文档文本内容
第09 讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................1
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）.............................................................................................1
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）..................................................................................6
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）.......................................................................................13
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）............................................................................17
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）........................................................................23
高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）.............................................................30
频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）.......................................38
第一部分：基础知识
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式
，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理
，
，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根
据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：周长（边长）定值（求周长）
典型例题
例题1．在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角A；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
（2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出
即可.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
整理得
，由余弦定理得
，而
，
所以
.
（2）由
的面积为
，得
，解得
，
由（1）得
，解得
，
所以
的周长为
.
例题2．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
，且
的面积为1，求
的周长．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及勾股定理列式求出周长.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，则
，而
，因此
,
而
，所以
.
（2）由（1）得，
，则
，又
，
因此
，所以
的周长
.
例题3．已知三角形
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
.
(1)求角
；
(2)求
的最大值，并求出此时
的周长.
【答案】(1)
(2)
的最大值为
，此时
的周长为
【分析】（1）由已知条件结合正弦定理、两角和的正弦定理可求出
的值，结合角
的取值范围可得
出角
的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换、三角函数的有界性求出
的最大值，并求出对应的
、的
值，由此可得出
的周长.
【详解】（1）由
可得
，
由正弦定理可得
，
所以
，
因为
、
，所以
，则
，故
.
（2）由正弦定理可得
，
所以
，
设锐角
满足
，
，
所以
，
因为
，则
，
故当
时，即
时，
取最大值
，
此时，
，
，
此时，
的周长为
.
精练高频考点
1．在
中，角
的对边分别是
，
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积是
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理即可求；
（2）根据三角形面积求得
，再利用余弦定理求得
，即可求得答案.
【详解】（1）由题意在
中，得
，
故
，
由于
，所以
.
（2）由（1）及题意可知
的面积是
，
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
于是
的周长为
.
2．已知
中，角
所对的边分别为
，
的面积满足
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式、余弦定理化边为角，结合同角三角函数的基本关系求
，
（2）解法一，利用正弦定理、三角形内角和定理等求
之间的关系，求
的值，再求出
的
周长，
解法二，利用正弦定理、三角形内角和定理等求
，根据三角形的面积公式、正弦定理求
的值，
再求
的周长.
【详解】（1）由
，得
，
等号两边同时除以
得
，
因此
．
又
，
，
所以
，
．
（2）解法一
由
及正弦定理得
，
因为
，所以
，
又
，所以
为钝角，所以
为锐角，所以
．
故
，
所以
．
不妨设
，则
，
，由
得
，
即
，得
，
所以
，
，
．
因此
的周长为
．
解法二
由
及正弦定理得
，因为
，所以
，
又
，所以
为钝角，故
为锐角，
故
，则
，
所以
．
由
，得
，所以
，
得
，则
．
由
，得
，解得
．
因此
的周长为
．
3．如图，已知
的内角
的对边分别为
，
.
(1)求
；
(2)若
边上的中线
，且
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理以及向量数量积的定义列出方程组即可求解；
（2）由
，在
与
中结合余弦定理求解即可得出结果.
【详解】（1）因为
，即
，
又
，所以
，
可得
，又
，
因此
；
（2）由（1）可得
，又
，
由余弦定理可得
，所以
；
在
中，
，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
；
又因为
，可得
，
联立
，解得
；
又
，可得
，
所以
的周长为
.
高频考点二：周长（边长）定值（求边的代数和）
典型例题
例题1．在
中，已知
的平分线
与边
相交于点
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）分别对
和
采用正弦定理可得
，
，两式联立即可.
（2）解法一：由
，得
与
，左右两侧同时平方解得
与
的长
度，再通过余弦定理求解
即可.
解法二：由
，得
，通过等面积法可求解
与
的长度，再通过余弦定理求解
即可.
【详解】（1）在
和
中，如图所示：
由正弦定理得：
，
，
因为
，所以
，
所以
，
即
，
又因为
为
的角平分线，所以
，
所以
，
，两式相除得
，
所以
得证.
（2）解法一：
，所以
，
平方得
，由（1）可得：
，
，
解得
，
，
则
，
，
所以
.
解法二：
由
，由（1）得
，所以
，
因为
为
的角平分线,
，所以
，
则
，
解得
，
，
则
，
，
所以
.
例题2．在
中，内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，
的周长为5，求
的长．
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）解法1：根据正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式结合诱导公式化简即得结果；
解法2：将条件变形得后，利用摄影定理和正弦定理即得结果.
