2021 年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10 小题，每小题4 分，共40 分.每小题只有一个选项是正确的，不选、
多选、错选均不给分
1．计算（﹣2）2的结果是（ ）
A．4
B．﹣4
C．1
D．﹣1
2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000 人．数据
218000000 用科学记数法表示为（ ）
A．218×106
B．21.8×107
C．2.18×108
D．0.218×109
4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60 人，则初中生有（
）
A．45 人
B．75 人
C．120 人
D．300 人
5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x
B．﹣4x+2＝﹣x
C．﹣4x﹣1＝x
D．﹣4x﹣2＝x
6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，点A，B 的对应点分别为点A′，
则A′B′的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．15
7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17 立方米，每立方米a 元；超过部分
每立方米（a+1.2），则应缴水费为（ ）
A．20a 元
B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元
D．（20a+3.6）元
8．图1 是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角
三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．
+1
B．sin2α+1
C．
+1
D．cos2α+1
9．如图，点A，B 在反比例函数y＝
（k＞0，x＞0），AC⊥x 轴于点C，BD⊥x 轴于点
D，连结AE．若OE＝1，OC＝
，AC＝AE，则k 的值为（ ）
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2
A．2
B．
C．
D．2
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作
DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G，连结CG，延长BE 交CG 于点H．若
AE＝2BE，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本题有6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）分解因式：2m2﹣18＝ ．
12．（5 分）一个不透明的袋中装有21 个只有颜色不同的球，其中5 个红球，7 个白球
．
13．（5 分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ．
14．（5 分）不等式组
的解集为 ．
15．（5 分）如图，⊙O 与△OAB 的边AB 相切，切点为B．将△OAB 绕点B 按顺时针方向
旋转得到△O′A′B，边A′B 交线段AO 于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝
度．
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16．（5 分）图1 是邻边长为2 和6 的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、
无缝隙的大正方形（如图2） ；记图1 中小正方形的中心为点A，
B，C，图2 中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为
．
三、解答题（本题有8 小题，共80 分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10 分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣
．
（2）化简：（a﹣5）2+
a（2a+8）．
18．（8 分）如图，BE 是△ABC 的角平分线，在AB 上取点D
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC 的度数．
19．（8 分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D 四个等级，依次记为4 分，2
分，1 分．为了解学生整体体质健康状况
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60 人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40 人的成绩．”
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根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120 名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、
中
位
数
和
众
数
．
20．（8 分）如图中4×4 与6×6 的方格都是由边长为1 的小正方形组成．图1 是绘成的七巧
板图案，它由7 个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3 中画出相应的
格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2 中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3 个单
位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的
倍，画在图3 中．
21．（10 分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l 交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n 为正数．若点P 在抛物线上且
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5
在直线l 下方（不与点A，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围．
22．（10 分）如图，在▱ABCD 中，E，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧）
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝
，∠CBE＝∠EAF 时
23．（12 分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2
倍，用80 元购买的甲食材比用20 元购买的乙食材多1 千克．
营养品信息表
营养成份
每千克含铁42 毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50 毫克
乙食材
10 毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A 包装
1 千克
45 元
B 包装
0.25 千克
12 元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000 元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000 元，且生产的营养品当日全部售出．若A 的数量不低于B
的数量，则A 为多少包时
24．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点O（2，0），B（0，8），连结
AB．直线CM 分别交⊙M 于点D，E（点D 在左侧），交x 轴于点C（17，0）
（1）求⊙M 的半径和直线CM 的函数表达式；
（2）求点D，E 的坐标；
（3）点P 在线段AC 上，连结PE．当∠AEP 与△OBD 的一个内角相等时，求所有满足
