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第10 讲：第五章 平面向量及解三角形 章节总结
目录
第一部分：典型例题讲解.........................................................................................................1
题型一：用基底表示向量.................................................................................................1
题型二：平面向量共线定理及推论..................................................................................2
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示...................................................................3
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）...................................................................5
题型五：平面向量的模（含最值，范围）.......................................................................6
题型六：向量的夹角.........................................................................................................8
题型七：投影向量............................................................................................................9
题型八：利用正、余弦定理解三角形.............................................................................10
题型九：三角形形状问题...............................................................................................11
题型十：三角形个数问题...............................................................................................12
题型十一：三角形周长（边长）问题.............................................................................13
题型十二：三角形面积问题............................................................................................16
第二部分：新定义题..............................................................................................................20
第一部分：典型例题讲解
题型一：用基底表示向量
1．（24-25 高二下·贵州毕节·期末）如图，已知
，
，
都是等边三角
形，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）设D 为
所在平面内一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·内蒙古·期末）在平行四边形
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·新疆哈密·期末）已知
为
所在平面内的一点，
，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（24-25 高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD 中，E，F 分别是
CD 边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：平面向量共线定理及推论
1．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，
，P 是BN 上一点．设
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图，在
中，
，过点P 的直线分
别交直线AB，AC 于不同的两点M，N．设
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．3
D．4
3．（24-25 高一下·湖南邵阳·期末）在
中，点
在线段
上，且满足
，点
为线段
上任意一点（除端点外），若实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．9
4．（24-25 高一下·广西南宁·期末）在
，点
是中线
上一点（不包含端点），且
，则
的最小值是（ ）．
A．8
B．16
C．18
D．25
5．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）如图，在
中，点
在边
上，过点
的直线与
，
所在的直线分别交于点
，
，且
是
的中点，若
，
（
，
），则
的最小值为 .
6．（24-25 高一下·上海·期末）若等边
的边长为3，N 为AB 的中点，且AB 上一点
M 满足：
（
，
），则当
取得最小值时，
．
题型三：平面向量共线（垂直）的坐标表示
1．（24-25 高一下·安徽合肥·期中）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知向量
，
，若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高一下·新疆·期末）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知向量
，
，若向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一下·吉林长春·阶段练习）已知向量
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值.
6．（24-25 高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知向量
，
.
(1)若
，求m 的值；
(2)若向量
，且
，求向量
，
的夹角.
题型四：平面向量数量积（含最值，范围）
1．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在边长为4 的正八边形
中，点
为正八边形的中心，点
是其内部任意一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·广东深圳·期中）已知
是边长为2 的正八边形
内的一点，
为其中心，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025 高一·全国·专题练习）如图，等边
的边长为2，顶点
分别在
轴的非
负半轴、
轴的非负半轴上滑动，
为
的中点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·陕西商洛·期末）在梯形
中，
，
，
，点E 在线段
上，则
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高一下·重庆·期末）在等腰梯形
中，
，
，P
是底边
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
6．（24-25 高一下·广东汕头·期末）已知
为直角三角形，
，
，
，
为
的中点.若点
在射线
上运动，则
的最小值为 .
7．（24-25 高一下·广东深圳·阶段练习）已知
中，
，且
的最小值为
，若P 为边AB 上任意一点，则
的最小
值是 .
题型五：平面向量的模（含最值，范围）
1．已知平面向量
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
2．已知向量
满足
，且
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
3．已知平面内三个不同的单位向量
，
，，满足
，
，
，则
可能的取值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知在
中，
，
，
是线段
上的动点，且
，则
的取值范围为 .
5．如图，M，N 分别是四面体
的棱OA，BC 的中点，
是
上靠近点
的三等
分点，
，
，
．
(1)以
为基表示
；
(2)若
，
，
，
，求
的最小值．
6．如图，在梯形
中，已知
，
，
，点E、F 分别
在直线
和
上，且
，
，连接
交
于点P.
(1)设
，用
和
表示
，并求实数t 的值；
(2)求
的取值范围.
7．已知单位向量
的夹角为锐角且
的最小值为
，若向量满足
，求
的取值范围.
题型六：向量的夹角
1．已知两个向量
、
满足
，
，
，且向量
与
的夹
角为钝角．则实数的
取值范围为 ．
2．若向量
与
的夹角为钝角，则实数的取值范围为 .
3．已知向量
，
．
(1)若
，求x；
(2)若
在
方向上的投影向量为
，且
与
的夹角是锐角，求实数λ 的取值范
围．
4．已知平面向量
，
满足：
，
，
与
的夹角为
.
(1)求
；
(2)设平面向量
，
，若
，
的夹角为锐角，求实数
的取值范围.
5．已知：a、b、是同一平面内的三个向量，其中
(1)若
且
， 求的坐标;
(2)若
且
与
的夹角为锐角，求实数
的取值范围.
