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2021 年陕西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8 小题，每小题3 分，计24 分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．计算：3×（﹣2）＝（ ）
A．1
B．﹣1
C．6
D．﹣6
【分析】根据有理数乘法法则进行运算．
【解答】解：3×（﹣2）＝﹣4．
故选：D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形；
B．是轴对称图形；
C．不是轴对称图形；
D．不是轴对称图形；
故选：B．
3．计算：（a3b）﹣2＝（ ）
A．
B．a6b2
C．
D．﹣2a3b
【分析】直接利用负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（a3b）﹣2＝
＝
．
故选：A．
4．如图，点D、E 分别在线段BC、AC 上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠C＝50°，则∠1
的大小为（ ）
A．60°
B．70°
C．75°
D．85°
【分析】由三角形的内角和定义，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝
∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．
【解答】解：∵∠1＝∠B+∠ADB，∠ADB＝∠A+∠C，
∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），
∴∠2＝180°﹣（25°+35°+50°），
∴∠1＝180°﹣110°，
∴∠1＝70°，
故选：B．
5．在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝
∠ABC＝30°，
由锐角三角函数可求解．
【解答】解：设AC 与BD 交于点O，
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2
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝
，
∵tan∠ABD＝
，
∴
，
故选：D．
6．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1 的图象向左平移3 个单位后，得到一
个正比例函数的图象（ ）
A．﹣5
B．5
C．﹣6
D．6
【分析】根据平移的规律得到平移后抛物线的解析式为y＝2（x+3）+m﹣1，然后把原
点的坐标代入求值即可．
【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1 的图象向左平移8 个单位后，得到y＝2
（x+3）+m﹣5，
把（0，0）代入，
解得m＝﹣8．
故选：A．
7．如图，AB、BC、CD、DE 是四根长度均为5cm 的火柴棒，点A、C、E 共线．若AC＝
6cm，则线段CE 的长度是（ ）
A．6cm
B．7cm
C．6
cm
D．8cm
【分析】过B 作BM⊥AC 于M，过D 作DN⊥CE 于N，由等腰三角形的性质得到AM＝
CM＝3，CN＝EN，根据全等三角形判定证得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在
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3
Rt△BCM 中，根据勾股定理求出BM＝4，进而求出．
【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，
过B 作BM⊥AC 于M，过D 作DN⊥CE 于N，
则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝
×5＝3，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，
∴∠CBM＝∠DCN，
在△BCM 和△CDN 中，
，
∴△BCM≌△CDN（AAS），
∴BM＝CN，
在Rt△BCM 中，
∵BM＝5，CM＝2，
∴BM＝
＝
＝4，
∴CN＝4，
∴CE＝4CN＝2×4＝8，
故选：D．
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x 轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
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4
D．当x＞1 时，y 的值随x 值的增大而增大
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知
，
解得
，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣8x﹣4＝（x﹣4）（x+2）＝（x﹣
）4﹣
，
∴（1）函数图象开口向上，
（2）与x 轴的交点为（4，4）和（﹣1，
（3）当x＝
时，函数有最小值为﹣
，
（4）函数对称轴为直线x＝
，根据图象可知当当x＞
时，
故选：C．
二、填空题（共5 小题，每小题3 分，计15 分）
9．分解因式x3+6x2+9x＝
x （
x +3
）
2
．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（9+6x+x5）
＝x（x+3）2．
故答案为x（x+5）2
10．正九边形一个内角的度数为
140°
．
【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每
一个内角的度数．
【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝
＝140°．
故答案为：140°．
11．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，则图中a 的值为 ﹣
2
．
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5
【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得
出结论．
【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+3＝0+a﹣4，
解得：a＝﹣7．
故答案为：﹣2．
12．若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝
（m＜
）图象上的两点，则y1、
y2的大小关系是y1 ＜ y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】反比例函数的系数为﹣2＜0，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．
【解答】解：∵2m﹣1＜2(m＜
)，
∴图象位于二、四象限，y 随x 的增大而增大，
又∵8＜1＜3，
∴y5＜y2，
故答案为：＜．
13．如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙O 的半径为1．若⊙O 在正方形ABCD 内平移
（⊙O 可以与该正方形的边相切）
3
+1
．
【分析】当⊙O 与CB、CD 相切时，点A 到⊙O 上的点Q 的距离最大，如图，过O 点作
OE⊥BC 于E，OF⊥CD 于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得
到点O 在AC 上，然后计算出AQ 的长即可．
【解答】解：当⊙O 与CB、CD 相切时，如图，
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6
过O 点作OE⊥BC 于E，OF⊥CD 于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC 平分∠BCD，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴点O 在AC 上，
