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2021 年浙江省嘉兴市中考数学试卷
一、选择题（本题有10 小题，每题3 分，共30 分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、
多选错选，均不得分）
1．2021 年5 月22 日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与
地球的最近距离约为55000000 千米，数据55000000 用科学记数法表示为（ ）
A．55×106
B．5.5×107
C．5.5×108
D．0.55×108
2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．能说明命题“若x 为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝
﹣1
B．x＝
+1
C．x＝3
D．x＝
﹣
4．已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝
的图象上，其中x1
＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0＜y3
B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1
D．y3＜0＜y1＜y2
5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，
则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．矩形
D．菱形
6．5 月1 日至7 日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是
℃
D．4 日至5 日最高气温下降幅度较大
7．已知平面内有⊙O 和点A，B，若⊙O 半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线
AB 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
8．为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901 班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，
其中缤纷棒共花费30 元，荧光棒共花费40 元，缤纷棒比荧光棒少20 根，缤纷棒单价是
荧光棒的1.5 倍．若设荧光棒的单价为x 元，根据题意可列方程为（ ）
A．
﹣
＝20
B．
﹣
＝20
C．
﹣
＝20
D．
﹣
＝20
9．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D 在AC 上，且AD＝2，点E 是AB
上的动点，连结DE，点F，G 分别是BC 和DE 的中点，连结AG，FG，当AG＝FG 时，
线段DE 长为（ ）
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2
A．
B．
C．
D．4
10．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4 上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．
≤
B．
≥
C．
≥
D．
≤
二、填空题（本题有6 小题，每题4 分，共24 分）
11 ．（4 分）已知二元一次方程x+3y ＝14 ，请写出该方程的一组整数解
．
12．（4 分）如图，在直角坐标系中，△ABC 与△ODE 是位似图形，则它们位似中心的坐
标是 ．
13．（4 分）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等
式为2n﹣1＝ ．
14．（4 分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD 于点
H，若AB＝2，BC＝2
，则AH 的长为 ．
15．（4 分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三
个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已
知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的
概率为 ．
马匹
姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
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3
田忌
5
7
9
16．（4 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P 从点A 出发沿
AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP，点A 关于直线CP 的对称点为A′，连
结A′ C ，A′ P ．在运动过程中，点A′ 到直线AB 距离的最大值是
；点P 到达点B 时，线段A′P 扫过的面积为 ．
三、解答题（本题有8 小题，第17～19 题每题6 分，第20，21 题每题8 分，第22，23 题
每题10 分，第24 题12 分，共66 分）
17．（6 分）（1）计算：2﹣1+
﹣sin30°；
（2）化简并求值：1﹣
，其中a＝﹣
．
18．（6 分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0 或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并
写出你的解答过程．
19．（6 分）如图，在7×7 的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B 在格点上，
每一个小正方形的边长为1．
（1）以AB 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
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4
20．（8 分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30 米称为“加速期”，30 米
~80 米为“中途期”，80 米~100 米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训
练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y 是关于x 的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
21．（8 分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400 名八年级学生
2021 年初的视力数据，并调取该批学生2020 年初的视力数据，制成如图统计图（不完
整）：
青少年视力健康标准
类别
视力
健康状况
A
视力≥5.0
视力正常
B
4.9
轻度视力不
良
C
4.6≤视力
中度视力不
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5
≤4.8
良
D
视力≤4.5
重度视力不
良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400 名学生2021 年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度
数和2020 年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021 年初该市有八年级学生2 万人，请估计这些学生2021 年初视力正常的人数
