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2021 年河南省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，共30 分）
1.
−2的绝对值是()
A. 2
B. −2
C. 1
2
D. −1
2
2.
河南省人民济困最“给力”！据报道，2020 年河南省人民在济困方面捐款达到2.94亿元.数据“2.94
亿”用科学记数法表示为()
A. 2.94×10
7
B. 2.94×10
8
C. 0.294×10
8
D. 0.294×10
9
3.
如图是由8 个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是()
A.
B.
C.
D.
4.
下列运算正确的是()
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A. (−a)
2=−a
2
B. 2a
2−a
2=2
C. a
2⋅a=a
3
D. (a−1)
2=a
2−1
5.
如图，a//b，∠1=60°，则∠2的度数为()
A. 90°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
6.
关于菱形的性质，以下说法不正确的是()
A. 四条边相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 是轴对称图形
7.
若方程x
2−2 x +m=0没有实数根，则m 的值可以是()
A. −1
B. 0
C. 1
D. √3
8.
现有4 张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4 张卡片背面朝上洗匀，从中随机
抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是()
A. 1
6
B. 1
8
C. 1
10
D. 1
12
9.
如图，▱OABC 的顶点O(0,0)，A(1,2)，点C 在x 轴的正半轴上，
延长BA 交y 轴于点D .将△ODA绕点O 顺时针旋转得到△OD' A '，
当点D 的对应点D'落在OA 上时，D' A '的延长线恰好经过点C，
则点C 的坐标为()
2
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A. (2√3,0)
B. (2√5,0)
C. (2√3+1,0)
D. (2√5+1,0)
10. 如图1，矩形ABCD 中，点E 为BC 的中点，点P 沿BC 从点B 运动到点C，设B，P 两点间的距离为
x，PA −PE = y，图2 是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则BC 的长为()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题（本大题共5 小题，共15 分）
11. 若代数式
1
x−1有意义，则实数x 的取值范围是______．
12. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式______ ．
13. 某外贸公司要出口一批规格为200 克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，他们的价格相同，
品质也相近.质检员从两厂产品中各随机抽取15 盒进行检测，测得它们的平均质量均为200 克，每盒
红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是______ (填“甲”或“乙”)．
3
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14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D 均在小正方形的顶点上，且点B，C 在
AD
⏜
上，∠BAC =22.5°，则BC
⏜
的长为______ ．
15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt △ABC中，∠ACB =90°，∠B =30°，
AC =1.第一步，在AB 边上找一点D，将纸片沿CD 折叠，点A 落在A '处，如图2；第二步，将纸片
沿CA '折叠，点D 落在D'处，如图3.当点D'恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A ' D'的长为
______ ．
三、解答题(本大题共8 小题，共75.0 分)
16. (1)计算：3
−1−√
1
9 +(3−√3)
0；
(2)化简：(1−1
x )÷ 2 x−2
x
2
．
4
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17. 2021 年4 月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天
睡眠时间应达到9 小时.某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500 名进行
问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．
调查问卷
1.近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．
如果你平均每天睡眠时间不足9 小时，请回答第2 个问题
2.影响你睡眠时间的主要原因是______(单选)．
A.校内课业负担重
B.校外学习任务重
C.学习效率低
D.其他
平均每天睡眠时间x(时)分为5 组：
5
①≤x<6；
6
②≤x<7；
7
③≤x<8；
8
④≤x<9；
9
⑤≤x<10．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第______ (填序号)组，达到9 小时的学生人数占被
调查人数的百分比为______ ；
(2)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
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18. 如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O 重合，边