（2）由（1）得
，结合
，
利用余弦定理可求得
，再利用三角形的面积公式计算即
可；
（3）由（1）得
，结合
，利用余弦定理可求得
再由周长为5 即可求得结果，
【详解】（1）解法1：在
中，由正弦定理得
因为
，
所以
所以
，
即
所以
，
即
，所以
，
所以
．
解法2：因为
，
所以
．
因为
，
，
所以
，
，即
．
（2）由（1）知
，即
，
又因为
，所以由余弦定理得
，
即
，解得
，所以
．
又因为
，所以
，
故
的面积为
．
（3）由
得
，
因为
，所以
，
所以
．
又
，
所以
．
例题3．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
．
(1)求角
；
(2)若
，三角形
的面积为
．求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的
值；
（2）由三角形的面积公式可求出
的值，再利用余弦定理可求出
的值，即可求出
的值.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理得：
，
所以
．
由
，得
，所以
．
因为
，故
．
（2）由已知及（1）的结论得
，
，
则
，即
．
由余弦定理可得
，
即
，即
，
所以
，
故
.
精练高频考点
1．已知
的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
.
(1)求角C；
(2)若
，
的面积为
，求a，c.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理，三角恒等变换可得
，即可求角
.
（2）由三角形面积公式有
，再应用三角函数值求得
，最后由正弦定理可得
， 代入即可求解.
【详解】（1）因为
及正弦定理得
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
；
（2）因为
，所以
，所以
，
因为
的面积为
，
因为
，所以
，
由正弦定理得
，所以
，
所以
，所以
.
2．已知函数
，
.
(1)求函数
的最小正周期与单调增区间；
(2)设
中，角
，
，
的对边长分别为
，
，，若
，
，
的面积为
，
求
的值.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式
，再根据正弦函数性质求最小正周期及单调增区间即可.
（2）先根据
求C，再根据三角形面积公式得
，由余弦定理得
，最后解方程
组得参数值，再相加求结果即可.
【详解】（1）由题意得
，
由正弦函数最小正周期公式得最小正周期
；
由
，解得
，
得函数的增区间为
.
（2）由
得，
，则
，
因为
，所以
，
可得
，故
，
由三角形面积公式得
，解得
，记为①式，
由余弦定理得
，记为②式，
联立①②解得
或
，故
.
3．在
中，内角
的对边分别为
的面积满足：
(1)求
；
(2)若
平分
，且
，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理化简已知条件，进而求出角
；
（2）根据向量关系和角平分线性质，结合三角形面积公式求出边
与
的关系，再利用余弦定理求出.
【详解】（1）已知
，根据三角形面积公式
，将其代入已知条件
可得：
由正弦定理得：
因为
，所以
，
，等式两边同时除以
得
因为
，所以
，等式两边同时除以
得：
即
，所以
.又因为
，所以
.
（2）因为
，所以
.
又因为CD 平分
，所以
.
根据三角形面积公式，可得
，即
.
在
中，根据余弦定理，将
，
代入可得：
，化简得
在
中，根据余弦定理，将
，
代入可得：
，即
，
在
中，根据余弦定理，将
代入可得：
，即
，
因为
，所以
，即
，则有：
，即
，即
，
解得
.将
代入
可得
，所以
.
高频考点三：周长（边长）最值（周长最值）
典型例题
例题1．记
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
．
(1)求A；
(2)求
周长的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）结合条件和两角和差的正弦公式化简得
，由
知
，根据
角A 的范围求解即可.
（2）根据余弦定理得
，然后利用完全平方和及基本不等式求得
，即可求解周长的
最大值.
【详解】（1）由题意可得
，即
，
因为
，故
，故
，
，所以
．
（2）由余弦定理可得
，即
，
所以
，又
，所以
，
所以
的周长
，当且仅当
时取等号，
故
周长的最大值为6．
例题2．已知
的内角
所对的边分别为
，
，并且______．
①
；
②
．
从上面两个条件中任选一个，补充在问题中，并解答下列问题．
(1)求角
；
(2)求
周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，正弦定理及辅助角公式得到
，再结合
的范围得到
；选
②，由正弦定理和余弦定理得到
；
（2）法一：由余弦定理得到
，再由均值不等式得到
，从而得到周长的范围；
法二：由正弦定理边化角得到
，
，利用辅助角公式化为单角单函数，从而得到周长的取
值范围.
【详解】（1）选①，
因为
，所以由正弦定理得
．
因为
，所以
，即
．
因为
，所以
，
从而
，即
．
选②，
因为
，
所以
，即
，所以
．
因为
，所以
．
（2）法一：由（1）知，
．
在
中，由余弦定理得
，即
，
所以
，得
，当且仅当
时等号成立．
所以
周长的最大值为
．
法二：由正弦定理有
，得
，
．
因为
，所以
，
于是
．
因为
，所以
，
从而
，
所以
，即
周长的最大值为
．
例题3．已知
的面积为
，
．
(1)求C 的大小；
(2)求
周长的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）应用向量数量积的定义及三角形面积公式可得
，结合角的范围求其大小；
（2）由（1）得
，余弦定理得
，再应用基本不等式求三角形周长的最小值.
