2021 年浙江省金华市中考数学试卷
一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．实数﹣
，﹣
，2，﹣3 中，为负整数的是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．2
D．﹣3
2．
+
＝（ ）
A．3
B．
C．
D．
3．太阳与地球的平均距离大约是150000000 千米，其中数150000000 用科学记数法表示为
（ ）
A．1.5×108
B．15×107
C．1.5×107
D．0.15×109
4．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x+2＞0
B．x﹣2＜0
C．2x≥4
D．2﹣x＜0
5．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．
请完成下面的说理过程．
解：已知∠1＝∠2，
根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥
l 2．
再根据（※），得∠3＝∠4．
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
6．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2 米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的
距离BC 为（ ）
A．4cosα 米
B．4sinα 米
C．4tanα 米
D．
米
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣
的图象上．若x1＜0＜x2，则（
）
A．y1＜0＜y2
B．y2＜0＜y1
C．y1＜y2＜0
D．y2＜y1＜0
9．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是
（ ）
A．先打九五折，再打九五折
B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30%
D．先提价25%，再降价25%
10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方
形的顶点E，F，G，H，M，N 都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC 面积为S2，
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2
则
的值是（ ）
A．
B．3π
C．5π
D．
二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）二次根式
中，字母x 的取值范围是 ．
12．（4 分）已知
是方程3x+2y＝10 的一个解，则m 的值是 ．
13．（4 分）某单位组织抽奖活动，共准备了150 张奖券，设一等奖5 个，二等奖20 个，
三等奖80 个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1 张奖券中一等奖的概率是
．
14．（4 分）如图，菱形ABCD 的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC 方向平移2
cm 得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD 于点E，则点E 到AC 的距离为
cm．
15．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边
BC 及四边形②的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横
坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是 ．
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3
16．（4 分）如图1 是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装
一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在
MN 上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED 的长为 ．
（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P 的对应
点为P′，BC′与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN
上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为 ．
三、解答题（本题有8 小题，共66 分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6 分）计算：（﹣1）2021+
﹣4sin45°+|﹣2|．
18．（6 分）已知x＝
，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
19．（6 分）已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，∠BOC＝120°，AB
＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O 作OE⊥AD 于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα 的值．
20．（8 分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学
测试了6 次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求小聪成绩的方差．
（3）现求得小明成绩的方差为S 小明2＝3（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两
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4
小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
21．（8 分）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA，从A 点向四周喷水，喷出的水柱
为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A
在y 轴上，x 轴上的点C，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函
数表达式为y＝﹣
（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D 之间的距离．
（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶
部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．
22．（10 分）在扇形AOB 中，半径OA＝6，点P 在OA 上，连结PB，将△OBP 沿PB 折叠
得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与
所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP 的长．
（2）如图2，BO′与
相交于点D，若点D 为
的中点，且PD∥OB，求
的长．
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5
23．（10 分）背景：点A 在反比例函数y＝
（k＞0）的图象上，AB⊥x 轴于点B，AC⊥y
轴于点C，分别在射线AC，BO 上取点D，E，使得四边形ABED 为正方形．如图1，点
A 在第一象限内，当AC＝4 时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A 的位置，小李发现点D，A 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小
