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4.7 正弦定理与余弦定理
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin
C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)＝＝2R
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a 上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)；
(4)S＝.
3．测量中的几个常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一
铅垂平面内)所成的角中，目标视线
在水平视线上方的叫做仰角，目标
视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方
向到目标方向线之间的夹角叫做方
位角，方位角θ 的范围是[0,2π)
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所
成的小于90°角，通常表达为北(南)
偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
[常用结论]
1．三角形中的边角关系
在△ABC 中，大边对大角，大角对大边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cosB．
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
3．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acosB．
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
考点二 正弦定理边角互化的应用
考点三 余弦定理边角互化的应用
考点四 三角形的面积问题
考点五 判断三角形解的个数问题
考点六 判断三角形形状的问题
考点七 利用正弦余弦定理解决测量问题
考点一 利用正弦余弦定理解三角形
1．（25-26 高三上·吉林长春·期中）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．30°
B．45°
C．135°
D．45°或135°
【答案】B
【分析】利用正弦定理求出sinB 的值，再结合大边对大角的性质排除不符合题意的解，即可得到角B 的大小.
【详解】在
中，
，
，
，由正弦定理得
,
所以
，得
，
因为
，所以
，
因为
，所以
.
2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在
中，
，
，则
______
【答案】4
【详解】由正弦定理可得
，故
，所以
.
3．（25-26 高三上·山西·阶段检测）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，而
，
由正弦定理得
，于是
．
4．（25-26 高三上·江苏徐州·阶段检测）
中，
，
，
，则
边上的高为_________
【答案】
/
【详解】因为
，
，
，
由余弦定理得
，
整理得
，解得
，
设
边上的高为，由等面积可得
，
解得
.
5．（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
且
，则△ABC 的面积为________．
【答案】
【分析】根据题目条件与余弦定理求出边长，再使用面积公式求出面积.
【详解】由余弦定理得
，
解得
（负值舍去），所以
．
又因为
，所以
，
所以△ABC 的面积为
．
6．（25-26 高三上·广东肇庆·期中）
中，
，
，
，则
______．
【答案】3
【详解】设
，在
中，根据余弦定理：
，
代入已知条件得
.
整理得
，解得
（
为负，舍去），因此
.
考点二 正弦定理边角互化的应用
7．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·期中）已知
的内角
的对边分别为
，满足
，且
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理及三角变换公式可得
，结合题设条件可得
，从而可构建关
于
的方程，故可求
的值.
【详解】因为
，由正弦定理可得
，而
，
故
即
，
所以
，
由题设条件可知
均不为直角，故
，故
，
而
所以
，
故
，
而
，解得
，若
，则
均为负，
则
都为钝角，这与
为三角形内角矛盾，故
，
而
为三角形内角，故
.
8．（25-26 高三上·云南文山·阶段检测）在
中，
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
的周长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【详解】
，
，
由正弦定理，得
，
即
，
，
，
.
的周长为
．
9．（25-26 高三上·重庆·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，
若
，则
__________.
【答案】
【详解】由正弦定理可得
，
展开可得
，
即
，而
为三角形内角，
所以
或
（舍，因为
与题设矛盾），
所以
，
所以
10．（25-26 高三上·江西上饶·期中）在
中，角
的对边分别是
，若
，
，
，则
______．
【答案】
【分析】先利用正弦定理将边化角，结合三角恒等变换化简已知等式求出角
；再由三角形面积公式结合已知条
件求出边；最后利用余弦定理计算出边
的值．
【详解】因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
化简得
，所以
，又
，所以
．
所以
，解得
，
由余弦定理得
，所以
．
11．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
则
（ ）
A．
B．9
C．
D．1
【答案】C
【分析】利用正弦定理可得
，结合三角恒等变换运算求解.
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
且
，
即
，
整理可得
，所以
.
12．（2026·吉林延边·二模）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，满足
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数两角和差公式化简等式，求出角
与角
的关系，最后结
合二倍角公式，即可求解.
