文档文本内容
4.1 三角函数的概念、诱导公式
目录
01 课标要求..........................................................................................................................................2
02 落实主干知识..................................................................................................................................3
一、任意角与弧度制............................................................................................................................3
二、任意角的三角函数........................................................................................................................4
三、三角函数的诱导公式....................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................5
03 探究核心题型..................................................................................................................................6
题型一：角及其表示............................................................................................................................6
题型二：弧度制及其应用....................................................................................................................7
题型三：三角函数的概念....................................................................................................................9
题型四：同角三角函数基本关系式....................................................................................................9
题型五：诱导公式..............................................................................................................................10
题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用..........................................................11
题型七：割圆术问题..........................................................................................................................12
04 好题赏析........................................................................................................................................15
05 数学思想方法................................................................................................................................17
①数形结合..........................................................................................................................................17
②转化与化归......................................................................................................................................18
③分类讨论..........................................................................................................................................18
06 课时精练（真题、模拟题）......................................................................................................19
基础过关篇..........................................................................................................................................19
能力拓展篇..........................................................................................................................................22
1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2、借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3、理解同角三角函数的基本关系式.
4、掌握诱导公式，并会简单应用.
一、任意角与弧度制
1、各种角的集合：
角的集合
角度制
弧度制
①与角
终边相
同的角的集合(含角
)
②终边在
轴的
非负半轴上的角的集
合
③终边在
轴上
的角的集合
④终边在坐标轴
上的角的集合
⑤终边在第一(二
三四)象限的角的集合
2、注意角
与角
及
的象限关系．
（1)图中序号表示角
的象限，序号所在区域为角
(或
）的终边所在区域．
（2）由角
的象限推理角
及
的象限，列不等式对
进行赋值判断即可．
3、角度与弧度的互化公式：①
，②
，③
4、①弧长公式：
，
②扇形面积公式：
，其中
．
二、任意角的三角函数
1、任意角的三角函数的定义：
(1)借助单位圆来定义
设
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
，
则：
，
，
．
(2)设角
终边上任意一点
的坐标为
，它到原点的距离为
，
则：
，
，
．
①定义域、值域：
，
定义域都是
，值域都是
；
定义域是
，
值域为
．
②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
③
点又可表示为
，在已知
或
的情形下使用，这将给解题带来方便．
2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：
，
，
(如下图)．
3、同角三角函数的基本关系式：
(1)平方关系：
；
(2)商数关系：
．
三、三角函数的诱导公式
1、诱导公式
公
式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k ∈
π +α
−α
π−α
π
2 −α
π
2 +α
正
弦
sinα
−sinα
−sin
sinα
cosα
cosα
余
弦
cosα
−cosα
cosα
−cos
sinα
−sinα
正
切
tan α
tan α
−tan
−tan
口
诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看
象限
2、“奇变偶不变，符号看象限”
(1)奇、偶是指
中的
奇偶．
奇函数名改变，
偶函数名不变
①正弦和余弦互相变，
②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导．
(2)默认
为第一象限角
(3)观察
整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况．
常用二级结论
1、三角完全平方公式
①
②
③
2、齐次式转化
①一次分式齐次
同除以
进行弦化切．
②二次整式齐次
除以1
，再除以
进行弦化切．
题型一：角及其表示
【典例1-1】已知角
的终边在图中阴影部分内，则角
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【典例1-2】若角
，
，则符合条件的角
的最大负角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解题总结】
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的
集合，然后通过集合中的参数
赋值来求得所需的角.
(2)确定
(k∈N*)的终边位置的方法是先写出
或
的范围，然后根据k 的可能取值确定
或
的终边所在的位置.
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角
B．若
是钝角，则
是第一象限角
C．大于
的角一定是钝角
D．若
是锐角，则
是第二象限角
【变式1-2】下列命题：
①第四象限的角可表示为
；
②第二象限角大于第一象限角；
③将表的分针拨快10 分钟，则分针转过的角为
；
④若
是第二象限角，则
的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式1-3】角
对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ）
A．
，第一象限
B．
，第一象限
C．
，第二象限
D．
，第二象限
【变式1-4】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数
，设
的始边是
轴的非负半轴，且
，若关于
的方程
在
内有解，则
的终边不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
题型二：弧度制及其应用
【典例2-1】在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上从
出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1
rad，则经过3 秒，M 的位置为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【解题总结】
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）高为2 的圆锥的侧面展开图是圆心角为
的扇形，则此圆锥的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其
中一个是
的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知
，
，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·广西南宁·模拟预测）某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24 块，
店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8 块，再按照右图将每个
角蛋糕近似的均分成三块，
从弧
的中点B 出发，左右对称各切1 刀，已知右图中
，则
的长度约
为（ ）
（其中
，计算结果小数点请保留到
）
A．
B．
C．
D．
【变式2-4】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中
和
均以
为圆心，
．若
，
，且
（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：三角函数的概念
【典例3-1】（2025·云南·模拟预测）已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边经过
点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【解题总结】
设角
终边上任意一点
的坐标为
，它到原点的距离为
，
则：
，
，
．
【变式3-1】已知角
终边上一点
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．±1
D．
【变式3-2】设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：同角三角函数基本关系式
【典例4-1】若
，
，则
.
