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2021 年浙江省衢州市中考数学试卷
一、选择题（本题共有10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．21 的相反数是（ ）
A．21
B．﹣21
C．
D．﹣
2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．2021 年5 月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000．其
中数据1412000000 用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×108
B．0.1412×1010
C．1.412×109
D．1.412×108
4．下列计算正确的是（ ）
A．（x2）
3＝x5
B．x2+x2＝x4
C．x2•x3＝x5
D．x6÷x3＝x2
5．一个布袋里放有3 个红球和2 个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1
个球，摸到白球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（ ）
A．
π
B．3π
C．5π
D．15π
7．如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点，
连结DE，EF，则四边形ADEF 的周长为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，
雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几
何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1 斤（古时1 斤＝16 两）．雀重燕轻，互换其中
一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x 两，燕重y 两，可列出
方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转∠α 得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC
平分∠B′AC′时，∠α 与∠β 满足的数量关系是（ ）
A．∠α＝2∠β
B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180°
D．3∠α+2∠β＝180°
10．已知A，B 两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，甲骑自行车
匀速行驶3h 到达，乙骑摩托车，比甲迟1h 出发，行至30km 处追上甲，停留半小时后
继续以原速行驶．他们离开A 地的路程y 与甲行驶时间x 的函数图象如图所示．当乙再
次追上甲时距离B 地（ ）
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2
A．15km
B．16km
C．44km
D．45km
二、填空题（本题共有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．若
有意义，则x 的值可以是 ．（写出一个即可）
12．不等式2（y+1）＜y+3 的解为 ．
13．为庆祝建党100 周年，某校举行“庆百年红歌大赛”．七年级5 个班得分分别为85，
90，88，95，92，则5 个班得分的中位数为 分．
14．如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC，BD 交于点F，则∠AFB 的度数为 ．
15．将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A 与原点O 重合，AB 在x 轴正半轴
上，且AB＝4
，点E 在AD 上，DE＝
AD，将这副三角板整体向右平移
个单位，C，E 两点同时落在反比例函数y＝
的图象上．
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3
16．图1 是某折叠式靠背椅实物图，图2 是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，
支撑杆AD，BC 可绕连接点O 转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连
杆HD，点H 是CD 的中点，FA，EB 均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB
＝48cm．
（1）椅面CE 的长度为 cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD，BC 转动合拢，椅面和
连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B 两点间的距离为 cm（结果精
确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
三、解答题（本题共有8 小题，第17~19 小题每小题6 分，第20~21 小题每小题6 分，第
22~23 小题每小题6 分，第24 小题12 分，共66 分。请务必写出解答过程）
17．计算：
+（
）
0﹣|﹣3|+2cos60°．
18．先化简，再求值：
+
，其中x＝1．
19．如图，在6×6 的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图1 中画出△ACD，使△ACD 与△ACB 全等，顶点D 在格点上．
（2）在图2 中过点B 画出平分△ABC 面积的直线l．
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4
20．为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师
生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数．
（3）若该校共有师生1800 名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很
满意”或“满意”的师生总人数．
21．如图，在△ABC 中，CA＝CB，BC 与⊙A 相切于点D，过点A 作AC 的垂线交CB 的延
长线于点E，交⊙A 于点F，连结BF．
（1）求证：BF 是⊙A 的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF 的长．
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5
22．如图1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m，在距离D 点
6 米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建
立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O 离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3 根高度均为4m 的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端
的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
