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§1.5 一元二次方程、不等式
考试要求 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元
二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数的图象
方程的根
有两个不相等的实数
根x1，x2(x1<x2)
有两个相等的实数根
x1＝x2＝－
没有实数根
不等式的解集
{ x | x < x 1，或
x > x 2}
{x|x≠－}
R
2．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f ( x ) g ( x )>0(<0)
；
(2)≥0(≤0)⇔f ( x ) g ( x ) ≥
0(
≤
0)
且
g ( x ) ≠
0 .
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为( －
∞
，－
a ) ∪
( a ，＋
∞
) ，|x|<a(a>0)的解集为( －
a ，
a ) ．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0 无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为R.( × )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为(x1，x2)，则a<0.( √ )
(3)若ax2＋bx＋c>0 恒成立，则a>0 且Δ<0.( × )
(4)不等式≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
教材改编题
1．不等式<0 的解集为( )
A．∅
B．(2,3)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
1
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答案 B
解析 <0 等价于(x－3)(x－2)<0，解得2<x<3.
2．已知2x2＋kx－m<0 的解集为(t，－1)(t<－1)，则k＋m 的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
答案 B
解析 因为2x2＋kx－m<0 的解集为(t，－1)(t<－1)，
所以x＝－1 为方程2x2＋kx－m＝0 的一个根，
所以k＋m＝2.
3．已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 ∀x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0⇒(a－2)2－1≤0⇒1≤a≤3.
题型一 一元二次不等式的解法
命题点1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式|x|(1－2x)>0 的解集是( )
A.
B.
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
答案 D
解析 原不等式等价于
即x<且x≠0，故选D.
(2)(多选)已知关于x 的不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项
中正确的是( )
A．a>0
B．不等式bx＋c>0 的解集是{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0 的解集为∪
答案 ABD
解析 ∵关于x 的不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A 选项正确；
且－2 和3 是关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系得
则b＝－a，c＝－6a，则a＋b＋c＝－6a<0，C 选项错误；
不等式bx＋c>0 即为－ax－6a>0，解得x<－6，B 选项正确；
不等式cx2－bx＋a<0 即为－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D 选项正确．
2
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命题点2 含参数的一元二次不等式
例2 已知函数f(x)＝ax2＋(2－4a)x－8.
(1)若不等式f(x)<0 的解集为，求a 的值；
(2)当a<0 时，求关于x 的不等式f(x)>0 的解集．
解 (1)不等式f(x)<0，即ax2＋(2－4a)x－8<0，
可化为(ax＋2)(x－4)<0.
因为f(x)<0 的解集是，
所以a>0 且－＝－，
解得a＝3.
(2)不等式f(x)>0，即ax2＋(2－4a)x－8>0，
因为a<0，所以不等式可化为(x－4)<0，
当4<－，即－<a<0 时，原不等式的解集为；
当4＝－，即a＝－时，原不等式的解集为∅；
当4>－，即a<－时，原不等式的解集为.
综上所述，
当－<a<0 时，原不等式的解集为；
当a＝－时，原不等式的解集为∅；
当a<－时，原不等式的解集为.
思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ 与0 的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 解关于x 的不等式．
(1)>1；
(2)m>0 时，mx2－mx－1<2x－3.
解 (1)移项得－1>0，合并得>0，等价于(3x＋1)(－x－2)>0，
即(3x＋1)(x＋2)<0，解得－2<x<－.
所以不等式的解集为.
(2)移项得mx2－(m＋2)x＋2<0，
对应的方程(mx－2)(x－1)＝0 的两根为和1，
当0<m<2 时，>1，解得1<x<；
当m＝2 时，＝1，原不等式无解；
当m>2 时，<1，解得<x<1.
综上所述，当0<m<2 时，原不等式的解集为；
3
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当m＝2 时，原不等式的解集为空集；
当m>2 时，原不等式的解集为.
题型二 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R 上恒成立问题
例3 (多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3<0 恒成立，则实数k 可以是( )
A．0 B．－24 C．－20 D．－2
答案 ACD
解析 当k＝0 时，不等式即为－3<0，不等式恒成立；当k≠0 时，若不等式恒成立，则⇒
－24<k<0，于是－24<k≤0，故选ACD.
