3.4 平面向量的坐标运算（讲义）
目录
1
知识点01 平面向量的坐标表示................................................................2
2
知识点02 向量加减法与数乘的坐标表示................................................2
3
知识点03 向量数量积与模长的坐标运算................................................2
4
题型一、向量的坐标运算.........................................................................3
5
题型二、向量数量积的坐标运算.............................................................3
6
题型三、向量共线定理的坐标运算.........................................................3
1 知识点01 平面向量的坐标表示
(1)
定义：在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同
的两个单位向量⃗i,⃗j作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平
面内的一个向量⃗a，有且只有一对实数x , y使⃗a= x⃗i+ y⃗j，我们把有序实
数对( x , y)叫做向量⃗a的坐标，记作⃗a=( x , y)．
(2)
向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的
①设A( x1, y1)，B( x2, y2)，⃗AB = B - A=x2- x1, y2- y1)，即一个向量的
坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标
2 知识点02 向量加减法与共线的坐标表示
(1)
设⃗a=( x1, y1)，⃗b=( x2, y2)
①⃗a+⃗b=( x1+ x2, y1+ y2)
②⃗a-⃗b=( x1- x2, y1- y2)
(2)
若⃗a=(x , y)，λ为实数，则λ⃗a=( λx , λy )，即实数与向量的积
的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
3 知识点03 向量数量积与模长的坐标运算
已知非零向量⃗a=( x1，y1)，⃗b=( x2，y2)，θ为向量⃗a、⃗b的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
|⃗a|= ❑√⃗a⋅⃗a
|⃗a|=
❑√x
2+ y
2
数量积⃗
a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cos⃗
a⋅⃗b= x1 x2+ y1 y2
夹角
cosθ =⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
cosθ =
x1 x2+ y1 y2
❑√x1
2+ y1
2⋅
❑√x2
2+ y2
2
⃗a⊥⃗b的充
要条件⃗
a⋅⃗b=0
x1 x2+ y1 y2=0⃗
a∥⃗b的充
要条件⃗
a= λ⃗b（⃗b≠⃗0）
x1 y2- x2 y1=0
4 题型一、向量加减法的坐标运算
1．已知⃗AB =(2,1)，⃗BC =(-1,0)，则|⃗AC|=（ ）
A．❑√2
B．2
C．❑√10
D．10
【答案】A
【分析】根据⃗AC =⃗AB+⃗BC求出⃗AC的坐标，再计算其模.
【详解】因为⃗AB =(2,1)，⃗BC =(-1,0)，
所以⃗AC =⃗AB+⃗BC =(2,1)+(-1,0)=(1,1)，所以|⃗AC|=
❑√1
2+1
2= ❑√2.
故选：A
2．已知点A (1,0)，B (2,2)，向量⃗BC =(2,-1)，则向量⃗AC =（ ）
A．(1,2)
B．(-1,-2)
C．(3,1)
D．(-3,-1)
【答案】C
【分析】根据向量坐标化的运算即可得到答案.
【详解】由题意得⃗AB =(1,2)，⃗AC =⃗AB+⃗BC =(1,2)+(2,-1)=(3,1)．
故选：C.
3．已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(-2,- 4)，则2⃗a+3⃗b=（ ）
A．(-5,-10)
B．(- 4 ,-8)
C．(-3,-6) D．
(-2,- 4)
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算可得.
【详解】由向量⃗a=(1,2),⃗b=(-2,- 4)可得
2⃗a+3⃗b=2(1,2)+3(-2,- 4)=(2,4)+(-6,-12)=(- 4 ,-8).
故选：B
4．已知向量⃗a=(0,2)，⃗b=(1,0)，则|⃗a-⃗b|=（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．2
D．❑√5
【答案】D
【分析】首先求出⃗a-⃗b，再根据坐标法计算其模.
【详解】因为⃗a=(0,2)，⃗b=(1,0)，
所以⃗a-⃗b=(0,2)-(1,0)=(-1,2)，
所以|⃗a-⃗b|=
❑√(-1)
2+2
2= ❑√5.
故选：D
5．已知⃗a=(4,6),⃗a+⃗b=(6,2)，则⃗b=（ ）
A．(2,- 4)
B．(-2,4)
C．(2,- 1
2)
D．(-2, 1
2)
【答案】A
【分析】由向量减法坐标表示可得答案.
【详解】因⃗a=(4,6),⃗a+⃗b=(6,2)，则⃗b=⃗a+⃗b-⃗a=(6- 4,2-6)=(2,- 4).
故选：A
6．已知⃗a=(-3,4)，⃗b=(5,2)，则2⃗a-3⃗b=（ ）
A．(21,2)
B．(-21,2)
C．(2,21)
D．(-2,21)
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解.
