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2021 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分，每个小题只有一个正确选项请
将正确的选项填涂到答题卡上）
1．﹣|﹣2021|的相反数为（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．﹣
D．
2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．据永州市2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入
约为24000 元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（ ）
A．24×103
B．2.4×104
C．2.4×105
D．0.24×105
4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（ ）
A．27
B．12
C．7
D．5
5．下列计算正确的是（ ）
A．（π﹣3）0＝1
B．tan30°＝
C．
＝±2
D．a2•a3＝a6
6．在一元一次不等式组
的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，分别以点A，B 为圆心，大于
AB 的长为半径画弧，两
弧相交于点M 和点N，作直线MN 分别交BC、AB 于点D 和点E，若∠B＝50°，则
∠CAD 的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9
元，则多了4 元；如果每人出6 元，则少了5 元，问组团人数和物价各是多少？若设x
人参与组团，物价为y 元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭
典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x 称为以10 为底的N 的对数，简记为lgN，其满足运
算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝
lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）
2+lg2•lg5+lg5 的结果为（ ）
A．5
B．2
C．1
D．0
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分，请将答案填在答题卡的答案栏
内）
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2
11．在0，
，﹣0.101001，π，
中无理数的个数是 个．
12．已知二次根式
有意义，则x 的取值范围是 ．
13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： ．
14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其
中A 班甲、乙两位同学6 个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．
为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A 班需从甲、乙两位同学中选1 人进入班球队，从
两人成绩的稳定性考虑，请你决策A 班应该选择的同学是 ．
15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6 的圆锥模型（如
图所示），则此圆锥的母线长为 ．
16．如图，A，B 两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x 轴上找一点P，使线段
PA+PB 的值最小，则点P 的坐标是 ．
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3
17．已知函数y＝
，若y＝2，则x＝ ．
18．若x，y 均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（ ）x+y；
（2）
+
＝ ．
三、解答题（共8 小题，满分78 分）
19．（8 分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
20．（8 分）若x1，x2 是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 的两个根，则x1+x2＝﹣
，
x1•x2＝
．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0 的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q 的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n 的值．
21．（8 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞
赛活动根据竞赛结果，抽取了200 名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100 分，大
于80 分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表
组别
频数
频率
A 组（60.5～70.5）
a
0.3
B 组（70.5～80.5）
30
0.15
C 组（80.5～90.5）
50
b
D 组（90.5～100.5）
60
0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝ ，b＝ ；
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4
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 组；
（4）若该校共有1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
22．（10 分）如图，已知点A，D，C，B 在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，
AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF 的形状，并证明．
23．（10 分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在
2022 年将30 亩土地全部用于种植A、B 两种经济作物．预计B 种经济作物亩产值比A 种
经济作物亩产值多2 万元，为实现2022 年A 种经济作物年总产值20 万元，B 种经济作
物年总产值30 万元的目标，问：2022 年A、B 两种经济作物应各种植多少亩？
24．（10 分）已知锐角△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：
＝
＝
．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b 的值；
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5
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD（如图2 所
示），若CD⊥AB，AC＝14 米，AB＝10 米，sin∠ACB＝
，求景观桥CD 的长度．
25．（12 分）如图1，AB 是⊙O 的直径，点E 是⊙O 上一动点，且不与A，B 两点重合，
∠EAB 的平分线交⊙O 于点C，过点C 作CD⊥AE，交AE 的延长线于点D．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB 至点M，∠EBM 的平分线交AC
的延长线于点P，∠CAB 的平分线交∠CBM 的平分线于点Q．求证：无论点E 如何运动，
总有∠P＝∠Q．
26．（12 分）已知关于x 的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c 为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；
（3）记关于x 的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1 时，总有
y2≥y1，求实数m 的最小值．
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6
2021 年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分，每个小题只有一个正确选项请
将正确的选项填涂到答题卡上）
1．﹣|﹣2021|的相反数为（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．﹣
D．
【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．
【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，
∴﹣2021 的相反数为2021．
故选：B．
2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关
键点，分析选项可得答案．
【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五
角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C．
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7
故选：C．
3．据永州市2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入
约为24000 元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（ ）
A．24×103
B．2.4×104
C．2.4×105
D．0.24×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：24000＝2.4×104．
故选：B．
4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（ ）
A．27
B．12
C．7
D．5
【分析】根据众数的意义求解即可．
【解答】解：这组数据中出现次数最多的是12，共出现3 次，因此众数是12，
故选：B．
5．下列计算正确的是（ ）
A．（π﹣3）0＝1
B．tan30°＝
C．
＝±2
D．a2•a3＝a6
【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即
可．
【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A 符合题意；
B．tan30°＝
，因此选项B 不符合题意；
C.