【典例4-2】若
，则
，
．
【解题总结】
齐次式转化
①一次分式齐次
同除以
进行弦化切．
②二次整式齐次
除以1
，再除以
进行弦化切．
【变式4-1】已知
，则
．
【变式4-2】（2025·四川南充·一模）已知
，则
．
【变式4-3】已知
，则
；
．
题型五：诱导公式
【典例5-1】已知
，则
．
【典例5-2】（2025·上海徐汇·三模）已知
，且
，则
.
【解题总结】
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
【变式5-1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若
，则
．
【变式5-2】（2025·北京大兴·三模）已知函数
，若
对任意
都成立，则
满足条件的一个实数
的值是 .
【变式5-3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为 .
【变式5-4】（2025·山东·模拟预测）已知等差数列
的前
项和为
，满足
，则
.
【变式5-5】（2025·山东泰安·三模）数列
的通项公式为
，则
.
题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【典例6-1】（多选题）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【典例6-2】（多选题）已知角
满足
，则
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【解题总结】
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的
联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【变式6-1】（多选题）在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函
数：定义
为角
的正矢，记作
，定义
为角
的余矢，记作
．下列说法正确
的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．函数
的最大值为
【变式6-2】（多选题）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】（多选题）已知
，且
为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型七：割圆术问题
【典例7-1】（2025·安徽宣城·二模）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n
很大时，用圆内接正
边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率
．在《九章
算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限
思想．运用此思想，当
取
时，可得
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7-2】（2025·高三·山东聊城·期中）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:
当
很大时，用圆内接正
边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率
.在《九
章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极
限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当
取3.1416 时可得
的近似值为
（ ）
A．0.00873
B．0.01745
C．0.02618
D．0.03491
【解题总结】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍
增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周
率。
【变式7-1】如图当
时，圆内接正六边形的周长为
，故
，即
.运用“割圆术”的思想，
下列估算正确的是（ ）
A．
时，
B．
时，
C．
时，
D．
时，
【变式7-2】圆周率
、自然对数的底数e 是数学中最为神奇的两个常数.人类研究
的历史悠久并创造了
辉煌的成就.为了得到精确度更高的圆周率，一代代数学家付出过许多艰苦的努力.中国古代数学家刘徽曾
用“割圆术”计算圆周率，得到
．以正n 边形的周长近似表示其外接圆周长时，可得
的近似
值.
与n 的关系为：
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-3】公元3 世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先
在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于
圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正
边
形，使用刘徽割圆术，得到
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-4】在3 世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥
少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可
以视为将一个圆内接正
边形等分成
个等腰三角形（如图所示），当
越大，等腰三角形的面积之和越
近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19 世纪德国工程师勒洛的
名字命名的勒洛三角形．勒洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C 为圆心，线段
AB 长为半径画圆弧，便得勒洛三角形如图所示，若勒洛三角形的周长为
，则其面积是
A．
B．
C．
D．
2．角
的终边在直线
上，则
的值是
A．
B．
C．
D．
3．已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积S 的最大值为
A．
B．
C．
D．
①数形结合
1．2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日
历史上，求圆周率
的方法有多种，与中国传统数
学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形
的周长和外切正6n 边形各边均与圆相切的正6n 边形的周长，将它们的算术平均数作为
的近似值．
按照阿尔卡西的方法，
的近似值的表达式是
A．
B．
C．
D．
2．如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，
是锐角，大小为
，图中阴影区
域的面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆
弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角
，若“弦”为
，
“矢”为1 时，则
等于
A．1
B．
C．
D．
②转化与化归
4．已知
是互不相同的锐角，则在
三个值中，大于
的个数的
最大值是
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
5．已知动点A 从
出发，沿单位圆顺时针运动，经过
后落在角
的终边上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
A．
B．
C．
D．
③分类讨论
7．若
是第三象限角，则
的值为
A．0
B．2
C．
D．2 或
8．以坐标原点为顶点，x 轴非负半轴为始边的角
，其终边落在直线
上，则
A．
B．
C．
D．
9．已知角
的终边与单位圆交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
基础过关篇
1．（2025 年高考天津卷数学真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2022 年新高考浙江数学高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
5．（2022 年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录
了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，
是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在
上，
．“会圆术”给出
的弧长的近似值s 的计算公式：
．当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 年高考北京卷数学真题）已知
，且
，
.
写出满足条件的一组
的值
，
．
7．（2023 年高考全国乙卷数学（文）真题）若
，则
．
8．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为
，其侧面展开图是一个圆心角为
的扇形，则该圆锥
的底面半径为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图
甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧
，
所在圆的半径分别是3 和
6，且
，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）
A．高为
B．体积为
C．表面积为14π
D．轴截面面积为
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角
的顶点与原点
重合，始边与
轴的
非负半轴重合，终边经过点
，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
12．（2025·河北·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·广西柳州·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
14．（2025·河南许昌·三模）已知向量
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（多选题）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）已知
，
，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）（2025·云南大理·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知
，则
的值等于 ．
20．已知
，
，则
．
21．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．
主动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为
（转/分），被动轮的半径为
，则被动轮
周上一点每
转过的弧长是
．
22．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系
中，角
以
为始边，其终边与单位圆交点的横坐
标为
，写出一个符合题意的
.
23．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为
，侧面积为
，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心
角的大小为 .
24．（2025·甘肃白银·二模）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边经过点
，则
.
能力拓展篇
25．（2025·吉林长春·模拟预测）已知点
在圆
上运动，若过点
可以作曲线
的切线，则点
的轨迹长度是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2025·湖南岳阳·模拟预测）曲线
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系
中，已知点
，若点
绕原点顺时针旋转
到
点
，则点
的横坐标为 ．