6．已知向量
满足
．
(1)求向量
的夹角；
(2)若向量
与
的夹角是钝角，求实数
的取值范围．
题型七：投影向量
1．已知
的外接圆圆心为
，且
，
，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知平面向量
，
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，则
在
上的投影向量的模为（ ）
A．2
B．
C．
D．
4．在
中，
，
，
，
是
边上的中线，则向量
在向量
上的投影向量为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，若
，
，则向量
在
方向上
的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知平面向量
，
满足：
，
，
．
(1)求
与
的夹角
；
(2)求向量
在向量
上的投影向量的模．
题型八：利用正、余弦定理解三角形
1．（24-25 高一下·天津·期末）在
中，三个内角为
.若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·贵州铜仁·期末）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高二下·黑龙江鸡西·期中）已知
中，
的对边分别为
．若
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·四川成都·期末）在
中，角
所对的边分别为
，
，则
．
5．（24-25 高一下·福建漳州·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
若
，
，
，则
．
6．（2025 高三·全国·专题练习）记
的内角
的对边分别为
，已知
，且
，则
．
题型九：三角形形状问题
1．记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
，则
是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
2．设
的面积为，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，若
，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
3．在
中，若对任意
恒成立，则
为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．形状不确定
4．在
中， 记角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 若
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
5．（多选）记
的内角
的对边分别为
，
，，
为边
的中点，则下列
说法正确的是（ ）
A．若
，则
是等边三角形
B．若
，则
是直角三角形
C．若
，则
是锐角三角形
D．若
，则
是钝角三角形
6．在
中，已知
，则
的形状为
题型十：三角形个数问题
1．在
中，角
所对的边分别为
，则满足以下条件的三角形的解个数为两
个的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
的内角A，B，C 的对边分别为
，
，，
，
，如果
有两解，
则
的值可能为（ ）
A．9
B．
C．11
D．12
3．已知
的内角
的对边分别为
，
，，且满足
，
的三角形有
两个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，角
的对边分别为
，符合下列条件的三角形有且只有一个的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）在
中，
，
．若
有两个解，则
的取值可能为
（ ）
A．9
B．8
C．10
D．11
6．（多选）记
的内角
的对边分别为
.已知
，若角
有两
解，则
的值可以是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
7．（多选）在
中，
，若该三角形有且只有一解，则AC 的值可能为
（ ）
A．6
B．2
C．4
D．8
8．在△ABC 中，
请给出一个
值 ，使该三角形有两解.
题型十一：三角形周长（边长）问题
1．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）在锐角三角形
中，角
、
、
的对边分别
为
、
、、，若
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·云南昭通·期中）锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，则
的取值范围为 ．
3．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）已知向量
，
，
，其中A 是
的内角，
.
(1)求角A 的大小；
(2)若角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，求
的取值范围.
4．（24-25 高一下·四川成都·期中）在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围.
5．（24-25 高一下·新疆克拉玛依·期中）已知，在
中，角A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，且有
．
(1)求A；
(2)若
为锐角三角形，求B 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，已知
，求
的取值范围．
6．（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，且
．
(1)求
的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
7．（24-25 高一下·江苏连云港·阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，且
为锐角三角形，求
的周长的取值范围．
8．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）锐角
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)若
，求
周长的取值范围.
题型十二：三角形面积问题
1．（24-25 高三下·河南信阳·阶段练习）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且满足
，若
，则
面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·江西·阶段练习）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且满足
.
(1)求
；
(2)若内角
的角平分线交
于
点，且
，求
的面积的最小值.
3．（24-25 高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，若
，
．
(1)求角B 的大小和边长b 的值；
(2)求
面积的取值范围．
4．（24-25 高二上·湖南湘西·阶段练习）已知锐角
的内角A，B，C 所对的边分别是
a，b，c．且
．
(1)求角A；
(2)若
，求
面积的取值范围．
5．（24-25 高三上·四川资阳·阶段练习）在
中，内角A、B、C 所对的边分别为a、
b、c，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
的周长为6，求
面积S 的最大值．
6．（24-25 高一下·重庆万州·阶段练习）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
已知
.
(1)若
，求
的外接圆的周长和面积.
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
7．（24-25 高三上·广东·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，设
，
(1)求角
；
(2)若
，且
，求
面积的最大值.
8．（24-25 高一下·广东广州·期中）已知
的内角
、
、
的对边分别为
、
、
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的最大值.
9．（24-25 高一下·广西南宁·期末）请从①
；②
；③
这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填
写到答题卡对应位置上）.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，D 为
的外接圆上的点，
，求四边形ABCD 面积的最大值.
10．（23-24 高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
第二部分：新定义题
1．（多选）（24-25 高一下·山东青岛·期末）“费马点”指平面内到三角形三个顶点距离
之和最小的点.在
中，当最大内角小于
时，费马点P 满足
；当最大内角不小于
时，最大内角的顶点为费马点.若
，
，
，点P 为
的费马点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）已知是直线
外一点，点
、
在直线
上（点
、
与点
、
任一点均不重合）．我们称如下操作为“由点对
施以视角运
算”：若点
在线段
上，记
；若点
在线段
外，记
，并且记
．记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、．已知
，
，
是射线
上一点，现由
点对
施以
视角运算，得到
．
(1)若
，求
的值；
(2)射线
上的点
满足
．
①求
；
②求
的最小值．
3．（24-25 高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中
提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的
方法如下：
①当
三个内角均小于
时，满足
的点
为费马点；
②当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，点
为
的费马点，
且
(1)求角
；
(2)求
；
(3)已知在
中，若点
为
平面上任意一点，求
的最小值．
4．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）三角形内到三个顶点距离之和的最小的点称为
“费马点”，当
的三个内角均小于
时，满足
的点
为其费马点；当
有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为其费马点.
(1)在
中，角
的对边分别为
，满足
，
.
①若
，求
，并求费马点
到顶点
的距离之和；
②求
周长的取值范围.
(2)若
是平面内的向量，且
，
，求
的最小值.
5．（24-25 高一下·辽宁·期末）A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与点P，Q
任一点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段
PQ 上，记
；若点M 在线段PQ 外，记
．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，点D 在
射线BC 上．
(1)若三角形ABC 为等边三角形，点D 在BC 延长线上，满足
，则A 点对BC 施以
视角运算，求（B，C；D）的值；
(2)若
，
，由A 点对BC 施以视角运算，
，求
的最小值；
(3)若
，
，由A 点对BC 施以视角运算，
，求AD 的最大值.