【详解】由题意，
，
根据正弦定理，可得
，
化简得
，
即
，
又
，所以
，
所以
，
所以①
，即
，不符合题意，
②
，即
，
所以
，
又
，所以
.
考点三 余弦定理边角互化的应用
13．（25-26 高三上·吉林长春·期中）在△ABC 中，若
，且满足
，则
△ABC 的面积等于（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】C
【分析】先根据正弦定理及余弦定理求出
，从而得到
，再根据数量积的定义得到
，进而根据三角
形的面积公式即可求解．
【详解】由
，
则由正弦定理有
，即
则由余弦定理有
，
又在△ABC 中，
，则
，
又
，即
，
所以△ABC 的面积为
．
14．（25-26 高三上·重庆·期中）在
中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，面积为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】由
代入，结合余弦定理即可求解．
【详解】由
可得
，
由余弦定理
，
则
．
15．（25-26 高三下·河南·阶段检测）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘
积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果.
【详解】依题意，
，由正弦定理得，
，
所以
，由余弦定理可得，
，
即
，所以
，
即
，又因为
，所以
.
16．（25-26 高三上·湖北荆州·阶段检测）在
中，角
所对的边分别为
，
，
，若
的面积为
，则
______．
【答案】
【分析】由余弦定理先求得
，根据
求得
，进而求得
，再根据正弦定理得出
，设
，由三角形面积公式列出方程即可求解．
【详解】由
和余弦定理，可得
，
因
，则
，
又由
可得
，
因
，则
，
由正弦定理得，
，设
，
则
，解得
（负值舍去），
所以
．
17．（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
且a
b，则
______.
【答案】1
【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c.
【详解】根据余弦定理得：
，
即
，整理得
，
即
，因为
，所以
.
18．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）在斜
内，内角
所对的边分别为
，若
，
则
_____________．
【答案】
【分析】根据三角恒等变换得
，再根据余弦定理，正弦定理角化边得
，最后根据已知条件即可求得答案.
【详解】因为
，所以
所以
因为
，
，
为
外接圆半径，
所以
因为
，
所以，
考点四 三角形的面积问题
19．（25-26 高三上·江苏扬州·阶段检测）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，
为
的面积，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在
中，由余弦定理得
，
三角形面积
，则
，
即
，
，
，
，
．
20．（25-26 高三上·安徽阜阳·阶段检测）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
的面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解.
【详解】由题意及三角形的面积公式，得
，即
，解得
，
根据余弦定理得
，即
，
所以
的周长为
．
21．（2026·山西·二模）记
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，.已知
，且
，
则
的面积为________.
【答案】
【详解】由正弦定理得
，
.
则
.
，
的面积是
.
22．（2026·河南开封·模拟预测）在
中，
，
，
，则
____________，
的面积为____________．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和求出角
，通过角度恒等变换关联
，结合和差角公式得到正切乘积，再结
合正弦定理与面积公式求解三角形面积.
【详解】由
，
，可得
，即
，故
.
则
，
，所以
，
因此
.
又
，
联立
,
解得
，
，
则
.
由
，结合正弦定理与三角形面积公式，
.
23．（25-26 高三上·江苏·期中）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，．已知
，
，则
的面积为______．
【答案】
【分析】利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求得正确答案.
【详解】依题意，
，
由正弦定理得
，
所以
，
由于
，
所以
为钝角，故
，
所以
，
所以
.
24．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在
中，内角
的对边分别是
，若
，
，则
的面积最大值为___________．
【答案】
【分析】由已知条件可得
，进而可得
，利用余弦定理结合基本不等式可得
，最后根据
求出三角形面积最大值.
【详解】解：由
，则
，
化简整理得
，即
，
则
，此时
，则
，
或
，
，则
，在三角形中不合题意，
因此，
，
由余弦定理可得
，又
，代入化简得
，
由基本不等式可知
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
因此，
的面积最大值为
.
