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大题保分练 1
1．(2022·广东六校联考)在①b＝；②sin B＋sin C＝2sin A；③bc＝10这三个条件中任选
一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出△ABC的面积；若问题中的三角形
不存在，请说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3sin(A＋B)＝csin ，a
＝3，__________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 ∵3sin(A＋B)＝csin ，a＝3，
∴asin(A＋B)＝csin ，
由正弦定理知sin Asin(A＋B)＝sin Csin ，
又A＋B＋C＝π，
∴sin Asin C＝sin Csin ＝sin Csin
＝sin Ccos ，
又sin C≠0，∴sin A＝cos ，
即2sin cos ＝cos ，
而cos ≠0，∴sin ＝，
又A∈(0，π)，故＝，即A＝.
选①：b＝，a＝3，
由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin B＝，又b<a，
∴B＝，则C＝.
∴△ABC的面积S＝ab＝.
选②：sin B＋sin C＝2sin A，
由正弦定理得b＋c＝6，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即b2＋c2－bc＝9，
联立
得解得b＝c＝3，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝.
选③：bc＝10，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即b2＋c2－bc＝9，
消去c，整理得b4－19b2＋100＝0，
此时Δ＝(－19)2－4×100＝－39<0，
故方程无实数根，
∴选条件③时，三角形不存在．
2．(2022·南通调研)设S 是等比数列{a}的前n项和，a＝1，且S，S，S 成等差数列．
n n 1 1 3 2
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)求使S≤3a 成立的n的最大值．
n n
解 (1)设等比数列{a}的公比为q，则q≠0，
n
由2S＝S＋S⇒2(1＋q＋q2)＝1＋1＋q
3 1 2
⇒2q2＋q＝0⇒q＝－，
故a＝aqn－1＝n－1.
n 1
(2)S＝＝×，
n
则×≤3×n－1，
整理得n≤－，
当n为偶数时，n>0，不符合题意；
当n为奇数时，n＝－n，
可得n≥＝3，可得n≤3.
因此，n的最大值为3.
3．(2022·张家口模拟)已知某区A，B两所初级中学的初一年级在校学生人数之比为9∶11，
该区教育局为了解双减政策的落实情况，用分层抽样的方法在A，B两所学校初一年级在校
学生中共抽取了100名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如图所
示的频率分布直方图．
(1)在抽取的100名学生中，A，B两所学校抽取的人数分别是多少？
(2)该区教育局想了解学生做作业的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)和做作业时长超过3小时的学生比例，请根据频率分布直方图，估计这两个数值；
(3)另据调查，这100人中做作业时间超过3小时的人中有20人来自A中学，根据已知条件
填写下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为做作业时间超过3
小时与学校有关．
做作业时间超过3小时 做作业时间不超过3小时 总计
A校
B校
总计
附表：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
0
附：K2＝.
解 (1)设A，B两所学校抽取的人数分别为x，y，
由已知可得解得
故A，B两所学校抽取的人数分别为45,55.
(2)由频率分布直方图可知，该区学生做作业的平均时长的估计值为
0．5×(1.25×0.1＋1.75×0.3＋2.25×0.4＋2.75×0.6＋3.25×0.3＋3.75×0.2＋4.25×0.1)＝
2.675(小时)．
由0.5×(0.1＋0.2＋0.3)＝0.3，可知有30%的学生做作业时长超过3小时．
综上，估计该区学生做作业的平均时长为 2.675小时，该区有30%的学生做作业时长超过3
小时．
(3)由(2)可知，有30%×100＝30(人)做作业时间超过3小时．
故填写列联表如下(单位：人)：
做作业时间超过3小时 做作业时间不超过3小时 总计
A校 20 25 45
B校 10 45 55
总计 30 70 100
根据列联表中的数据，经计算得到
K2＝≈8.13>6.635，
因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为做作业时间超过3小时与学校有关．
4．(2022·咸阳模拟)在平面直角坐标系中，⊙C的圆心C(1,2)，半径为2，以O为极点，x轴
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)．(1)求⊙C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与⊙C相交于A，B两点，求线段AB的长．
解 (1)由题意得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，
根据极坐标与直角坐标的互化公式，
可得⊙C的极坐标方程为(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－2)2＝4，
化简得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋1＝0，
又由直线l的极坐标方程是θ＝(ρ∈R)，可得直线l的直角坐标方程为y＝x.
(2)设A，B的极坐标分别为A，B，
将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋1＝0，
整理得ρ2－3ρ＋1＝0，
所以ρ＋ρ＝3，ρρ＝1，
1 2 1 2
所以|AB|＝|ρ－ρ|＝＝＝.
1 2