李解决下列问题．
（1）求k 的值．
（2）设点A，D 的横坐标分别为x，z，将z 关于x 的函数称为“Z 函数”．如图2，小
李画出了x＞0 时“Z 函数”的图象．
①求这个“Z 函数”的表达式．
②补画x＜0 时“Z 函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z 函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣
，0），点B 在直线l：y＝
x
上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D．
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6
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC 的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求OB
的长；若不存在，请说明理由．
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2021 年浙江省金华市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．实数﹣
，﹣
，2，﹣3 中，为负整数的是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．2
D．﹣3
【分析】根据实数的分类即可做出判断．
【解答】解：A 选项是负分数，不符合题意；
B 选项是无理数，不符合题意；
C 选项是正整数，不符合题意；
D 选项是负整数，符合题意；
故选：D．
2．
+
＝（ ）
A．3
B．
C．
D．
【分析】根据同分母的分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：
+
＝
＝
，
故选：D．
3．太阳与地球的平均距离大约是150000000 千米，其中数150000000 用科学记数法表示为
（ ）
A．1.5×108
B．15×107
C．1.5×107
D．0.15×109
【分析】对于大于10 的数，可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n 为正整数，n 的
值比原数的位数少1．
【解答】解：150 000 000＝1.5×108，
故选：A．
4．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
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8
A．x+2＞0
B．x﹣2＜0
C．2x≥4
D．2﹣x＜0
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，可得
答案．
【解答】解：A、x＞﹣2，故A 错误；
B、x＜2，故B 正确；
C、x≥2，故C 错误；
D、x＞2，故D 错误．
故选：B．
5．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．
请完成下面的说理过程．
解：已知∠1＝∠2，
根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥
l 2．
再根据（※），得∠3＝∠4．
A．两直线平行，内错角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
【分析】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，
再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．
故选：C．
6．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（ ）
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9
A．
B．
C．
D．
【分析】直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的
底面组成．
【解答】解：选项A、B、C 均可能是该直棱柱展开图，而选项D 中的两个底面会重叠，
不可能是它的表面展开图，
故选：D．
7．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2 米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的
距离BC 为（ ）
A．4cosα 米
B．4sinα 米
C．4tanα 米
D．
米
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC,再利用锐角三角函数关系得出DC 的
长，即可得出答案。
【解答】解：过点A 作AD⊥BC 于点D,
∵AB＝AC＝2 米,AD⊥BC,
∴BD＝DC,
∴cosα＝
＝
,
∴DC＝2cosα(米），
∴BC＝2DC＝2•2cosα＝4cosα(米）。
故选：A．
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10
8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣
的图象上．若x1＜0＜x2，则（
）
A．y1＜0＜y2
B．y2＜0＜y1
C．y1＜y2＜0
D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A 在第二象限，
点B 在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣12＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，
∴y2＜0＜y1；
故选：B．
9．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是
（ ）
A．先打九五折，再打九五折
B．先提价50%，再打六折
C．先提价30%，再降价30%
D．先提价25%，再降价25%
【分析】设商品原标价为a，然后分别计算每种调价方案后的售价，进行比较求解．
【解答】解：设商品原标价为a 元，
A.先打九五折，再打九五折的售价为：0.95×0.95a＝0.9025a；
B.先提价50%，再打六折的售价为：(1+50%)×0.6a＝0.9a；
C.先提价30%，再降价30%的售价为：（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a；
D.先提价25%，再降价25%的售价为：（1+25%）（1﹣25%）a＝0.9375a，
∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，
∴B 选项的调价方案调价后售价最低，
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方
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形的顶点E，F，G，H，M，N 都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC 面积为S2，
则
的值是（ ）
A．
B．3π
C．5π
D．
【分析】先设Rt△ABC 的三边长为a，b，c，其中c 为斜边，设⊙O 的半径为r，根据图
形找出a，b，c，r 的关系，用含c 的式子表示S1和S2，即可求出比值．
【解答】解：如图，
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
则a2+b2＝c2，①
取AB 的中点为O，
∵△ABC 是直角三角形，
∴OA＝OB＝OC，
∵圆心在MN 和HG 的垂直平分线上，
∴O 为圆心，
连接OG，OE，则OG，OE 为半径，
由勾股定理得：
，②
由①②得a＝b，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：C．
