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2019 年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意．本大题共12 个小题，每小题3 分，共36 分）
1．给出四个数，
，其中为无理数的是（ ）
A．﹣1
B．0
C．0.5
D．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．某校八年级（3）班体训队员的身高（单位：cm）如下：169，165，166，164，169，167，166，169，166，
165，获得这组数据方法是（ ）
A．直接观察
B．查阅文献资料
C．互联网查询
D．测量
4．一次函数y＝2x+1 的图象不经过第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
5．若关于x 的方程kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1
B．k＜﹣1
C．k≥﹣1 且k≠0
D．k＞﹣1 且k≠0
6．如图，⊙O 的直径AB＝4，点C 在⊙O 上，∠ABC＝30°，则AC 的长是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
7．已知△ABC 的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°，则△ABC 是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
8．Rt△ABC 中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点E 是BC 的中点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落
在点F 处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A．
B．
C．
D．
10．七年级（1）班与（2）班各选出20 名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个
数进行统计，两班成绩的平均数相同，
（1）班成绩的方差为17.5，
（2）班成绩的方差为15，由此可知
（ ）
A．
（1）班比（2）班的成绩稳定
B．
（2）班比（1）班的成绩稳定
C．两个班的成绩一样稳定
D．无法确定哪班的成绩更稳定
11．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周
长是（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
12．如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，点G 在CD 上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D 顺时针
旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC 上，连接CE′，则CE′+CG′＝（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8 小题；共24 分）
13．﹣5 的相反数是 ；﹣5 的绝对值是 ；﹣5 的立方是 ；﹣0.5 的倒数是 ．
14．写一个有两个相等的实数根的一元二次方程： ．
15．一种饮料重约300 克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为 克．
16．在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝2∠C，则∠B＝ °．
17．在半径为6cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的面积是 cm2．
18．如图，第一个图形有1 个正方形；第二个图形有5 个正方形；第三个图形有14 个正方形……；则按
此规律，第五个图形有 个正方形．
19．已知▱ABCD 的顶点B（1，1），C（5，1），直线BD，CD 的解析式分别是y＝kx，y＝mx﹣14，则BC＝
，点A 的坐标是 ．
20．如图，曲线l 是由函数y＝
在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣
4
，4
），B（2
，2
）的直线与曲线l 相交于点M、N，则△OMN 的面积为 ．
三、解答题（本大题共7 小题；共60 分）
21．（1）计算：
﹣|﹣
|+（﹣
）﹣1﹣2sin60°
（2）解方程
﹣
＝
．
22．花鸟市场一家店铺正销售一批兰花，每盆进价100 元，售价为140 元，平均每天可售出20 盆．为扩
大销量，增加利润，该店决定适当降价．据调查，每盆兰花每降价1 元，每天可多售出2 盆．要使得
每天利润达到1200 元，则每盆兰花售价应定为多少元？
23．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的
仰角为45°，已知OA＝100 米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B 在同一条
直线上．求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保
留根号形式）
24．如图，△ABC 中，AB＝8 厘米，AC＝16 厘米，点P 从A 出发，以每秒2 厘米的速度向B 运动，点Q
从C 同时出发，以每秒3 厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运
动，那么，当以A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是多少？
25．如图，∠ABC＝38°，∠ACB＝100°，AD 平分∠BAC，AE 是BC 边上的高，求∠DAE 的度数．
26．如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线
段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q 作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？
