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2021 年江苏省无锡市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．﹣
的相反数是（ ）
A．﹣
B．
C．3
D．﹣3
2．函数y＝
中自变量x 的取值范围是（ ）
A．x＞2
B．x≥2
C．x＜2
D．x≠2
3．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是
（ ）
A．54，55
B．54，54
C．55，54
D．52，55
4．方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3
B．（a2）3＝a5
C．a8÷a2＝a4
D．a2•a3＝a5
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，D、E、F 分别是△ABC 各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE 和△DCF 的面积相等
B．四边形AEDF 是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF 是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF 是矩形
8．一次函数y＝x+n 的图象与x 轴交于点B，与反比例函数y＝
（m＞0）的图象交于点A
（1，m），且△AOB 的面积为1，则m 的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P 是△ABC 所在平面内一点，则
PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P 是△ABC 三边垂直平分线的交点
B．点P 是△ABC 三条内角平分线的交点
C．点P 是△ABC 三条高的交点
D．点P 是△ABC 三条中线的交点
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2 图象上的点，当a≤x≤b 时，总有﹣
1≤y1﹣y2≤1 恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b 上是“逼近函数”，a≤x≤b 为“逼
近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2 在1≤x≤2 上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x 在3≤x≤4 上是“逼近函数”；
③0≤x≤1 是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x 的“逼近区间”；
④2≤x≤3 是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x 的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．②④
二、填空题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡上相应的位置．）
11．（2 分）分解因式：2x3﹣8x＝ ．
12．（2 分）2021 年5 月15 日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次
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留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000
千米，320000000 这个数据用科学记数法可表示为 ．
13．（2 分）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
底面半径为 ．
14．（2 分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：
．
15．（2 分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100 米所上升的高度
为 米．
16．（2 分）下列命题中，正确命题的个数为 ．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
17．（2 分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝2
，AC＝6，点E 在线段AC 上，
且AE＝1，D 是线段BC 上的一点，连接DE，将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，得到四
边形FGDE，当点G 恰好落在线段AC 上时，AF＝ ．
18．（2 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，
过点C 的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B 两点，且CB＝3AC，P 为CB 的中点，
设点P 的坐标为P （x ，y ）（x ＞0 ），写出y 关于x 的函数表达式为：
．
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三、解答题（本大题共10 小题，共84 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤等．）
19．（8 分）计算：
（1）|﹣
|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）
﹣
．
20．（8 分）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：
．
21．（8 分）已知：如图，AC，DB 相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
22．（8 分）将4 张分别写有数字1、2、3、4 的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）
放在盒子中，搅匀后从中任意取出1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1 张
卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2 张卡片数字相同；
（2）取出的2 张卡片中，至少有1 张卡片的数字为“3”．
23．（8 分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活
动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工
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上月参加健身锻炼的情况，现从1500 名员工中随机抽取200 人调查每人上月健身锻炼
的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x
（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03
（1）表格中a＝ ；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10 次的员工有多少人？
24．（8 分）如图，已知锐角△ABC 中，AC＝BC．
（1）请在图1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB 的平分线CD；作△ABC 的外接
圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2 ）在（1 ）的条件下，若AB ＝
，⊙O 的半径为5 ，则sinB ＝
．（如需画草图，请使用图2）
