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4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
2．诱导公式
角
2kπ＋
α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos α
－cos α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π
2 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的
变化.
[常用结论]
基本关系
常用变形
平方关系
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，cos2α＝1－sin2α＝(1
＋sin α)(1－sin α)
商数关系
sin α＝tan αcos α
和积互化
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α
弦切互化
sin2α＝＝，
cos2α＝＝，
sin αcos α＝
＝，其中α≠＋kπ，k∈Z
考点一 知一求二的问题
考点二 sinα±cosα 与sinα·cosα 的关系
考点三 齐次式的问题
考点四 诱导公式综合应用
考点五 同角三角函数基本关系式与诱导公式综合
考点一 知一求二的问题
1．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）已知
，且
，则
______.
【答案】
【详解】由
，
，可得
，
则
，
，
则
.
2．（2026·山东泰安·三模）已知
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系求出
，
，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可
求解.
【详解】因为在
中，
，
，
所以
，
，
因为
，
为锐角，所以
，
若
，则
为钝角，又
可知，
，此时
，矛盾，
故
，则
.
3．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接由同角三角函数关系式及两角和的正弦公式可得.
【详解】因为
，因此
，由同角三角函数基本关系式
，
且
，得
，
根据正弦和角公式
.
4．（25-26 高三上·江西上饶·阶段检测）在
中，记
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为
是三角形内角，因此
.
若
，结合
可得
，此时
，因此充分性成立；
若
，结合
可得
或
，
当
时，
，因此必要性不成立.
综上，
是
的充分不必要条件.
5．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，则
，故
.
6．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是三角形的内角，且
，求
的值．
【答案】
【详解】由
，得
，
将其代入
，得
，
∴
，由于
为三角形内角，故
，又
，故
，
∴
，
，故
．
考点二 sinα±cosα 与sinα·cosα 的关系
7．（25-26 高三上·上海·期中）若
，则
___________
【答案】
【详解】
，所以
8．（25-26 高三上·上海静安·期中）已知
，化简
的结果是________．
【答案】
【详解】因为
，所以
，即
.
所以
.
9．（25-26 高二·全国·暑假作业）已知
，
，则
________，
________．
【答案】
/
/
【分析】利用
、
与
的关系，结合
所处象限可得空一；结合所得可求出
、
，
再利用同角三角函数基本关系可得空二.
【详解】由
，平方得
，
即
，所以
，
又因为
，所以
，
，
则
，所以
；
由
，
，
则
，
，
故
.
10．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
，
，则下列选项中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
两边同时平方，整理得
，解得
，D 正确；
因为
且
，则
，
，A 正确；
由
，得
，
，C 正确，B 错误．
11．（25-26 高三上·江西南昌·期中）已知
，求下列各式的值.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角的三角函数关系式可得；
（2）根据
关系可得.
【详解】（1）由
，两边平方可得：
，
解得：
；
（2）由
，
因
，且
，故
，则
，
故
.
12．（25-26 高三上·重庆·期中）（多选）已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由
，两边平方即可判断A 项；利用A 项结论及
可得
，再利用
平方关系即可求出
即可判断B；将
与
的值联立求出
即得C，D 项．
【详解】
，
，解得
，故A 正确；
，
，
，
，
，故B 错误；
，解得
，
，故C 正确；
，故D 正确．
考点三 齐次式的问题
13．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，则
的值为_______；
【答案】
/
【详解】因为
，所以
.
14．（2026·福建龙岩·三模）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】结合二倍角公式和同角三角函数的基本关系求值.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
即
.
15．（2026·陕西榆林·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，得
，解得
，
所以
.
16．（25-26 高三上·陕西渭南·期中）已知
，
为第三象限角，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分子、分母同除以
，并代入
的值可得；
（2）（3）利用
，构造关于
的齐次分式，分子、分母同除以
，再代入
的值
可得.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
.
17．（2026 高三·全国·专题练习）已知
是三角形的内角，且
．求：
(1)
；
(2)
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解.
【详解】（1）由题可知：
，
．
（2）由题可知：
，
．
18．（25-26 高三上·广西钦州·期中）已知
，则
的值（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角公式化简求解即可.
