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§4.8 正弦定理、余弦定理
课标要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利
用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ；
内容 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos B ；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin B ，c＝ 2 R sin C ； cos A＝；
变形 (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； cos B＝；
(3)a∶b∶c＝ sin A ∶ sin B ∶ sin C cos C＝
2.三角形解的判断
A为钝角
A为锐角
或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝ ab sin C ＝ ac sin B ＝ bc sin A ；
(3)S＝ r ( a ＋ b ＋ c ) (r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC中，常有以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos Asin B，则a>b.( √ )
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × )
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．( × )
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，
设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，
由余弦定理得
cos∠BAC＝＝＝－，
因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝.
3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此
三角形的解的情况是( )
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，
∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即此三角形无解．
4．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b
＝ .
答案 2
解析 由题意得S ＝acsin B＝ac＝，
△ABC
则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，
所以b2＝a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)(2023·榆林模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asin A＋(b＋
λa)sin B＝csin C，则λ的取值范围为( )
A．(－2,2) B．(0,2)
C．[－2,2] D．[0,2]
答案 A
解析 因为asin A＋(b＋λa)sin B＝csin C，
由正弦定理得c2＝a2＋b2＋λab，
由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C，
所以λ＝－2cos C，
因为C∈(0，π)，所以cos C∈(－1,1)，
故λ∈(－2,2)．
(2)(2024·兰州模拟)用长度为1,4,8,9的4根细木棒围成一个三角形(允许连接，不允许折断)，
则其中某个三角形外接圆的直径可以是 (写出一个答案即可)．
答案 (答案不唯一)
解析 4根细木棒围成的三角形的三边长可以为5,8,9，设边长为9的边所对的角为θ，该三
角形外接圆的半径为R，
由余弦定理知，cos θ＝＝，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝＝，
由正弦定理知，2R＝＝＝，
所以其中某个三角形外接圆的直径可以是.
思维升华 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果
式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两
个定理都有可能用到．
跟踪训练1 (1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，c＝，A＝45°，则
C等于( )
A．30° B．60° C．120° D．60°或120°
答案 D
解析 因为a＝1，c＝，A＝45°，
所以由正弦定理可得sin C＝＝
＝，又因为0°a，A＝45°，所以C＝60°或120°.
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则
等于( )
A．2 B．3 C. D.
答案 D
解析 由正弦定理及bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，
又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.
又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，
得＝.
题型二 正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形的形状判断
例2 (2023·临沂模拟)在△ABC中，已知＝且满足条件①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin
B)；②bcos A＋acos B＝csin C 中的一个，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 由＝及正弦定理得
＝，即a2＋ac＝b2＋bc，
∴a2－b2＋ac－bc＝0，
∴(a－b)(a＋b＋c)＝0，∴a＝b.
若选①，则△ABC为等边三角形．推理如下：
由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，
即a2＋b2－c2＝ab.
∴由余弦定理得cos C＝＝，
又C∈(0，π)，∴C＝.
∴△ABC为等边三角形．
若选②，则△ABC为等腰直角三角形．推理如下：
∵bcos A＋acos B＝b·＋a·＝＝c＝csin C，
∴sin C＝1，∴C＝，
∴△ABC为等腰直角三角形．
思维升华 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A
＋B＋C＝π这个结论．
命题点2 三角形的面积例3 (10分)(2023·新高考全国Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；[切入点：由A，B，C关系求角C及代换sin B]
(2)设AB＝5，求AB边上的高．[关键点：由A，B，C关系求sin B]
[思路分析]
(1)由A，B，C关系求角C→B＝π－(A＋C)代入化简→tan A→sin A
(2)由角C，sin A→sin B→AC→等面积法求高
解 (1)(1分)
①处由A，B，C关系求角C
又2sin(A－C)＝(2分)
②处由B与A，C关系代换sin B
∴2sin Acos C－2cos Asin C
＝sin Acos C＋cos Asin C，
∴sin Acos C ＝ 3cos Asin
C，
∴sin A＝3cos A，
③处两角和差公式化简
即tan A＝3，(4分)
∴00，
在△ABC中，由余弦定理，得
AC2＝36＋x2－2×6xcos B＝28，
即x2＋8＝12xcos B，①
又在△ACD中，由余弦定理，得
AC2＝4＋x2－2×2xcos D＝28，
即x2－24＝4xcos D，②
因为B＋D＝π，
则cos D＝cos(π－B)＝－cos B，
联立①②可得x＝4，cos B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
6．(2022·乐山统考)已知△ABC中，AB·AC＝－3，AB＝2，cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C
＝1，D是边BC上一点，∠CAD＝3∠BAD.则AD等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，
∵cos2A＋sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝1，
即sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2A，
∴b2＋c2＋bc＝a2，
∴cos A＝＝－，
又A∈(0，π)，∴A＝，
又AB·AC＝－3，AB＝2，
∴AB·AC＝2bcos A＝2b×＝－3，
即b＝3，∴a2＝b2＋c2＋bc＝32＋22＋3×2＝19，
故a＝，
∴cos C＝＝＝，
sin C＝，tan C＝，
又∠CAD＝3∠BAD，A＝，
∴∠CAD＝，AD＝ACtan C＝3×＝.
二、多项选择题
7．(2024·南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B
＝ac，则B的值为( )
A. B. C. D.
答案 BD
解析 根据余弦定理可知a2＋c2－b2＝2accos B，
代入(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
可得2accos B·＝ac，
即sin B＝，
因为00，
所以cos A＝，
因为A为三角形内角，则A＝.
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五的“田域类”中写道：问有沙
田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田
几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，求三角形沙田的面积．
则该沙田的面积为 平方里．
答案 84
解析 由题意画出△ABC(图略)，且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，
在△ABC中，由余弦定理得，cos B＝＝＝，
所以sin B＝＝，
则该沙田的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84(平方里)．
11．已知△ABC的面积为S＝(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为
．
答案 等腰直角三角形
解析 依题意，△ABC的面积为S＝(b2＋c2)，
则bcsin A＝(b2＋c2)，即2bcsin A＝b2＋c2，
由于0