25．（8 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，AC 与BD 交于点E，PB
切⊙O 于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
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26．（8 分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工
会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现
有经费1275 元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单
价之比为4：3．当用600 元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25 件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4 件且不超过10 件，则共有哪几种购买方式？
27．（10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y＝﹣x+3 与x 轴交于点B，与y
轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c 的图象过B、C 两点，且与x 轴交于另一点A，点M
为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F，交二次函数y＝
ax2+2x+c 的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求线段EF 的长度；
（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．
28．（10 分）已知四边形ABCD 是边长为1 的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为
直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
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（1）如图，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P，AF 交CD 于点Q，连结CF，
①当m＝
时，求线段CF 的长；
②在△PQE 中，设边QE 上的高为h，请用含m 的代数式表示h，并求h 的最大值；
（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y，请
直接写出y 与m 的关系式．
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2021 年江苏省无锡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项是正确的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．﹣
的相反数是（ ）
A．﹣
B．
C．3
D．﹣3
【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣
的相反数是
．
故选：B．
2．函数y＝
中自变量x 的取值范围是（ ）
A．x＞2
B．x≥2
C．x＜2
D．x≠2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0 列出不等式，解不等式
得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故选：A．
3．已知一组数据：58，53，55，52，54，51，55，这组数据的中位数和众数分别是
（ ）
A．54，55
B．54，54
C．55，54
D．52，55
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵55 出现的次数最多，
∴众数为55，
将这组数据按照从小到大的顺序排列：51、52、53、54、55、55、58，
中位数为54，
故选：C．
4．方程组
的解是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【分析】将两个方程相加，可消去y，得到x 的一元一次方程，从而解得x＝4，再将x
＝4 代入①解出y 的值，即得答案．
【解答】解：
，
①+②得：2x＝8，
∴x＝4，
把x＝4 代入①得：4+y＝5，
∴y＝1，
∴方程组的解为
．
故选：C．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a2+a＝a3
B．（a2）3＝a5
C．a8÷a2＝a4
D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、除法运算
法则计算得出答案．
【解答】解：A．a2+a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意；
B．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
C．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意；
D．a2•a3＝a5，故此选项符合题意．
故选：D．
6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
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【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
7．如图，D、E、F 分别是△ABC 各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE 和△DCF 的面积相等
B．四边形AEDF 是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF 是菱形
D．若∠A＝90°，则四边形AEDF 是矩形
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．
【解答】解：A．连接EF，
∵D、E、F 分别是△ABC 各边中点，
∴EF∥BC，BD＝CD，
设EF 和BC 间的距离为h，
∴S△BDE＝
BD•h，S△DCE＝
CD•h，
∴S△BDE＝S△DCE，
故本选项不符合题意；
B．∵D、E、F 分别是△ABC 各边中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴DE∥AF，DF∥AE，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C．∵D、E、F 分别是△ABC 各边中点，
∴DE＝
AC，DF＝
AB，
若AB＝BC，则DE＝DF，
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∵四边形AEDF 是平行四边形，
∴四边形AEDF 是菱形，
故本选项符合题意；
D．∵四边形AEDF 是平行四边形，
∴若∠A＝90°，则四边形AEDF 是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：C．
8．一次函数y＝x+n 的图象与x 轴交于点B，与反比例函数y＝
（m＞0）的图象交于点A
（1，m），且△AOB 的面积为1，则m 的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】由已知得B（﹣n，0），而A（1，m）在一次函数y＝x+n 的图象上，可得n＝
m﹣1，即B（1﹣m，0），根据△AOB 的面积为1，可列方程
|1﹣m|•m＝1，即可解得
m＝2．
【解答】解：在y＝x+n 中，令y＝0，得x＝﹣n，
∴B（﹣n，0），
∵A（1，m）在一次函数y＝x+n 的图象上，
∴m＝1+n，即n＝m﹣1，