二、填空题（本题有6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）二次根式
中，字母x 的取值范围是
x ≥
3
．
【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可．
【解答】解：当x﹣3≥0 时，二次根式
有意义，
则x≥3；
故答案为：x≥3．
12．（4 分）已知
是方程3x+2y＝10 的一个解，则m 的值是
2
．
【分析】把方程组的解代入到方程中，得到关于m 的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把
代入方程得：3×2+2m＝10，
∴m＝2，
故答案为：2．
13．（4 分）某单位组织抽奖活动，共准备了150 张奖券，设一等奖5 个，二等奖20 个，
三等奖80 个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则1 张奖券中一等奖的概率是
．
【分析】直接根据概率公式即可得出结论．
【解答】解：∵共有150 张奖券，一等奖5 个，
∴1 张奖券中一等奖的概率＝
＝
．
故答案为：
．
14．（4 分）如图，菱形ABCD 的边长为6cm，∠BAD＝60°，将该菱形沿AC 方向平移2
cm 得到四边形A′B′C′D′，A′D′交CD 于点E，则点E 到AC 的距离为
2
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cm．
【分析】连接BD,过点E 作EF⊥AC 于点F,根据菱形的性质可以证明三角形ABD 是等边
三角形，根据平移的性质可得AD∥A′E,可得
＝
,
＝
,解得A′E＝
4(cm),再利用30 度角所对直角边等于斜边的一半即可求出结论。
【解答】解：如图，连接BD,过点E 作EF⊥AC 于点F,
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD＝AB,BD⊥AC,
∵∠BAD＝60°，
∴三角形ABD 是等边三角形，
∵菱形ABCD 的边长为6cm,
∴AD＝AB＝BD＝6cm,
∴AG＝GC＝3
(cm),
∴AC＝6
(cm),
∵AA′＝2
(cm),
∴A′C＝4
(cm),
∵AD∥A′E,
∴
＝
,
∴
＝
,
∴A′E＝4(cm),
∵∠EA′F＝∠DAC＝
DAB＝30°,
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∴EF＝
A′E＝2(cm)．
故答案为：2．
15．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边
BC 及四边形②的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横
坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是
( ﹣
﹣
,
+
)
．
【分析】如图，作AH⊥x 轴于H，过点F 作FJ⊥y 轴于J 交PQ 于K,延长PQ 交OB 于
T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,根据点A 的横坐标为1，构建方程求出a,
解直角三角形求出FJ,KT,可得结论．
【解答】解：如图，作AH⊥x 轴于H,过点F 作FJ⊥y 轴于J 交PQ 于K,延长PQ 交OB
于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,
在Rt△ADH 中，∠ADH＝45°,
∴AH＝AD＝a,
∴OH＝4a,
∵点A 的横坐标为1，
∴4a＝1,
∴a＝
,
在Rt△FPQ 中，PF＝FQ＝2a＝
,
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∴PQ＝
PF＝
,
∵FK⊥PQ,
∴PK＝KQ,
∴FK＝PK＝QK＝
,
∵KJ＝
，PT＝1+(
﹣
)＝
+
,
∴FJ＝
+
,KT＝PT﹣PK＝
+
﹣
＝
+
,
∴F(﹣
﹣
,
+
)．
故答案为：(﹣
﹣
,
+
)．
16．（4 分）如图1 是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC 上的点P 处安装
一平面镜，BC 与刻度尺边MN 的交点为D，从A 点发出的光束经平面镜P 反射后，在
MN 上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．
（1）ED 的长为
13
．
（2）将木条BC 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P 的对应
点为P′，BC′与MN 的交点为D′，从A 点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN
上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为
11.5
．
【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则
＝
，进而可得出DE 的长；
（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得
△ABP′∽△E′FP′，由此可得
＝
，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出
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BD′的长，可求出∠BD′D 的正切值，设P′F 的长，分别表示E′F 和E′D′及FG
和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．
【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，
∴△ABP∽△EDP，
∴
＝
，
∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，
∴
＝
，
∴DE＝13；
故答案为：13．
（2）如图2，过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，
∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，
∵AB∥MN，
∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，
∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，
∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，
∴∠ABP′＝∠E′FP′，
又∠AP′B＝∠E′P′F，
∴△ABP′∽△E′FP′，
∴
＝
即，
＝
，
设P′F＝4m，则E′F＝6.5m，
∴E′D′＝6.5m，
在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，
由勾股定理可得，BD′＝13，
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∴cos∠BD′D＝
，
在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝
＝
，
∴GD′＝2.5m，
∴FG＝GD′＝2.5m，
∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，
∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1,
∴E′D′＝6.5,
∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．
故答案为：11.5．
三、解答题（本题有8 小题，共66 分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6 分）计算：（﹣1）2021+
﹣4sin45°+|﹣2|．
【分析】先分别计算有理数的乘方，二次根式的化简，代入特殊角三角函数值，绝对值
的化简，然后再计算．
【解答】解：原式＝﹣1+
﹣4×
+2
＝﹣1+2
﹣2
+2
＝1．
18．（6 分）已知x＝