比2020 年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学
生2021 年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
22．（10 分）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，△BCD 为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和
EF 为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄
△BCD 按压到底时，BD 转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D 转动到点D′的路径长；
（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
23．（10 分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4 时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3 时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t 的值．
24．（12 分）小王在学习浙教版九上课本第72 页例2 后，进一步开展探究活动：将一个矩
形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
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6
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB 延长线上．若AB＝1，求BC 的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD 于点M．线段D′M 与DM
相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2 的条件下，射线DB 分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线
段DN，MN，PN 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
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7
2021 年浙江省嘉兴市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10 小题，每题3 分，共30 分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、
多选错选，均不得分）
1．2021 年5 月22 日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与
地球的最近距离约为55000000 千米，数据55000000 用科学记数法表示为（ ）
A．55×106
B．5.5×107
C．5.5×108
D．0.55×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．当原数绝
对值≥10 时，n 是正数．
【解答】解：55000000＝5.5×107．
故选：B．
2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐．
故选：C．
3．能说明命题“若x 为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A．x＝
﹣1
B．x＝
+1
C．x＝3
D．x＝
﹣
【分析】根据题意，只要x2是有理数，即求出各个选项中x2的值，再判断即可．
【解答】解：（
﹣1）2＝3﹣2
，是无理数，不符合题意；
（
+1）2＝3+2
，是无理数，不符合题意；
（3
）2＝18，是有理数，符合题意；
（
﹣
）2＝5﹣2
，是无理数，不符合题意；
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8
故选：C．
4．已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝
的图象上，其中x1
＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（ ）
A．y2＜y1＜0＜y3
B．y1＜y2＜0＜y3
C．y3＜0＜y2＜y1
D．y3＜0＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3
即可得出结论
【解答】解：∵反比例函数y＝
中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B 两点在第三象限，C 点在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：A．
5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，
则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．矩形
D．菱形
【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2 次后，
剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．
【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC 是等腰三角形，
又△ABC 和△BCD 关于直线CD 对称，
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9
∴四边形BACD 是菱形，
故选：D．
6．5 月1 日至7 日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．中位数是33℃
B．众数是33℃
C．平均数是
℃
D．4 日至5 日最高气温下降幅度较大
【分析】分别确定7 个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、7 个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为
27，所以中位数为27℃，故A 错误，符合题意；
B、7 个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，正确，不符合题意；
C、平均数为
（23+25+26+27+30+33+33）＝
，正确，不符合题意；
D、观察统计表知：4 日至5 日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，
故选：A．
7．已知平面内有⊙O 和点A，B，若⊙O 半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线
AB 与⊙O 的位置关系为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：⊙O 的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A 到圆心O 的距离大于圆的半径，点B 到圆心O 的距离等于圆的半径，
∴点A 在⊙O 外，点B 在⊙O 上，
∴直线AB 与⊙O 的位置关系为相交或相切，
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10
故选：D．