考点五 判断三角形解的个数问题
25．（25-26 高三上·河南南阳·期中）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若a＝2，
，满足条
件的△ABC 有两个，则b 可能为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】已知边a 与其对角A，求边b 可利用正弦定理，建立边b 与角B 之间的关系，因为△ABC 有两个，故角B
有两个，根据正弦函数图象确定范围即可．
【详解】由正弦定理可得：
，因为a＝2，
，
故
，故
，
因为△ABC 有两个，故存在两个不同的角B 满足题意，
则
（否则角B 不满足有两个三角形的条件），
（否则B 只能有直角一个值），
故
且
，则
，
故
，解得
．故只有B 选项符合题意．
26．（25-26 高三上·上海宝山·期中）下列条件判断三角形解的情况，正确的是（ ）
A．
，有两解
B．
，有一解
C．
，无解
D．
，有一解
【答案】D
【详解】对于A,由正弦定理
，则
，
则三角形是直角三角形，只有1 解，故A 错误；
对于B,由正弦定理
，则
，
，故
，
可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B 错误；
对于C,由正弦定理
，则
，
，故
，三角形只有1 解，故C 错误；
对于D,
，
为钝角且
，故
必为锐角，
三角形有1 解，故D 正确．
27．（25-26 高三上·河南驻马店·期中）在
中，
，
，满足此条件的
有两解，则
的
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在
中，
，
.
有两解的充要条件是：
得
，即
.
28．（25-26 高三上·吉林长春·期中）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
解的个数为________．
【答案】1
【分析】根据题意，利用正弦定理，求得
，结合
，得到
只有一解，即可得到答案.
【详解】在
中，因为
，
由正弦定理
，可得
，
因为
，所以
只有一个解，所以
解的个数为1 个.
29．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·期中）在
中，角
，
，
对应的边分别为
，
，，已知
，
，若
有两解，则
的取值范围是_______________（写成区间的形式）
【答案】
【分析】判断出三角形有两解时分析A 的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a 的范围即可．
【详解】根据正弦定理，
，则
.
有两解，则角
有两个不同的取值.
因为
，所以存在两个不同的
对应同一个
，
因此
，即
，
因此
的取值范围是
.
30．（25-26 高三上·江苏泰州·期中）在
中，
，
，若满足上述条件的
恰有一解，则边长
的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意
或
即可求解.
【详解】如图，在平面内作出角
，在其中一条边上取点
，以点
为圆心，
为半径画圆，
若满足条件的
恰有一解，
则
或
，已知
，
，
当
时，
；
当
时，
，
所以边长
的取值范围为
.
考点六 判断三角形形状的问题
31．（25-26 高三上·河北石家庄·阶段检测）（多选）设
内角
，
，
的对边分别为
，
，，则下列条
件能判定
是等腰三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用正弦定理、三角形内角和性质、三角恒等变换，将各选项的边化角推导角或边的关系，判断是否一
定为等腰三角形可得.
【详解】选项A：由正弦定理得
，即
，又
，
所以
或
，即
或
，
因此
为等腰三角形或直角三角形，不能判定为等腰三角形，故A 错误.
选项B：由正弦定理得
，
，则
，
所以
，又正弦定理得
，即
.
所以
为等腰三角形，故B 正确.
选项C：由正弦定理得
，结合
，
化简得
，所以
或
，且
，
所以
或
，因此三角形为直角三角形或等腰三角形，
故不能判定
一定为等腰三角形，故C 错误.
选项D：由正弦定理得
，结合
，
化简得
，又由
，得
，
所以
，即
，因此
为等腰三角形，故D 正确.
32．（25-26 高二下·广东广州·期中）（多选）在
中，下列命题正确的（ ）
A．若
，则
是等腰三角形
B．若
，则
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
，则
为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】对于A，利用余弦定理化简即可判断；对于B，利用正弦定理与三角形边角关系即可判断；对于C，利用
和角的正切公式化简得
即可判断；对于D，利用正弦函数图象的性质结合角的范围即可判断.
