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3.3 平面向量的数量积（分层训练）
目录
1
题型一、判断向量夹角的大小.................................................................2
2
题型二、向量的数量积的运算.................................................................2
3
题型三、向量夹角的余弦值.....................................................................2
4
题型四、向量垂直.....................................................................................2
5
题型五、向量的投影和投影向量.............................................................2
1 题型一、判断向量夹角的大小
1．向量⃗a与⃗b的夹角的范围是（ ）
A．[0,π
2 ] B．(0,π)
C．(0,π]
D．[0,π]
2．已知▱ABCD 中，∠DAB＝60°，则⃑AD与⃑CD的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
3．在锐角△ABC中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．⃑AB与⃑BC的夹角是锐角
B．⃑AC与⃑BA的夹角是锐角
C．⃑AC与⃑BC的夹角是锐角
D．⃑AC与⃑BC的夹角是钝角
4．等边三角形ABC中，⃗AB与⃗BC的夹角为（ ）
A．60
∘
B．-60
∘
C．120
∘
D．150
∘
5．在正六边形ABCDEF中，向量⃗AB与⃗AD的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
6．设⃗a，⃗b是两个非零向量，则“⃗a⋅⃗b<0”是“⃗a与⃗b的夹角为钝角”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
7．已知在△ABC中，⃗AB⋅⃗AC <0，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
8．满足⃗BA ⋅⃗BC <0的△ABC（ ）
A．一定为锐角三角形
B．一定为直角三角形
C．一定为钝角三角形
D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形
2 题型二、向量的数量积的运算
1．若向量⃗a,⃗b,⃗c，满足⃗a∥⃗b且⃗a⊥⃗c，则⃗c·(⃗a+2⃗b)（ ）
A．4
B．3
C．2
D．0
2．如图，四边形ABCD是菱形，下列结论正确的是（ ）
A．⃗AB =⃗CD B．⃗AC =⃗BD
C．⃗AC ⋅⃗BD =0
D．⃗AB+⃗AD =⃗BD
3．已知⃗a和⃗b的夹角为150°，且|⃗a|=2,|⃗b|= ❑√3，则(⃗a+2⃗b)⋅⃗b=（ ）
A．-9
B．-3
C．3
D．9
4．已知单位向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ，则⃗a⋅(2⃗b-⃗a)=（ ）
A．-1
B．- 1
2
C．0
D．1
5．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=3，|⃗a+⃗b|=3，则|⃗a-⃗b|=（ ）
A．❑√11
B．❑√10
C．3
D．2
6．已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=1，⟨⃗a,⃗b⟩=60
∘，则|⃗a+2⃗b|=（ ）
A．1
B．❑√3
C．2
D．❑√7
7．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗a+⃗b|=2，且(⃗b-⃗a)⊥⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
8．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2,⃗a⋅⃗b=1，则⃗a⋅(⃗a+2⃗b)=（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．若⃗AB⋅⃗CD =0，则直线AB 与CD 的位置关系是（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．相交或异面
10．在 △ABC 中， a=5，b=8，C =60
∘ ，则 ⃗BC ⋅⃗CA 的值为（ ）
A．20
B．-20
C．20 ❑√3
D．-20 ❑√3
3 题型三、向量夹角的余弦值
1．已知|⃗a|=1，|⃗b|=1，|⃗a+⃗b|= ❑√3，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．π
6
D．5π
6
2．已知非零向量⃗a,⃗b满足|⃗b|=2|⃗a|，(⃗a+⃗b)⊥⃗a，则〈⃗a,⃗b 〉=（ ）
A．2π
3
B．π
4
C．3π
4
D．π
3
3．已知非零向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2|⃗b|，且(⃗a-⃗b)⊥⃗b，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
3
B．π
6
C．5π
6
D．2π
3
4．已知平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，|⃗b|=1，⃗a⋅⃗b= ❑√3，则向量⃗a与⃗b的夹角为
（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