【详解】由题意得2⃗a=(-6,8)，3⃗b=(15,6)，
所以2⃗a-3⃗b=(-21,2)．
故选：B
7．已知A(-2,3)，B(1,-2)，C(1,-1)，则|⃗AB+⃗BC |=（ ）
A．❑√5
B．2❑√5
C．5
D．3 ❑√5
【答案】C
【分析】利用向量运算的坐标表示，再利用向量模的坐标表示求解.
【详解】由A(-2,3)，C(1,-1)，得⃗AC =(3,- 4)，
所以|⃗AB+⃗BC |=|⃗AC |=
❑√3
2+(- 4)
2=5.
故选：C
8．已知向量⃗AB =(-2,1),⃗AC =(3,4)，则⃗BC =（ ）
A．(1,5)
B．(-1,-5)
C．(-5,-3)
D．(5,3)
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算求解即得.
【详解】由向量⃗AB =(-2,1),⃗AC =(3,4)，得⃗BC =⃗AC -⃗AB =(5,3).
故选：D
9．已知⃗a=(2,1),⃗b=(-3,4)，则3⃗a+ 4⃗b的坐标是（ ）
A．(6,19)
B．(6,-13)
C．(-6,19)
D．(-6,-13)
【答案】C
【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】因为⃗a=(2,1),⃗b=(-3,4)，所以3⃗a=(6,3)，4⃗b=(-12,16)，
则3⃗a+ 4⃗b=(-6,19)，故C 正确.
故选：C
10．设点A (-1,3)，B (2,4)，C (3,-2)，且⃗AD =2⃗AB -3⃗BC，则点D的坐标为
（ ）
A．(3,20)
B．(-2,-23)
C．(2,23)
D．(- 4 ,-17)
【答案】C
【分析】设D( x , y)，将方程中的向量分别用坐标表示，列出方程组，求解
即得.
【详解】设D( x , y)，则由⃗AD =2⃗AB -3⃗BC可得：
( x +1, y -3)=2(3,1)-3(1,-6)，
即¿，解得¿，即D(2,23).
故选：C.
11．在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (-2,0)，⃗AC =(2,-3)，则⃗AD的坐标
为（ ）.
A．(5,-1) B．(-6,-1)
C．(0,-3)
D．(0,3)
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】⃗AB =(-3,-2),又⃗AC =(2,-3)，故⃗BC =⃗AC -⃗AB =(5,-1),
故⃗AD =⃗BC =(5,-1),
故选：A
5 题型二、向量数量积的坐标运算
1．已知⃗a=(
1
2 ,3)
，⃗b=(-2, 1
3)
，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．0
B．-2
C．2
D．- 4
【答案】A
【分析】根据数量积的坐标表示即可得到答案.
【详解】⃗a⋅⃗b= 1
2 ×(-2)+3× 1
3 =0.
故选：A.
2．设⃗a=(1,-2),⃗b=(-3,4),⃗c =(3,2)，则1
3 (⃗a+2⃗b)⋅⃗c等于（ ）
A．(-15,12) B．-1
C．-3
D．1
【答案】B
【分析】根据平面向量坐标运算和数量积的坐标表示求解可得.
【详解】因为⃗a=(1,-2),⃗b=(-3,4),⃗c =(3,2)，
所以⃗a+2⃗b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6)，
所以1
3 (⃗a+2⃗b)⋅⃗c = 1
3
(-5×3+6×2)=-1.
故选：B
3．若⃗a+⃗b=(-2，-1，2)，⃗a-⃗b=(4，-3，-2)，则⃗a⋅⃗b等于（ ）
A．-5
B．-1
C．5
D．7
【答案】A
【分析】先求出⃗a，⃗b，再利用空间向量的数量积运算求解即可．
【详解】∵⃗a+⃗b=(-2，-1，2)，⃗a-⃗b=(4，-3，-2)，则2⃗a=(2，- 4，0)，
∴⃗a=(1，-2，0)，⃗b=(-3，1，2)，
∴⃗a⋅⃗b=-3-2+0=-5，
故选：A
4．已知向量a
→
=(1,2)，b
→
=( x ,4)，若向量⃗a⊥⃗b，则x =（ ）
A．-8
B．-2
C．8
D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量垂直的充要条件及平面向量数量积的坐标表示计算
即可.
【详解】因为⃗a⊥⃗b，所以⃗a⋅⃗b= x +2×4 =0，解得x =-8.
故选：A.
5．已知向量⃗a=(-2,3)，⃗b=(m,6)，若⃗a⊥⃗b，则m=（ ）
A．-9
B．- 4
C．4
D．9
【答案】D
【分析】利用向量垂直的坐标表示的公式即可求解.
【详解】因为⃗a⊥⃗b，所以-2m+3×6=0，解得m=9.