∴B（1﹣m，0），
∵△AOB 的面积为1，m＞0，
∴
OB•|yA|＝1，即
|1﹣m|•m＝1，
解得m＝2 或m＝﹣1（舍去），
∴m＝2，
故选：B．
9．在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P 是△ABC 所在平面内一点，则
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PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P 是△ABC 三边垂直平分线的交点
B．点P 是△ABC 三条内角平分线的交点
C．点P 是△ABC 三条高的交点
D．点P 是△ABC 三条中线的交点
【分析】过P 作PD⊥AC 于D，过P 作PE⊥AB 于E，延长CP 交AB 于M，延长BP 交
AC 于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣2）2+3（y﹣
）2+
，当x＝2，y＝
时，AP2+CP2+BP2的值最大，此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝
，由
＝
，得AM＝4，M 是AB 的中点，同理可得AN＝
AC，N 为AC 中点，即P 是
△ABC 三条中线的交点．
【解答】解：过P 作PD⊥AC 于D，过P 作PE⊥AB 于E，延长CP 交AB 于M，延长
BP 交AC 于N，如图：
∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，
∴四边形AEPD 是矩形，
设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，
Rt△AEP 中，AP2＝x2+y2，
Rt△CDP 中，CP2＝（6﹣x）2+y2，
Rt△BEP 中，BP2＝x2+（8﹣y）2，
∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（6﹣x）2+y2+x2+（8﹣y）2
＝3x2﹣12x+3y2﹣16y+100
＝3（x﹣2）2+3（y﹣
）2+
，
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∴x＝2，y＝
时，AP2+CP2+BP2的值最大，
此时AD＝PE＝2，AE＝PD＝
，
∵∠A＝90°，PD⊥AC，
∴PD∥AB，
∴
＝
，即
＝
，
∴AM＝4，
∴AM＝
AB，即M 是AB 的中点，
同理可得AN＝
AC，N 为AC 中点，
∴P 是△ABC 三条中线的交点，
故选：D．
10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2 图象上的点，当a≤x≤b 时，总有﹣
1≤y1﹣y2≤1 恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b 上是“逼近函数”，a≤x≤b 为“逼
近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2 在1≤x≤2 上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x 在3≤x≤4 上是“逼近函数”；
③0≤x≤1 是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x 的“逼近区间”；
④2≤x≤3 是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x 的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．②④
【分析】根据当a≤x≤b 时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1 恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b
上是“逼近函数”，a≤x≤b 为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2 上，当x＝1 时，y1﹣y2最大值为﹣9，当
x＝2 时，y1﹣y2 最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2 在
1≤x≤2 上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4 上，当x＝3 时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4 时，y1
﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x 在3≤x≤4 上是“逼
近函数”正确；
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③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1 上，当x＝
时，y1﹣y2 最大值为﹣
，当x＝0 或x
＝1 时，y1﹣y2 最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣
，当然﹣1≤y1﹣y2≤1 也成立，故
0≤x≤1 是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x 的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3 上，当x＝
时，y1﹣y2最大值为
，当x＝2 或x＝
3 时，y1﹣y2 最小值为1，即1≤y1﹣y2≤
，故2≤x≤3 是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x 的
“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡上相应的位置．）
11．（2 分）分解因式：2x3﹣8x＝
2 x （
x ﹣
2 ）（
x +2
）
．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
12．（2 分）2021 年5 月15 日我国天问一号探测器在火星预选着陆区着陆，在火星上首次
留下中国印迹，迈出我国星际探测征程的重要一步．目前探测器距离地球约320000000
千米，320000000 这个数据用科学记数法可表示为
3.2×10
8
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【解答】解：320000000＝3.2×108，
故选：3.2×108．
13．（2 分）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的
底面半径为
．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
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【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr＝
，
解得r＝
．
故答案为：
．
14．（2 分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：
y ＝﹣
答案不唯一 ．
【分析】根据反比例函数的性质得到k＜0，然后取k＝﹣1 即可得到满足条件的函数解
析式．
【解答】解：若反比例函数y＝
（k 是常数，且k≠0）的图象在第二、四象限，则k＜
0，
故k 可取﹣1，此时反比例函数解析式为y＝﹣
．
故答案为：y＝﹣
答案不唯一．
15．（2 分）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100 米所上升的高度
为
10
米．
【分析】设上升的高度为x 米，根据坡度的概念得到水平距离为7x 米，根据勾股定理列