（2）请判断OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最
大值．
27．如图，AB 是⊙O 的直径，
＝
，连结AC，过点C 作直线l∥AB，点P 是直线l 上的一个动点，直
线PA 与⊙O 交于另一点D，连结CD，设直线PB 与直线AC 交于点E．
（1）求∠BAC 的度数；
（2）当点D 在AB 上方，且CD⊥BP 时，求证：PC＝AC；
（3）在点P 的运动过程中
①当点A 在线段PB 的中垂线上或点B 在线段PA 的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD 的
度数；
②设⊙O 的半径为6，点E 到直线l 的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE 的面积．
2019 年湖南省邵阳市城步县中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项最符合题意．本大题共12 个小题，每小题3 分，共36 分）
1．给出四个数，
，其中为无理数的是（ ）
A．﹣1
B．0
C．0.5
D．
【分析】根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π 的数，结合选
项即可作出判断．
【解答】解：结合所给的数可得，无理数有：
．
故选：D．
【点评】此题考查了无理数的定义，关键要掌握无理数的三种形式，要求我们熟练记忆．
2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图重合．
3．某校八年级（3）班体训队员的身高（单位：cm）如下：169，165，166，164，169，167，166，169，166，
165，获得这组数据方法是（ ）
A．直接观察
B．查阅文献资料
C．互联网查询
D．测量
【分析】要得出某校八年级（3）班体训队员的身高，需要测量．
【解答】解：因为要对篮球队员的身高的数据进行收集和整理，获得这组数据方法应该是测量．
故选：D．
【点评】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，解答此题要明确，调查要进行数据的收集、
整理．
4．一次函数y＝2x+1 的图象不经过第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【分析】根据一次函数图象的性质可得出答案．
【解答】解：∵2＞0，1＞0，
∴一次函数y＝2x+1 的图象经过一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
【点评】此题考查一次函数的性质，一次函数y＝kx+b 的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0 时，函数y＝kx+b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0 时，函数y＝kx+b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．
5．若关于x 的方程kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1
B．k＜﹣1
C．k≥﹣1 且k≠0
D．k＞﹣1 且k≠0
【分析】根据△的意义得到k≠0 且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵x 的方程kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，
∴k≠0 且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，
∴k 的取值范围为k＞﹣1 且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了
一元二次方程的定义．
6．如图，⊙O 的直径AB＝4，点C 在⊙O 上，∠ABC＝30°，则AC 的长是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【分析】先根据圆周角定理证得△ABC 是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC 的长．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°；
Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，AB＝4；
∴AC＝
AB＝2．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理的推论和直角三角形的性质．
7．已知△ABC 的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°，则△ABC 是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【分析】根据题意，可以求得∠C 的度数，然后将△ABC 各个内角的度数即可判断△ABC 的形状．
【解答】解：∵△ABC 的两个内角∠A＝30°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°，
∴△ABC 是锐角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用三角形内角和的知识解答．
8．Rt△ABC 中，∠C＝90°，若BC＝2，AC＝3，下列各式中正确的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝2，AC＝3，
∴AB＝
，
A．sinA＝
＝
＝
，故此选项错误；
B．cosA＝
＝
，故此选项错误；
C．tanA＝
＝
，故此选项正确；
D．cotA＝
＝
，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决
问题的关键．
9．如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点E 是BC 的中点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落