，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化
简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）
＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2
＝﹣6x+2，
当x＝
时，原式＝﹣6×
+2＝﹣1+2＝1．
19．（6 分）已知：如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，∠BOC＝120°，AB
＝2．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O 作OE⊥AD 于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα 的值．
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18
【分析】（1）根据矩形的性质求出AC＝2AO，根据等边三角形的判定得出△AOB 是等
边三角形，求出AB＝AO＝2，求出BD；
（2）根据勾股定理求出AD,然后根据等腰三角形的性质求得AE,然后解直角三角形求得
tanα 的值．
【解答】解：(1)∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴AO＝BO，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO，
∵AB＝2，
∴BO＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴矩形对角线的长为4；
（2）由勾股定理得：AD＝
＝
＝2
，
∵OA＝OD,OE⊥AD 于点E，
∴AE＝DE＝
AD＝
,
∴tanα＝
＝
．
20．（8 分）小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学
测试了6 次，获得如图测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求小聪成绩的方差．
（3）现求得小明成绩的方差为S 小明2＝3（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两
小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
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19
【分析】（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义
计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的计算方法计算即可；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小林的成绩波动较小，所以方差较小，
成绩相对稳定．
【解答】解：（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
小聪成绩的平均数：
（7+8+7+10+7+9）＝8，
小明成绩的平均数：
（7+6+6+9+10+10）＝8，
答：应选择平均数，小聪、小明的平均数分别是8，8；
（2）小聪成绩的方差为：
[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（7﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）
2+（9﹣8）2]＝
；
（3）小聪同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为小聪成绩的方差方差小于小明成绩的方差，
成绩相对稳定．故小聪同学的成绩较好．
21．（8 分）某游乐场的圆形喷水池中心O 有一雕塑OA，从A 点向四周喷水，喷出的水柱
为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A
在y 轴上，x 轴上的点C，D 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函
数表达式为y＝﹣
（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D 之间的距离．
（3）若需要在OD 上的点E 处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶
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部F 是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出雕塑
高OA 的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标，进而可得出OD 的长度，
由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC 的长，结合CD＝OC+OD 即可求出落水点
C，D 之间的距离;
（3）代入x＝10 求出y 值，进而可得出点（10，
）在抛物线y＝﹣
（x﹣5）2+6 上，
将
与1.8 比较后即可得出顶部F 不会碰到水柱．
【解答】解：（1）当x＝0 时，y＝﹣
（0﹣5）2+6＝
，
∴点A 的坐标为（0，
），
∴雕塑高
m．
（2）当y＝0 时，﹣
（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D 的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10 时，y＝﹣
（10﹣5）2+6＝
，
∴点（10，
）在抛物线y＝﹣
（x﹣5）2+6 上．
又∵
≈1.83＞1.8，
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∴顶部F 不会碰到水柱．
22．（10 分）在扇形AOB 中，半径OA＝6，点P 在OA 上，连结PB，将△OBP 沿PB 折叠
得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与
所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP 的长．
（2）如图2，BO′与
相交于点D，若点D 为
的中点，且PD∥OB，求
的长．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可。
②如图1 中，过点B 作BH⊥OA 于H,在BH 上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想办法
求出OH,PH,可得结论。
（2）如图2 中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。
【解答】解：（1）①如图1 中，∵BO′是⊙O 的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．
②如图1 中，过点B 作BH⊥OA 于H,在BH 上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
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设OH＝m,则HF＝
m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(
m+2m)2,
∴m＝
或﹣
（舍弃），
∴OH＝
,BH＝
,
在Rt△PBH 中，PH＝
＝
,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣
﹣
＝6﹣2
．
(2)如图2 中，连接AD,OD．
∵
＝
,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,
∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,
∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,