出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设上升的高度为x 米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x 米，
由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，
解得：x1＝10
，x2＝﹣10
（舍去），
故答案为：10
．
16．（2 分）下列命题中，正确命题的个数为
1
．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
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15
④对角线相等的两个矩形都相似
【分析】利用相似形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①所有的正方形都相似，正确，符合题意；
②所有的菱形都相似，错误，不符合题意；
③边长相等的两个菱形都相似，错误，不符合题意；
④对角线相等的两个矩形都相似，错误，不符合题意，
正确的有1 个，
故答案为：1．
17．（2 分）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝2
，AC＝6，点E 在线段AC 上，
且AE＝1，D 是线段BC 上的一点，连接DE，将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，得到四
边形FGDE，当点G 恰好落在线段AC 上时，AF＝
．
【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2
，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在
Rt△EFG 中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF 的长，在
Rt△AHF 中，由勾股定理可求AF．
【解答】解：如图，过点F 作FH⊥AC 于H，
∵将四边形ABDE 沿直线DE 翻折，得到四边形FGDE，
∴AB＝FG＝2
，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，
∴EG＝
＝
＝3，
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∵sin∠FEG＝
，
∴
，
∴HF＝
，
∵cos∠FEG＝
，
∴
，
∴EH＝
，
∴AH＝AE+EH＝
，
∴AF＝
＝
＝
，
故答案为：
．
18．（2 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，
过点C 的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B 两点，且CB＝3AC，P 为CB 的中点，
设点P 的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y 关于x 的函数表达式为：
y ＝
x 2
．
【分析】过A 作AD⊥y 轴于D，过B 作BE⊥y 轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE
＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，
3m2），而P 为CB 的中点，故P（
m，6m2），即可得y＝
x2．
【解答】解：过A 作AD⊥y 轴于D，过B 作BE⊥y 轴于E，如图：
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∵AD⊥y 轴，BE⊥y 轴，
∴AD∥BE，
∴
＝
＝
，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B 两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P 为CB 的中点，
∴P（
m，6m2），
又已知P（x，y），
∴
，
∴y＝
x2；
故答案为：y＝
x2．
三、解答题（本大题共10 小题，共84 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
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字说明、证明过程或演算步骤等．）
19．（8 分）计算：
（1）|﹣
|﹣（﹣2）3+sin30°；
（2）
﹣
．
【分析】（1）根据绝对值的意义，乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求
出答案．
（2）根据分式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
+8+
＝1+8
＝9．
（2）原式＝
﹣
＝
＝
．
20．（8 分）（1）解方程：（x+1）2﹣4＝0；
（2）解不等式组：
．
【分析】（1）利用直接开平方求解即可．
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）∵（x+1）2﹣4＝0，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
（2）
，
由①得，x≥1，
由②得，x＜3，
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故不等式组的解集为：1≤x＜3．
21．（8 分）已知：如图，AC，DB 相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC＝∠OCB．
【分析】（1）由已知条件，结合对顶角相的可以利用AAS 判定△ABO≌△DCO；
（2）由等边对等角得结论．
【解答】证明：（1）∵∠AOB＝∠COD，
∠ABO＝∠DCO，
AB＝DC，
在△ABO 和△DCO 中，
，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）由（1）知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB．
22．（8 分）将4 张分别写有数字1、2、3、4 的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）
放在盒子中，搅匀后从中任意取出1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1 张
卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2 张卡片数字相同；
（2）取出的2 张卡片中，至少有1 张卡片的数字为“3”．
【分析】（1）画树状图，共有16 种等可能的结果，取出的2 张卡片数字相同的结果有
4 种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有16 种等可能的结果，取出的2 张卡片中，至少有1 张卡片的数
字为“3”的结果有7 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如图：
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20
共有16 种等可能的结果，取出的2 张卡片数字相同的结果有4 种，
∴取出的2 张卡片数字相同的概率为
＝
；
（2）由（1）可知，共有16 种等可能的结果，取出的2 张卡片中，至少有1 张卡片的数
字为“3”的结果有7 种，
∴取出的2 张卡片中，至少有1 张卡片的数字为“3”的概率为
．
23．（8 分）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活
动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工
上月参加健身锻炼的情况，现从1500 名员工中随机抽取200 人调查每人上月健身锻炼
的次数，并将调查所得的数据整理如下：