故选：D
6．已知向量⃗m=(2,-1)，⃗n=(-1,3)，则⃗m⋅(⃗m-⃗n)=（ ）
A．8
B．10
C．12
D．16
【答案】B
【分析】由平面向量线性运算与数量积的坐标表示，可得答案.
【详解】由题意可得⃗m-⃗n=(3,- 4)，故⃗m⋅(⃗m-⃗n)=2×3+(-1)×(- 4)=10．
故选：B．
7．已知⃗a=(3,m)，⃗b=(1,-1)，且⃗a⋅⃗b=2，则|⃗a+⃗b|=（ ）
A．4
B．2
C．❑√5
D．1
【答案】A
【分析】根据向量的数量积运算列方程，求得m，进而求得|⃗a+⃗b|.
【详解】因为⃗a⋅⃗b=3-m=2，解得m=1，
则⃗a=(3,1)，
则⃗a+⃗b=(4,0)，
则|⃗a+⃗b|= 4.
故选：A
8．已知向量⃗a=(1,0)，⃗b=(x ,1)，若⃗b⋅(⃗b-2⃗a)=0，则x =（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】C
【分析】先求出⃗b-2⃗a的坐标，再根据平面向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】向量⃗a=(1,0)，⃗b=(x ,1)，
则⃗b-2⃗a=(x -2,1)，
所以⃗b⋅(⃗b-2⃗a)= x (x -2)+1×1=0，
解得x =1.
故选：C.
9．已知向量⃗OA =(3,2)，⃗OB =(2,4)，⃗OC =(-1,-3)，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．6
B．4
C．-6
D．-4
【答案】C
【分析】由向量的线性运算与数量积的坐标表示，可得答案.
【详解】因为⃗OA =(3,2)，⃗OB =(2,4)，⃗OC =(-1,-3)，所以⃗AB =(-1,2)，⃗
AC =(- 4 ,-5)，
则⃗AB⋅⃗AC = -1×(- 4)+2×(-5)=-6．
故选：C.
10．已知向量⃗a=(2 x ,3)，⃗b=(2,0)，(⃗a-⃗b)⋅⃗b=0，则x的值为（ ）
A．-1
B．1
2
C．1
D．2
【答案】C
【分析】求出向量⃗a-⃗b的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关
于x的等式，解之即可.
【详解】因为向量⃗a=(2 x ,3)，⃗b=(2,0)，则⃗a-⃗b=(2 x -2,3)，
所以(⃗a-⃗b)⋅⃗b=2(2 x -2)=0，解得x =1.
故选：C.
11．已知向量⃗a=(1,1)，⃗b=(x ,0)，若⃗a⊥(⃗a-2⃗b)，则x等于（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．-2
【答案】A
【分析】先计算⃗a-2⃗b，由⃗a⊥(⃗a-2⃗b)得⃗a⋅(⃗a-2⃗b)=0即可求解.
【详解】由题意有⃗a-2⃗b=(1,1)-2(x ,0)=(1-2 x ,1)，因为⃗a⊥(⃗a-2⃗b)，
所以1×(1-2 x)+1×1=0，解得x =1．
故选：A．
12．已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，⃗b=(1,0)，|2⃗a-⃗b|=5，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．6
B．3
C．- 4
D．-2
【答案】D
【分析】根据数量积的运算律，建立方程，可得答案.
【详解】由⃗b=(1,0)，则|⃗b|= ❑√1+0=1，
由|2⃗a-⃗b|=
❑√(2⃗a-⃗b)
2=
❑√4⃗a
2- 4⃗a⋅⃗b+⃗b
2=5，
则4×2
2- 4⃗a⋅⃗b+1=25，解得⃗a⋅⃗b=-2.
故选：D.
6 题型三、向量共线的坐标运算
1．已知⃗a=(-1,2)，⃗b=(1, x)，⃗a//⃗b，则实数x =（ ）
A．2
B．-2
C．1
2
D．- 1
2
【答案】B
【分析】根据共线向量的坐标表示即可求得结果.
【详解】已知⃗a=(-1,2)，⃗b=(1, x)，所以- x -2×1=0，解得：x =-2
故选：B
2．已知向量⃗a=(-1,2)，⃗b=(2, x)．若⃗a//⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．2❑√3
B．2❑√5
C．4 ❑√2
D．2❑√10
【答案】B
【分析】由向量平行的坐标表示求得x，再由模长公式即可求解；
【详解】因为⃗a//⃗b，
所以- x - 4 =0，所以x =- 4，
所以|⃗b|= ❑√4 +16=2❑√5，
故选：B
3．已知向量⃗a=( x ,-1)，⃗b=(1,2)，⃗c =(3,2)，若(⃗a-⃗b)//(⃗b+⃗c)，则实数x =
（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量坐标运算和向量共线的坐标表示即可得到方程，解
出即可.