∴∠AOB＝72°，
∴
的长＝
＝
。
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23．（10 分）背景：点A 在反比例函数y＝
（k＞0）的图象上，AB⊥x 轴于点B，AC⊥y
轴于点C，分别在射线AC，BO 上取点D，E，使得四边形ABED 为正方形．如图1，点
A 在第一象限内，当AC＝4 时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A 的位置，小李发现点D，A 的横坐标之间存在函数关系．请帮助小
李解决下列问题．
（1）求k 的值．
（2）设点A，D 的横坐标分别为x，z，将z 关于x 的函数称为“Z 函数”．如图2，小
李画出了x＞0 时“Z 函数”的图象．
①求这个“Z 函数”的表达式．
②补画x＜0 时“Z 函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z 函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
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【分析】（1）求出点A 的坐标，利用待定系数法求出k 即可．
（2）①求出点A 的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
②描点法在车上的图象，根据函数图象可得结论（答案不唯一）．
③由题意可知直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,构建方程组，利用△＝0，求出k 可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝4,CD＝3,
∴AD＝AC﹣CD＝1,
∵四边形ABED 是正方形，
∴AB＝1,
∵AC⊥y 轴，AB⊥x 轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°,
∴四边形ABOC 是矩形，
∴OB＝AC＝4,
∴A(4,1),
∴k＝4．
(2)①由题意，A(x,x﹣z),
∴x(x﹣z)＝4,
∴z＝x﹣
．
②图象如图所示．
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性质1：x＞0 时，y 随x 的增大而增大．
性质2：x＜0 时，y 随x 的增大而增大．
③设直线的解析式为y＝kx+b,
把（3,2）代入得到，2＝3k+b,
∴b＝2﹣3k,
∴直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,
由
,消去y 得到，（k﹣1）x2+(2﹣3k)x+4＝0,
当△＝0 时，(2﹣3k)2﹣4(k﹣1)×4＝0,
解得k＝
或2，
当k＝
时，方程为
x2﹣
x+4,解得x＝6．
当k＝2 时，方程为x2﹣4x+4＝0,解得x＝2．
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2 或6．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣
，0），点B 在直线l：y＝
x
上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D．
①若BA＝BO，求证：CD＝CO．
②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC 的面积．
（2）是否存在点B，使得以A，B，C 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求OB
的长；若不存在，请说明理由．
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【分析】（1）①由BC⊥AB,CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而
根据已知有∠BAD＝∠DOB,故∠ADB＝∠COD,从而可得∠COD＝∠CDO,CD＝CO；
②过A 作AM⊥OB 于M，过M 作MN⊥y 轴于N，设M（m,
m),可得tan∠OMN＝
tan∠AOM＝
,即
＝
，设AM＝3n,则OM＝8n,Rt△AOM 中，AM2+OM2＝OA2，可求
出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC 是等腰直角三角形，△ABM 是等腰直角
三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝
AM＝3
，BC＝
BO＝5
，即可求出S 四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝
；
（2 ）过A 作AM⊥OB 于M, 设OB ＝x, 则BM ＝8﹣x,AB ＝
, 由
△AMB∽△BOC,对应边成比例可得OC＝
,Rt△BOC 中，BC＝
,
以A ，B ，C 为顶点的三角形与△BCO 相似，分两种情况：①若
＝
, 则
＝
, 可得OB ＝4 ；②若
＝
, 则
＝
,解得OB＝4+
或OB＝4﹣
．
【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB,CO⊥BO，
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∴∠ABC＝∠BCO＝90°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，
∵BA＝BO,
∴∠BAD＝∠DOB,
∴∠ADB＝∠COD,
∵∠ADB＝∠CDO,
∴∠COD＝∠CDO,
∴CD＝CO；
②解：过A 作AM⊥OB 于M，过M 作MN⊥y 轴于N，如图：
∵M 在直线l：y＝
x 上，设M（m,
m),
∴MN＝|m|＝﹣m,ON＝|
m|＝﹣
m,
Rt△MON 中，tan∠OMN＝
＝
,
而OA∥MN,
∴∠AOM＝∠OMN,
∴tan∠AOM＝
,即
＝
，
设AM＝3n,则OM＝8n,
Rt△AOM 中，AM2+OM2＝OA2，
又A 的坐标为（﹣
，0），
∴OA＝
，
∴(3n)2+(8n)2＝(
)2,
解得n＝1（n＝﹣1 舍去），
∴AM＝3，OM＝8，
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∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，
∴△BOC 是等腰直角三角形，
∵BC⊥AB,∠CBO＝45°,
∴∠ABM＝45°，
∵AM⊥OB，
∴△ABM 是等腰直角三角形，
∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，
∴等腰直角三角形△ABM 中，AB＝
AM＝3
，
等腰直角三角形△BOC 中，BC＝
BO＝5
，
∴S△ABC＝
AB•BC＝15，S△BOC＝
BO•CO＝
，
∴S 四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝
；
（2）解：存在点B，使得以A，B，C 为顶点的三角形与△BCO 相似,理由如下：
过A 作AM⊥OB 于M,如图：
由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，
设OB＝x,则BM＝8﹣x,AB＝
,
∵CO⊥BO，AM⊥BO,AB⊥BC,
∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO,
∴△AMB∽△BOC,
∴
＝
,即
＝
,
∴OC＝
,
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Rt△BOC 中，BC＝
＝
,
∵∠ABC＝∠BOC＝90°，
∴以A，B，C 为顶点的三角形与△BCO 相似，分两种情况：
①若
＝
,则
＝
,
解得x＝4,
∴此时OB＝4；
②若
＝
,则
＝
,
解得x1＝4+
,x2＝4﹣
,
∴OB＝4+
或OB＝4﹣
；
综上所述，以A，B，C 为顶点的三角形与△BCO 相似，则OB 的长度为：4 或4+
或
4﹣
；
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