分别与坐标轴平行，反比例函数y = k
x 的图象与大正方形的一边交于点
A(1,2)，且经过小正方形的顶点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积．
19. 开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像.某数学活
动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的测量点A 与佛像BD 的底部D 在同一
水平线上.已知佛像头部BC 为4m，在A 处测得佛像头顶部B 的仰角为45°，头底部C 的仰角为
37.5°，求佛像BD 的高度(结果精确到0.1m.参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，
tan37.5°≈0.77)．
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20. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连
杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机
构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP 的连接
点P 在⨀O上，当点P 在⨀O上转动时，带动点A，B 分别在射线OM，ON 上滑动，OM ⊥ON .当
AP 与⨀O相切时，点B 恰好落在⨀O上，如图2．
请仅就图2 的情形解答下列问题．
(1)求证：∠PAO=2∠PBO；
(2)若⨀O的半径为5，AP = 20
3 ，求BP 的长．
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21. 猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销.小李在某网店选中A，B 两款猕猴玩偶，决
定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格
A 款玩偶
B 款玩偶
进货价(元/个)
40
30
销售价(元/个)
56
45
(1)第一次小李用1100 元购进了A，B 两款玩偶共30 个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小李进货时，网店规定A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半.小李计划购进
两款玩偶共30 个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度
分析，对于小李来说哪一次更合算？
(注：利润率= 利润
成本×100 %)
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22. 如图，抛物线y = x
2+mx与直线y =−x +b把交于点A(2,0)和点B．
(1)求m 和b 的值；
(2)求点B 的坐标，并结合图象写出不等式x
2+mx >−x +b的解集；
(3)点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3 个单位长度得到点N，若线段MN 与抛物线只
有一个公共点，直接写出点M 的横坐标xM的取值范围．
23. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的
任务．
小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB 上截取OC =OD，OE =OF(点C，E 不重合)；(2)分别作线
段CE，DF 的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为∠AOB
的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO =∠PHO =90°，OG =OH，OP =OP，所以Rt △PGO≌Rt △PHO，则
∠POG =∠POH，即射线OP 是∠AOB的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线
OA，OB 上截取OC =OD，OE =OF(点C，E 不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线
OP.射线OP 即为∠AOB的平分线．
……
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任务：
(1)小明得出Rt △PGO≌Rt △PHO的依据是______ (填序号)．
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA ⑤HL
(2)小军作图得到的射线0P 是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
(3)如图3，已知∠AOB =60°，点E，F 分别在射线OA，OB 上，且OE =OF =√3+1.点C，D 分别
为射线OA，OB 上的动点，且OC =OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE =30°时，直接写出线
段OC 的长．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2的绝对值是2，
即|−2|=2．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0．
2.【答案】B
【解析】解：2.94亿=294000000=2.94×10
8，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10
n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a
时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a 的值以及n 的值．
3.【答案】A
【解析】解：该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，中间一层有两个正方形，最下面有三个
