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必刷小题3 基本初等函数
一、单项选择题
1．函数f(x)＝＋lg(3－x)的定义域为( )
A．[1,3)
B．(1,3)
C．(－∞，1)∪[3，＋∞)
D．(－∞，1]∪(3，＋∞)
答案 B
解析 由题意可得解得1<x<3，即函数的定义域为(1,3)．
2．(2023·苏州质检)已知函数f(x)＝则f(f(1))等于( )
A．0 B. C．1 D．10
答案 C
解析 f(f(1))＝f(lg 1)＝f(0)＝100＝1.
3．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．[4，＋∞)
D．[3，＋∞)
答案 C
解析 令t＝x2＋3≥4，
因为y＝2＋log2t 在[4，＋∞)上单调递增，
所以y≥2＋log24＝4，
所以y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)．
4．函数y＝3－x与y＝log3(－x)的图象可能是( )
答案 C
解析 函数y＝3－x＝x为R 上的减函数，排除A，B 选项，
函数y＝log3(－x)的定义域为(－∞，0)，
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内层函数u＝－x 为减函数，外层函数y＝log3u 为增函数，
故函数y＝log3(－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D 选项．
5．已知a＝log3，b＝e0.1，c＝
，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
答案 B
解析 a＝log3<log3＝，b＝e0.1>e0＝1，
c＝
＝，故a<c<b.
6．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)是R 上的奇函数，当x>0 时，f(x)＝ln x＋，若f(e)＋f(0)＝
－3，e 是自然对数的底数，则f(－1)等于( )
A．e B．2e C．3e D．4e
答案 D
解析 依题意得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，因为f(e)＋f(0)＝－3，所以f(e)＝ln e＋＝－3，解得
a＝－8e，所以当x>0 时，f(x)＝ln x－，所以f(－1)＝－f(1)＝－＝4e.
7．已知f(x)＝是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )
A.
B.
C．[1,6]
D.
答案 A
解析 因为f(x)＝是R 上的减函数，
所以解得≤a≤6.
8．已知函数f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1，则关于x 的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2 的解集
为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1，
所以f(－x)＝2 022－x＋ln(－x)－2 022x＋1，
因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，
因此关于x 的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝f(－2x)，
又y＝2 022x－2 022－x单调递增，y＝ln(＋x)单调递增，
所以f(x)＝2 022x＋ln(＋x)－2 022－x＋1 在R 上单调递增，
所以有2x－1>－2x，解得x>.
二、多项选择题
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9．已知实数a，b，c 满足a>1>b>c>0，则下列说法正确的是( )
A．aa>bb
B．logca<logba
C．logca<ac
D．
<
答案 AC
解析 ∵a>1>b>c>0，
∴aa>ab>bb，
>
，故A 选项正确，D 选项不正确；
又logac<logab<0，
∴logca>logba，
故B 选项不正确；
∵logca<0，ac>0，
∴logca<ac，故C 选项正确．
10．已知函数f(x)＝2x＋，则( )
A．f(log23)＝
B．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
C．f(x)为偶函数
D．f(x)的最小值为2
答案 CD
解析 f(log23)＝
＋
＝3＋＝，A 错误；
令2x＝t(t>0)，则函数为g(t)＝t＋，
由对勾函数的性质可知g(t)＝t＋在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故g(t)＝t＋在t＝1 处取得最小值，
g(t)min＝g(1)＝2，
所以f(x)的最小值为2，故B 错误，D 正确；
f(x)＝2x＋的定义域为R，且f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，故C 正确．
11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，若x1<x2，则( )
A．当x1＋x2>2 时，f(x1)<f(x2)
B．当x1＋x2＝2 时，f(x1)＝f(x2)
C．当x1＋x2>2 时，f(x1)>f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小关系与a 有关
答案 AB
解析 函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
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当x1＋x2＝2 时，x1与x2的中点为1.
∴f(x1)＝f(x2)，选项B 正确；
当x1＋x2>2 时，x1与x2的中点大于1，
又x1<x2，
∴点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离，
∴f(x1)<f(x2)，选项A 正确，C 错误；
显然当a>0 时，f(x1)与f(x2)的大小与x1，x2离对称轴的远近有关系，但与a 无关，选项D 错
误．
12．已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c，则下列关系可能成立的是( )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．a<b＝c
D．c<b<a
答案 ABC
解析 依题意，令2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k，
则2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，
令y＝2x，y＝log2x，y＝log3x 和y＝－x＋k，则a，b，c 可分别视为函数y＝2x，y＝log2x，y
＝log3x 的图象与直线y＝－x＋k 交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，
y＝log3x 和y＝－x＋k 的图象，如图，
观察图象得，当k<1 时，a<c<b，当k＝1 时，a<b＝c，当k>1 时，a<b<c，
显然c<b<a 不可能，
故可能成立的是ABC.
三、填空题
13.
－
＋π0－＋
3＋2lg 4＋lg ＋e3ln 2＝________.
答案
解析 原式＝
－
＋1－5－log33＋4lg 2＋lg 5－lg 8＋eln 8
＝－2＋1－5－＋3lg 2＋(lg 2＋lg 5)－3lg 2＋8
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＝－2＋1－5－＋1＋8＝.
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________________.
①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；
②f(－x)＝f(x)；
③任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0.
答案 ln|x|(答案不唯一)
解析 由题设，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且为偶函数，f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，结合对数的运
算性质及对数函数的性质，易知f(x)＝ln|x|符合要求．
15．若函数f(x)＝a·bx＋c 在区间[0，＋∞)上的值域是[－2,1)，则ac＝________.
答案 －3
解析 因为x∈[0，＋∞)，f(x)＝a·bx＋c∈[－2,1)，
所以0<b<1(因为函数值是有界的)，
又f(x)取不到f(x)＝1 的值，
所以a<0，
所以函数f(x)＝a·bx＋c 在区间[0，＋∞)上单调递增，
则f(0)＝a＋c＝－2，
当x→＋∞时，abx→0，
所以c＝1，
故a＝－3，所以ac＝－3.
16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．
在理想情况下，对折次数n 与纸的长边ω(cm)和厚度x(cm)有以下关系：n≤log2.现有一张长
边为30 cm，厚度为0.01 cm 的矩形纸，根据以上信息，当对折完4 次时，的最小值为
________，该矩形纸最多能对折________次．(参考数值：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 64 7
解析 由n≤log2可知，当对折完4 次时，
即log2≥4，即log2≥6，
∴≥64，即的最小值为64.
由题知n≤log2＝log23 000＝×≈×≈7.7，
故矩形纸最多能对折7 次．
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