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条件的OP 的长．
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2021 年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10 小题，每小题4 分，共40 分.每小题只有一个选项是正确的，不选、
多选、错选均不给分
1．计算（﹣2）2的结果是（ ）
A．4
B．﹣4
C．1
D．﹣1
【分析】(﹣2)²表示2 个(﹣2)相乘,根据幂的意义计算即可．
【解答】解:(﹣2)²＝(﹣2)×(﹣6)＝4,
故选：A．
2．直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．
【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，
故选：C．
3．第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000 人．数据
218000000 用科学记数法表示为（ ）
A．218×106
B．21.8×107
C．2.18×108
D．0.218×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
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8
【解答】解：将218000000 用科学记数法表示为2.18×108．
故选：C．
4．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60 人，则初中生有（
）
A．45 人
B．75 人
C．120 人
D．300 人
【分析】利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，用总人数乘以初中生所占的
百分比即可求解．
【解答】解：参观温州数学名人馆的学生人数共有60÷20%＝300（人），
初中生有300×40%＝120（人），
故选：C．
5．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣x
B．﹣4x+2＝﹣x
C．﹣4x﹣1＝x
D．﹣4x﹣2＝x
【分析】可以根据乘法分配律先将2 乘进去，再去括号．
【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括号得：﹣3x﹣2＝x，
故选：D．
6．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，点A，B 的对应点分别为点A′，
则A′B′的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．15
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9
【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，
∴
＝
，即
＝
，
解得，A′B′＝9，
故选：B．
7．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17 立方米，每立方米a 元；超过部分
每立方米（a+1.2），则应缴水费为（ ）
A．20a 元
B．（20a+24）元
C．（17a+3.6）元
D．（20a+3.6）元
【分析】应缴水费＝17 立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。
【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+2.6）（元）。
故选：D．
8．图1 是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角
三角形，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．
+1
B．sin2α+1
C．
+1
D．cos2α+1
【分析】在Rt△OAB 中，sinα＝
,可得OB 的长度，在Rt△OBC 中，根据勾股定理
OB2+BC2＝OC2,代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1,
在Rt△OAB 中，sinα＝
,
∴OB＝
,
在Rt△OBC 中，
OB3+BC2＝OC2,
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10
∴OC6＝(
)2+22＝
．
故选：A．
9．如图，点A，B 在反比例函数y＝
（k＞0，x＞0），AC⊥x 轴于点C，BD⊥x 轴于点
D，连结AE．若OE＝1，OC＝
，AC＝AE，则k 的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．2
【分析】根据题意求得B（k，1），进而求得A（
k，
），然后根据勾股定理得到∴
（
）2＝（
k）2+（
）2，解方程即可求得k 的值．
【解答】解：∵BD⊥x 轴于点D，BE⊥y 轴于点E，
∴四边形BDOE 是矩形，
∴BD＝OE＝1，
把y＝1 代入y＝
，求得x＝k，
∴B（k，7），
∴OD＝k，
∵OC＝
OD，
∴OC＝
k，
∵AC⊥x 轴于点C，
把x＝
k 代入y＝
得
，
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11
∴AE＝AC＝
，
∵OC＝EF＝
k，AF＝
，
在Rt△AEF 中，AE2＝EF5+AF2，
∴（
）2＝（
k）2+（
）2，解得k＝±
，
∵在第一象限，
∴k＝
，
故选：B．
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作
DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G，连结CG，延长BE 交CG 于点H．若
AE＝2BE，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如图，过点G 作GT⊥CF 交CF 的延长线于T,设BH 交CF 于M,AE 交DF 于
N．设BE＝AN＝CH＝DF＝a,则AE＝BM＝CF＝DN＝2a,想办法求出BH,CG,可得结论．
【解答】解：如图，过点G 作GT⊥CF 交CF 的延长线于T,AE 交DF 于N,则AE＝BM＝
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12
CF＝DN＝2a,
∴EN＝EM＝MF＝FN＝a,
∵四边形ENFM 是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°,∠NFE＝∠DFG＝45°,
∵GT⊥TF,DF⊥DG,
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°,
∴TG＝FT＝DF＝DG＝a,
∴CT＝3a,CG＝
＝
a,
∵MH∥TG,
∴△CMH∽△CTG,
∴CM:CT＝MH:TG＝7,
∴MH＝
a,
∴BH＝5a+
a＝
a,
∴
＝
＝
,
故选：C．
二、填空题（本题有6 小题，每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）分解因式：2m2﹣18＝
2 （
m +3
）（
m ﹣
3 ）
．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（m2﹣3）
＝2（m+3）（m﹣7）．
故答案为：2（m+3）（m﹣2）．
12．（5 分）一个不透明的袋中装有21 个只有颜色不同的球，其中5 个红球，7 个白球
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13
．
【分析】用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案．
【解答】解：∵一共有21 个只有颜色不同的球，其中红球有5 个，
∴从中任意摸出1 个球是红球的概率为
，
故答案为：
．
13．（5 分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为
π
．
【分析】根据弧长公式代入即可．
【解答】解：根据弧长公式可得：
l＝
＝
＝
π．
故答案为：
π．
14．（5 分）不等式组
的解集为
1 ≤
x ＜
7
