文档文本内容
4.7 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin
C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)＝＝2R
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a 上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)；
(4)S＝.
3．测量中的几个常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一
铅垂平面内)所成的角中，目标视线
在水平视线上方的叫做仰角，目标
视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方
向到目标方向线之间的夹角叫做方
位角，方位角θ 的范围是[0,2π)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所
成的小于90°角，通常表达为北(南)
偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC 中，大边对大角，大角对大边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cosB．
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acosB．
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
考点二 正弦定理边角互化的应用
考点三 余弦定理边角互化的应用
考点四 三角形的面积问题
考点五 判断三角形解的个数问题
考点六 判断三角形形状的问题
考点七 利用正弦余弦定理解决测量问题
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
1．（25-26 高三上·吉林长春·期中）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．30°
B．45°
C．135°
D．45°或135°
2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在
中，
，
，则
______
3．（25-26 高三上·山西·阶段检测）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·江苏徐州·阶段检测）
中，
，
，
，则
边上的高为_________
5．（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
且
，则△ABC 的面积为________．
6．（25-26 高三上·广东肇庆·期中）
中，
，
，
，则
______．
考点二 正弦定理边角互化的应用
7．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知
的内角
的对边分别为
，满足
，且
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·云南文山·阶段检测）在
中，
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
的周长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．（25-26 高三上·重庆·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，
若
，则
__________.
10．（25-26 高三上·江西上饶·期中）在
中，角
的对边分别是
，若
，
，
，则
______．
11．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
则
（ ）
A．
B．9
C．
D．1
12．（2026·吉林延边·二模）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，满足
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 余弦定理边角互化的应用
13．（25-26 高三上·吉林长春·期中）在△ABC 中，若
，且满足
，则
△ABC 的面积等于（ ）
A．
B．2
C．
D．1
14．（25-26 高三上·重庆·期中）在
中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，面积为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
15．（25-26 高三下·河南·阶段检测）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·湖北荆州·阶段检测）在
中，角
所对的边分别为
，
，
，若
的面积为
，则
______．
17．（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
且a
b，则
______.
18．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）在斜
内，内角
所对的边分别为
，若
，
则
_____________．
考点四 三角形的面积问题
19．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段检测）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
为
的面积，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
的面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2026·山西·二模）记
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，.已知
，且
，
则
的面积为________.
22．（2026·河南开封·模拟预测）在
中，
，
，
，则
____________，
的面积为____________．
23．（25-26 高三上·江苏·期中）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，．已知
，
，则
的面积为______．
24．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在
中，内角
的对边分别是
，若
，
，则
的面积最大值为___________．
考点五 判断三角形解的个数问题
25．（25-26 高三上·河南南阳·期中）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若a＝2，
，满足条
件的△ABC 有两个，则b 可能为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
26．（25-26 高三上·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ）
A．
，有两解
B．
，有一解
C．
，无解
D．
，有一解
27．（25-26 高三上·河南驻马店·期中）在
中，
，
，满足此条件的
有两解，则
的
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（25-26 高三上·吉林长春·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
解的个数为________．
29．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·期中）在
中，角
，
，
对应的边分别为
，
，，已知
，
，若
有两解，则
的取值范围是_______________（写成区间的形式）