正方形，且左侧是对齐的，
故选：A．
将图形分成三层，第一层主视图有一个正方形，第二层有两个正方形，第三层有三个正方形，且左边是
对齐的．
本题主要考查三视图的定义，在理解三视图的基础上，还要有较强的空间想象能力．
4.【答案】C
【解析】解：A .(−a)
2=a
2，故本选项不符合题意；
B.2a
2−a
2=a
2，故本选项不符合题意；
C.a
2⋅a=a
3，故本选项符合题意；
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D.(a−1)
2=a
2−2a+1，故本选项符合题意；
故选：C．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本
题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由图得∠2的补角和∠1是同位角，
∵∠1=60°且a//b，
∴∠1的同位角也是60°，
∠2=180°−60° =120°，
故选：D．
先根据图得出∠2的补角，再由a//b得出结论即可．
本题主要考查平行线的性质，平行线的性质与判定是中考必考内容，平行线的三个性质一定要牢记．
6.【答案】B
【解析】解：A .菱形的四条边相等，正确，不符合题意，
B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，符合题意，
C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，不符合题意，
D.菱形是轴对称图形，正确，不符合题意，
故选：B．
根据菱形的性质逐一推理分析即可选出正确答案．
本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的基本性质并能正确分析推理是解题的关键．
7.【答案】D
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【解析】解：∵关于x 的方程x
2−2 x +m=0没有实数根，
∴△=(−2)
2−4×1×m= 4−4 m<0，
解得：m>1，
∴m只能为√3，
故选：D．
根据根的判别式和已知条件得出△=(−2)
2−4×1×m= 4−4 m<0，求出不等式的解集，再得出答案即
可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程a x
2+bx +c =0(a、b、c 为常数，
a≠0)，①当△=b
2−4 ac>0时，方程有两个不相等的实数根，②当△=b
2−4 ac =0时，方程有两个相等
的实数根，③当△=b
2−4 ac<0时，方程没有实数根．
8.【答案】A
【解析】解：把4 张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2 种，
∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为2
12 = 1
6，
故选：A．
画树状图，共有12 种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2 种，再由
概率公式求解即可．
此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
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9.【答案】B
【解析】解：延长A ' D'交y 轴于点E，延长D' A '，由题意D' A '的延长线经过点C，如图，
∵A(1,2)，
∴AD =1，OD =2，
∴OA =√A D
2+O D
2=√1
2+2
2=√5．
由题意：△OA ' D'≌△OAD，
∴A ' D' = AD =1，OA ' =OA =√5，OD' =OD =2，∠A ' D' O =∠ADO=90°，
∠A ' OD' =∠DOD'．
则OD' ⊥A ' E，OA 平分∠A ' OE，
∴△A ' OE为等腰三角形．
∴OE =OA ' =√5，ED' = A ' D' =1．
∵EO⊥OC，OD' ⊥EC，
∴△OED'∽△CEO．
∴ED'
OD' = EO
OC ．
∴1
2 = √5
OC ．
∴OC =2√5．
∴C(2√5,0)．
故选：B．
延长A ' D'交y 轴于点E，延长D' A '，由题意D' A '的延长线经过点C，利用点A 的坐标可求得线段
AD，OD，OA 的长，由题意：△OA ' D'≌△OAD，可得对应部分相等；利用OD' ⊥A ' E，OA 平分
∠A ' OE，可得△A ' OE为等腰三角形，可得OE =OA ' =√5，ED' = A ' D' =1；利用△OED'∽△CEO，
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得到比例式可求线段OC，则点C 坐标可得．
本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似的判定与性质，利用
点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：由函数图象知：当x =0，即P 在B 点时，BA −BE =1．
在△PAE中，
∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴PA −PE< AE，
当且仅当P 与E 重合时有：PA 一PE = AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE =5．
在Rt △ABE中，由勾股定理得：B A
2+ B E
2= A E
2=25，
设BE 的长度为t，
则BA =t +1，
∴(t +1)
2+t
2=25，
即：t
2+t −12=0，
∴(t + 4)(t −3)=0，
由于t >0，
∴t + 4>0，
∴t −3=0，
∴t =3．
∴BC =2BE =2t =2×3=6．
故选：C．
当x =0，即P 在B 点时，BA −BE =1；在△PAE中，根据三角形任意两边之差小于第三边得：
PA −PE< AE，当且仅当P 与E 重合时有：PA 一PE = AE，得y 的最大值为AE =5；在Rt △ABE中，由
勾股定理求出BE 的长，再根据BC =2BE求出BC 的长．
本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE 的长是解题的关键．