在点F 处，连接FC，则sin∠ECF＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】过E 作EH⊥CF 于H，由折叠的性质得BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，由点E 是BC 的中点，得
到CE＝BE，得到△EFC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH＝∠CEH，推出
△ABE∽△EHC，求得EH＝
，结果可求sin∠ECF＝
＝
．
【解答】解：过E 作EH⊥CF 于H，
由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，
∵点E 是BC 的中点，
∴CE＝BE，
∴EF＝CE，
∴∠FEH＝∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH＝90°，
在矩形ABCD 中，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠CEH，∠B＝∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴
，
∵AE＝
＝10，
∴EH＝
，
∴sin∠ECF＝sin∠ECH＝
＝
，
（方法二，可以证明∠AEB＝∠ECF，求出AE＝10，sin∠ECF＝sin∠AEB＝
）
故选：D．
【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形
的性质以及勾股定理．
10．七年级（1）班与（2）班各选出20 名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个
数进行统计，两班成绩的平均数相同，
（1）班成绩的方差为17.5，
（2）班成绩的方差为15，由此可知
（ ）
A．
（1）班比（2）班的成绩稳定
B．
（2）班比（1）班的成绩稳定
C．两个班的成绩一样稳定
D．无法确定哪班的成绩更稳定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这
组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，
∴（1）班成绩的方差＞（2）班成绩的方差，
∴（2）班比（1）班的成绩稳定．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据
偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数
据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为 1，3，3，2，则这个六边形的周
长是（ ）
A．13
B．14
C．15
D．16
【分析】六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延
长线，可得到等边三角形，进而求解．
【解答】解：如图所示，分别作直线AB、CD、EF 的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．
因为六边形ABCDEF 的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF 的每一个外角的度数都是60°．
所以△AFI、△BGC、△DHE、△GHI 都是等边三角形．
所以AI＝AF＝3，BG＝BC＝1．
所以GI＝GH＝AI+AB+BG＝3+3+1＝7，DE＝HE＝HI﹣EF﹣FI＝7﹣2﹣3＝2，CD＝HG﹣CG﹣
HD＝7﹣1﹣2＝4．
所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3＝15；
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周
长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握．
12．如图，在正方形ABCD 和正方形DEFG 中，点G 在CD 上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D 顺时针
旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC 上，连接CE′，则CE′+CG′＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】解法一：作G′R⊥BC 于R，则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC 上，再
证明CH＝HE′即可解决问题．
解法二：首先证明CG′+CE′＝AC，作G′M⊥AD 于M．解直角三角形求出DM，AM，AD 即可；
【解答】解法一：作G′R⊥BC 于R，则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′＝∠IG′R＝90°，
∴∠DG′I＝∠RG′F′，
在△G′ID 和△G′RF 中
，
∴△G′ID≌△G′RF，
∴∠G′ID＝∠G′RF′＝90°，
∴点F′在线段BC 上，
在Rt△E′F′H 中，∵E′F′＝2，∠E′F′H＝30°，
∴E′H＝
E′F′＝1，F′H＝
，
易证△RG′F′≌△HF′E′，
∴RF′＝E′H，RG′＝RC＝F′H，
∴CH＝RF′＝E′H，
∴CE′＝
，
∵RG′＝HF′＝
，
∴CG′＝
RG′＝
，
∴CE′+CG′＝
+
．
故选A．
解法二：作G′M⊥AD 于M．
易证△DAG'≌△DCE'，
∴AG'＝CE'，
∴CG′+CE′＝AC，
在Rt△DMG′中，∵DG′＝2，∠MDG′＝30°，
∴MG′＝1，DM＝
，
∵∠MAG′＝45°，∠AMG′＝90°，
∴∠MAG′＝∠MG′A＝45°，
∴AM＝MG′＝1，
∴AD＝1+
，
∵AC＝
AD，
∴AC＝
+
．
故选：A．
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形
的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中
的压轴题．
二、填空题（本大题共8 小题；共24 分）
13．﹣5 的相反数是
5
；﹣5 的绝对值是
5
；﹣5 的立方是 ﹣
125
；﹣0.5 的倒数是 ﹣
2
．