＝2，因此选项C 不符合题意；
D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D 不符合题意；
故选：A．
6．在一元一次不等式组
的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，
即可得出答案．
【解答】解：
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8
∵解不等式①得：x＞﹣0.5，
解不等式②得：x≤5，
∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6 个，
故选：C．
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，分别以点A，B 为圆心，大于
AB 的长为半径画弧，两
弧相交于点M 和点N，作直线MN 分别交BC、AB 于点D 和点E，若∠B＝50°，则
∠CAD 的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【分析】利用基本作图可判断MN 垂直平分AB，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝50°，
再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB 即可．
【解答】解：由作法得MN 垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．
故选：A．
8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9
元，则多了4 元；如果每人出6 元，则少了5 元，问组团人数和物价各是多少？若设x
人参与组团，物价为y 元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
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9
A．
B．
C．
D．
【分析】根据如果每人出9 元，则多了4 元；如果每人出6 元，则少了5 元，可以列出
相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭
典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】画树状图，共有12 种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭
典”的结果有2 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记
为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2 种，
∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为
＝
，
故选：D．
10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x 称为以10 为底的N 的对数，简记为lgN，其满足运
算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝
lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）
2+lg2•lg5+lg5 的结果为（ ）
A．5
B．2
C．1
D．0
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10
【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．
【解答】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5
＝lg2（lg2+lg5）+lg5
＝lg2+lg5
＝1g10
＝1．
故选：C．
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分，请将答案填在答题卡的答案栏
内）
11．在0，
，﹣0.101001，π，
中无理数的个数是
1
个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概
念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环
小数是无理数．
【解答】解：0，
，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
﹣0.101001 是有限小数，属于有理数；
无理数有π，共1 个．
故答案为：1．
12．已知二次根式
有意义，则x 的取值范围是
x ≥﹣
3
．
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：
y ＝﹣
．
【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0 的反比例函数即可．
【解答】解：∵图象在第二、四象限，
∴y＝﹣
，
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11
故答案为：y＝﹣
．
14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其
中A 班甲、乙两位同学6 个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．
为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A 班需从甲、乙两位同学中选1 人进入班球队，从
两人成绩的稳定性考虑，请你决策A 班应该选择的同学是 甲 ．
【分析】根据折线统计图中甲、乙成绩的起伏情况判断即可得解．
【解答】解：根据折线统计图可得，
甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定，
因此A 班应该选择的同学是甲．
故答案为：甲．
15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6 的圆锥模型（如
图所示），则此圆锥的母线长为
10
．
【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到
×2π×6×l＝60π，然后解方
程即可．
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12
【解答】解：设此圆锥的母线长为l，
根据题意得
×2π×6×l＝60π，解得l＝10，
所以此圆锥的母线长为10．
故答案为10．
16．如图，A，B 两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x 轴上找一点P，使线段
PA+PB 的值最小，则点P 的坐标是 （
2 ，
0 ）
．
【分析】连接AB 交x 轴于点P'，求出直线AB 的解析式与x 轴交点坐标即可．
【解答】解：如图，连接AB 交x 轴于点P'，
根据两点之间，线段最短可知：P'即为所求，
设直线AB 的关系式为：y＝kx+b，
，
解得
，
∴y＝
，
当y＝0 时，x＝2，
∴P'（2，0），
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13
故答案为：（2，0）．
17．已知函数y＝
，若y＝2，则x＝
2
．
【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值．
【解答】解：∵y＝2．
∴当x2＝2 时，x＝
．
∵0≤x＜1．
∴x＝
（舍去）．
当2x﹣2＝2 时，x＝2．
故答案为：2．
18．若x，y 均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（
2021
）x+y；
（2）
+
＝
1
．
【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算；
（2）由（1）知43xy•47xy＝2021（x+y），43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y
即可求．
【解答】解：（1）43xy•47xy＝（43x）y•（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，
故答案为：2021；
（2）由（1）知，43xy•47xy＝2021（x+y），
∵43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，
∴xy＝x+y，
∴
+
＝
＝1，
故答案为：1．
三、解答题（共8 小题，满分78 分）
19．（8 分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答
案即可．
【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）
＝x2+2x+1+4﹣x2
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14
＝2x+5，
当x＝1 时，原式＝2+5＝7．
20．（8 分）若x1，x2 是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 的两个根，则x1+x2＝﹣
，
x1•x2＝
．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0 的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q 的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n 的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系得到2﹣4＝﹣
，2×（﹣4）＝
，然后分别解方程
求出p 与q 的值；
（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣
，mn＝﹣
，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣
，2×（﹣4）＝
，
所以p＝1，q＝﹣8；
（2）根据m+n＝﹣
＝﹣
，mn＝﹣
，
所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣
﹣
＝﹣1．
21．（8 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞
赛活动根据竞赛结果，抽取了200 名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100 分，大
于80 分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表
组别
频数
频率
A 组（60.5～70.5）
a
0.3
B 组（70.5～80.5）
30
0.15
C 组（80.5～90.5）
50
b
D 组（90.5～100.5）
60
0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝
60
，b＝
0.25
；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是
C
组；
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（4）若该校共有1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a、b、c 的值；
（2）根据（1）中a、b 的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过80 分的学生人
数．
【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，
∴a＝200×0.3＝60，
b＝50÷200＝0.25，
故答案为：60，0.25；
（2）由（1）知，a＝60，
如图，即为补全的频数分布直方图；
（3）抽取的200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C 组；
故答案为：C；
（4）1000×（0.25+0.3）＝1000×0.55＝550（人），
即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有550 人．
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22．（10 分）如图，已知点A，D，C，B 在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，
AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF 的形状，并证明．
【分析】（1）根据已知条件得到AC＝BD，根据平行线的判定定理得到∠A＝∠B，由
全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，．由平行线的判定定理得
到CE∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD＝BC，
∴AD+DC＝BC+DC，
∴AC＝BD，
∵AE∥BF，
∴∠A＝∠B，
在△AEC 和△BFD 中，
，
∴△AEC≌△BFD（SAS）．
（2）四边形DECF 是平行四边形，
证明：∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，
∴CE∥DF，
∴四边形DECF 是平行四边形．
23．（10 分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在
2022 年将30 亩土地全部用于种植A、B 两种经济作物．预计B 种经济作物亩产值比A 种
经济作物亩产值多2 万元，为实现2022 年A 种经济作物年总产值20 万元，B 种经济作
物年总产值30 万元的目标，问：2022 年A、B 两种经济作物应各种植多少亩？
【分析】设2022 年A 种经济作物应种植x 亩，则B 种经济作物应种植（30﹣x）亩，根
据“预计B 种经济作物亩产值比A 种经济作物亩产值多2 万元”列出方程并解答．
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17
【解答】解：设2022 年A 种经济作物应种植x 亩，则B 种经济作物应种植（30﹣x）亩，
根据题意，得
+2＝
．
解得x＝20 或x＝﹣15（舍去）．
经检验x＝20 是原方程的解，且符合题意．
所以30﹣x＝10．
答：2022 年A 种经济作物应种植20 亩，则B 种经济作物应种植10 亩．
24．（10 分）已知锐角△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：
＝
＝
．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b 的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD（如图2 所
示），若CD⊥AB，AC＝14 米，AB＝10 米，sin∠ACB＝
，求景观桥CD 的长度．
【分析】（1）由边角关系式可求解；
（2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD 中，利用勾股定理可求CD 的长．
【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠A＝60°，
∵
＝
＝
，
∴
＝
，
∴b＝2
；
（2）∵
＝
，
∴
＝
，
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∴sinB＝
，
∴∠B＝60°，
∴tanB＝
＝
，
∴BD＝
CD，
∵AC2＝CD2+AD2，
∴196＝CD2+（10﹣
CD）2，
∴CD＝8
，CD＝﹣3
（舍去），
∴CD 的长度为8
米．
25．（12 分）如图1，AB 是⊙O 的直径，点E 是⊙O 上一动点，且不与A，B 两点重合，
∠EAB 的平分线交⊙O 于点C，过点C 作CD⊥AE，交AE 的延长线于点D．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB 至点M，∠EBM 的平分线交AC
的延长线于点P，∠CAB 的平分线交∠CBM 的平分线于点Q．求证：无论点E 如何运动，
总有∠P＝∠Q．
【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义、等腰三角形性质、三角形外角性质和切线
的定义证明；
（2）由△CDA∽△BCA，得证AC2＝2AD•AO；
（3）由外角性质、直径所对的圆周角是直角和角平分线定义证明．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
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∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC 平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）∵AC 平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴
，
∴AC2＝AB•AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD•AO．
（3）∵∠CAB、∠CBM 的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝
∠CAB，∠QBM＝
∠CBM，
∵∠Q 是△QAB 的一个外角，∠CBM 是△ABC 的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝
（∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝
∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝45°，
∴∠P＝∠Q．
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26．（12 分）已知关于x 的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c 为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；
（3）记关于x 的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1 时，总有
y2≥y1，求实数m 的最小值．
【分析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x＝﹣
，可求出二次函数的表达式；
（2）需要分三种情况：①b＜﹣
；②b﹣3＞﹣
；③b﹣3≤﹣
≤b 分别进行讨论；
（3）根据二次函数图象的增减性可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），
∴c＝4；
∵对称轴为直线：x＝﹣
＝1，
∴b＝﹣2，
∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．
（2）当b2﹣c＝0 时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当b＜﹣
，即b＜0 时，二次函数的最小值在x＝b 处取到；
∴b2+b2+b2＝21，解得b＝
，b＝﹣
舍去；
②b﹣3＞﹣
，即b＞2 时，二次函数的最小值在x＝b﹣3 处取到；
∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；
③b﹣3≤﹣
≤b，即0≤b≤2 时，二次函数的最小值在x＝﹣
处取到；
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∴（﹣
）2+b•（﹣
）+b2＝21，解得b＝±2
（舍去）．
综上，b 的取值为
或4．
（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，
对称轴为直线：x＝1，
∵1＞0，
∴当0≤x≤1 时，y 随x 的增大而减小，且最大值为4；
∵二次函数y2＝2x2+x+m 的对称轴为直线：x＝﹣
，且2＞0，
∴当0≤x≤1 时，y 随x 的增大而增大，且最小值为m，
∵当0≤x≤1 时，总有y2≥y1，
∴m≥4，即m 的最小值为4．
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