【详解】由⃗a=( x ,-1)，⃗b=(1,2)，⃗c =(3,2)，得⃗a-⃗b=( x -1,-3)，⃗b+⃗c =(4,4)，
又(⃗a-⃗b)//(⃗b+⃗c)，所以4( x -1)- 4×(-3)=0，解得x =-2.
故选：A.
4．已知平面向量⃗a=(1,0)，⃗b=(2, x)，若⃗b//(⃗a-⃗b)，则x等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】先求⃗a-⃗b=(-1,- x)，再根据向量共线列式求值.
【详解】由题意，得⃗a-⃗b=(-1,- x)．又⃗b=(2, x)，由b
→
//(a
→
- b
→)，得
- x =-2 x，解得x =0．
故选：B．
5．已知向量⃗a=(1,7)，⃗b=(x ,2)，⃗c =(-2,1)，若⃗c //(3⃗b-⃗a)，则x等于（ ）
A．1
B．1
3
C．- 1
3
D．-1
【答案】A
【分析】应用向量线性关系坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数.
【详解】由3⃗b-⃗a=(3 x -1,-1)，又⃗c //(3⃗b-⃗a)，
所以(3 x -1)×1=(-2)×(-1)，解得x =1．
故选：A
6．已知向量⃗m=(
3
2 ,6)
，⃗n=(t -1,t
2)，若⃗m//⃗n，则t =（ ）
A．2
B．1
C．2 或-1
D．1 或-2
【答案】A
【分析】根据向量共线的结论求参数的值.
【详解】由已知得3
2 t
2-6(t -1)=0，解得t =2.
故选：A
7．已知向量⃗a=( x ,2),⃗b=(2, y),⃗c =(1,-2)，且⃗a⊥⃗c ,⃗b//⃗c，则x + y =
（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示
列式计算得解.
【详解】向量⃗a=( x ,2),⃗b=(2, y),⃗c =(1,-2)，由⃗a⊥⃗c，得x - 4 =0，解得
x = 4，
由⃗b//⃗c，得y =- 4，所以x + y =0.
故选：B
8．已知向量⃗a=(x ,1),⃗b=(2, x -1)，则“⃗a// ⃗b”是“x =2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求参数，结合充分、必要性定义
即可得.
【详解】若⃗a=(x ,1),⃗b=(2, x -1)，且⃗a// ⃗b，则x (x -1)-2=0，解得x =2或
x =-1，
故“⃗a// ⃗b”是“x =2”的必要不充分条件.
故选：B
9．已知向量⃗a=(2,1),⃗b=(x ,2)，若(⃗a-2⃗b) ∥ ⃗b，则实数x =（ ）
A．1±2❑√2
2
B．4
C．1
2
D．1
4
【答案】B
【分析】由向量平行的坐标表示求解．
【详解】由题意⃗a-2⃗b=(2-2 x ,-3)，
又(⃗a-2⃗b) ∥ ⃗b，所以2(2-2 x)=-3 x，解得x = 4，
故选：B．
10．已知向量⃗a=(6,-3),⃗b=(- 4 ,m)，若⃗a与⃗b共线，则m=（ ）
A．2
B．-2
C．8
D．-8
【答案】A
【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程求解即可.
【详解】因为向量⃗a=(6,-3),⃗b=(- 4 ,m)，
若⃗a与⃗b共线，则6×m-(-3)×(- 4)=0，解得m=2.
故选：A.
11．已知向量⃗m=(a-1,b)，⃗n=(-1,1)，a>0，b>0，满足⃗m//⃗n，则1
a + 2
b的
最小值为（ ）
A．4
B．2❑√2
C．3+2❑√2
D．4 ❑√2
【答案】C
【分析】由向量平行关系得a+b=1，再利用乘“1”的方法求最值，即可求
解.
【详解】因为向量⃗m=(a-1,b)，⃗n=(-1,1)，a>0，b>0，
由⃗m//⃗n，得a-1+b=0，即a+b=1，
则1
a + 2
b =(a+b)( 1
a + 2
b )=3+ b
a + 2a
b ≥3+2❑√
b
a ⋅2a
b =3+2❑√2，
当且仅当b
a = 2a
b 时，即b=2- ❑√2,a= ❑√2-1时，等号成立，
所以1
a + 2
b的最小值为3+2❑√2.
故选：C.
12．已知平面向量⃗a=(1,2),⃗b=(2 x , x -1)，且⃗a//(⃗b-⃗a)，则x =（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．5
3
D．3
【答案】A
【分析】利用向量的坐标运算及向量共线的坐标表示求出x.
【详解】向量⃗a=(1,2),⃗b=(2 x , x -1)，则⃗b-⃗a=(2 x -1, x -3)，
由⃗a//(⃗b-⃗a)，得2(2 x -1)= x -3，所以x =- 1
3.
故选：A