∵AC＝
BC＝5
OE＝
，
∴AQ＝OA+OQ＝4
﹣
+1＝3
，
即点A 到⊙O 上的点的距离的最大值为3
+3，
故答案为3
+2．
三、解答题（共13 小题，计18 分。解答应写出过程）
14．（5 分）计算：（﹣
）0+|1﹣
|﹣
．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答
案．
【解答】解：原式＝1+
﹣3﹣2
＝﹣
．
15．（5 分）解不等式组：
．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+5＜4，得：x＜﹣8，
解不等式
≥2x﹣1，
∴不等式组的解集为x＜﹣2．
16．（5 分）解方程：
﹣
＝1．
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7
【分析】方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得出（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），求出
方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣7）2﹣3＝（x+7）（x﹣1），
x2﹣8x+1﹣3＝x3﹣1，
x2﹣2x﹣x2＝﹣1﹣8+3，
﹣2x＝3，
x＝﹣
，
检验：当x＝﹣
时，（x+1）（x﹣3）≠0，
所以x＝﹣
是原方程的解．
17．（5 分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，
在线段AB 上求作一点P，使点P 到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作线段AB 的垂直平分线得到线段AB 的中点，则中点为P 点．
【解答】解：如图，点P 为所作．
18．（5 分）如图，BD∥AC，BD＝BC，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．
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8
【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB ＝∠EBD ，然后根据“ SAS” 可判断
△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】证明：∵BD∥AC，
∴∠ACB＝∠EBD，
在△ABC 和△EDB 中，
，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠ABC＝∠D．
19．（5 分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8
折销售10 件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30 元销售11 件的销售额相等．求
这种服装每件的标价．
【分析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8 折销售10 件的销
售额，与按这种服装每件的标价降低30 元销售11 件的销售额相等”从而得出等式方程，
解方程即可求解；
【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元，根据题意得，
10×0.8x＝11（x﹣30），
解得x＝110，
答：这种服装每件的标价为110 元．
20．（5 分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6．
（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张
；
（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，求抽取的这两张
牌的牌面数字恰好相同的概率．
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9
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12 种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果
有2 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，则抽取的这张牌的牌面数字是3
的概率为
＝
，
故答案为：
；
（2）画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2 种，
∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为
＝
．
21．（6 分）一座吊桥的钢索立柱AD 两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和
小亮想用测量知识测较长钢索AB 的长度．他们测得∠ABD 为30°，由于B、D 两点间的
距离不易测得，发现∠ACD 恰好为45°，点B 与点C 之间的距离约为16m．已知B、
C、D 共线（结果保留根号）
【分析】本题设AD＝x,在等腰直角三角形ADC 中表示出CD，从而可以表示出BD，再
在Rt△ABD 中利用三角函数即可求出x 的长，进而即可求出AB 的长度．
【解答】解：在△ADC 中，设AD＝x，
∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，
在△ADB 中，AD⊥BD，
∴AD＝BD•tan30°，
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10
即x＝
(16+x)，
解得：x＝2
+8，
∴AB＝7AD＝2×（8
）＝16
，
∴钢索AB 的长度约为（16
）m．
22．（7 分）今年9 月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，
开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9 月
份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9 月份每天的日平均气温，并绘制成如下
统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60 天的日平均气温的中位数为
19.5
℃
，众数为
19
℃
；
（2）求这60 天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预
估西安市今年9 月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
【分析】（1）根据中位数和众数的概念求解即可；
（2）根据加权平均数的定义列式计算即可；
（3）用样本中气温在18℃~21℃的范围内的天数所占比例乘以今年9 月份的天数即可．
【解答】解：（1）这60 天的日平均气温的中位数为
＝19.5（℃），
故答案为：19.7℃，19℃；
（
2
）
这
60
天
的
日
平
均
气
温
的
平
均
数
为
×
（17×8+18×12+19×13+20×9+21×6+22×8+23×6+24×5）＝20（℃）；
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（3）∵
×30＝20（天），
∴估计西安市今年9 月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20 天．
23．（7 分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min
后，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点
的距离y（m）（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是