．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜2，
解不等式
≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜2，
故答案为：1≤x＜7．
15．（5 分）如图，⊙O 与△OAB 的边AB 相切，切点为B．将△OAB 绕点B 按顺时针方向
旋转得到△O′A′B，边A′B 交线段AO 于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝
85
度．
【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得
∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B 为等边三角形
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得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．
【解答】解：∵⊙O 与△OAB 的边AB 相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B 为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为85．
16．（5 分）图1 是邻边长为2 和6 的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、
无缝隙的大正方形（如图2）
6 ﹣
2
；记图1 中小正方形的中心为点A，B，C，图
2 中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为
(16
﹣
8
) π
．
【分析】如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FH 上,连接OB′,B′C′,过点
O 作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出
OB′2,可得结论．
【解答】解：如图，连接FH,O,C′在线段FH 上,B′C′．
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15
∵大正方形的面积＝12，
∴FG＝GH＝2
,
∵EF＝HK＝2,
∴在Rt△EFG 中，tan∠EGF＝
＝
＝
,
∴∠EGF＝30°,
∵JK∥FG,
∴∠KJG＝∠EGF＝30°,
∴d＝JK＝
GK＝
﹣6)＝6﹣2
,
∵OF＝OH＝
FH＝
,
∴OC′＝
﹣
,
∵B′C′∥QH,B′C′＝2,
∴∠OC′H＝∠FHQ＝45°,
∴OH＝HC′＝
﹣2,
∴HB′＝2﹣(
﹣6)＝3﹣
,
∴OB′5＝OH2+B′H2＝(
﹣1)2+(8﹣
)2＝16﹣3
,
∵OA′＝OC′＜OB′,
∴当点A′，B′，圆的最小面积为(16﹣8
．
故答案为：6﹣2
，(16﹣8
．
三、解答题（本题有8 小题，共80 分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（10 分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣
．
（2）化简：（a﹣5）2+
a（2a+8）．
【分析】（1）运用实数的计算法则可以得到结果；
（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．
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16
【解答】解：(1)原式＝﹣12+8﹣3+5
＝﹣6；
(2)原式＝a2﹣10a+25+a7+4a
＝2a8﹣6a+25．
18．（8 分）如图，BE 是△ABC 的角平分线，在AB 上取点D
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC 的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再
利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中DE∥BC 可得到∠C＝∠AED＝45°,再根据三角形的内角和等于180°求
出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】解：（1）∵BE 是△ABC 的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE,
∵∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE 是△ABC 的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝
．
19．（8 分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D 四个等级，依次记为4 分，2
分，1 分．为了解学生整体体质健康状况
（1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：
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17
小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60 人的成绩．”
小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40 人的成绩．”
根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案．
如果你来抽取120 名学生的测试成绩，请给出抽样方案．
（2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出这组数据的平均数、
中
位
数
和
众
数
．
【分析】（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可；
（2）根据中位数、众数的意义求解即可．
【解答】解：（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小红的方
案考虑到性别的差异，小明的方案考虑到了年级特点，他们抽样调查不具有广泛性和代
表性；
（2）平均数为
＝2.75（分），
抽查的120 人中，成绩是6 分出现的次数最多，因此众数是3 分，
将这120 人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3 分，因此中位数是8 分，
答：这组数据的平均数是2.75 分、中位数是3 分．
20．（8 分）如图中4×4 与6×6 的方格都是由边长为1 的小正方形组成．图1 是绘成的七巧
板图案，它由7 个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3 中画出相应的
格点图形（顶点均在格点上）．
（1）选一个四边形画在图2 中，使点P 为它的一个顶点，并画出将它向右平移3 个单
位后所得的图形．
（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的
倍，画在图3 中．
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【分析】（1）直接将其中任意四边形向右平移3 个单位得出符合题意的图形；
（2）直接将其中任意一三角形边长扩大为原来的
倍，即可得出所求图形．
【解答】解：（1）如图2 所示，即为所求；
（2）如图3 所示，即为所求．
21．（10 分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l 交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n 为正数．若点P 在抛物线上且
在直线l 下方（不与点A，B 重合），分别求出点P 横坐标与纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点（﹣2，0）代入求解．
（2）分别求出点A,B 坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8 得6＝4a+4a﹣6，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣8，