某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表
锻炼次数x
（代号）
0＜x≤5
（A）
5＜x≤10
（B）
10＜x≤15
（C）
15＜x≤20
（D）
20＜x≤25
（E）
25＜x≤30
（F）
频数
10
a
68
c
24
6
频率
0.05
b
0.34
d
0.12
0.03
（1）表格中a＝
42
；
（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）
（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10 次的员工有多少人？
【分析】（1）根据B 组所占的百分比是21%，即可求得a 的值；
（2）根据其他各组的频率求出D 组的频率得出C 组、D 组所占的百分比，补全扇形统
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计图即可．
（3）利用总人数1500 乘以对应的频率即可求得．
【解答】解：（1）a＝200×21%＝42（人），
故答案为：42；
（2）b＝21%＝0.21，
C 组所占的百分比c＝0.34＝34%，
D 组所占的百分比是：d＝1﹣0.05﹣0.21﹣0.34﹣0.12﹣0.03＝0.25＝25%，
扇形统计图补充完整如图：
；
（3）估计该企业上月参加健身锻炼超过10 次的员工有1500×（0.34+0.25+0.12+0.03）
＝1110（人）．
答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10 次的员工有1110 人．
24．（8 分）如图，已知锐角△ABC 中，AC＝BC．
（1）请在图1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB 的平分线CD；作△ABC 的外接
圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝
，⊙O 的半径为5，则sinB＝
．（如需画草
图，请使用图2）
【分析】（1）利用尺规作出∠ACB 的角平分线CD，作线段AC 的垂直平分线交CD 于
点O，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O 即可．
（2）连接OA，设射线CD 交AB 于E．利用勾股定理求出OE，EC，再利用勾股定理求
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出BC，可得结论．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O 即为所求．
（2）连接OA，设射线CD 交AB 于E．
∵CA＝CB，CD 平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝
，
∴OE＝
＝
＝
，
∴CE＝OC+OE＝5+
＝
，
∴AC＝BC＝
＝
＝8，
∴sinB＝
＝
＝
．
故答案为：
．
25．（8 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，AC 与BD 交于点E，PB
切⊙O 于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
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23
【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质证得∠ACB+∠BAC＝∠PBC+∠ABO＝
90°，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝40°，得到AOB＝∠ACD，由
圆周角的性质得到∠CDE＝∠BAO，根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵PB 切⊙O 于点B，
∴∠PBA+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC+∠ABO＝∠PBC+∠ABO＝90°，
∴∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵
＝
，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．
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24
26．（8 分）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工
会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现
有经费1275 元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单
价之比为4：3．当用600 元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25 件．
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4 件且不超过10 件，则共有哪几种购买方式？
【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x 元，则二等奖奖品单价为3x 元，根据数量＝总价
÷单价，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出x 的值，再将其代入4x，
3x 中即可求出结论；
（2）设购买一等奖奖品m 件，二等奖奖品n 件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于
m，n 的二元一次方程，结合m，n 均为正整数且4≤m≤10，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x 元，则二等奖奖品单价为3x 元，
依题意得：
+
＝25，
解得：x＝15，
经检验，x＝15 是原方程的解，且符合题意，
∴4x＝60，3x＝45．
答：一等奖奖品单价为60 元，二等奖奖品单价为45 元．
（2）设购买一等奖奖品m 件，二等奖奖品n 件，
依题意得：60m+45n＝1275，
∴n＝
．
∵m，n 均为正整数，且4≤m≤10，
∴
或
或
，
∴共有3 种购买方案，
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方案1：购买4 件一等奖奖品，23 件二等奖奖品；
方案2：购买7 件一等奖奖品，19 件二等奖奖品；
方案3：购买10 件一等奖奖品，15 件二等奖奖品．
27．（10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y＝﹣x+3 与x 轴交于点B，与y
轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c 的图象过B、C 两点，且与x 轴交于另一点A，点M
为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F，交二次函数y＝
ax2+2x+c 的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求线段EF 的长度；
（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．
【分析】（1）由y＝﹣x+3 得B（3，0），C（0，3），代入y＝ax2+2x+c 即得二次函数
的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由y＝﹣x2+2x+3 得A（﹣1，0），OB＝OC，AB＝4，BC＝3
，故∠ABC＝
∠MFB＝∠CFE＝45°，以C、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，B 和F 为对应点，