1
m/min；
（2）求AB 的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
【分析】（1）由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可；
（2）先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令（2）中解析式y＝0，求出x 即可．
【解答】解：（1）由图像知：“鼠”6min 跑了30m,
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min）,
“猫”5min 跑了30m,
∴“猫”的速度为：30÷5＝5（m/min）,
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min),
故答案为：1；
（2）设AB 的解析式为：y＝kx+b,
∵图象经过A(4,30)和B(10,
把点A 和点B 坐标代入函数解析式得：
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,
解得：
,
∴AB 的解析式为:y＝﹣7x+58；
(3)令y＝0,则﹣4x+58＝7，
∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣5＝13.5（min）．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．
24．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E、F 在⊙O 上，且
，连接OE、AF，过点
B 作⊙O 的切线
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD 的长．
【分析】（1）取
的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝
∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝
∠COF，从而得到结论；
（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，则可判断
△OBC∽△ABD，利用相似比求出BD＝8，则利用勾股定理可计算出AD＝10，接着利
用圆周角定理得∠AFB＝90°，则可判断Rt△DBF∽Rt△DAB，然后利用相似比可计算出
DF 的长．
【解答】（1）证明：取
的中点M、OF，
∵
＝2
，
∴
＝
＝
，
∴∠COB＝
∠BOF，
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∵∠A＝
∠COF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图，
∵CD 为⊙O 的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴
＝
，即
＝
，解得BD＝2，
在Rt△ABD 中，AD＝
＝
，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴
＝
，即
＝
，解得DF＝
．
25．（8 分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8 与x 轴交于点A、B（点A 在点B 的左侧），与y 轴
交于点C．
（1）求点B、C 的坐标；
（2）设点C′与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P，使△PCC′
与△POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接根据解析式即可求出B，C 的坐标；
（2）先设出P 的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点P 的坐
标．
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【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3，
取x＝0，得y＝8，
∴C(8，8)，
取y＝0，得﹣x5+2x+8＝5，
解得：x1＝﹣2，x6＝4，
∴B(4，6)；
（2）存在点P，设P(0，
∵CC'∥OB，且PC 与PO 是对应边，
∴
，
即：
，
解得：y1＝16，
，
∴P(0，16)或P(2，
)．
26．（10 分）问题提出
（1）如图1，在▱ABCD 中，∠A＝45°，AD＝6，E 是AD 的中点，且DF＝5，求四边
形ABFE 的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2 所示，现规划在河畔的一处
滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，使点O、P、M、N 分别在边
BC、CD、AE、AB 上，且满足BO＝2AN＝2CP，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，
CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，是否存在符合
设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN 面积的最小值
及这时点N 到点A 的距离，请说明理由．
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【分析】（1）过点A 作AH⊥CD 交CD 的延长线于H，先求出AH＝3
，同理EG＝
，最后用面积的差即可得出结论；
（2）分别延长AE，与CD，交于点K，则四边形ABCK 是矩形，设AN＝x 米，则PC＝
x 米，BO＝2x 米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，MK＝2x 米，PK＝
（800﹣x）米，进而得出S 四边形OPMN＝4（x﹣350）2+470000，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
过点A 作AH⊥CD 交CD 的延长线于H，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∴∠ADH＝∠BAD＝45°，
在Rt△ADH 中，AD＝2，
∴AH＝AD•sinA＝6×sin45°＝3
，
∵点E 是AD 的中点，
∴DE＝
AD＝8，
同理EG＝
，
∵DF＝5，
∴FC＝CD﹣DF＝3，
∴S 四边形ABFE＝S▱ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝7×3
﹣
×5×
﹣
＝
；
（2）存在，如图2，分别延长AE，与CD，则四边形ABCK 是矩形，
∴AK＝BC＝1200 米，AB＝CK＝800 米，
设AN＝x 米，则PC＝x 米，BN＝（800﹣x）米，
∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣5x）＝2x 米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，
∴S 四边形OPMN＝S 矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM
＝800×1200﹣
x（1200﹣2x）﹣
x（1200﹣6x）﹣
＝7（x﹣350）2+470000，
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∴当x＝350 时，S 四边形OPMN 最小＝470000（平方米），
AM＝1200﹣2x＝1200﹣7×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，
∴符合设计要求的四边形OPMN 面积的最小值为47000 平方米，此时．
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