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§2.12 函数模型的应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”
“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，
了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现
为与y 轴
平行
随x 的增大逐渐表现为
与x 轴
平行
随n 值的变化而各有
不同
2．常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)某商品进价为每件100 元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则
每件还能获利．( × )
(3)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝
logax(a>1)的增长速度．( √ )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
1
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教材改编题
1．当x 越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x
B．y＝log5x
C．y＝x5
D．y＝5x
答案 D
解析 结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．
2．在某个物理实验中，测量得到变量x 和变量y 的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
则对x，y 最适合的函数模型是( )
A．y＝2x
B．y＝x2－1
C．y＝2x－2
D．y＝log2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计
算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y
＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
答案 150
解析 因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150 时，y 取最大值，即该商品
的利润最大时，当日售价为150 元.
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，
该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1 单位某药
物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1 单位约10 分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1 单位，两次服药间隔小于2 小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5 小时服用该药物1 单位，可使药物持续发挥治疗作用
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D．首次服用该药物1 单位3 小时后，再次服用该药物1 单位，不会发生药物中毒
答案 ABC
解析 从图象中可以看出，首次服用该药物1 单位约10 分钟后药物发挥治疗作用，A 正确；
根据图象可知，首次服用该药物1 单位约1 小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当
两次服药间隔小于2 小时时，一定会产生药物中毒，B 正确；服药5.5 小时时，血药浓度等
于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C 正确；第一
次服用该药物1 单位4 小时后与第2 次服用该药物1 单位1 小时后，血药浓度之和大于最低
中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D 错误．
(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5 个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝
log2x；⑤y＝x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选
________．(填序号)
答案 ④
解析 由图可知上述点大体分布在函数y＝log2x 的图象上，
故选择y＝log2x 可以近似地反映这些数据的规律．
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函
数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是
否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P 在边长为1 的正方形ABCD 的边上运动，M 是CD 的中点，则当P
沿A－B－C－M 运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数y＝f(x)的图象大致是
下图中的( )
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答案 A
解析 当点P 在AB 上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1；
当点P 在BC 上时，y＝S 正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1<x≤2；
当点P 在CM 上时，y＝××1＝－x＋，2<x≤.
由函数可知，有三段直线，又当点P 在BC 上时是减函数，故选A.
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V
满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数
据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
答案 C
解析 4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝
＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数
据约为0.8.
(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单
位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k 是正的常数．如果2 h 后还剩
下90%的污染物，5 h 后还剩下30%的污染物，那么8 h 后还剩下________%的污染物．
答案 10
解析 设初始污染物数量为P′，
则
两式相除得e3k＝3.
所以8 h 后P＝P0·e－8k＝e－3k·P0·e－5k＝·P′＝P′，
即还剩下×100%＝10%的污染物．
思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传
染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1 个感染者在每个传染期会接触到N 个新人，
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这N 个人中有V 个人接种过疫苗，那么1 个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某
地的基本传染数R0＝4，为了使1 个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能
为( )
A．45% B．55% C．65% D．75%
答案 ABC
解析 为了使1 个感染者传染人数不超过1，只需(N－V)≤1，即R0·≤1，
因为R0＝4，故1－≤，可得≥.
(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t 为时间，单位：分钟，
θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ 为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境
温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过________分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)
( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 D
解析 依题意知，40＝20＋(100－20)·e－0.2t，则e－0.2t＝，
－0.2t＝ln ＝－2ln 2，所以t＝＝10ln 2≈7(分钟)．
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍
物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危
险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4 段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系
统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为
v(米/秒)，且0<v≤33.3 时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据(其中系数k 随地面湿
滑程度等路面情况而变化，且1≤k≤2)．
阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间
t0
t1＝0.8 秒
t2＝0.2 秒
t3
距离
d0＝10 米
d1
d2
d3＝米
(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式，并求当k＝2 时，当汽车达到报
警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障
碍物的最短时间；
(2)若要求汽车在k＝1 的路面上行驶时报警距离均小于50 米，则汽车的行驶速度应限制在多
少以下(单位：米/秒)?
解 (1)由题意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋，即d(v)＝10＋v＋，
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当k＝2 时，d(v)＝10＋v＋，t(v)＝＝＋＋1≥2×＋1＝2，当且仅当v＝20 时等号成立，
0<v≤33.3，
即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2 秒．
(2)当k＝1 时，d(v)<50，即10＋v＋<50，
即v2＋20v－800<0，－40<v<20，又0<v≤33.3，
故0<v<20，
所以汽车的行驶速度应限制在20 米/秒以下．
思维升华 构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实
际问题中去，得到实际问题的解．
跟踪训练3 (1)2020 年12 月17 日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预
定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳
式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将
石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后
石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速
率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－
0.105) ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 设石片第n 次“打水漂”时的速率为vn，
则vn＝100×0.9n－1.
