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2021 年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题有16 个小题，共42 分。1～10 小题各3 分，11～16 小题各2 分。在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，已知四条线段a，b，c，d 中的一条与挡板另一侧的线段m 在同一直线上，请借
助直尺判断该线段是（ ）
A．a
B．b
C．c
D．d
2．不一定相等的一组是（ ）
A．a+b 与b+a
B．3a 与a+a+a
C．a3与a•a•a
D．3（a+b）与3a+b
3．已知a＞b，则一定有﹣4a□﹣4b，“□”中应填的符号是（ ）
A．＞
B．＜
C．≥
D．＝
4．与
结果相同的是（ ）
A．3﹣2+1
B．3+2﹣1
C．3+2+1
D．3﹣2﹣1
5．能与﹣（
﹣
）相加得0 的是（ ）
A．﹣
﹣
B．
+
C．﹣
+
D．﹣
+
6．一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（ ）
A．A 代
B．B 代
C．C 代
D．B 代
7．如图1，▱ABCD 中，AD＞AB，∠ABC 为锐角．要在对角线BD 上找点N，M，使四边
形ANCM 为平行四边形，现有图2 中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是
B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是
D．只有乙、丙才是
8．图1 是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2 所示，此时液
面AB＝（ ）
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2
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
9．若
取1.442，计算
﹣3
﹣98
的结果是（ ）
A．﹣100
B．﹣144.2
C．144.2
D．﹣0.01442
10．如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，S△AFO＝8，S△CDO＝2，则S 正六边
边ABCDEF的值是（ ）
A．20
B．30
C．40
D．随点O 位置而变化
11．（2 分）如图，将数轴上﹣6 与6 两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为
a1，a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（ ）
A．a3＞0
B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0
D．a2+a5＜0
12．（2 分）如图，直线l，m 相交于点O．P 为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P 关
于直线l，m 的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
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3
A．0
B．5
C．6
D．7
13．（2 分）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD 是△ABC 的外角．求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证法1：如图，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形内角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性质）．
证法2：如图，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器测量所得）
又∵135°＝76°+59°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代换）．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1 还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1 用严谨的推理证明了该定理
C．证法2 用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2 只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
14．（2 分）小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1 及条形
图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2 中“（ ）”应填
的颜色是（ ）
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4
A．蓝
B．粉
C．黄
D．红
15．（2 分）由（
﹣
）值的正负可以比较A＝
与
的大小，下列正确的是
（ ）
A．当c＝﹣2 时，A＝
B．当c＝0 时，A≠
C．当c＜﹣2 时，A＞
D．当c＜0 时，A＜
16．（2 分）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：
①以O 为圆心，OA 为半径画圆；
②在⊙O 上任取一点P（不与点A，B 重合），连接AP；
③作AB 的垂直平分线与⊙O 交于M，N；
④作AP 的垂直平分线与⊙O 交于E，F．
结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F 四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：⊙O 上只有唯一的点P，使得S 扇形FOM＝S 扇形AOB．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对
B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对
D．Ⅰ对Ⅱ不对
二、填空题（本大题有3 个小题，每小题有2 个空，每空2 分，共12 分）
17．（4 分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
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5
（1）取甲、乙纸片各1 块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1 块，再取乙纸片4
块，还需取丙纸片 块．
18．（4 分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C，且∠A，∠B，
∠E 保持不变．为了舒适，需调整∠D 的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D 应
（填“增加”或“减少”） 度．
19．（4 分）用绘图软件绘制双曲线m：y＝
与动直线l：y＝a，且交于一点，图1 为a
＝8 时的视窗情形．
（1）当a＝15 时，l 与m 的交点坐标为 ；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O 始终在视窗中心．
例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1 中坐标系的单位长度变为原来的
，
其可视范围就由﹣15≤x≤15 及﹣10≤y≤10 变成了﹣30≤x≤30 及﹣20≤y≤20（如图
2）．当a＝﹣1.2 和a＝﹣1.5 时，l 与m 的交点分别是点A 和B，为能看到m 在A 和B
之间的一整段图象，需要将图1 中坐标系的单位长度至少变为原来的
，则整数k＝
．
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6
三、解答题（本大题有7 个小题，共66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8 分）某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4 元/本、10 元/本．现购
进m 本甲种书和n 本乙种书，共付款Q 元．
（1）用含m，n 的代数式表示Q；
（2）若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q 的值．
21．（9 分）已知训练场球筐中有A、B 两种品牌的乒乓球共101 个，设A 品牌乒乓球有x
个．
（1）淇淇说：“筐里B 品牌球是A 品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：
101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
（2）据工作人员透露：B 品牌球比A 品牌球至少多28 个，试通过列不等式的方法说明
A 品牌球最多有几个．
22．（9 分）某博物馆展厅的俯视示意图如图1 所示．嘉淇进入展厅后开始自由参观，每
走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A 向北走的概率；
（2）补全图2 的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．
23．（9 分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1 号指挥机（看成点P）始终以
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3km/min 的速度在离地面5km 高的上空匀速向右飞行，2 号试飞机（看成点Q）一直保
持在1 号机P 的正下方．2 号机从原点O 处沿45°仰角爬升，到4km 高的A 处便立刻转
为水平飞行，再过1min 到达B 处开始沿直线BC 降落，要求1min 后到达C（10，3）处．
（1）求OA 的h 关于s 的函数解析式，并直接写出2 号机的爬升速度；
（2）求BC 的h 关于s 的函数解析式，并预计2 号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ 不超过3km 的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s 的取值范围]
24．（9 分）如图，⊙O 的半径为6，将该圆周12 等分后得到表盘模型，其中整钟点为An
（n 为1～12 的整数），过点A7作⊙O 的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧
长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．
25．（10 分）如图是某同学正在设计的一动画示意图，x 轴上依次有A，O，N 三个点，且
AO＝2，在ON 上方有五个台阶T1～T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1
和1.5，台阶T1到x 轴距离OK＝10．从点A 处向右上方沿抛物线L：y＝﹣x2+4x+12 发
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出一个带光的点P．
（1）求点A 的横坐标，且在图中补画出y 轴，并直接指出点P 会落在哪个台阶上；
（2）当点P 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L 形状相同的抛物线C，且最
大高度为11，求C 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点；
（3）在x 轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E 向上作EB⊥x 轴，且BE＝2．
在△BDE 沿x 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C 下落的点P 能落在边BD（包
括端点）上，则点B 横坐标的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必写x 的取值范围]
26．（12 分）在一平面内，线段AB＝20，线段BC＝CD＝DA＝10，将这四条线段顺次首
尾相接．把AB 固定，让AD 绕点A 从AB 开始逆时针旋转角α（α＞0°）到某一位置时，
BC，CD 将会跟随出现到相应的位置．
论证：如图1，当AD∥BC 时，设AB 与CD 交于点O，求证：AO＝10；
发现：当旋转角α＝60°时，∠ADC 的度数可能是多少？
尝试：取线段CD 的中点M，当点M 与点B 距离最大时，求点M 到AB 的距离；
拓展：①如图2，设点D 与B 的距离为d，若∠BCD 的平分线所在直线交AB 于点P，
直接写出BP 的长（用含d 的式子表示）；
②当点C 在AB 下方，且AD 与CD 垂直时，直接写出a 的余弦值．
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