设E （m ，﹣m2+2m+3 ），则F （m ，﹣m+3 ），EF ＝﹣m2+3m ，CF ＝
m ，
①△ABC∽△CFE 时，
＝
，可得EF＝
，②△ABC∽△EFC 时，
＝
，可
得EF＝
；
（3）连接NE，由点N、F 关于直线EC 对称，可得CF＝EF＝CN，故﹣m2+3m＝
m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣
，即得CN＝CF＝
m＝3
﹣2，N（0，3
+1）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3 中，令x＝0 得y＝3，令y＝0 得x＝3，
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∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c 得：
，解得
，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：
在y＝﹣x2+2x+3 中，令y＝0 得x＝3 或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3
，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，B 和F 为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝
＝
m，
①△ABC∽△CFE 时，
＝
，
∴
＝
，
解得m＝
或m＝0（舍去），
∴EF＝
，
②△ABC∽△EFC 时，
＝
，
∴
＝
，
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解得m＝0（舍去）或m＝
，
∴EF＝
，
综上所述，EF＝
或
．
（3）连接NE，如图：
∵点N、F 关于直线EC 对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y 轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣
m2+3m，CF＝
＝
m，
∴﹣m2+3m＝
m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣
，
∴CN＝CF＝
m＝3
﹣2，
∴N（0，3
+1）．
28．（10 分）已知四边形ABCD 是边长为1 的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为
直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．
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28
（1）如图，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P，AF 交CD 于点Q，连结CF，
①当m＝
时，求线段CF 的长；
②在△PQE 中，设边QE 上的高为h，请用含m 的代数式表示h，并求h 的最大值；
（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y，请
直接写出y 与m 的关系式．
【分析】（1）①过F 作FG⊥BC 于G，连接CF，先证明△ABE≌△EGF，可得FG＝
BE＝
，EG＝AB＝BC，则EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝
，再在Rt△CGF 中，
即可求CF＝
；
②△ABE 绕A 逆时针旋转90°，得△ADE'，过P 作PH⊥EQ 于H，由△ABE≌△ADE'，
∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，可得C、
D、E'共线，由△EAQ≌△E'AQ，可得∠E'＝∠AEQ，故∠AEB＝∠AEQ，从而∠QEP＝
90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF 是∠QEC 的平分线，有PH＝PC，用
△ABE∽△ECP，可求CP＝m（1﹣m），即可得h＝﹣m2+m；
（2）分两种情况：①当m＜
时，由△ABE∽△ECP，可求HG＝﹣m2+
m，根据
MG∥CD，G 为BC 中点，可得MN＝
DQ，设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC 中，EC2+CQ2＝EQ2，可得MN＝
，故y＝NH＝MG﹣HG﹣MN＝1﹣
m﹣
+m2，
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29
②当m＞
时，由MG∥AB，可得HG＝
，同①可得MN＝
DQ＝
，即
可得y＝
，
【解答】解：（1）①过F 作FG⊥BC 于G，连接CF，如图：
∵四边形ABCD 是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠EFG，∠B＝∠G＝90°，
∵等腰直角三角形AEF，
∴AE＝EF，
在△ABE 和△EGF 中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝
，EG＝AB＝BC，
∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝
，
在Rt△CGF 中，CF＝
＝
；
②△ABE 绕A 逆时针旋转90°，得△ADE'，过P 作PH⊥EQ 于H，如图：
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∵△ABE 绕A 逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，
BE＝DE'，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAE'+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45，
在△EAQ 和△E'AQ 中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF 是∠QEC 的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴
＝
，即
＝
，
∴CP＝m（1﹣m），
∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣
）2+
，
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∴m＝
时，h 最大值是
；
（2）①当m＜
时，如图：
∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴
＝
，即
＝
，
∴HG＝﹣m2+
m，
∵MG∥CD，G 为BC 中点，
∴MN 为△ADQ 的中位线，
∴MN＝
DQ，
由（1）知：EQ＝DQ+BE，
设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC 中，EC2+CQ2＝EQ2，
∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，
解得x＝
，
∴MN＝
，
∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣（﹣m2+
m）﹣
＝1﹣
m﹣
+m2，
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②当m＞
时，如图：
∵MG∥AB，
∴
＝
，即
＝
，
∴HG＝
，
同①可得MN＝
DQ＝
，
∴HN＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣
﹣
＝
，
∴y＝
，
综上所述，y＝1﹣
m﹣
+m2或y＝
．
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