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§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－
sin
α
－
sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos α
－
cos
α
cos
α
－
cos
α
sin
α
－
sin
α
正切
tan α
tan
α
－
tan
α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)使sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是α 为锐角．( × )
(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( × )
(3)若α，β 为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )
(4)若α∈R，则tan α＝恒成立．( × )
教材改编题
1．若cos α＝，α∈，则tan α 等于( )
A．－ B. C．－2 D．2
1
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答案 C
解析 由已知得，sin α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－2.
2．若sin α＋cos α＝，则sin αcos α 等于( )
A．－ B．－ C. D．2
答案 B
解析 因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即1＋2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝－.
3．化简·cos(2π－α)的结果为 ．
答案 sin α
解析 原式＝·cos α＝sin α.
题型一 同角三角函数基本关系
例1 (1)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A．θ∈
B．cos θ＝－
C．tan θ＝－
D．sin θ－cos θ＝
答案 AD
解析 因为sin θ＋cos θ＝，①
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以θ∈，故A 正确；
所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
所以sin θ－cos θ＝，②
故D 正确；
由①②联立可得，sin θ＝，cos θ＝－，故B 错误；
所以tan θ＝＝－，故C 错误．
(2)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
答案 0
解析 ∵cos α＝－<0 且cos α≠－1，
∴α 是第二或第三象限角．
①若α 是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
2
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∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α 是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(3)已知tan α＝2，则＝ ；sin2α＋cos2α＝ .
答案
解析 因为tan α＝2，
所以＝＝＝.
sin2α＋cos2α＝·＋·
＝·＋·
＝×＋×＝.
思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos
α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin 2α 等于( )
A. B．－ C．－3 D．3
答案 A
解析 由＝5，得＝5，
可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α
＝＝＝.
(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α 的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 由诱导公式得，
sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
则2sin αcos α＝－<0，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，
3
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因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.
题型二 诱导公式
例2 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( )
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin ＝－cos
C．cos＝sin 3x
D．cos＝－sin 2x
答案 D
解析 sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sin x，
sin ＝sin＝cos ，
cos＝cos＝－sin 3x，
cos＝－sin 2x.
(2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos 的值为 ．
答案
解析 ∵0<x<，∴<－x<，
∴cos＝＝.
∴sin＝sin＝cos＝，
cos＝cos＝－cos＝－.
∴sin－cos＝.
思维升华 诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
跟踪训练2 (1)若＝，则tan α 等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案 D
解析 因为＝，所以＝，所以＝，解得tan α＝.
(2)已知cos＝，则sin 的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 由cos＝，得sin
＝sin＝cos＝.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3 (1)(2022·聊城模拟)已知α 为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)
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－1＝0，则sin α 的值是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，
又α 为锐角，∴sin α>0，则sin α＝.
(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－.则＝ .
答案 －
解析 由已知得，sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π<x<0 知，sin x<0，
又2sin xcos x＝－<0，
所以cos x>0，所以sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
所以＝
＝
＝＝－.
思维升华 (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、
结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．
跟踪训练3 (1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则2sin2α－sin αcos α 等于(
)
A. B. C. D．2
答案 D
解析 由诱导公式可得，sin α＝sin＋cos(π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2.
因此，2sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝2.
(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝ ，sin＝ .
答案 － －
解析 方法一 令t＝α－，
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所以sin t＝，
α＝t＋，
所以cos＝cos
＝cos＝－sin t＝－.
因为α∈，
所以α－∈，所以sin＝，
所以sin＝sin 2
＝2sincos
＝2××＝－.
方法二 因为sin＝，
所以cos＝cos＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
以下同方法一．
课时精练
1．sin 1 620°等于( )
A．0
B.
C．1
D．－1
答案 A
解析 由诱导公式，sin 1 620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin 180°＝0.
2．(2023·济南模拟)已知α∈，cos＝，则tan α 等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
解析 由已知条件得cos＝－sin α＝，
即sin α＝－，
∵α∈，
∴cos α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
3．已知角α 的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0 平行，则
的值为( )
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A．－2 B．－ C．2 D．3
答案 D
解析 因为角α 的终边与直线2x＋y＋3＝0 平行，即角α 的终边在直线y＝－2x 上，
所以tan α＝－2，＝＝3.