11.【答案】x≠1
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【解析】解：依题意得：x−1≠0，
解得x≠1，
故答案为：x≠1．
分式有意义时，分母x−1≠0，据此求得x 的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件．(1)分式有意义的条件是分母不等于零．(2)分式无意义的条件是分母等
于零．
12.【答案】y = x(答案不唯一)
【解析】解：依题意，一次函数的图象经过原点，
函数解析式的常数项为0，如y = x(答案不唯一)．
故答案为：y = x (答案不唯一)．
图象经过原点，要求解析式中，当x =0时，y =0，只要一次函数解析式常数项为0 即可．
本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过原点．
13.【答案】甲
【解析】解：从图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小，
所以乙的方差大于甲的方差，
因为方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，
所以产品更符合规格要求的厂家是甲．
故答案为：甲．
由于平均质量相同，根据图中所示两组数据波动大小可得两组数据的方差，波动越小，方差越小越稳定．
本题考查了平均数与方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏
离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏
离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14.【答案】5 π
4
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【解析】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
∵OA =OB =OD =5，∠BOC =2∠BAC = 45°，
∴BC
⏜
的长= 45 π ×5
180
= 5 π
4 ．
故答案为：5 π
4 ．
如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD.利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O 的位置，属于中考常考题型．
15.【答案】1
2或2−√3
【解析】解：①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB 边上时，设A ' C交AB 边于点E，如图，
由题意：△ADC≌△A ' DC≌△A ' D' C，A ' C垂直平分线段DD'．
则∠D' A ' C =∠DA ' C =∠A =60°，A ' C = AC =1．
∵∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，
∴BC = AC ⋅tanA =1×tan 60° =√3．
∵S△ABC = 1
2 AC ⋅BC = 1
2 AB⋅CE，
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∴CE = √3
2 ．
∴A ' E = A ' C −CE =1−√3
2 ．
在Rt △A ' D' E中，
∵cos∠D' A ' E = A ' E
A ' D' ，
∴A ' E
A ' D' = 1
2，
∴A ' D' =2 A ' E =2−√3．
②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC 边上时，如图，
由题意：△ADC≌△A ' DC≌△A ' D' C，∠ACD =∠A ' CD =∠A ' CD' = 1
3 ∠ACB =30°；
则∠D' A ' C =∠DA ' C =∠A =60°，A ' C = AC =1．
∵∠D' A ' C =60°，∠A ' CD' =30°，
∴∠A ' D' C =90°，
∴A ' D' = 1
2 A ' C = 1
2 ×1= 1
2．
综上，线段A ' D'的长为：1
2或2−√3．
故答案为：1
2或2−√3．
分两种情形解答：①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB 边上时，由题意：△ADC≌△A ' DC≌
△A ' D' C，则∠D' A ' C =∠DA ' C =∠A =60°，A ' C = AC =1；A ' C垂直平分线段DD'；利用
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S△ABC = 1
2 AC ⋅BC = 1
2 AB⋅CE，可求得CE，则A ' E = A ' C −CE，解直角三角形A ' D' E可求线段
A ' D'；②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC 边上时，由题意：△ADC≌△A ' DC≌△A ' D' C，则
∠D' A ' C =∠DA ' C =∠A =60°，A ' C = AC =1，∠ACD =∠A ' CD =∠A ' CD' = 1
3 ∠ACB =30°；
在Rt △A ' D' C中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得结论．
本题主要考查了翻折问题，含30°角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等
三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点D'恰好落在直角三角形纸片
的边上时，要注意分类讨论．
16.【答案】解：(1)原式= 1
3 −1
3 +1
=1；
(2)原式= x−1
x
⋅
x
2
2( x−1)
= x
2．
【解析】(1)直接利用负整数指数幂的性质以及算术平方根、零指数幂的性质分别化简得出答案；
(2)将括号里面通分运算，再利用分式的乘除运算法则化简得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算以及实数运算，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