【详解】由
，得
，即
，
所以
.
考点四 诱导公式综合应用
19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角
的终边过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可.
【详解】因为角
的终边过点
，所以
，
所以
.
20．（山西2026 届高三大联考（5 月25-27）数学试题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题设
.
21．（25-26 高三上·黑龙江伊春·期中）化简
【答案】
【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可．
【详解】
．
22．（25-26 高三上·安徽阜阳·期末）已知角
以
轴的非负半轴为始边，
为终边上一点.
(1)求
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据角α 终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出
、
，代入目标式计算即可；
（2）利用三角函数诱导公式化简原式为
，再结合终边上点的坐标求
的值.
【详解】（1）点
到坐标原点的距离
，
根据任意角三角函数的定义：
，
，
代入得
；
（2）利用诱导公式化简原式：
分子部分：
，
，
，
，
因此分子
，
分母部分：
，
，
，
因此分母
，
约分化简得原式
，
根据定义
.
23．（25-26 高三上·上海·阶段检测）若
，则
___________
【答案】
【详解】
，
.
24．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）已知函数
.
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，
，且
，
均为锐角，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
.
（2）
，即
，
.
（3）因为
，
均为锐角，所以
，
因为
，
，
所以
，解得
.
考点五 同角三角函数基本关系式与诱导公式综合
25．（25-26 高三上·陕西西安·阶段检测）（1）
（2）已知
，角
，求
的值.
【答案】（1）26；（2）
【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则计算出答案；
（2）先由
，齐次化变形，结合
的范围，求出
，利用诱导公式化简，结合同角三角函数
关系，求出答案.
【详解】（1）
；
（2）因为
，所以
，则
，
解得
或
，
因为角
，所以
，故
，
所以
26．（25-26 高三上·江苏南京·期末）设
.
(1)若
，求
的值：
(2)若
，且
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法求解.
（2）由
，结合
的关系列式求解.
【详解】（1）依题意，
，由
，得
，解得
，
所以
.
（2）由
，得
，则
，
由
，得
，
所以
.
27．（25-26 高三上·广东广州·期末）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴的非负半轴重合.
(1)若
为角
终边上一点，求
的值；
(2)若
为第三象限角，化简
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简式子，利用同角三角函数关系中的商关系、三角函数的定义进行求解即可；
（2）根据同角三角函数关系，结合三角函数值正负的性质进行运算即可.
【详解】（1）
，
因为
为角
终边上一点，
所以
，代入上式，
得
（2）
，
因为
为第三象限角，
所以
，
所以
.
28．（25-26 高三上·广西柳州·期中）已知
(1)若角
的终边过点
，求
；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据诱导公式化简，即可由三角函数的定义求解，
（2）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）
若角
的终边过点
，则
，
所以
（2）若
，
所以
29．（25-26 高三上·湖北武汉·期末）已知角
以x 轴的非负半轴为始边，
为终边上一点．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义先计算出
的值，然后利用齐次式的运算化简原式，代入
的值可求结
果；
（2）利用诱导公式直接化简原式，然后代入
的值可求结果.
【详解】（1）因为
为角
终边上一点，所以
，
所以
；
（2）
.
30．（25-26 高二下·湖南衡阳·期中）已知角θ 的终边与单位圆相交于点
．
(1)
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知条件，运用三角函数的几何性质计算求解；
（2）利用二倍角公式求出
，再利用两角和的余弦公式计算求解；
（3）根据三角函数的性质，化简已知代数式并计算求解．
【详解】（1）
角θ 的终边与单位圆相交于点
，
，
．
（2）
，
，
．
（3）
．
1．（2026·辽宁朝阳·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先应用两角和正弦公式得出
，再结合同角三角函数关系及二倍角正弦公式求解.
【详解】由
，得
，则
，
所以
，即得
，
由
，得
．
2．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
.
3．（25-26 高三下·广东东莞·阶段检测）已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件结合两角差的正弦公式可得
，根据平方关系求
，再根据二倍角余弦
公式及两角和余弦公式求结论.
