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2021 年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8 小题，每小题3 分，满分24 分，在每小题给出的四个选项中，选
出符合要求的一项）
1．在实数
，﹣1，0，2 中，为负数的是（ ）
A．
B．﹣1
C．0
D．2
2．下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．3a﹣a＝2
B．a2•a4＝a8
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
D．（﹣a）2＝﹣a2
4．已知不等式组
，其解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1 的大小为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720°
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等
D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
7．在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一
个最高分、一个最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0，9.2，9.0，8.8，9.0（单位：
分），这五个有效评分的平均数和众数分别是（ ）
A．9.0，8.9
B．8.9，8.9
C．9.0，9.0
D．8.9，9.0
8．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如
图，在正方形OABC 中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2
﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，﹣1
B．
，﹣1
C．4，0
D．
，﹣1
二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，满分32 分）
9．（4 分）因式分解：x2+2x+1＝ ．
10．（4 分）2021 年5 月15 日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了
中国印迹．据公开资料显示，地球到火星的最近距离约为55000000 公里，数据
55000000 用科学记数法表示为 ．
11．（4 分）一个不透明的袋子中装有5 个小球，其中3 个白球，2 个黑球，这些小球除颜
色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为
．
12．（4 分）已知关于x 的一元二次方程x2+6x+k＝0 有两个相等的实数根，则实数k 的值
为 ．
13．（4 分）要使分式
有意义，则x 的取值范围为 ．
14．（4 分）已知x+
＝
，则代数式x+
﹣
＝ ．
15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六
尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6 尺
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8 寸，门对角线距离恰好为1 丈．问门高、宽各是多少？（1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸）
如图，设门高AB 为x 尺，根据题意，可列方程为 ．
16．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线分别交AB、AC 于点D、
E，BE＝8，⊙O 为△BCE 的外接圆，过点E 作⊙O 的切线EF 交AB 于点F，则下列结
论正确的是 .（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则
的长为
；
④
＝
；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．
三、解答题（本大题共8 小题，满分64 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17．（6 分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（
﹣π）0．
18．（6 分）如图，在四边形ABCD 中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF 为平行四边形，你添
加的条件是 ；
（2）添加了条件后，证明四边形AECF 为平行四边形．
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19．（8 分）如图，已知反比例函数y＝
（k≠0）与正比例函数y＝2x 的图象交于A（1，
m），B 两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C 在x 轴上，且△BOC 的面积为3，求点C 的坐标．
20．（8 分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”
督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社
团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时
间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计图表：
组别
睡眠时间分
组
频数
频率
A
t＜6
4
0.08
B
6≤t＜7
8
0.16
C
7≤t＜8
10
a
D
8≤t＜9
21
0.42
E
t≥9
b
0.14
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中，a＝ ，b＝ ；
（2）扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数是 °；
（3）请估算该校600 名八年级学生中睡眠不足7 小时的人数；
（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7 小时，会严重影响学习效率．请你根据以
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上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
21．（8 分）星期天，小明与妈妈到离家16km 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先
走，1h 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开
车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4 倍，求妈妈开车的平均速度．
22．（8 分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行
观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80m，坡面AB 的坡度i＝1：0.7（注：坡
度i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A 与河岸E、F 在同一水平线上，从
山顶B 处测得河岸E 和对岸F 的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．
（1）求山脚A 到河岸E 的距离；
（2）若在此处建桥，试求河宽EF 的长度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
23．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D 为AB 的中点，连接
CD，将线段CD 绕点D 顺时针旋转α（60°＜α＜120°）得到线段ED，且ED 交线段BC
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于点G，∠CDE 的平分线DM 交BC 于点H．
（1）如图1，若α＝90°，则线段ED 与BD 的数量关系是 ，
＝
；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点C 作CF∥DE 交DM 于点F，连接EF，BE．
①试判断四边形CDEF 的形状，并说明理由；
②求证：
＝
；
（3）如图3，若AC＝2，tan（α﹣60°）＝m，过点C 作CF∥DE 交DM 于点F，连接
EF，BE，请直接写出
的值（用含m 的式子表示）．
24．（10 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2 经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于
点C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y＝kx+3 经过点A，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上
方，点Q 为抛物线上的一个动点，当PQ∥y 轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点
M 在点Q 的右侧），以PQ，QM 为邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值
时，抛物线上是否存在点F，使得∠CBF＝∠DQM？若存在，请求出点F 的坐标；若不
存在，请说明理由．
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