画图：
（1）以线段AD 为边画正方形ABCD，再以线段DE 为斜边画等腰直角三角形DEF，其
中顶点F 在正方形ABCD 外；
（2）在（1）中所画图形基础上，以点B 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
19
的面积为正方形ABCD 和△DEF 面积之和，其它顶点也在格点上．
【分析】（1）根据正方形，等腰直角三角形的定义画出图形即可．
（2）画出边长为
的正方形即可．
【解答】解：（1）如图，正方形ABCD，△DEF 即为所求．
（2）如图，正方形BKFG 即为所求．
20．（8 分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…
为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24 天）的
阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），
阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D
（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为
60
；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中a 的值为
20
，圆心角β 的度数为
144°
；
（4）若该校有2000 名学生，估计寒假阅读的总时间少于24 小时的学生有多少名？对
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
20
这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
【分析】（1）根据D 组的人数和百分比即可求出样本容量；
（2）根据C 组所占的百分比即可求出C 组的人数；
（3）根据A 组的人数即可求出A 组所占的百分比，根据C 组所占的百分比即可求出对
应的圆心角；
（4）先算出低于24 小时的学生的百分比，在估算出全校低于24 小时的学生的人数．
【解答】解：（1）本次抽样的人数为
（人），
∴样本容量为60，
故答案为60；
（2）C 组的人数为40%×60＝24（人），
统计图如下：
（3）A 组所占的百分比为
，
∴a 的值为20，
β＝40%×360°＝144°，
故答案为20，144°；
（4）总时间少于24 小时的学生的百分比为
，
∴全校寒假阅读的总时间少于24 小时的学生有2000×50%＝1000（名），
建议：读书是人类文明进步的阶梯，建议每天读书至少1 小时．
21．（8 分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、
描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： 函数关于
y 轴对称
；
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
21
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1 的解为：
x ＝﹣
2 或
x ＝
0 或
x ＝
2
；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a 有四个实数根，则a 的取值范围是 ﹣
1 ＜
a ＜
0
．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3 的图
象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3 时，自变量x 的取值范围．
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3 的图象，根据图
象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察探究：
①该函数的一条性质为：函数关于y 轴对称；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1 的解为：x＝﹣2 或x＝0 或x＝2；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a 有四个实数根，则a 的取值范围是﹣1＜a＜0．
故答案为函数关于y 轴对称；x＝﹣2 或x＝0 或x＝2；﹣1＜a＜0．
（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移2 个单位，向上平移3 个单位可得到函数
y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3 的图象，
当2＜y1≤3 时，自变量x 的取值范围是0＜x＜4．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
22
22．（10 分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买
2 支百合和1 支康乃馨共需花费14 元，3 支康乃馨的价格比2 支百合的价格多2 元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11 支，且百合不少于2 支．设买这束鲜花所需费用为
w 元，康乃馨有x 支，求w 与x 之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，
写出最少费用．
【分析】（1）设买一支康乃馨需x 元，买一支百合需y 元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少
于2 支求函数的最小值即可．
【解答】解：（1）设买一支康乃馨需x 元，买一支百合需y 元，
则根据题意得：
，
解得：
，
答：买一支康乃馨需4 元，买一支百合需5 元；
（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，
∵百合不少于2 支，
∴11﹣x≥2，
解得：x≤9，
∵﹣1＜0，
∴w 随x 的增大而减小，
∴当x＝9 时，w 最小，
即买9 支康乃馨，买11﹣9＝2 支百合费用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
23
答：w 与x 之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9 支康乃馨，买2 支百合费用最少，最少
费用为46 元．
23．（10 分）在矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，F 是对角线AC 上不与点A，C 重合的一
点，过F 作FE⊥AD 于E，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF，点G 在射线AD 上，连接
CG．
（1）如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC＝90°，延长GF 交AB 于H，连接
CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF 与
△AEF 是否全等，并说明理由．
【分析】（1）①由矩形的性质和同角的余角相等证明△CDG 与△GAH 的两组对应角
相等，从而证明△CDG∽△GAH；
②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝
，可求出DG 的长，进而求出
GA 的长，由tan∠GHC 即∠GHC 的对边与邻边的比恰好等于相似三角形△CDG 与
△GAH 的一组对应边的比，由此可求出tan∠GHC 的值；
（2）△GCF 与△AEF 都是直角三角形，由tan∠DAC＝
可分别求出CG、AG、AE、
EF、AF、CF 的长，再由直角边的比不相等判断△GCF 与△AEF 不全等．
【解答】（1）如图1，
①证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
24
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴
＝tan∠DAC＝
＝
，
∴DG＝
CD＝
×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴
，
∴tan∠GHC＝
＝
．
（2）不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝
＝
，
∵∠GCF＝90°，
∴
＝tan∠DAC＝
，
∴CG＝
AC＝
×2
＝
，
∴AG＝
＝5，
∴EA＝
AG＝
，
∴EF＝EA•tan∠DAC＝
＝
，
∴AF＝
＝
，
∴CF＝2
＝
，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF 与△AEF 不全等．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
25
24．（12 分）已知：直线y＝﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 为直线AB 上一
动点，连接OC，∠AOC 为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE，连接BE，设
BE＝t．
（1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，经过点A 的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有
6a+3b+2c＝0，△POA 的面积为
，当t＝
时，求抛物线的解析式．
【分析】（1）证明△OAC≌△OBE（SAS），则∠OBE＝∠OAC＝45°，进而求解；
（2）∠EBH＝45°，则BH＝EH＝
BE＝
t，即可求解；
（3）由△POA 的面积＝
×AO×yP＝
×1×yP＝
＝
，求出yP＝1＝c﹣
，而抛物线
过点A（1，0），故a+b+c＝0，进而求解．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
26
则点A、B 的坐标分别为（1，0）、（0，1），
则∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOC+∠BOE＝90°，
∴∠AOC＝∠BOE，
∵AO＝BO，OC＝OE，
∴△OAC≌△OBE（SAS），
∴∠OBE＝∠OAC＝45°，AC＝BE＝t，
∴∠EBA＝∠EBO+∠OBA＝∠OAC+∠OBA＝45°+45°＝90°，
∴BE⊥AB；
（2）过点E 作EH⊥OB 于点H，
∵∠EBH＝45°，
∴BH＝EH＝
BE＝
t，
故点E 的坐标为（﹣
t，1﹣
t）；
（3）如上图，过点C 作CN⊥OA 于点N，
当t＝
时，即AC＝t＝
，
则CN＝AN＝
t＝
，
则ON＝OA﹣NA＝1﹣
＝CN，
故tan∠AOC＝
＝1＝k，
∵△POA 的面积＝
×AO×yP＝
×1×yP＝
＝
，
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
27
解得yP＝1＝c﹣
①，
∵抛物线过点A（1，0），故a+b+c＝0 ②，
而6a+3b+2c＝0 ③，
联立①②③并解得
，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x﹣3．
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
28