【分析】根据相反数、绝对值、倒数的意义以及有理数的乘方法则即可求解．
【解答】解：﹣5 的相反数是5；﹣5 的绝对值是5；﹣5 的立方是﹣125；﹣0.5 的倒数是﹣2．
故答案为5；5；﹣125；﹣2．
【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数、绝对值、倒数的意义，是基础知识，需熟练掌握．
14．写一个有两个相等的实数根的一元二次方程：
x 2 +2
x +1
＝
0
．
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．答案不唯一．
【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝0，
符合条件的一元二次方程为x2+2x+1＝0（答案不唯一），
故答案为：x2+2x+1＝0．
【点评】本题是一个开放性的题目，考查了一元二次方程的判别式，是一个基础性的题目．
15．一种饮料重约300 克，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为 不少于
1.5
克．
【分析】根据题意求出蛋白质含量的最小值即可．
【解答】解：∵某种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，
∴蛋白质含量的最小值＝300×0.5%＝1.5 克，
∴白质的含量不少于1.5 克．
故答案是：不少于1.5
【点评】本题考查的是不等式的定义，根据题意求出蛋白质含量的最小值是解答此题的关键．
16．在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝2∠C，则∠B＝
80
°．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件求得．
【解答】解：∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝80°．
故答案为：80．
【点评】主要考查了三角形的内角和是180°．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这
一隐含的条件．
17．在半径为6cm 的圆中，圆心角为120°的扇形的面积是
12
π
cm2．
【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意得，n＝120°，R＝6cm，
故圆心角为120°的扇形的面积＝
＝12π（cm2）．
故答案为12π．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟记扇形的面积公式及公式
中字母所表示的含义，难度一般．
18．如图，第一个图形有1 个正方形；第二个图形有5 个正方形；第三个图形有14 个正方形……；则按
此规律，第五个图形有
55
个正方形．
【分析】由已知图形得出第n 个图形中小正方形的个数为12+22+…+（n﹣1）2+n2，据此可得．
【解答】解：由题意知，第五个图形中正方形有12+22+32+42+52＝55（个），
故答案为：55．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是掌握第n 个图形中小正方形的个数为
12+22+…+（n﹣1）2+n2．
19．已知▱ABCD 的顶点B（1，1），C（5，1），直线BD，CD 的解析式分别是y＝kx，y＝mx﹣14，则BC＝
4
，点A 的坐标是 （
3 ，
7 ）
．
【分析】由顶点B（1，1），C（5，1），即可求得BC 的长，又由直线BD，CD 的解析式分别是y＝kx，y＝
mx﹣14，利用待定系数法即可求得k 与m 的值，继而求得D 的坐标，再由四边形ABCD 是平行四
边形，根据平移的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵顶点B（1，1），C（5，1），
∴BC＝5﹣1＝4；
∵直线BD，CD 的解析式分别是y＝kx，y＝mx﹣14，
∴1＝k，1＝5m﹣14，
解得：k＝1，m＝3，
∴直线BD，CD 的解析式分别是y＝x，y＝3x﹣14，
∴
，
解得：
，
∴D 的坐标为：（7，7），
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴A 的坐标为：（3，7）．
故答案为：4，（3，7）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及一次函数的交点问题．注意掌握平移的性质的应用是解
此题的关键．
20．如图，曲线l 是由函数y＝
在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的，过点A（﹣
4
，4
），B（2
，2
）的直线与曲线l 相交于点M、N，则△OMN 的面积为
8
．
【分析】由题意A（﹣4
，4
），B（2
，2
），可知OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB 为x′
轴，OA 为y′轴，利用方程组求出M、N 的坐标，根据S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN计算即可．
【解答】解：∵A（﹣4
，4
），B（2
，2
），
∴OA⊥OB，
建立如图新的坐标系，OB 为x′轴，OA 为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），
∴直线AB 解析式为y′＝﹣2x′+8，
由
，解得
或
，
∴M（1，6），N（3，2），
∴S△OMN＝S△OBM﹣S△OBN＝
•4•6﹣
•4•2＝8，
故答案为8．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会建立新的坐标
系解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7 小题；共60 分）
21．（1）计算：
﹣|﹣
|+（﹣
）﹣1﹣2sin60°
（2）解方程
﹣
＝
．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函
数值计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的
解．
【解答】解：（1）原式＝3
﹣
﹣2﹣
＝
﹣2；
（2）去分母得：3﹣2x＝x﹣2，
解得：x＝