17.【答案】③ 17 %
【解析】解：(1)由统计图可知，抽取的这500 名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250 个和第251 个
数据的平均数，
故落在第③组；
睡眠达到9 小时的学生人数占被调查人数的百分比为：85
500 ×100 % =17 %，
故答案为：③，17 %．
(2)答案不唯一，言之有理即可．
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例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议①：该校各学科授课老师精简家庭作业内容，
师生一起提高在校学习效率；建议②：建议学生减少参加校外培训班，校外辅导机构严禁布置课后作业．
(1)由中位数的定义即可得出结论；
(2)求出每天睡眠时间达到9 小时的学生人数，计算即可．
本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取正确是解题
的关键．
18.【答案】解：(1)∵反比例函数y = k
x 的图象经过点A(1,2)，
∴2= k
1，
∴k =2，
∴反比例函数的解析式为y = 2
x ；
(2)∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B 点的坐标为(m,m)，
∵反比例函数y = 2
x 的图象经过B 点，
∴m= 2
m，
∴m
2=2，
∴小正方形的面积为4 m
2=8，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O 重合，边分别与坐标轴平行，且A(1,2)，
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2,2)，
∴大正方形的面积为4×2
2=16，
∴图中阴影部分的面积=大正方形的面积为−小正方形的面积=16−8=8．
【解析】(1)根据待定系数法求出k 即可得到反比例函数的解析式；
(2)先根据反比例函数系数k 的几何意义求出小正方形的面积为4 m
2=8，再求出大正方形在第一象限的顶
点坐标，得到大正方形的面积为4×2
2=16，根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积−小正方形的面
积即可求出结果．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k 的几何意义，正方形的性质，熟练
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掌握反比例函数系数k 的几何意义是解决问题的关键．
19.【答案】解：根据题意可知：∠DAB = 45°，
∴BD = AD，
在Rt △ADC中，DC = BD−BC =( AD−4)m，∠DAC =37.5°，
∵tan ∠DAC = DC
AD ，
∴tan37.5° = AD−4
AD
≈0.77，
解得AD≈17.4 m，
答：佛像的高度约为17.4 m．
【解析】根据tan ∠DAC = DC
AD = tan37.5°≈0.77，列出方程即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
20.【答案】(1)证明：如图1，
连接OP，延长BO 与圆交于点C，则OP=OB =OC，
∵AP与⨀O相切于点P，
∴∠APO=90°，
∴∠PAO+∠AOP=90°，
∵MO⊥CN，
∴∠AOP+∠POC ═90°，
∴∠PAO=∠POC，
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∵OP=OB，
∴∠OPB =∠PBO，
∴∠POC ═∠OPB =∠PBO ═2∠PBO，
∴∠AOP=2∠PBO，
(2)解：如图2 所示，
连接OP，延长BO 与圆交于点C，连接PC，过点P 作PD⊥OC于点D，
则有：AO =√A P
2+O P
2= 25
3 ，
由(1)可知∠POC =∠PAO，
∴Rt △POD～Rt △OAP，
∴PD
PO = PO
OA = OD
AP ，即
PD
5 = 5
25
3
= OD
20
3
，解得PD =3，OD = 4，
∴CD ═OC −OD =1，
在Rt △PDC中，PC =√P D
2+C D
2=√10，
∵CB为圆的直径，
∴∠BPC =90°，
∴BP =√BC
2−PC
2=√100−10=3√10，
故PC 长为3√10．
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【解析】(1)连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换代换求解即可．
(2)作出相关辅助线，构造相似三角形Rt △POD与Rt △OAP，利用相似三角形的性质求得PD =3，
OD = 4，最后根据直角三角形的勾股定理求解即可．
本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、
将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相
似三角形，再根据相关性质进行求解．
21.【答案】解：(1)设A 款玩偶购进x 个，B 款玩偶购进(30−x)个，
由题意，得40 x +30(30−x)=1100，
解得：x =20．
30−20=10(个)．
答：A 款玩偶购进20 个，B 款玩偶购进10 个；
(2)设A 款玩偶购进a 个，B 款玩偶购进(30−a)个，获利y 元，
由题意，得y =(56−40)a+(45−30)(30−a)=a+ 450．
∵A款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半．
∴a≤1
2 (30−a)，
∴a≤10，
∵y =a+ 450．
∴k =1>0，
∴y随a 的增大而增大．
∴a=10时，y 最大= 460元．
∴B款玩偶为：30−10=20(个)．
答：按照A 款玩偶购进10 个、B 款玩偶购进20 个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460 元；
(3)第一次的利润率= 20×(56−40)+10×(45−30)
1100
×100 %≈42.7 %，
第一次的利润率=
460