5．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2且⃗a⊥(⃗a+⃗b)，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．2π
3
C．3 π
4
D．5 π
6
6．已知|⃗b|=2|⃗a|，(⃗a-⃗b)⊥⃗a，则⟨⃗a,⃗b⟩=（ ）
A．5π
12
B．π
4
C．3π
4
D．π
3
7．若向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= ❑√2，|⃗b|= ❑√6，且⃗a⋅⃗b=3，则向量⃗a与⃗b夹角的大小
是（ ）
A．π
3
B．π
4
C．π
6
D．2π
3
8．已知平面向量⃗a,⃗b，若|⃗a|=3,|⃗a-⃗b|= ❑√13,⃗a⋅⃗b=6，则向量⃗a与向量⃗b的夹
角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
9．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|⃗b|=2,⃗a⋅⃗b=- 3
2，则（ ）
A．-
❑√2
4
B．-
❑√2
2
C．
❑√2
4
D．
❑√2
2
10．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=1，且|⃗a-2⃗b|= ❑√3，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．π
2
4 题型四、向量垂直
1．已知⃗a，⃗b均为平面上的单位向量，若(2⃗a+⃗b)⊥⃗b，则|⃗a+3⃗b|=（ ）
A．2
B．❑√5
C．❑√7
D．2❑√2
2．已知向量⃗a,⃗b，其中|⃗a|= ❑√2 ，|⃗b|=2，且(⃗a-⃗b)⊥⃗a，则向量⃗a与⃗b的
夹角是（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
2
D．π
3
3．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2，|⃗a+2⃗b|=2，且(2⃗a+⃗b)⊥⃗a，则|⃗b|=（ ）
A．2❑√3
B．2❑√2
C．2
D．1
4．已知平面向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ，满足|⃗a|=1,(⃗a-2⃗b)⊥⃗a，则|b
→|=（ ）
A．-1
B．1
C．1
5
D．- 1
5
5．设λ∈R，已知向量⃗a与⃗b的夹角为π
4 ，|⃗a|=2，|⃗b|= ❑√2，且
( λ⃗b-⃗a)⊥⃗a，则λ =（ ）
A．1
2
B．❑√2
C．2
D．2❑√2
6．已知边长为1 的正方形ABCD，点E，F 分别是BC，CD 的中点，则
⃗
AE⋅⃗EF =（ ）
A．3
4
B．1
4
C．- 3
4
D．- 1
4
7．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=1,|⃗a+2⃗b|=2，且(⃗b-2⃗a)⊥⃗b，则|⃗b|=（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
8．若|⃗a|=1,|⃗b|=2,(⃗a-⃗b)⊥⃗a，则向量⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
9．若向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2❑√3，|⃗b|= 4，⃗a⊥(⃗a-⃗b)，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．π
6
D．5π
6
5 题型五、向量的投影和投影向量
1．已知⃗a,⃗b为单位向量，且|⃗a-⃗b|= ❑√3，则⃗a在⃗b上的投影向量为（ ）
A．- 1
2
B．1
2⃗b
C．- 1
2⃗b
D．- 1
2⃗a
2．已知单位向量⃗a，⃗b满足|⃗a-⃗b|=2，则⃗a在⃗b上的投影向量为（ ）
A．⃗b
B．-⃗b
C．⃗a
D．-⃗a
3．已知⃗e是单位向量，且|⃗e -⃗a|= ❑√3，⃗a+⃗e在⃗e上的投影向量为1
2⃗e，则⃗a与⃗e
的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
4．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2❑√3,⃗b在⃗a上的投影向量为❑√3⃗a，则⃗a·⃗b（ ）
A．12❑√3
B．6 ❑√3
C．12
D．6
5．已知向量⃗a，⃑b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2，⃗a，⃑b夹角为3π
4 ，则⃑b在⃗a上的投影向
量为（ ）
A．- ❑√2
B．❑√2⃗a
C．- ❑√2⃗a
D．-
❑√2
4⃑a
6．若向量⃗a,⃗b满足|⃗b|=3，⃗a⋅⃗b=-6，则⃗a在⃗b上的投影向量是（ ）
A．- 1
2⃗b
B．- 1
3⃗b
C．2
3⃗b
D．- 2
3⃗b
7．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= 4，|⃗b|=2，且⃗b在⃗a上的投影向量为- 1
4⃗a，则
cos⟨⃗a,⃗b⟩的值为( )
A．- 1
2
B．1
2
C．- 1
8
D．1
8
8．已知平面向量⃗a，⃗b满足⃗a⋅(⃗a+⃗b)=3，且|⃗a|=2，|⃗b|=1，则向量⃗b在向量⃗a
上的投影向量为（ ）
A．-⃗a
B．-⃗b
C．- 1
4⃗a
D．- 1
4⃗b
9．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=2❑√3，|⃗b|=3，且⃗a，⃗b的夹角为π
3 ，则向量⃗b
在向量⃗a方向上的投影向量的模为（ ）
A．❑√3
B．3
2
C．3
D．3 ❑√3
2