8．为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901 班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，
其中缤纷棒共花费30 元，荧光棒共花费40 元，缤纷棒比荧光棒少20 根，缤纷棒单价是
荧光棒的1.5 倍．若设荧光棒的单价为x 元，根据题意可列方程为（ ）
A．
﹣
＝20
B．
﹣
＝20
C．
﹣
＝20
D．
﹣
＝20
【分析】若设荧光棒的单价为x 元，则缤纷棒单价是1.5x 元，根据等量关系“缤纷棒比
荧光棒少20 根”可列方程即可．
【解答】解：若设荧光棒的单价为x 元，则缤纷棒单价是1.5x 元，
根据题意可得：
﹣
＝20．
故选：B．
9．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D 在AC 上，且AD＝2，点E 是AB
上的动点，连结DE，点F，G 分别是BC 和DE 的中点，连结AG，FG，当AG＝FG 时，
线段DE 长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【分析】分别过点G，F 作AB 的垂线，垂足为M，N，过点G 作GP⊥FN 于点P，由中
位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG 和FG 的长，建立等式可求出结论．
【解答】解：如图，分别过点G，F 作AB 的垂线，垂足为M，N，过点G 作GP⊥FN 于
点P，
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11
∴四边形GMNP 是矩形，
∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，
∴CA⊥AB，
又∵点G 和点F 分别是线段DE 和BC 的中点，
∴GM 和FN 分别是△ADE 和△ABC 的中位线，
∴GM＝
＝1，AM＝
AE，
FN＝
AC＝
，AN＝
AB＝
，
∴MN＝AN﹣AM＝
﹣
AE，
∴PN＝1，FP＝
，
设AE＝m，
∴AM＝
m，GP＝MN＝
﹣
m，
在Rt△AGM 中，AG2＝（
m）2+12，
在Rt△GPF 中，GF2＝（
﹣
m）2+（
）2，
∵AG＝GF，
∴（
m）2+12＝（
﹣
m）2+（
）2，
解得m＝3，即DE＝3，
在Rt△ADE 中，DE＝
＝
．
故选：A．
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12
10．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4 上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．
≤
B．
≥
C．
≥
D．
≤
【分析】结合选项可知，只需要判断出a 和b 的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x
﹣4 上，代入可得关于a 和b 的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0 中，可判断出a 与b 正负，
即可得出结论．
【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4 上，
∴﹣3a﹣4＝b，
又2a﹣5b≤0，
∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，
解得a≤﹣
＜0，
当a＝﹣
时，得b＝﹣
，
∴b≥﹣
，
∵2a﹣5b≤0，
∴2a≤5b，
∴
≤
．
故选：D．
二、填空题（本题有6 小题，每题4 分，共24 分）
11．（4 分）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解
（答案不
唯一） ．
【分析】把y 看做已知数求出x，确定出整数解即可．
【解答】解：x+3y＝14，
x＝14﹣3y，
当y＝1 时，y＝11，
则方程的一组整数解为
．
故答案为：
（答案不唯一）．
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13
12．（4 分）如图，在直角坐标系中，△ABC 与△ODE 是位似图形，则它们位似中心的坐
标是 （
4 ，
2 ）
．
【分析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．
【解答】解：如图，
点G（4，2）即为所求的位似中心．
故答案是：（4，2）．
13．（4 分）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等
式为2n﹣1＝
n 2 ﹣（
n ﹣
1 ）
2
．
【分析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，等号右边第一个数
是和左边是第几个奇数一样，第二个数比第一个数少1，然后即可写出第n 个等式．
【解答】解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，
∴第n 个等式为2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，
故答案为：n2﹣（n﹣1）2．
14．（4 分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD 于点
H，若AB＝2，BC＝2
，则AH 的长为
．
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14
【分析】在Rt△ABC 和Rt△OAB 中，分别利用勾股定理可求出BC 和OB 的长，又
AH⊥OB，可利用等面积法求出AH 的长．
【解答】解：如图，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2
，
∴AC＝
＝2
，
在▱ABCD 中，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OC＝
，
在Rt△OAB 中，
OB＝
＝
，
又AH⊥BD，
∴
OB•AH＝
OA•AB，即
＝
，
解得AH＝
．
故答案为：
．
15．（4 分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三
个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已
知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的
概率为
．
马匹
姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1 种，再由概率公式求
解即可．
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15
【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场
顺序为10，8，6 时，田忌的马按5，9，7 的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为
．
16．（4 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P 从点A 出发沿
AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP，点A 关于直线CP 的对称点为A′，连
结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB 距离的最大值是
；点P 到
达点B 时，线段A′P 扫过的面积为
．
【分析】如图1 中，过点B 作BH⊥AC 于H．解直角三角形求出CA,当CA′⊥AB 时，
点A′到直线AB 的距离最大，求出CA′,CK．可得结论．如图2 中，点P 到达点B 时，