10×40+20×30 ×100 %≈46 %，
∵46 %>42.7 %，
∴对于小李来说第二次的进货方案更合算．
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【解析】(1)设A 款玩偶购进x 个，B 款玩偶购进(30−x)个，由用1100 元购进了A，B 两款玩偶建立方
程求出其解即可；
(2)设A 款玩偶购进a 个，B 款玩偶购进(30−a)个，获利y 元，根据题意可以得到利润与A 款玩偶数量
的函数关系，然后根据A 款玩偶进货数量不得超过B 款玩偶进货数量的一半，可以求得A 款玩偶数量的
取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润元；
(3)分别求出两次进货的利润率，比较即可得出结论．
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的的运用，解答时由销售问题的数量关系求出
一次函数的解析式是关键．
22.【答案】解：(1)将点A 的坐标代入抛物线表达式得：0= 4 +2m，解得：m=−2，
将点A 的坐标代入直线表达式得：0=−2+b，解得b=2；
故m=−2，b=2；
(2)由(1)得，直线和抛物线的表达式为：y =−x +2，y = x
2−2 x，
联立上述两个函数表达式并解得{
x =−1
y =3 ，
即点B 的坐标为(−1,3)，
从图象看，不等式 x
2+mx >−x +b 的解集为x<−1或x>2；
(3)当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，
∵MN的距离为3，而AB 的距离为3，故此时只有一个交点，即−1≤xM <2；
当点M 在点B 的左侧时，线段MN 与抛物线没有公共点；
当点M 在点A 的右侧时，当 xM =3时，抛物线和MN 交于抛物线的顶点(1,−1)，即xM =3时，线段MN
与抛物线只有一个公共点，
综上，−1≤xM <2 或 xM =3．
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)求出点B 的坐标为(−1,3)，再观察函数图象即可求解；
(3)分类求解确定MN 的位置，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，其中(3)，分类求解确定
MN 的位置是解题的关键．
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23.【答案】⑤
【解析】解：(1)如图1，由作图得，OC =OD，OE =OF，PG 垂
直平分CE，PH 垂直平分DF，
∴∠PGO=∠PHO=90°，
∵OE−OC =OF −OD，
∴CE = DF，
∵CG = 1
2 CE，DH = 1
2 DF，
∴CG = DH，
∴OC + DG=OD+ DH，
∴OG=OH，
∵OP=OP，
∴Rt △PGO≌Rt △PHO( HL)，
故答案为：⑤．
(2)射线OP 是∠AOB的平分线，理由如下：
如图2，∵OC =OD，∠DOE =∠COF，OE =OF，
∴△DOE≌△COF(SAS)，
∴∠PEC =∠PFD，
∵∠CPE =∠CPF，CE = DF，
∴△CPE≌△DPF( AAS)，
∴PE = PF，
∵OE =OF，∠PEO=∠PFO，PE = PF，
∴△OPE≌△OPF(SAS)，
∴∠POE =∠POF，即∠POA =∠POB，
∴OP是∠AOB的平分线．
(3)如图3，OC <OE，连接OP，作PM ⊥OA，则∠PMO=∠PME =90°，
由(2)得，OP 平分∠AOB，∠PEC =∠PFD，
∴∠PEC +30° =∠PFD+30°，
∵∠AOB =60°，
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∴∠POE =∠POF = 1
2 ∠AOB =30°，
∵∠CPE =30°，
∴∠OCP=∠PEC +∠CPE =∠PEC +30°，
∠OPC =∠PFD+∠POF =∠PFD+30°，
∴∠OCP =∠OPC = 1
2 (180°−∠POE)= 1
2 ×(180°−30°)=75°，
∴OC =OP，∠OPE =75°+30° =105°，
∴∠OPM =90°−30° =60°，
∴∠MPE =105°−60° = 45°，
∴∠MEP =90°−45° = 45°，
∴MP= ME，
设MP= ME =m，则OM = MP⋅tan 60° =√3m，
由OE =√3+1，得m+√3m=√3+1，解得m=1，
∴MP= ME =1，
∴OP=2 MP=2，
∴OC =OP=2；
如图4，OC >OE，连接OP，作PM ⊥OA，则∠PMO=∠PMC =90°，
同理可得，∠POE =∠POF = 1
2 ∠AOB =30°，∠OEP=∠OPE =75°，∠OPM =60°，
∠MPC =∠MCP= 45°，
∴OE =OP =√3+1，
∵MC = MP = 1
2 OP = 1
2 OE = √3+1
2
，
∴OM = MP⋅tan 60° = √3+1
2
×√3= 3+√3
2
，
∴OC =OM + MC = 3+√3
2
+ √3+1
2
=2+√3．
综上所述，OC 的长为2 或2+√3．
(1)由作图得，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，可知Rt △PGO≌Rt △PHO的依据HL；
(2)由作图得，OC =OC，OE =OF，再根据对顶角相等、公共角等条件可依次证明△DOE≌△COF、
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△CPE≌△DPF、△OPE≌△OPF，从而得到∠POE =∠POF，所以OP 是∠AOB的平分线；
(3)连接OP，由已知条件可证明∠OPC =∠OCP=75°，从而得OP=OC，再过点P 作OA 的垂线构造
含有特殊角的直角三角形，利用其三边的特殊关系求出OC 的长．
此题重点考查角平分线的作法、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、解直角三角形、二次
根式的化简等知识与方法，根据三角形全等的判定定理证明三角形全等是解题的关键，解第(3)题需作辅
助线构造含特殊角的直角三角形，且需要分类讨论，求出所有符合条件的值．
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