【详解】对于A，由
和余弦定理，可得
，
化简得
，即
，故
是等腰三角形，A 正确；
对于B，由
，得
，再由正弦定理
，可得
，故B 正确；
对于C，因为
，
所以
，
若
，则
,
因
,则
中必有一个是钝角，故
为钝角三角形，即C 正确；
对于D，因
,由
，则
或
，
即
或
，故
为等腰三角形或直角三角形，故D 错误.
33．（25-26 高三上·江苏镇江·期中）（多选）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
为钝角三角形
C．若
，则
为直角三角形D．若
为锐角三角形，则
【答案】BCD
【分析】A. 由
，利用二倍角公式和正弦定理转化，再利用大角对大边判断；B.利用余弦定理判断；
C.利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和与差的正弦公式求解；D.根据
为锐角三角形，得到
，
即
，再利用
在
上的单调性判断.
【详解】A. 由
，得
，即
，又
，
，所以
，由正弦定理得
，则
，即
，由大角对大边得
，故错误；
B. 因为
，所以
，又
，则C 为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三
角形，所以
为钝角三角形，故正确；
C. 由
得
，
，化简得
，因为
，
所以
，则
，所以
为直角三角形，故正确；
D. 因为
为锐角三角形，则
，所以
，
因为
在
上递增，则
，故正确；
34．（25-26 高三上·重庆·期中）在
中，
，
分别为内角
，
的对边，若
，
则
的形状一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得
，进而可得
，
由此判断三角形形状.
【详解】若
，得
，
由正弦定理可得
，
化简可得
，即
，
利用辅助角公式可得
，
即
，
所以
或
，
或者
（舍），
所以
一定是直角三角形.
35．（22-23 高三上·辽宁沈阳·期中）在
中，
，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到
或
，得到三角形形状
【详解】
，由正弦定理得
，
故
，
又
，
，
所以
，
所以
，
即
，所以
或
，
由
得
或
（舍去），
由
得
，
故这个三角形一定是等腰或直角三角形
36．（25-26 高三上·上海浦东新·期中）在
中，角
的对边分别为
，已知
，则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理把
换成
,代入
化简得
,结合三角形内角范围,得
或
,故三角形为等腰三角形或直角三角形.
【详解】在
中，由正弦定理
，
为
外接圆半径.
得
，
.
将其代入已知条件
，可得
.
化简得
，因为
，所以
.
因此有两种情况：
①
，即
，此时
为等腰三角形；
②
，即
，则
，此时
为直角三角形.
综上，
的形状为等腰三角形或直角三角形.
考点七 利用正弦余弦解决测量问题
37．（25-26 高三上·山西晋中·阶段检测）某货轮在
处看灯塔
在货轮北偏东
，距离为
；在
处看灯塔
在货轮的北偏西
，距离为
．货轮由
处向正北航行到
处时，再看灯塔
在南偏东
，则灯塔
与
处之间的距离是（ ）m
A．
B．8
C．12
D．
【答案】C
【详解】如图：
依题意，在
中，
，
，
，
所以
，
由正弦定理，得
.
在
中，
，
，
，
由余弦定理，得
，
所以
.
38．（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，在海岸A 处发现北偏东
方向，距A 处
海里的B 处有一艘走私
船．在A 处北偏西
方向，距A 处2 海里的C 处的我方缉私船奉命以
海里/小时的速度追截走私船，此时走
私船正以10 海里/小时的速度，从B 处向北偏东
方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并
求出所需时间．
【答案】缉私船应沿北偏东
的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要
小时
【详解】设缉私船应沿
方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则
海里，
海里，
在
中，由余弦定理，有
．
海里．又
，
，
，∴B 点在C 点的正东方向上，
，
在
中，由正弦定理，得
，
．
，∴缉私船沿北偏东
的方向行驶．
又在
中，
，
，
，
，即
．
小时．
∴缉私船应沿北偏东
的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要
小时．
39．（25-26 高三上·河南郑州·期中）如图，在测量河对岸的塔高AB 时，测量者选取了与塔底
在同一水平面内的
两个测量基点
与
，并测得
，
米，在点
处测得塔顶
的仰角为
，则塔高
（ ）
A．
米
B．10 米
C．
米
D．11 米
【答案】C
【分析】先根据正弦定理求得BC，进而在
中，利用
求解即可．
【详解】在
中，
，
则
，
由正弦定理得
，
所以
，
在
中，
，所以
米.