23．如图1，点C 是半圆O 的直径AB 上一动点（不包括端点），AB＝6cm，过点C 作
CD⊥AB 交半圆于点D，连结AD，过点C 作CE∥AD 交半圆于点E，连结EB．牛牛想
探究在点C 运动过程中EC 与EB 的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，
EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x 变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2 中描出了以各对对应
值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x＝3 时，y1＝ ．
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6
（2）在图2 中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC 取某值时，有EC＝EB”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计
算EC，EB 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
24．【推理】
如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点
F 处，连结BE，CF，延长CF 交AD 于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H．若
，CE＝9，求线段
DE 的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF，延长CF，BF 交直线AD 于G，
H 两点，若
＝k，
＝
，求
的值（用含k 的代数式表示）．
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7
参考答案
一、选择题（本题共有10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．21 的相反数是（ ）
A．21
B．﹣21
C．
D．﹣
解：21 的相反数是﹣21，
故选：B．
2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A 中的图形相同，
故选：A．
3．2021 年5 月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000．其
中数据1412000000 用科学记数法表示为（ ）
A．14.12×108
B．0.1412×1010
C．1.412×109
D．1.412×108
解：1412000000＝1.412×109．
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（x2）
3＝x5
B．x2+x2＝x4
C．x2•x3＝x5
D．x6÷x3＝x2
解：A：因为（x2）
3＝x6，所以A 选项错误；
B：因为x2+x2＝2x2，所以B 选项错误；
C：因为x2•x3＝x2+3＝x5，所以C 选项正确；
D：因为x6÷x3＝x6﹣3＝x3，所以D 选项错误．
故选：C．
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8
5．一个布袋里放有3 个红球和2 个白球，它们除颜色外其余都相同．从布袋中任意摸出1
个球，摸到白球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵从放有3 个红球和2 个白球布袋中摸出一个球，共有5 种等可能结果，其中摸出
的球是白球的有2 种结果，
∴从布袋中任意摸出1 个球，摸到白球的概率是
，
故选：D．
6．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（ ）
A．
π
B．3π
C．5π
D．15π
解：扇形面积＝
，
故选：D．
7．如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点，
连结DE，EF，则四边形ADEF 的周长为（ ）
A．6
B．9
C．12
D．15
解：∵点D，E，F 分别是AB，BC，CA 的中点，
∴DE＝
AC＝2.5，AF＝
AC＝2.5，EF＝
AB＝2，AD＝
AB＝2，
∴四边形ADEF 的周长＝AD+DE+EF+AF＝9，
故选：B．
8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，
雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几
何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1 斤（古时1 斤＝16 两）．雀重燕轻，互换其中
一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x 两，燕重y 两，可列出
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9
方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，得：
，
故选：A．
9．如图．将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转∠α 得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．当AC
平分∠B′AC′时，∠α 与∠β 满足的数量关系是（ ）
A．∠α＝2∠β
B．2∠α＝3∠β
C．4∠α+∠β＝180°
D．3∠α+2∠β＝180°
解：∵AC 平分∠B′AC′，
∴∠B'AC＝∠C'AC，
∵菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转∠α 得到菱形AB′C′D′，
∴∠BAB'＝∠CAC'＝α，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAB'＝∠DAC'，
∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝α，
∵AD∥BC，
∴4α+β＝180°，
故选：C．
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10
10．已知A，B 两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，甲骑自行车
匀速行驶3h 到达，乙骑摩托车，比甲迟1h 出发，行至30km 处追上甲，停留半小时后
继续以原速行驶．他们离开A 地的路程y 与甲行驶时间x 的函数图象如图所示．当乙再
次追上甲时距离B 地（ ）
A．15km
B．16km
C．44km
D．45km
解：由图象可知：甲的速度为：60÷3＝20（km/h），
乙追上甲时，甲走了30km，此时甲所用时间为：30÷20＝1.5（h），
乙所用时间为：1.5﹣1＝0.5（h），
∴乙的速度为：30÷0.5＝60（km/h），
设乙休息半小时再次追上甲时，甲所用时间为t，
则：20t＝60（t﹣1﹣0.5），
解得：t＝2.25，
此时甲距离B 地为：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），
故选：A．
二、填空题（本题共有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．若
有意义，则x 的值可以是
2 （答案不唯一）
．（写出一个即可）