，
经检验x＝
是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．花鸟市场一家店铺正销售一批兰花，每盆进价100 元，售价为140 元，平均每天可售出20 盆．为扩
大销量，增加利润，该店决定适当降价．据调查，每盆兰花每降价1 元，每天可多售出2 盆．要使得
每天利润达到1200 元，则每盆兰花售价应定为多少元？
【分析】设每盆兰花售价定为x 元，则每天可售出20+2（140﹣x）＝300﹣2x 盆兰花，根据总利润＝
单盘利润×销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 值，取其较小值即可．
【解答】解：设每盆兰花售价定为x 元，则每天可售出20+2（140﹣x）＝300﹣2x 盆兰花，
据题意得：（x﹣100）（300﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣250x+15600＝0，
解得：x1＝120，x2＝130，
∴为扩大销量，增加利润，
∴x＝120．
答：要使得每天利润达到1200 元，则每盆兰花售价应定为120 元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，据总利润＝单盘利润×销售数量，列出关于x 的一元二次
方程是解题的关键．
23．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点C 的仰角为60°，沿山坡向上走到P 处再测得点C 的
仰角为45°，已知OA＝100 米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B 在同一条
直线上．求电视塔OC 的高度以及此人所在位置点P 的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保
留根号形式）
【分析】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，
分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB 于点E，PF⊥CO 于点F，
在Rt△AOC 中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100
（米）．
设PE＝x 米，
∵tan∠PAB＝
＝
，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF 中，∠CPF＝45°，CF＝100
﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100
﹣x，
解得x＝
（米）．
答：电视塔OC 高为100
米，点P 的铅直高度为
（米）．
【点评】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，
并结合图形利用三角函数解直角三角形．
24．如图，△ABC 中，AB＝8 厘米，AC＝16 厘米，点P 从A 出发，以每秒2 厘米的速度向B 运动，点Q
从C 同时出发，以每秒3 厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运
动，那么，当以A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是多少？
【分析】首先设运动了ts，根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，然后分别从当△APQ∽△ABC 与当
△APQ∽△ACB 时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：设运动了ts，
根据题意得：AP＝2tcm，CQ＝3tcm，
则AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC 时，
，
即
，
解得：t＝
；
当△APQ∽△ACB 时，
，
即
，
解得：t＝4；
故当以A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：
s 或4s．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形
结合思想的应用．
25．如图，∠ABC＝38°，∠ACB＝100°，AD 平分∠BAC，AE 是BC 边上的高，求∠DAE 的度数．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，由角平分线的定义得出∠BAD 的度数，根据
三角形外角的性质求出∠ADE 的度数，由两角互补的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC＝38°，∠ACB＝100°（己知）
∴∠BAC＝180°﹣38°﹣100°＝42°（三角形内角和180°）．
又∵AD 平分∠BAC（己知），
∴∠BAD＝21°，
∴∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝59°（三角形的外角性质）．
又∵AE 是BC 边上的高，即∠E＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣59°＝31°．
【点评】此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
26．如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线
段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q 作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．
（1）请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？
（2）请判断OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最
大值．
【分析】（1）根据平移的性质，可得PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答
案；
（2）根据正方形的性质，平移的性质，可得PQ 与AB 的关系，根据等腰直角三角形的判定与性质，
