文档内容
考向 16 解三角形
1.【2022年甲卷理科卷第11题】将函数f 的图像向左平移 个单位长度后得
到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A
【答案】C
【解析】记 为 向左平移 个单位后得到的曲线，则 = =
由 关于Y轴对称，可得： ， ，故有 ，所以 的最小值为 .选
C.
2． 【2022年浙江卷】16．已知 中，点 在边 上， ， ， ．当
取得最小值时， ＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】令 ，以 为坐标原点， 为 轴建立直角坐标系，则 ， ， ，
当且仅当 即 时取等号．ABC 3sinC
3．【2022年北京卷第16题】在 中，sin2C= .
C
（1）求
b6 ABC 6 3 ABC
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长。
【答案】（1） （2）
3
cosC
【解答】（1）sin2C= 3sinC 2sinCcosC 3sinC 2 C = 6 。
， ，
，
1
absinC 6 3
（2） S ABC 6 3 2 a4 3 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC
， ，
，
c2 3 所以ABC 的周长为6 36
， .
4．【2022年乙卷理科第17题】17.（12分）
记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的周长.
【答案】（1）见证明过程；（2） ；
【解析】1.已知 可化简为
，
由正弦定理可得 ，即 ，由余弦定理可得
，即证 ，
（2）由（1）可知 ， ， ，
， ， ， 的周长为145．【2022 年乙卷文科第 17 题】记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
（1）若 ，求 ;
（2）证明： ．
【答案】（1） ；（2）略.
【解析】（1）解：因为 ,
所以 ， ，
所以 ， ，
代入 中得
又 ，所以 ，所以 ，所以
（2）证明:因为
所以
所以
所以 ，又
所以
由正弦定理得 ①
又由余弦定理得 ，所以 ②
由①②得 ，所以 .
证法2：因为所以
又
同理 ，所以
由正弦定理得 所以
6.【2022年新高考1卷第18题】 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
．
（1）若 ，求 ；
（2）求 的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知条件得：
所以 ，即 ，
由已知条件： ，则 ，可得 ，
所以 ， ．
（2）由（1）知 ，则 ， ，
，
由正弦定理，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 ．
7.【2022年新高考2卷第18题】记 的三个内角分别为 、 、 ，其对边分别为 ， ， ，分别
以 ， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 ， ， ，已知 ， ．
（1）求 的面积；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） 边长为 的正三角形的面积为 ，
，即 ，
由 得： ， ，
故 ．
（2）由正弦定理得： ，故 ．
8.【2022年浙江卷第18题】在 中，角 的对边分别为a，b，c，已知 ， ．（I）求 的值；
（II）若 ，求 的面积．
【答案】（I） ；（II） ．
【解析】（I）由于 ，且 是三角形的内角，则 .
由正弦定理知 , 则 .
(II) 由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ．
所以 的面积 .
1.解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π
－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情
况．
2.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或
该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．
总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
3．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
4.判定三角形形状的两种常用途径
5．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过
程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因
式，应移项提取公因式，以免漏解．
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝ b cos C ＋ c cos B ；b＝ a cos C ＋ c cos A ；c＝ b cos A ＋ a cos B .
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中， A ＞ B ⇔ a ＞ b ⇔sin A ＞ sin B .
5．三角形常用面积公式
(1)S＝a·h (h 表示边a上的高)；
a a
(2)S＝absin C＝ ac sin B ＝ bc sin A ；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
易错点1：解三角函数的定义此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。
易错点2：三角函数图象变换
函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，
只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
易错点3：由三角函数图像求解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则 .
（2）求ω，已知函数的周期T，则 .
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ= ；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ= ；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
易错点4： 给值（式）求角（值）
解三角函数的给值求值问题的基本步骤
（1）先化简所求式子或所给条件；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
易错点5：三角形中边角关系
此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大
值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求
得最值.
1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(
)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．
2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】由＝得b＝＝＝×2＝.
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－.
又因为∠BAC是△ABC的内角，所以∠BAC＝，故选C.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是
( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．
5.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝( )
A．2 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意A＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理＝，
得b＝＝＝2，故选C．
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b2＋c2－a2＝bc，a＝，则b＋c的取值范围是(
)
A．(1，) B．(，2］ C．(，3) D．
【答案】B
【解析】依题意得b2＋c2－bc＝3，即(b＋c)2＝3bc＋3≤3＋3，(b＋c)2≤12，b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时取等
号，又b＋c>a＝，因此b＋c的取值范围是(，2］，选B
7．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝4，c＝6，C＝2A，则 cos A＝
________，b＝________.
【答案】 4或5
【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝，∴4＝，∴cos A＝.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－
2bccos A，得16＝b2＋36－2b×6×，b2－9b＋20＝0，解得b＝4或b＝5.
8.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则a＋b＝________.
【答案】
【解析】 由(3b－a)cos C＝ccos A，得3sin Bcos C－sin Acos C＝sin Ccos A，即3sin Bcos C＝sin
Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，又sin B≠0，所以cos C＝，得sin C＝.由S ＝absin C＝3，得
△ABC
ab×＝3，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得ab＝a2＋b2－
ab.
∴a2＋b2＝ab＝×9＝15，即a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝.
9.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的
面积为________．
【答案】
【解析】因为a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可
得abc＝2c，所以ab＝2.故S ＝absin C＝×2sin ＝.
△ABC
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A(sin C－cos C)＝cos B，a＝2，c＝，则角C
的大小为 ．
【答案】
【解析】因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos (A＋C)，所以cos Asin C＝
sin A sin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，
又A∈(0，π)，所以A＝，又＝，即＝，所以sin C＝，因为c