解：由题意可得：
x﹣1≥0，
即x≥1．
则x 的值可以是大于等于1 的任意实数．
故答案为：2（答案不唯一）．
12．不等式2（y+1）＜y+3 的解为
y ＜
1
．
解：2（y+1）＜y+3
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11
2y+2＜y+3
2y﹣y＜3﹣2
y＜1，
故答案为：y＜1．
13．为庆祝建党100 周年，某校举行“庆百年红歌大赛”．七年级5 个班得分分别为85，
90，88，95，92，则5 个班得分的中位数为
90
分．
解：将这5 个班的得分重新排列为85、88、90、92、95，
∴5 个班得分的中位数为90 分，
故答案为：90．
14．如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC，BD 交于点F，则∠AFB 的度数为
72°
．
解：∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝
＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案为：72°．
15．将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A 与原点O 重合，AB 在x 轴正半轴
上，且AB＝4
，点E 在AD 上，DE＝
AD，将这副三角板整体向右平移
12
﹣
个单位，C，E 两点同时落在反比例函数y＝
的图象上．
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12
解：∵AB＝4
，
∴BD＝
AB＝12，
∴C（4
+6，6），
∵DE＝
AD，
∴E 的坐标为（3
，9），
设平移t 个单位后，则平移后C 点的坐标为（4
+6+t，6），平移后E 点的坐标为（3
+t，9），
∵平移后C，E 两点同时落在反比例函数y＝
的图象上，
∴（4
+6+t）×6＝（3
+t）×9，
解得t＝12﹣
，
故答案为12﹣
．
16．图1 是某折叠式靠背椅实物图，图2 是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，
支撑杆AD，BC 可绕连接点O 转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连
杆HD，点H 是CD 的中点，FA，EB 均与地面垂直，测得FA＝54cm，EB＝45cm，AB
＝48cm．
（1）椅面CE 的长度为
40
cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD，BC 转动合拢，椅面和
连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B 两点间的距离为
12.5
cm（结果精
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13
确到0.1cm）．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
解：（1）∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABF，
∴tan∠ECB＝tan∠ABF，
∴
，
∴
，
∴CE＝40（cm），
故答案为：40；
（2）如图2，延长AD，BE 交于点N，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
在△ABF 和△BAN 中，
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14
，
∴△ABF≌△BAN（ASA），
∴BN＝AF＝54（cm），
∴EN＝9（cm），
∵tanN＝
，
∴
＝
，
∴DE＝8（cm），
∴CD＝32（cm），
∵点H 是CD 的中点，
∴CH＝DH＝16（cm），
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△DOC，
∴
＝
＝
＝
，
如图3，连接CD，过点H 作HP⊥CD 于P，
∵HC＝HD，HP⊥CD，
∴∠PHD＝
∠CHD＝15°，CP＝DP，
∵sin∠DHP＝
＝sin15°≈0.26，
∴PD≈16×0.26＝4.16，
∴CD＝2PD＝8.32，
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15
∵CD∥AB，
∴△AOB∽△DOC，
∴
，
∴
，
∴AB＝12.48≈12.5（cm），
故答案为：12.5．
三、解答题（本题共有8 小题，第17~19 小题每小题6 分，第20~21 小题每小题6 分，第
22~23 小题每小题6 分，第24 小题12 分，共66 分。请务必写出解答过程）
17．计算：
+（
）
0﹣|﹣3|+2cos60°．
解：原式＝3+1﹣3+2×
＝2．
18．先化简，再求值：
+
，其中x＝1．
解：原式＝
﹣
＝
＝
＝x+3，
当x＝1 时，原式＝1+3＝4．
19．如图，在6×6 的网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在图1 中画出△ACD，使△ACD 与△ACB 全等，顶点D 在格点上．
（2）在图2 中过点B 画出平分△ABC 面积的直线l．
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16
解：（1）如图1 中，△ADC 即为所求．
（2）如图2 中，直线BT 即为所求．
20．为进一步做好“光盘行动”，某校食堂推出“半份菜”服务，在试行阶段，食堂对师
生满意度进行抽样调查．并将结果绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求被调查的师生人数，并补全条形统计图．
（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数．
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17
（3）若该校共有师生1800 名，根据抽样结果，试估计该校对食堂“半份菜”服务“很
满意”或“满意”的师生总人数．
解：（1）被调查的师生人数是：120÷60%＝200（人），
“不满意”的人数有：200﹣120﹣70＝10（人），
补充条形统计图如图：
（2）扇扇形统计图中表示“满意”的扇形圆心角度数为
×360°＝126°；
（3）1800×
＝1710（人）．
答：估计该校对食堂“半份菜”服务“很满意”或“满意”的师生总人数为1710 人．
21．如图，在△ABC 中，CA＝CB，BC 与⊙A 相切于点D，过点A 作AC 的垂线交CB 的延
长线于点E，交⊙A 于点F，连结BF．
（1）求证：BF 是⊙A 的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF 的长．
解：（1）证明：连接AD，如图，
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18
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵AE⊥AC，
∴∠CAB+∠EAB＝90°．
∵BC 与⊙A 相切于点D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE＝∠BAD．
在△ABF 和△ABD 中，
，
∴△ABF≌△ABD（SAS）．
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴BF 是⊙A 的切线．
（2）由（1）得：BF⊥AE，