可得∠PQO，根据全等三角形的判定与性质，可得AO 与OP 的数量关系，根据余角的性质，可得
AO 与OP 的位置关系；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得OE 的长，根据三角形的面积公式，可得二次函数，根据二次
函数的性质，可得到答案．
【解答】（1）四边形APQD 为平行四边形；
（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，
∵OQ⊥BD，
∴∠PQO＝45°，
∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，
∴OB＝OQ，
在△AOB 和△OPQ 中，
∴△AOB≌△POQ（SAS），
∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，
∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，
∴OA⊥OP；
（3）如图，过O 作OE⊥BC 于E．
①如图1，当P 点在B 点右侧时，
则BQ＝x+2，OE＝
，
∴y＝
×
•x，即y＝
（x+1）2﹣
，
又∵0≤x≤2，
∴当x＝2 时，y 有最大值为2；
②如图2，当P 点在B 点左侧时，
则BQ＝2﹣x，OE＝
，
∴y＝
×
•x，即y＝﹣
（x﹣1）2+
，
又∵0≤x≤2，
∴当x＝1 时，y 有最大值为
；
综上所述，∴当x＝2 时，y 有最大值为2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用平行四边形的判定是解题关键；利用全等三角形的判定
与性质是解题关键；利用等腰直角三角形的性质的出OE 的长是解题关键，又利用了二次函数的性
质．
27．如图，AB 是⊙O 的直径，
＝
，连结AC，过点C 作直线l∥AB，点P 是直线l 上的一个动点，直
线PA 与⊙O 交于另一点D，连结CD，设直线PB 与直线AC 交于点E．
（1）求∠BAC 的度数；
（2）当点D 在AB 上方，且CD⊥BP 时，求证：PC＝AC；
（3）在点P 的运动过程中
①当点A 在线段PB 的中垂线上或点B 在线段PA 的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD 的
度数；
②设⊙O 的半径为6，点E 到直线l 的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE 的面积．
【分析】（1）只要证明△ABC 是等腰直角三角形即可；
（2）只要证明CB＝CP，CB＝CA 即可；、
（3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；
②分两种情形如图6 中，作EK⊥PC 于K．只要证明四边形ADBC 是正方形即可解决问题；如图7
中，连接OC，作BG⊥CP 于G，EK⊥PC 于K．由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝
，可得S△PBD
＝S△ABP﹣S△ABD＝
，再根据S△BDE＝
•S△PBD计算即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1 中，连接BC．
∵
＝
，
∴BC＝CA，
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠CBA＝45°．
（2）解：如图1 中，设PB 交CD 于K．
∵
＝
，
∴∠CDB＝∠CDP＝45°，CB＝CA，
∴CD 平分∠BDP，又∵CD⊥BP，
∴∠DKB＝∠DKP＝90°，∵DK＝DK，
∴△DKB≌△DKP，
∴BK＝KP，
即CD 是PB 的中垂线，
∴CP＝CB＝CA．
（3）①（Ⅰ）如图2，当 B 在PA 的中垂线上，且P 在右时，∠ACD＝15°；
理由：连接BD、OC．作BG⊥PC 于G．则四边形OBGC 是正方形，
∵BG＝OC＝OB＝CG，
∵BA＝BA，
∴PB＝2BG，
∴∠BPG＝30°，
∵AB∥PC，
∴∠ABP＝30°，
∵BD 垂直平分AP，
∴∠ABD＝
∠ABP＝15°，
∴∠ACD＝15°
（Ⅱ）如图3，当B 在PA 的中垂线上，且P 在左，∠ACD＝105°；
理由：作BG⊥CP 于G．
同法可证∠BPG＝30°，可得∠APB＝∠BAP＝∠APC＝15°，
∴∠ABD＝75°，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ACD＝105°；
（Ⅲ）如图4，A 在PB 的中垂线上，且P 在右时∠ACD＝60°；
理由：作AH⊥PC 于H，连接BC．
同法可证∠APH＝30°，可得∠DAC＝75°，∠D＝∠ABC＝45°，
∴∠ACD＝60°；
（Ⅳ）如图5，A 在PB 的中垂线上，且P 在左时∠ACD＝120°
理由：作AH⊥PC 于H．
同法可证：∠APH＝30°，可得∠ADC＝45°，∠DAC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ACD＝120°．
②如图6 中，作EK⊥PC 于K．
∵EK＝CK＝3，
∴EC＝3
，
∵AC＝6
，
∴AE＝EC，
∵AB∥PC，
∴∠BAE＝∠PCE，∵∠AEB＝∠PEC，
∴△ABE≌△CPE，
∴PC＝AB＝CD，
∴△PCD 是等腰直角三角形，可得四边形ADBC 是正方形，
∴S△BDE＝
•S 正方形ADBC＝36．
如图7 中，连接OC，作BG⊥CP 于G，EK⊥PC 于K．
由题意CK＝EK＝3，PK＝1，PG＝2，
由△AOQ∽△PCQ，可得QC＝
，
PQ2＝
，
由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝
，
∴S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝
，
∴S△BDE＝
•S△PBD＝
综上所，满足条件的△BDE 的面积为36 或
．
【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性
质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30 度角的判定等知识，解题的关键是学会用
分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