40．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿
古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B 所在的水平
地面上选取C，D 两点，测得
米，
，
，在点
处测得塔顶
的仰角为
，
则龙辰塔的高度
约为（ ）（参考数据：取
，
）
A．46 米
B．48 米
C．50 米
D．52 米
【答案】D
【分析】利用正弦定理求出
，再由直角三角形边角关系求解.
【详解】依题意，
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，
在
中，
，
所以
（米）.
41．（25-26 高三上·河南·阶段检测）已知
，
是两个暗礁群，将其视为质点，相距
.为保障航行安全，
欲在一条东西方向的航道
（视为直线）上选取
，
点建两座灯塔，其中
选取在距
比距
近的地方，且在
灯塔
处测得
在它的南偏东
方向，测得
在它的南偏东
方向.从灯塔
沿航道
向正东行驶
可到灯
塔
，在灯塔
处测得
在它的南偏西
方向，则在
处测得
在它的（ ）
A．南偏西
方向
B．南偏西
方向
C．南偏西
方向
D．南偏西
方向
【答案】C
【分析】先作出示意图，再利用正弦定理求出
的长，在
中，利用余弦定理求出
的长，最后在
中利用余弦定理求出
即可.
【详解】根据题意作出如图所示的示意图，在
中，
，
，
，则
，
由正弦定理得
，所以
.
在
中，
，由余弦定理得
，
即
，
整理得
，解得
或
，
因为
，所以
在
中，
，则
，
因为
，所以
，则
，
所以在
处测得
在它的南偏西
方向上.
42．（25-26 高三上·上海·期中）小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根
长为2 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为
、
，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视
为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45 米.则
斜面的底角
________.（结果用角度制表示，精确到0.01°）
【答案】
【分析】先根据在
处的杆子算出阳光和水平面的夹角的正切值，然后结合
处的杆子算出斜面的底角.
【详解】设阳光与水平面的夹角为
，则
，
设与斜面的接触点为
的杆子为
，
为长度为1.45 米的影子，
过点
作
于点
，其中
与水平面平行，设
，
则
，解得
，
则
.
1．（山东潍坊市2025-2026 学年高三下学期5 月高考模拟考试数学试题（B 卷））设
的内角
所对的
边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
由正弦定理可得：
.
又
，
，
，
.
又
，可得
.
2．（25-26 高三上·青海西宁·期中）在
中，内角
所对的边为
，下列结论中错误的是（ ）
A．若
，则
B．
，则
为等腰三角形
C．若
，
，
，则符合条件的三角形有两个
D．若
的面积为
，则
【答案】B
【分析】由正弦定理判断A；由题意可得
或
，从而得
为等腰三角形或直角三角形，即可
判断B；由题意可得
，即可判断C；由余弦定理及面积公式，求出
的值，即可判断D.
【详解】对于A，因为
，由正弦定理可得
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
或
，
由于
,所以
或
，所以
为等腰三角形或直角三角形，故B 错误；
对于C，因为
，故三角形有两个，故C 正确；
对于D，因为
，
又因为
，所以
，所以
，又因为
，所以
，故D 正确.
3．（25-26 高三上·山东泰安·期中）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由余弦定理结合题意可得结果.
【详解】由余弦定理得
.
∵
，∴
.