命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围
为________．
答案
解析 要使f(x)<－m＋5 在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0 在x∈[1,3]上恒成立．
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0 时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0<m<；
当m＝0 时，－6<0 恒成立；
当m<0 时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m 的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0 在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m 的取值范围是.
命题点3 在给定参数范围内的恒成立问题
例5 (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4 时恒成立，则x 的取值范围是
( )
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A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
解得x<－1 或x>3.
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，
不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0 的解集为∅，则实数a 的取值范围是( )
A．{a|a<－2 或a≥2}
B．{a|－2<a<2}
C．{a|－2<a≤2}
D．{a|a<2}
答案 C
解析 因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0 的解集为∅，
所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 的解集为R.
当a－2＝0，即a＝2 时，－4<0，符合题意；
当a－2≠0，即a≠2 时，
需满足
解得－2<a<2.
综上，实数a 的取值范围是{a|－2<a≤2}．
(2)设a∈R，若关于x 的不等式x2－ax＋1≥0 在1≤x≤2 上有解，则( )
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤
D．a≥
答案 C
解析 由x2－ax＋1≥0 在1≤x≤2 上有解，
得≥a 在1≤x≤2 上有解，
则a≤max，
由于＝x＋，
5
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而y＝x＋在[1,2]上单调递增，
故当x＝2 时，x＋取得最大值，
故a≤.
课时精练
1．(多选)与不等式x2－x＋2>0 的解集相同的不等式有( )
A．x2＋x－2>0
B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0
D．2x2－3x＋2>0
答案 CD
解析 对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0 的解集为R.
对于A 项，不等式x2＋x－2>0 可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2 或x>1；
对于B 项，不等式－x2＋x－2>0 即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－
2>0 的解集为∅；
对于C 项，不等式－x2＋x－2<0 等价于x2－x＋2>0，满足条件；
对于D 项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0 的解集为R.
2．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3>0”为真命题，则实数a 的取值范围是(
)
A．－1<a<2
B．a≥1
C．a<－1
D．－1≤a<2
答案 D
解析 当a＝－1 时，3>0 成立；
当a≠－1 时，需满足
解得－1<a<2.
综上所述，－1≤a<2.
3．已知不等式ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0 的解集为( )
A.
B.
C．{x|－2<x<1}
D．{x|x<－2 或x>1}
答案 A
解析 因为不等式ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，
所以ax2＋bx＋2＝0 的两根为－1,2，且a<0，即－1＋2＝－，(－1)×2＝，解得a＝－1，b＝
1，
则不等式可化为2x2＋x－1<0，解得－1<x<，则不等式2x2＋bx＋a<0 的解集为.
6
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4．(2023·孝感模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，β(α<β)是方程y＝0 的两个实
数根，则α，β，m，n 的大小关系是( )
A．α<m<n<β
B．m<α<n<β
C．m<α<β<n
D．α<m<β<n
答案 C
解析 ∵α，β 为方程y＝0 的两个实数根，
∴α，β 为函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023 的图象与x 轴交点的横坐标，
令y1＝(x－m)(x－n)，
∴m，n 为函数y1＝(x－m)(x－n)的图象与x 轴交点的横坐标，
易知函数y＝(x－m)(x－n)＋2 023 的图象可由y1＝(x－m)(x－n)的图象向上平移2 023 个单位
长度得到，
∴m<α<β<n.
5．(多选)已知a∈R，关于x 的不等式>0 的解集可能是( )
A．(1，a)
B．(－∞，1)∪(a，＋∞)
C．(－∞，a)∪(1，＋∞)
D．∅
答案 BCD
解析 当a<0 时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，
解得a<x<1；
当a＝0 时，不等式的解集是∅；
当0<a<1 时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，
解得x>1 或x<a；
当a＝1 时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；
当a>1 时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，
解得x>a 或x<1.
6．(多选)已知关于x 的一元二次不等式x2＋5x＋m<0 的解集中有且仅有2 个整数，则实数m
的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 AB
解析 画出函数f(x)＝x2＋5x＋m 的图象，关于x 的一元二次不等式x2＋5x＋m<0 的解集为函
数图象在x 轴下方的部分对应的点的横坐标x 的集合，
由函数f(x)＝x2＋5x＋m 的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2 个
7
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整数，必须且只需使得解得4≤m<6.