∵y＝x2﹣5x﹣8＝（x﹣1）5﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣6）．
（2）把x＝﹣4 代入y＝x2﹣4x﹣8 得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7 代入函数解析式得7＝x5﹣2x﹣8，
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解得n＝2 或n＝﹣3，
∵n 为正数，
∴n＝5，
∴点A 坐标为（﹣4，16），7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，
∴抛物线顶点在AB 下方，
∴﹣8<xP＜5,﹣9≤yP＜16．
22．（10 分）如图，在▱ABCD 中，E，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧）
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）当AB＝5，tan∠ABE＝
，∠CBE＝∠EAF 时
【分析】（1）证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再证∠ECF＝∠CBE，则
tan∠CBE＝tan∠ECF，得
＝
，求出EF＝
﹣2，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，
∴AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
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∴AE＝CF，
∴四边形AECF 是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABE 中，tan∠ABE＝
＝
，
设AE＝4a，则BE＝4a，
由勾股定理得：（3a）3+（4a）2＝52，
解得：a＝1 或a＝﹣2（舍去），
∴AE＝3，BE＝4，
由（1）得：四边形AECF 是平行四边形，
∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝2，
∵∠CBE＝∠EAF，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠CBE＝tan∠ECF，
∴
＝
，
∴CF2＝EF×BF，
设EF＝x，则BF＝x+4，
∴52＝x（x+4），
解得：x＝
﹣5 或x＝﹣
,（舍去），
即EF＝
﹣2，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF＝4，
∴BD＝BE+EF+DF＝8+
﹣2+4＝8+
．
23．（12 分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2
倍，用80 元购买的甲食材比用20 元购买的乙食材多1 千克．
营养品信息表
营养成份
每千克含铁42 毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50 毫克
乙食材
10 毫克
规格
每包食材含量
每包单价
A 包装
1 千克
45 元
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B 包装
0.25 千克
12 元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000 元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．
①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000 元，且生产的营养品当日全部售出．若A 的数量不低于B
的数量，则A 为多少包时
【分析】（1）设乙食材每千克进价为a 元，则甲食材每千克进价为2a 元，根据“用80
元购买的甲食材比用20 元购买的乙食材多1 千克”列分式方程解答即可；
（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克，根据（1）的结论以及“每日用
18000 元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可；
②设A 为m 包，则B 为
包，根据“A 的数量不低于B 的数量”求出m 的取值范
围；设总利润为W 元，根据题意求出W 与x 的函数关系式，再根据一次函数的性质，
即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a 元，则甲食材每千克进价为2a 元，
由题意得
，
解得a＝20，
经检验，a＝20 是所列方程的根，
∴2a＝40（元），
答：甲食材每千克进价为40 元，乙食材每千克进价为20 元；
（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克，
由题意得
，解得
，
答：每日购进甲食材400 千克，乙食材100 千克；
②设A 为m 包，则B 为
，
∵A 的数量不低于B 的数量，
∴m≥2000﹣4m，
∴m≥400，
设总利润为W 元，根据题意得：
W＝45m+12(2000﹣4m)﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，
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∵k＝﹣4<0，
∴W 随m 的增大而减小，
∴当m＝400 时，W 的最大值为2800,
答：当A 为400 包时，总利润最大．
24．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点O（2，0），B（0，8），连结
AB．直线CM 分别交⊙M 于点D，E（点D 在左侧），交x 轴于点C（17，0）
（1）求⊙M 的半径和直线CM 的函数表达式；
（2）求点D，E 的坐标；
（3）点P 在线段AC 上，连结PE．当∠AEP 与△OBD 的一个内角相等时，求所有满足
条件的OP 的长．
【分析】（1）点M 是AB 的中点，则点M（1,4），则圆的半径AM＝
＝
，再用待定系数法即可求解；
（2）由AM＝
得：（x﹣1）2+（﹣
x+
﹣4）2＝（
）2，即可求解；
（3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP 为等腰直角三角形，即可求解；
②∠AEP＝∠BDO 时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD 时，同理可
解．
【解答】解：（1）∵点M 是AB 的中点，则点M（1，
则圆的半径为AM＝
＝
，
设直线CM 的表达式为y＝kx+b，则
，解得
，
故直线CM 的表达式为y＝﹣
x+
；
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（2）设点D 的坐标为（x，﹣
x+
），
由AM＝
得：（x﹣3）2+（﹣
x+
2＝（
）8，
解得x＝5 或﹣3，
故点D、E 的坐标分别为（﹣5、（5；
（3）过点D 作DH⊥OB 于点H，则DH＝3，
故∠DBO＝45°，
由点A、E 的坐标；
由点A、E、B、D 的坐标得
＝8
，
同理可得：BD＝3
，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP 为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P 的坐标为（5,5），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO 时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴
，即
＝
＝
，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD 时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
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∴
，即
，解得AP＝
，
则PO＝5+
＝
，
综上，OP 为5 或10 或
．
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