4．（25-26 高三上·四川资阳·期中）在
中的角
的对应边分别为
，且
，则
的
形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．直角或等腰三角形
【答案】B
【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角
为直角.
【详解】因为
，所以
，
即
，
所以
，
即
，
整理得
，
角
为直角，
为直角三角形.
5．（2026·四川广安·模拟预测）（多选）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
则使此三角形只有唯一解的
的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．6
D．12
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理得到
，三角形只有唯一解等价于角
仅有唯一解，分
（直角三角形唯一
解）、
且
（即
，仅存在锐角解）两种情况推导
的取值范围，再逐一判断选项.
【详解】对于A：当
时，
，结合
得
，三角形只有唯一解，A 正确；
对于B：当
时，
，由于
，此时
可取锐角也可取钝角，对应两个不同的三角形，
B 错误；
对于C：当
时，
，由等边对等角得
，
，三角形只有唯一解，C 正确；
对于D：当
时，
，又
，由大边对大角得
，即
只能取锐角，对应一个三角
形，D 正确.
6．（25-26 高三上·四川乐山·阶段检测）（多选）已知
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则三角形有且只有一个解
C．若
，则
为等腰三角形
D．若
，则
为钝角三角形
【答案】ABD
【分析】由大角对大边可判断A；由正弦定理，结合大边对大角，可判断B；解法一：利用余弦定理角化边然后分
解因式可得结论，解法二：利用正弦定理边化角，二倍角公式化简，再结合三角函数的性质可判断C；利用余弦
定理得到
，可判断D.
【详解】对于A，由大角对大边可知，故A 正确；
对于B，若
，
，
，
由正弦定理可知
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴角
为锐角，
只有一解，故B 正确；
对于C，解法一：由
和余弦定理，可得
，
整理可得
，∴
或
，
∴
或
，即
为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；
解法二：由
和正弦定理，得
，∴
，
∵
，∴
或
，
∴
或
，即
或
，
故
为等腰三角形或直角三角形，故C 错误；
对于D：∵
，由余弦定理，
，
又∵
，则
，∴
为钝角三角形，故D 正确.
7．（25-26 高三上·河北邢台·期中）（多选）如图，在圆的内接四边形
中，
，
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
的面积为
【答案】ACD
【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可.
【详解】对于AB，由于
，
，
，
在
中，
，即
，
在
中，
，即
，
联立两式解得
，由于
，所以
，
，故A 正确，B 错误．
对于C，
，故C 正确．
对于D，
的面积
，故D 正确．
8．（25-26 高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
B．已知
，若
有两解，则
的取值范围是
C．若
，且
，则
为等边三角形
D．若
，则
可以是钝角三角形
【答案】ABC
【分析】对于A 选项，因为三角形中大角对大边，所以由
得
，再结合正弦定理即可判断；对于B 选项，
如果三角形有两解，那么需满足
且
，解不等式即可得到
的范围；对于C 选项，因为
是
角
平分线上的向量，它与
点积为0，所以角
的平分线与
边垂直，可得
，再根据单位向量点积
公式求出角
的大小，即可判断三角形形状；对于D 项，利用三角形内角和为
，推导得到
，再结合已知不等式判断三个角的正切符号，即可确定三角形的类型.
【详解】对于A 项，在
中，由
得
，由正弦定理
得
，所以
，故A 正确；
对于B 项，已知
，由正弦定理
，
即
，解得
，
若
有两解，则
，解得：
，所以
的取值范围是
，故B 正确
C 选项，
和
分别表示与
和
同方向的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
又由
结合菱形性质知
的角平分线与
垂直，
所以
是等腰三角形且
，
又因为
，且
，
所以
，所以
是等边三角形，故C 正确；
对于D 项，因为
，
所以
，
所以
，
即
，
因为
，所以
，
又因为
，
所以
，所以
是锐角三角形，故D 错误；
9．（25-26 高三上·江苏·期中）（多选）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，下列与
有关
的结论，正确的是（ ）
A．若
，则
一定是等腰三角形
B．若
，则
C．若
为锐角三角形，则
D．若
为斜三角形，则
【答案】BCD
【分析】A.由
，利用正弦定理得到
，再利用二倍角的正弦公式化简判断；B.由
，利用大角对大边得到
，再利用正弦定理判断；C.由
为锐角三角形，得到
，
，
得到
，再利用正弦函数的单调性判断；D.在
中，由
，得到
，两边取
正切，再利用两角和的正切公式化简判断.