7．不等式>x 的解集是________．
答案 (－∞，－1)∪(1,5)
解析 不等式>x 化为以下两个不等式组或
解即解得x<－1，
解即解得1<x<5，
所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5)．
8．(2023·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0 对一切x∈[1,3]恒成立，则a 的最小值为
________．
答案 －4
解析 ∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0 恒成立，
∴a≥－恒成立，
又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2 时取等号．
∴－≤－4，
∴a≥－4，故a 的最小值为－4.
9．已知集合：①A＝；②A＝{x|x2－2x－3<0}；③A＝{x||x－1|<2}，集合B＝{x|x2－(2m＋
1)x＋m2＋m<0}(m 为常数)，从①②③这三个条件中任选一个作为集合A，求解下列问题：
(1)定义A－B＝{x|x∈A 且x∉B}，当m＝0 时，求A－B；
(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解 (1)选①：
>1，若x＋1>0，即x>－1 时，>1，即4>x＋1，解得－1<x<3，
若x＋1<0，则<0，则>1 无解，所以>1 的解集为(－1,3)，
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，
故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选②：
x2－2x－3<0，解得－1<x<3，
故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选③：
|x－1|<2，－2<x－1<2，解得－1<x<3，
故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，
故B＝(0,1)，
8
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则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A 相同，即A＝(－1,3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以BA，所以
或解得－1≤m≤2，故m 的取值范围为[－1,2]．
10．已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2.
(1)若不等式f(x)≥－2 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若a<0，解关于x 的不等式f(x)<a－1.
解 (1)∀x∈R，f(x)≥－2 恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0 时，x≥0，对一切实数x 不恒成立，则a≠0，
此时必有
即解得a≥，
所以实数a 的取值范围是.
(2)依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2＋(1－a)x－1<0⇔(x－1)>0，
当a＝－1 时，－＝1，解得x≠1；
当－1<a<0 时，－>1，解得x<1 或x>－；
当a<－1 时，0<－<1，解得x<－或x>1，
所以，当a＝－1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0 时，原不等式的解集为；
当a<－1 时，原不等式的解集为.
11．(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0,3]时，|f(x)|≤5 恒成立，则实数a 的值可以是(
)
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案 CD
解析 ∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，
①当x＝0 时，a∈R；
②当x≠0 时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5
⇔x－≤a≤x＋，
当x∈(0,3]时，min＝2＋＝4，max＝3－2＝1，
∴1≤a≤4，
综上，1≤a≤4.
12．关于x 的不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为(m，n)(m<n)，有下列四个结论：
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甲：m＝－3；乙：n＝－1；丙：m＋n＝－2；丁：ac<0.
如果只有一个假命题，则假命题是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
答案 B
解析 假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2 时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所以
ac<0 是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2 时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，所以ac<0，
符合题意；
假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0 是假命题，与已知矛
盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1 时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符
合题意．
13．下面给出了问题：“已知关于x 的不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－2<x<1}，解关于x
的不等式ax2－bx＋c>0.”的一种解法：
因为不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－2<x<1}，又不等式ax2－bx＋c>0 可化为a(－x)2＋b(－
x)＋c>0，所以－2<－x<1，即－1<x<2.所以不等式ax2－bx＋c>0 的解集为{x|－1<x<2}．
参考上述解法，解答问题：
若关于x 的不等式＋<0 的解集为{x|－2<x<－1 或1<x<3}．则关于x 的不等式＋<0 的解集为(
)
A.∪
B．(－1,1)∪(1,3)
C．(－3，－1)∪(1,2)
D.∪
答案 A
解析 因为x＝0 不是不等式＋<0 的解，
所以不等式＋<0 等价于＋<0，
所以－2<－<－1 或1<－<3，解得－1<x<－或<x<1.
14．已知0<θ<，若cos2θ＋2msin θ－2m－2<0 恒成立，则实数m 应满足的条件是________．
答案 m≥－
解析 ∵cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，
∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.
设x＝sin θ(0<x<1)，f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.
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由题意可知，0<x<1 时，f(x)<0 恒成立．
当对称轴x＝m≤0 时f(x)在x∈(0,1)上单调递减，
则f(x)<f(0)＝－2m－1≤0，即－≤m≤0，
当对称轴0<x＝m<1 时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0，
解得1－<m<1＋，即0<m<1，
当对称轴x＝m≥1 时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，
则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1.
综上所述，m≥－.
11