4．若sin(π＋α)－cos(π－α)＝，则sincos 等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 由sin(π＋α)－cos(π－α)＝，可得－sin α＋cos α＝，平方可得1－2sin αcos α＝，
所以sin αcos α＝，
所以sincos＝cos αsin α＝.
5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
答案 ABC
解析 在△ABC 中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A 正确；
sin ＝sin＝cos ，B 正确；
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C 正确；
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D 错误.
6．(2022·郑州模拟)已知角α∈，且tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于(
)
A. B. C．－ D．－
答案 A
解析 因为tan2α－3tan αsin α－4sin2α＝0，所以(tan α－4sin α)(tan α＋sin α)＝0，因为
α∈，所以tan α<0 且sin α<0，所以tan α－4sin α＝0，即＝4sin α，所以cos α＝，所以sin
α＝－＝－，所以sin(α＋2 023π)＝－sin α＝.
7．已知sin θ＝，则＝ .
答案
解析 原式＝＝＝＝＝.
8．已知cos＝，则cos－sin 的值为 ．
答案 0
解析 因为cos＝，
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所以cos＝cos
＝－cos＝－，
sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－，
所以cos－sin＝－－＝0.
9．(2023·长沙模拟)(1)若α 是第二象限角，且cos＝－，求tan α 的值；
(2)已知f(α)＝，化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．
解 (1)∵cos＝－sin α＝－，∴sin α＝，又α 是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，则tan α＝＝－.
(2)f(α)＝＝＝cos α，由(1)知，cos α＝－，
则f(α)＝cos α＝－.
10．已知角θ 的终边与单位圆x2＋y2＝1 在第四象限交于点P，且点P 的坐标为.
(1)求tan θ 的值；
(2)求的值．
解 (1)由θ 为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得2＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，
所以tan θ＝＝－.
(2)因为tan θ＝－，
所以＝
＝＝＝2－.
11．(多选)已知角α 满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值为( )
A．－2 B．－1 C．2 D．1
答案 AC
解析 当k 为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k 为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.
所以原表达式的取值为－2 或2.
12．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想
再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中
偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复
以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设
为a，则sin 等于( )
A. B．－ C. D．－
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答案 D
解析 根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二步
之后变为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即a＝123，
所以sin＝sin＝sin＝－cos ＝－.
13．sin ·cos ·tan 的值是 ．
答案 －
解析 原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
14．已知sin(3π＋θ)＝，则＋＝ .
答案 18
解析 由sin(3π＋θ)＝，可得sin θ＝－，
∴＋
＝＋
＝＋＝
＝＝＝18.
15．(多选)已知角θ 和φ 都是任意角，若满足θ＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则称θ 与φ 广义互余．
若sin(π＋α)＝－，则下列角β 中，可能与角α 广义互余的有( )
A．sin β＝
B．cos(π＋β)＝
C．tan β＝
D．tan β＝
答案 AC
解析 若α 与β 广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，即β＝＋2kπ－α(k∈Z)．
又由sin(π＋α)＝－，可得sin α＝.
若α 与β 广义互余，则sin β＝sin＝cos α＝±＝±，故A 正确；
若α 与β 广义互余，则cos β＝cos＝sin α＝，而由cos(π＋β)＝，可得cos β＝－，故B 错误；
由A，B 可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C 正确，D 错误．
16．(2022·上海模拟)在角θ1，θ2，θ3，…，θ29的终边上分别有一点P1，P2，P3，…，P29，如
果点Pk的坐标为(sin(15°－k°)，sin(75°＋k°))，1≤k≤29，k∈N，则cos θ1＋cos θ2＋cos θ3
＋…＋cos θ29＝________.
答案 0
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解析 ∵sin(75°＋k°)＝sin(90°－(15°－k°))
＝cos(15°－k°)，
∴Pk(sin(15°－k°)，cos(15°－k°))，
∴cos θk＝＝sin(15°－k°)，
∴cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ29＝sin 14°＋sin 13°＋sin 12°＋…＋sin(－14°)，
又sin(15°－k°)＋sin(k°－15°)＝sin(15°－k°)－sin(15°－k°)＝0，
∴cos θ1＋cos θ2＋cos θ3＋…＋cos θ29＝sin 0°＝0.
10