线段A′P 扫过的面积＝S 扇形A′CA﹣2S△ABC，由此求解即可．
【解答】解：如图1 中，过点B 作BH⊥AC 于H．
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16
在Rt△ABH 中，BH＝AB•sin30°＝1,AH＝
BH＝
,
在Rt△BCH 中，∠BCH＝45°,
∴CH＝BH＝1,
∴AC＝CA′＝1+
,
当CA′⊥AB 时，点A′到直线AB 的距离最大，
设CA′交AB 的延长线于K．
在Rt△ACK 中，CK＝AC•sin30°＝
,
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+
﹣
＝
．
如图2 中，点P 到达点B 时，线段A′ P 扫过的面积＝S 扇形A′ CA﹣2S△ABC ＝
﹣2×
×(1+
)×1＝(1+
)π﹣1﹣
．
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17
故答案为：
，(1+
)π﹣1﹣
．
三、解答题（本题有8 小题，第17～19 题每题6 分，第20，21 题每题8 分，第22，23 题
每题10 分，第24 题12 分，共66 分）
17．（6 分）（1）计算：2﹣1+
﹣sin30°；
（2）化简并求值：1﹣
，其中a＝﹣
．
【分析】（1）根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；
（2）先通分，然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子，然后将a 的值代入化
简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）2﹣1+
﹣sin30°
＝
+2
﹣
＝2
；
（2）1﹣
＝
＝
＝
，
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18
当a＝﹣
时，原式＝
＝2．
18．（6 分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0 或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并
写出你的解答过程．
【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0 的情况；
小霞：提取公因式时出现了错误．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0 或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
19．（6 分）如图，在7×7 的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B 在格点上，
每一个小正方形的边长为1．
（1）以AB 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
【分析】（1）先以AB 为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．
【解答】解：（1）如下图所示：
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四边形ABCD 即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．
（2）图1 菱形面积S＝
×2×6＝6，
图2 菱形面积S＝
×2
×4
＝8，
图3 菱形面积S＝（
）2＝10．
20．（8 分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30 米称为“加速期”，30 米
~80 米为“中途期”，80 米~100 米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训
练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y 是关于x 的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；
（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30 米时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．建议合理即可．
【解答】解：（1）y 是x 的函数，在这个变化过程中，对于x 的每一个确定的值，y 都
有唯一确定的值与之对应．
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（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80 米左右时速度下降明显，建议增加
耐力训练，提高成绩．
21．（8 分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400 名八年级学生
2021 年初的视力数据，并调取该批学生2020 年初的视力数据，制成如图统计图（不完
整）：
青少年视力健康标准
类别
视力
健康状况
A
视力≥5.0
视力正常
B
4.9
轻度视力不
良
C
4.6≤视力
≤4.8
中度视力不
良
D
视力≤4.5
重度视力不
良
根据以上信息，请解答：
（1）分别求出被抽查的400 名学生2021 年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度
数和2020 年初视力正常（类别A）的人数．
（2）若2021 年初该市有八年级学生2 万人，请估计这些学生2021 年初视力正常的人数
比2020 年初增加了多少人？
（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学
生2021 年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．
【分析】（1）利用2021 年初视力不良的百分比乘360°即可求解．
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（2）分别求出2021、2020 年初视力正常的人数即可求解．
（3）用1﹣31.25%即可得该市八年级学生2021 年视力不良率，即可判断．
【解答】解：（1）被抽查的400 名学生2021 年初轻度视力不良的扇形圆心角度数＝
360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.1°．
该批400 名学生2020 年初视力正常人数＝400﹣48﹣91﹣148＝113（人）．
（2）该市八年级学生221 年初视力正常人数＝20000×31.25%＝6250（人）．
这些学生2020 年初视力正常的人数＝
（人）．
∴增加的人数＝6250﹣5650＝600（人）．
（3）该市八年级学生2021 年视力不良率＝1﹣31.25%＝68.75%．
∵68.75%＜69%．
∴该市八年级学生2021 年初视力良率符合要求．
22．（10 分）一酒精消毒瓶如图1，AB 为喷嘴，△BCD 为按压柄，CE 为伸缩连杆，BE 和
EF 为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄
△BCD 按压到底时，BD 转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．
（1）求点D 转动到点D′的路径长；
（2）求点D 到直线EF 的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根据弧长公式即可求
出点D 转动到点D′的路径长为
＝
π；
（2）过D 作DG⊥BD'于G,过E 作EH⊥BD'于H，Rt△BDG 中，求出DG＝BD•sin36°＝