【详解】A. 若
，则
，即
，
则
或
，即
或
，
所以
一定是等腰三角形或直角三角形，错误；
B.若
，则
，由正弦定理得
，
所以
，则
，即
，正确；
C. 若
为锐角三角形，则
，因为
，所以
，
则
，因为
在
上递增，所以
，
即
，正确；
D.在
中，
，则
，所以
，
因为
为斜三角形，所以
都有意义，所以
，
因为
，所以
，
即
，
即
，正确.
10．（25-26 高三上·天津红桥·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，
则
的形状是____________ .
【答案】等边三角形
【详解】在
中，
，又
，故
．
由余弦定理得
，
因为
，所以有
，即
，解得
，
所以
是等边三角形．
11．（25-26 高二下·北京海淀·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为
.若
为锐
角三角形，则
的一个取值为__________.
【答案】
（答案不唯一，在
内的任意实数均可）
【详解】由
，得
，所以
，所以
定为锐角；
若
为锐角三角形，则
均为锐角.
因为
为锐角，所以
，
所以
，即
，即
.
因为
为锐角，所以
，
所以
，即
，即
，
因为
，所以
，所以
，所以
.
综上所述，
.
所以在区间
上任意一个数均可为答案.
12．（25-26 高三上·广东江门·期中）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
，
则使
有两解的k 的取值范围是__________.
【答案】
【详解】在
中，由正弦定理
及
有两解，
得
且
，解得
，
所以所求
的取值范围是
.
13．（25-26 高三上·北京大兴·期中）在
中，
，
．
①若
，则=______；
②若满足条件的
有两个，则
的取值范围是______．
【答案】
【详解】由
可得
，故
，
由于
,故
，
由余弦定理可得
，即
，解得
（负值舍去）.
若满足条件的
有两个，则
，即
，解得
.
14．（25-26 高三上·天津武清·期中）在
中，内角
所对应的边分别是
，若
的面积是
，则
________．
【答案】
【分析】结合余弦定理与三角形面积公式，化简求得
的值，结合三角形内角的取值范围确定角
.
【详解】在
中，根据余弦定理可得：
.
已知
的面积
.
将上式代入得：
.
又由三角形面积公式得
，因此
.
由于
，故
，两边同除以
整理得：
.
即
，因为
为三角形内角，所以
，因此
.
15．（25-26 高三上·山东济宁·期中）某校兴趣小组想要测量某塔的高度
，在塔附近选取了相距50 米的
（
与该塔的塔底
在同一水平面上）两个测量点，从
点观测该塔塔顶
的仰角为
，从
点观测该塔塔顶
的仰角为
，且
，则这座塔的高度
__________米．
【答案】
【详解】设塔高
米，
在
中，从
点观测该塔塔顶
的仰角为
，得
，所以
；
在
中，从
点观测该塔塔顶
的仰角为
，得
，所以
；
在
中，已知
，
，
由余弦定理得
，
得
，
化简得
，解得
或
（舍去），
即塔高为
米.
16．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
，则△ABC 周长的最大值为__________.
【答案】6
【详解】由三角形内角和得
，故
.
由正切和角公式
，
代入得：
，整理得
.
结合题设
，联立得
.
因
，故
.
已知
，由余弦定理
，
代入得：
.
由基本不等式
，得
，
即
，当且仅当
时取等号.
因为
，所以
.
故
，当且仅当
时取等号.
因此
周长
，即周长最大值为
.