由100×0.9n－1<60，得0.9n－1<0.6，
则(n－1)ln 0.9<ln 0.6，
即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6.
(2)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．
某品牌行车记录仪支架销售公司从2022 年1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销
售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用
t(单位：万元)之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3 万元，产
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品每1 万件的进货价格为32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件
产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司的最大月利润是________万元．
答案 37.5
解析 由题意，产品的月销量x(单位：万件)与投入实体店体验安装的费用t(单位：万元)之
间满足x＝3－，
即t＝－1(1<x<3)，
所以月利润为y＝x－32x－3－t＝16x－－3＝16x－－
＝45.5－≤45.5－2＝37.5，
当且仅当16(3－x)＝，即x＝时取等号，
则最大月利润为37.5 万元．
课时精练
1．有一组实验数据如下表所示：
x
2.01
3
4.01
5.1
6.12
y
3
8.01
15
23.8
36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是( )
A．y＝2x＋1－1
B．y＝x3
C．y＝2log2x
D．y＝x2－1
答案 D
解析 将各点(x，y)分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.
2．某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家
里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快
的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，
其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是(
)
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答案 C
解析 中途回家取证件，因此中间有零点，排除A，B，第二次离开家速度更大，直线的斜
率更大，故只有C 满足题意．
3．农业农村部发布2022 年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案
演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200 倍大约经过(参
考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)( )
A．122 天 B．124 天 C．130 天 D．136 天
答案 A
解析 由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.
设经过n 天后蝗虫数量达到原来的1 200 倍，
则＝1 200，
∴1.06n＝1 200，
∴n＝log1.061 200＝≈121.614，
∵n∈N*，∴大约经过122 天能达到最初的1 200 倍．
4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞
内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的
泉水越高．已知听到的声强m 与标准声调m0之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝
尔)，即L＝lg ，取贝尔的10 倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声
音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝2x，现知A 同学大喝一声激起的涌泉
最高高度为70 米，若A 同学大喝一声的声强大约相当于100 个B 同学同时大喝一声的声强，
则B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为( )
A．0.7 米 B．7 米 C．50 米 D．60 米
答案 D
解析 设B 同学的声强为m，喷出的泉水高度为x，
则A 同学的声强为100m，喷出的泉水高度为70，
10lg ＝2x⇒lg m－lg m0＝0.2x，10lg ＝2×70⇒2＋lg m－lg m0＝14，
相减得2＝14－0.2x⇒0.2x＝12⇒x＝60.
5．大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)
的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126m－1)，p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处
测得的大气压强分别为p1，p2，＝，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为( )
(参考数据：ln 3≈1.099)
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A．660 m
B．2 340 m
C．6 600 m
D．8 722 m
答案 D
解析 设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，
则＝＝
＝
，
∴0.000 126(h2－h1)＝ln ＝－ln 3≈－1.099，
得h2－h1＝－≈－8 722(m)．
∴A1，A2两处的海拔高度的差约为8 722 m.
6．(多选)目前部分城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正
在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018 年到2021 年产生的包装垃圾量如下表：
年份x
2018
2019
2020
2021
包装垃圾生产量y(万吨)
4
6
9
13.5
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 018；②y＝sin ＋b.
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
则以下说法正确的是( )
A．选择模型①，函数模型解析式为y＝4×x－2 018，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量
y(万吨)与年份x 的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式为y＝sin ＋4，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量
y(万吨)与年份x 的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023 年开始，该城市的包装垃圾将超
过40 万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024 年开始，该城市的包装垃圾将超
过40 万吨
答案 AD
解析 若选y＝4×x－2 018，计算可得对应数据近似值为4,6,9,13.5，
若选y＝sin ＋4，计算可得对应数据近似值不会大于5，
显然A 正确，B 错误；
按照选择函数模型y＝4×x－2 018，
令y>40，即4×x－2 018>40，
∴x－2 018>10，
∴x－2 018>
10，
∴x－2 018>＝≈5.678 6，
9
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∴x>2 023.678 6，
即从2024 年开始，该城市的包装垃圾将超过40 万吨，故C 错误，D 正确．
7．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大
限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令
人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班
主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经
过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k 为增分转
化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100 天
的最后一次模考总分为400 分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为
________．(保留到个位)(lg 61≈1.79)
答案 462
解析 由题意得，
f(60)＝≈＝P，
∴k≈＝0.465，
∴f(100)＝＝
≈＝62，
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.