【详解】因为
，又
，
所以
，即
，
又
，
所以
，
因为
，所以
，
，
所以
，
所以
.
4．（25-26 高三上·上海·阶段检测）若
，则化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
.
则
.
5．（25-26 高三上·江西南昌·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式，即可求得答案.
【详解】因为
，所以
，则
.
6．（25-26 高三上·山东日照·期中）已知
是第二象限角，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式得出
的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可.
【详解】因为
是第二象限角，且
，
所以
，
故
.
7．（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】本题考查三角恒等变换,结合已知
,利用半角公式、二倍角公式、齐次式化简方法逐一验证选项即
可.
【详解】选项A：设
,则
,代入
得
,整理得
,解得
,
有
两个可能取值,故A 错误.
选项B：
,故B 正确.
选项C：
,代入得
,故C 正确.
选项D：
,代入得
,故D 错误.
8．（25-26 高三上·云南·开学考试）（多选）已知
为锐角，且
，则下列选项正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】∵
，
∴
，
∵
为锐角，
∴
，A 正确；
∵
，两边同时平方得
，
∴
，B 正确；
∵
，又
为锐角，
∴
，C 错误；
联立
与
可得
，
，故
，D 正确．
9．（2026 高三·全国·专题练习）
______．
【答案】
【详解】
．
10．（2026·湖南湘潭·二模）已知
，
，则
______.
【答案】
/
【详解】由
，
因为
，所以
，则
，
由
，解得
，
，
则
.
11．（25-26 高三上·北京·期中）已知角
的始边与
轴的正半轴重合，终边过定点
．
(1)求
(2)求
的值．
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角函数的定义求出
，再利用二倍角的正切公式求出
;
（2）先利用诱导公式对原式进行化简，再结合三角函数的定义求出
和
的值，最后代入化简后的式子求
值;
（3）利用诱导公式将
和
进行变形，再结合已知条件求解.
【详解】（1）已知角
的终边过定点
，所以
,
.
（2）角
的始边与
轴的正半轴重合，终边过定点
，则
，
所以
．
所以
（3）因为
，
所以
所以
．
12．（25-26 高三上·上海·期中）已知角
终边上一点
，
(1)求
、
的值；
(2)化简
并求值．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解；
（2）根据诱导公式，及两角差的余弦公式即可化简求值．
【详解】（1）由角
终边上一点
，则
，
．
（2）
．
13．（25-26 高三上·山东潍坊·期中）已知
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式将已知条件化简为
，再对等式两边平方，结合同角三角函数的平
方关系，直接求出
；
（2）由（1）的结果，先通过
求出
的值，再联立方程组解出
和
，最后将其代
入目标式计算出结果．
【详解】（1）因为
，
且
，
，
所以
，
所以
，即
，
所以
，解得
；
（2）由（1）得
，
又因为
，所以
，
，所以
，
所以
，
由
，解得
，
所以
．
14．（25-26 高三上·甘肃酒泉·期中）已知函数
．
(1)化简
；
(2)若
，且
，求
及
的值．
【答案】(1)
；
(2)
，
【分析】（1）利用诱导公式化简整理，即可求得答案.
（2）利用（1）的结果和同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.
【详解】（1）
．
（2）因为
，所以
，
所以
．
所以
．
因为
，所以
，所以
，即
．
所以
．
15．（25-26 高三上·上海·期末）已知角
满足
．
(1)求
；
(2)若
是第四象限角，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将已知等式两边平方，结合同角的正余弦的平方和为1，可求解.
（2）结合（1）求得
的值，结合
是第四象限角，进而可求解.
【详解】（1）由
，得
，
所以
，所以
，
所以
.
（2）因为
是第四象限角，所以
，所以
，
又
，
所以
.
16．（25-26 高三上·江西南昌·阶段检测）平面直角坐标系中，若角
的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在射线
上．
(1)求
和
的值；
(2)若
，化简并求值．
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可；
（2）利用诱导公式化简
，并结合齐次式问题分析求解.
【详解】（1）由题意，角
的终边在射线
上，可取角
的终边上一点为
，
则
，
.
（2）由
，
由（1）可知：
，
所以
.