30．（25-26 高三上·江苏泰州·期中）在
中，
，
，若满足上述条件的
恰有一解，则边长
的取值范围为______．
考点六 判断三角形形状的问题
31．（25-26 高三上·河北石家庄·阶段检测）（多选）设
内角
，
，
的对边分别为
，
，，则下列条
件能判定
是等腰三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（25-26 高二下·广东广州·期中）（多选）在
中，下列命题正确的（ ）
A．若
，则
是等腰三角形
B．若
，则
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，则
为等腰三角形
33．（25-26 高三上·江苏镇江·期中）（多选）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为钝角三角形
C．若
，则
为直角三角形D．若
为锐角三角形，则
34．（25-26 高三上·重庆·期中）在
中，
，
分别为内角
，
的对边，若
，
则
的形状一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
35．（22-23 高三上·辽宁沈阳·期中）在
中，
，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
36．（25-26 高三上·上海浦东新·期中）在
中，角
的对边分别为
，已知
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
考点七 利用正弦余弦解决测量问题
37．（25-26 高三上·山西晋中·阶段检测）某货轮在
处看灯塔
在货轮北偏东
，距离为
；在
处看灯塔
在货轮的北偏西
，距离为
．货轮由
处向正北航行到
处时，再看灯塔
在南偏东
，则灯塔
与
处之间的距离是（ ）m
A．
B．8
C．12
D．
38．（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，在海岸A 处发现北偏东
方向，距A 处
海里的B 处有一艘走私
船．在A 处北偏西
方向，距A 处2 海里的C 处的我方缉私船奉命以
海里/小时的速度追截走私船，此时走
私船正以10 海里/小时的速度，从B 处向北偏东
方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并
求出所需时间．
39．（25-26 高三上·河南郑州·期中）如图，在测量河对岸的塔高AB 时，测量者选取了与塔底
在同一水平面内的
两个测量基点
与
，并测得
，
米，在点
处测得塔顶
的仰角为
，则塔高
（ ）
A．
米
B．10 米
C．
米
D．11 米
40．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿
古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B 所在的水平
地面上选取C，D 两点，测得
米，
，
，在点
处测得塔顶
的仰角为
，
则龙辰塔的高度
约为（ ）（参考数据：取
，
）
A．46 米
B．48 米
C．50 米
D．52 米
41．（25-26 高三上·河南·阶段检测）已知
，
是两个暗礁群，将其视为质点，相距
.为保障航行安全，
欲在一条东西方向的航道
（视为直线）上选取
，
点建两座灯塔，其中
选取在距
比距
近的地方，且在
灯塔
处测得
在它的南偏东
方向，测得
在它的南偏东
方向.从灯塔
沿航道
向正东行驶
可到灯
塔
，在灯塔
处测得
在它的南偏西
方向，则在
处测得
在它的（ ）
A．南偏西
方向
B．南偏西
方向
C．南偏西
方向
D．南偏西
方向
42．（25-26 高三上·上海·期中）小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根
长为2 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为
、
，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视
为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45 米.则
斜面的底角
________.（结果用角度制表示，精确到0.01°）
1．（山东潍坊市2025-2026 学年高三下学期5 月高考模拟考试数学试题（B 卷））设
的内角
所对的
边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·青海西宁·期中）在
中，内角
所对的边为
，下列结论中错误的是（ ）
A．若
，则
B．
，则
为等腰三角形
C．若
，
，
，则符合条件的三角形有两个
D．若
的面积为
，则
3．（25-26 高三上·山东泰安·期中）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·四川资阳·期中）在
中的角
的对应边分别为
，且
，则
的
形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．直角或等腰三角形
5．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
则使此三角形只有唯一解的
的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
6．（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）（多选）已知
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则三角形有且只有一个解
C．若
，则
为等腰三角形
D．若
，则
为钝角三角形
7．（25-26 高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形
中，
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
8．（25-26 高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．已知
，若
有两解，则
的取值范围是
C．若
，且
，则
为等边三角形
D．若
，则
可以是钝角三角形
9．（25-26 高三上·江苏·期中）（多选）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列与
有关
的结论，正确的是（ ）
A．若
，则
一定是等腰三角形
B．若
，则
C．若
为锐角三角形，则
D．若
为斜三角形，则
10．（25-26 高三上·天津红桥·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，
则
的形状是____________ .
11．（25-26 高二下·北京海淀·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为
.若
为锐
角三角形，则
的一个取值为__________.
12．（25-26 高三上·广东江门·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
，
则使
有两解的k 的取值范围是__________.
13．（25-26 高三上·北京大兴·期中）在
中，
，
．
①若
，则=______；
②若满足条件的
有两个，则
的取值范围是______．
14．（25-26 高三上·天津武清·期中）在
中，内角
所对应的边分别是
，若
的面积是
，则
________．
15．（25-26 高三上·山东济宁·期中）某校兴趣小组想要测量某塔的高度
，在塔附近选取了相距50 米的
（
与该塔的塔底
在同一水平面上）两个测量点，从
点观测该塔塔顶
的仰角为
，从
点观测该塔塔顶
的仰角为
，且
，则这座塔的高度
__________米．
16．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
，则△ABC 周长的最大值为__________.