8．里氏震级M 的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振
幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此
时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9 级地震的最大振幅是5 级
地震最大振幅的________倍．
答案 6 10 000
解析 M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9 级地震的最大振幅和5 级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝
109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9 级地震的最大振幅是5 级地震最大振幅的10 000 倍．
9．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”
养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单
位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4 尾/立方米时，v 的值为2 千克/年；当4<x≤20 时，v
是x 的一次函数，当x 达到20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0 千克/年．
(1)当0<x≤20 时，求v 关于x 的函数解析式；
(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
解 (1)由题意得当，0<x≤4 时，v＝2；
当4<x≤20 时，设v＝ax＋b(a≠0)，
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显然v＝ax＋b 在(4,20]内单调递减，
由已知得解得
所以v＝－x＋.
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝
当0<x≤4 时，f(x)单调递增，
故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
当4<x≤20 时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以当0<x≤20 时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5 千克/立方米．
10．(2023·保定模拟)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤
眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼
莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函
数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝
＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10 倍以上的最小月份．(参考数据：lg
2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝
＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为
增函数，
随着x 的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝
＋k(p>0，k>0)
的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得
解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为
y＝·x(x∈N)．
(2)当x＝0 时，y＝·0＝，
故元旦放入凤眼莲的面积为 m2，
由·x>10×，即x>10，
故x>
10＝＝，
由于≈≈5.7，又x∈N，故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10 倍以上的最小月份是6 月份．
11
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11．生物体死亡后，它机体内原有的碳14 含量P 会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P 与死
亡年数t 之间的函数关系式为P＝
(其中a 为常数)，大约每经过5 730 年衰减为原来的
一半，这个时间称为“半衰期”．若2021 年某遗址文物出土时碳14 的残余量约占原始含量
的75%，则可推断该文物属于( )
参考数据：log20.75≈－0.4
参考时间轴：
A．宋 B．唐 C．汉 D．战国
答案 D
解析 依题意，当t＝5 730 时，P＝，而P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P＝
，
则有＝
，解得a＝5 730，于是得P＝
，t>0，当P＝0.75 时，
＝
0.75，
所以＝
0.75＝－log20.75≈0.4，
解得t≈5 730×0.4＝2 292，
由2 021－2 292＝－271 得，对应时期为战国，
所以可推断该文物属于战国．
12．医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进
行描述．在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关
系式ln kx＝ln k0＋ln(1－e －kt)，其中k0，k 分别称为给药速率和药物消除速率(单位：
mg/h)．经测试发现，对于某种药物，给药时间12 h 后，人体内的药物含量为，则该药物的
消除速度k 的值约为( )
(参考数据：ln 2≈0.693)
A．0.105 5
B．0.106 5
C．0.116 5
D．0.115 5
答案 D
解析 由题意，ln＝ln k0＋ln(1－e－12k)⇒e－12k＝⇒－12k＝－2ln 2，即6k＝ln 2≈0.69 3，
解得k≈0.115 5.
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13．(多选)(2023·济南模拟)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它
们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝
x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是( )
A．当x>1 时，甲走在最前面
B．当x>1 时，乙走在最前面
C．当0<x<1 时，丁走在最前面，当x>1 时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 CD
解析 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x
－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二
次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2 时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A 不正确；
当x＝5 时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B 不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1 时，甲、乙、丙、
丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1 时，丁走在最前面，当x>1 时，丁走在最
后面，所以C 正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数
型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．
14．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000 毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电
模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300 毫安时；模式B：电量呈指数衰
减，即：从当前时刻算起，t 小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待
机状态时开启A 模式，并在m 小时后切换为B 模式，若使其在待机10 小时后有超过5%的
电量，则m 的取值范围是( )
A．(5,6) B．(6,7) C．(7,8) D．(8,9)
答案 D
解析 设模式A：y＝－300t＋3 000，模式B：y＝p·，其中p 为初始电量．
A 模式用了m 小时，电量为3 000－300m，
m 小时后B 模式用了(10－m)小时，
∴(－300m＋3 000)·>3 000·5%，
2m－10(10－m)>，令10－m＝x，∴>，
∴2x－1－x<0，令f(x)＝2x－1－x，即求f(x)<0 时，x 的取值范围．
∵f(1)＝0，f(2)＝0，又由指数函数与一次函数图象知，当1<x<2 时，f(x)<0，
∴1<10－m<2，∴8<m<9.
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