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3.54,Rt△BEH 中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即点D 到直线EF 的距离为7.3cm,
【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，
∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，
∵∠DBE＝108°，
∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，
∵BD＝6，
∴点D 转动到点D′的路径长为
＝
π；
（2）过D 作DG⊥BD'于G,过E 作EH⊥BD'于H，如图：
Rt△BDG 中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54,
Rt△BEH 中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80,
∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,
∵BD'∥EF,
∴点D 到直线EF 的距离约为7.3cm,
答：点D 到直线EF 的距离约为7.3cm．
23．（10 分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4 时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3 时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t 的值．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m 和最小值n，进而根据m﹣n
＝3 得到关于t 的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵顶点坐标为（3，4），
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∴当x＝3 时，y 最大值＝4，
∵当1≤x≤3 时，y 随着x 的增大而增大，
∴当x＝1 时，y 最小值＝0，
∵当3＜x≤4 时，y 随着x 的增大而减小，
∴当x＝4 时，y 最小值＝3．
∴当1≤x≤4 时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3 时，对t 进行分类讨论，
①当t+3＜3 时，即t＜0，y 随着x 的增大而增大，
当x＝t+3 时，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t 时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3 时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤
时，在x＝t 时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣
，t2＝3+
（不合题意，舍去）；
ii）当
＜t＜3 时，在x＝t+3 时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝
，t2＝﹣
（不合题意，舍去），
③当t≥3 时，y 随着x 的增大而减小，
当x＝t 时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3 时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣
或
．
24．（12 分）小王在学习浙教版九上课本第72 页例2 后，进一步开展探究活动：将一个矩
形ABCD 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB 延长线上．若AB＝1，求BC 的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD 于点M．线段D′M 与DM
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相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2 的条件下，射线DB 分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线
段DN，MN，PN 存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【分析】（1）如图1，设BC＝x，由旋转的性质得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB
＝1，证明△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性质得出
，由比例线段得
出方程
，求出x 的值即可得出答案；
（2）连接DD'，证明△AC'D'≌△DAB（SAS），由全等三角形的性质得出∠D'AC'＝
∠ADB，由等腰三角形的性质得出∠ADD'＝∠AD'D，证出∠MDD'＝∠MD'D，则可得
出结论；
（3）连接AM，证明△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性质得出∠MAD'＝
∠MAD，得出MN＝AN，证明△NPA∽△NAD，由相似三角形的性质得出
，则
可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，设BC＝x，
∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，
∴点A，B，D’在同一直线上，
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∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，
∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，
∵∠BAD＝∠D'＝90°，
∴D'C'∥DA，
又∵点C'在DB 的延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴
，
∴
，
解得x1＝
，x2＝
（不合题意，舍去），
∴BC＝
．
（2）D'M＝DM．
证明：如图2，连接DD'，
∵D'M∥AC'，
∴∠AD'M＝∠D'AC'，
∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，
∴△AC'D'≌△DAB（SAS），
∴∠D'AC'＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠AD'M，
∵AD'＝AD，
∴∠ADD'＝∠AD'D，
∴∠MDD'＝∠MD'D，
∴D'M＝DM；
（3）关系式为MN2＝PN•DN．
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证明：如图3，连接AM，
∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，
∴△AD'M≌△ADM（SSS），
∴∠MAD'＝∠MAD，
∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴MN＝AN，
在△NAP 和△NDA 中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，
∴△NPA∽△NAD，
∴
，
∴AN2＝PN•DN，
∴MN2＝PN•DN．
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