∵AC⊥AE，
∴BF∥AC．
∴△EFB∽△EAC．
∴
，
∵BE＝5，CB＝AC＝20，
∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，
∴
．
∴BF＝4．
在Rt△BEF 中，
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19
EF＝
．
22．如图1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m，在距离D 点
6 米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建
立平面直角坐标系．
（1）求桥拱顶部O 离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3 根高度均为4m 的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端
的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
解：（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达
式为：y1═a1x2．
将F（6，﹣1.5）代入y1═a1x2有：﹣1.5═36a1，求得a1═
，
∴y1═
x2，
当x═12 时，y1═
×122═﹣6，
∴桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为
y2═a2（x﹣6）
2+1，
将H（0，4）代入其表达式有：4═a2（0﹣6）
2+1，求得a2═
，
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y═
（x﹣6）
2+1，
②设彩带的长度为Lm，
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20
则L═y2﹣y1═
（x﹣6）
2+1﹣（
x2）═
═
，
∴当x═4 时，L 最小值═2，
答：彩带长度的最小值是2m．
23．如图1，点C 是半圆O 的直径AB 上一动点（不包括端点），AB＝6cm，过点C 作
CD⊥AB 交半圆于点D，连结AD，过点C 作CE∥AD 交半圆于点E，连结EB．牛牛想
探究在点C 运动过程中EC 与EB 的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，
EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x 变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2 中描出了以各对对应
值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x＝3 时，y1＝
3
．
（2）在图2 中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC 取某值时，有EC＝EB”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计
算EC，EB 的长来验证这一结论，请你完成计算过程．
解：（1）当x＝3 时，点C 和圆心O 重合，此时CE 为半圆O 的半径，
∵AB＝6，
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21
∴EC＝y1cm＝3cm，
∴y1＝3，
故答案为：3；
（2）函数y 的图象如图：
由图象得：
当0＜x＜2 时，y1＜y2，
当x＝2 时，y1＝y2，
当2＜x＜6 时，y1＞y2；
（3））连接OD，作EH⊥AB 于H，
由（2）知时，有EC＝EB，
∵AC＝2，AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝1cm，
∵CD⊥AB，
∴CD＝
＝2
，
设OH＝m，则CH＝1+m，
∵EH⊥AB，
∴EH＝
＝
，
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22
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECH，
∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，
∴
，即
，
∴m1＝1，m2＝﹣
（不合题意，舍去），
∴HB＝3﹣1＝2，EH＝
＝2
，
∴EC＝
＝2
，EB＝
＝2
，
∴EC＝EB．
24．【推理】
如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点
F 处，连结BE，CF，延长CF 交AD 于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H．若
，CE＝9，求线段
DE 的长．
【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF，延长CF，BF 交直线AD 于G，
H 两点，若
＝k，
＝
，求
的值（用含k 的代数式表示）．
【解答】（1）证明：如图1 中，
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23
∵△BFE 是由△BCE 折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
∵BC＝CD，
∴△BCE≌△CDG（AAS）．
（2）如图2 中，连接EH．
∵△BCE≌△CDG，
∴CE＝DG＝9，
由折叠可知BC＝BF，CE＝FE＝9，
∴∠BCF＝∠BFC，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BCG＝∠HGF，
∵∠BFC＝∠HFG，
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24
∴∠HFG＝∠HGF，
∴HF＝HG，
∵
＝
，DG＝9，
∴HD＝4，HF＝HG＝5，
∵∠D＝∠HFE＝90°，
∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴52+92＝42+DE2，
∴DE＝3
或﹣3
（舍弃），
∴DE＝3
．
（3）如图3 中，连接HE．
由题意
＝
，可以假设DH＝4m，HG＝5m，设
＝x．
①当点H 在点D 的左侧时，
∵HF＝HG，
∴DG＝9m，
由折叠可知BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠ECF+∠CGD＝90°，
∴∠BEC＝∠CGD，
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25
∵∠BCE＝∠D＝90°，
∴△CDG∽△BCE，
∴
＝
，
∵
＝
＝k，
∴
＝
，
∴CE＝
＝FE，
∴DE＝
M
∵∠D＝∠HFE＝90°
∴∴HF2+FE2＝DH2+DE2，
∴（5m）
2+（
）
2＝（4m）
2+（
）
2，
∴x＝
或﹣
（舍弃），
∴
＝
．
②当点H 在点D 的右侧时，如图4 中，
同理HG＝HF，△BCE∽△CDG，
∴DG＝m，CE＝
＝FE，
∴DE＝
，
∵HF2+FE2＝DH2+DE2，
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26
∴（5m）
2+（
）
2＝（4m）
2+（
）
2，
∴x＝
或﹣
（舍弃），
∴
＝
．
综上所述，
＝
或
．
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