【详解】（1）设
，则
①，
②，
②
①，得
，解得
，又
，所以
；
（2）由（1）知
，所以
，
设
，由余弦定理得
，
的周长为
，当且仅当
时取等号，
所以
周长的最小值为
.
精练高频考点
1．在
中，角
对应的边分别为
，已知
，
为
中点，
．
(1)证明
为等腰三角形；
(2)若
，求
周长的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到
，求得
，得到
，即可证得
为等腰三角形；
（2）设
的周长为，由（1）知
，由题意得到
，且
，化简得到
，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：在
中，由正弦定理
，可得
，
又由
，可得
，
整理得
，所以
，
可得
，
即
，
因为
，可得
，所以
，
即
，可得
，所以
为等腰三角形.
（2）解：设
的周长为，由（1）知：
，
因为
为等腰三角形，
为
的中点，可得
，
则
，且
，
所以
，
因为
，所以
，由正切函数的性质，可得
，
所以当
时，即
时，
的周长取得最小值，最小值为
.
2．已知
的外接圆半径为1，内角
，
，
的对边分别为
，
，.
(1)若
边上的高为1，求
的面积的最大值；
(2)若
，求
的周长的最大值.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先求得
的面积，然后利用等面积法求得边
上的高；（2）由正弦定理知
，然后分类进行求解.
【详解】（1）因为若
边上的高为1，所以
，
正弦定理得
，可得
.
所以
的面积
.
又
，所以当
时，
的面积有最大值，最大值为1.
（2）由正弦定理知
，可得
，则
或
.
若
，则
的周长为
，
当
时，周长有最大值，最大值为
.
若
，则
的周长为
，
当
时，周长有最大值，最大值为
.
因为
，所以
的周长的最大值为
.
3．在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用诱导公式及同角公式化简给定等式，再利用正弦定理、余弦定理求解.
（2）由（1）中信息，利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】（1）在
中，令内角
所对边分别为
，
由
，
得
，由正弦定理得
，
由余弦定理，得
，而
，所以
.
（2）由已知及（1）得，
，
解得
，当且仅当
时取等号，
所以求
的周长的最大值为6.
高频考点四：周长（边长）最值（边的代数和最值）
典型例题
例题1．已知
的内角
的对边分别为
，若
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式求解即可；
（2）先利用三角形的面积公式求出
，再根据余弦定理结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）由
，得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
；
（2）因为
，所以
，
由余弦定理得
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
．
例题2．记
的角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出
，再根据二倍角公式和商数关系结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得：
，
即
，
由余弦定理得：
，
因为
，所以
；
（2）由正弦定理：
，
，
则
，
又因为
代入得：
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为3．
例题3．在
中，内角
所对的边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
的中线
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）
.
.
（2）
为中线
结果.
【详解】（1）由题可得，
，结合正弦定理可得
，
因为
，所以
，得
，
因为
，所以
．
（2）易知
，（技巧：向量的平行四边形法则）
两边同时平方得
，得
．
法一：
可化为
，
因为
，所以
，
所以
，得
，
当且仅当
时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到）
所以
的最大值是4．
法二：
，
令
则
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立．（点拨：三角函数的有界性）
所以
的最大值为4．
精练高频考点
1．记
的内角
（其中
为钝角）的对边分别为
，已知
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的最值．
【答案】(1)
(2)最小值为
，无最大值
【分析】(1)先利用正弦定理得到
和
的关系，然后再结合
得到
的值，最后用
和角余弦公式即可求得
.
(2)由（1）知
，利用余弦定理将
用
和
表示，
的表达式由多项式组成，所以
在分母会使化简
很复杂，所以转化为其倒数结合
和
关系化简即可得到
的最值.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理
，
得
，
因为
，所以
，
因为
是以
为钝角的三角形，所以
为锐角，
则
，故
．
（2）由（1）可得
，结合余弦定理有
，
因为
，所以
，
则
，
因为
，则
，
所以
，
故
的最小值为
，无最大值．
2．记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)若
，求
的大小；
(2)若
的外接圆半径为2，试确定
的关系式，并求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
，最大值为
【分析】（1）根据余弦的和角公式可得
，即可代入求解，
（2）根据诱导公式可得
，即可利用正弦定理边角互化，结合二倍角公式以及二次函数的性质即
可求解最值.
【详解】（1）由
可得
，
即
，进而得到
，
当
可得
，
由于
，故
.
（2）由
可知
为钝角，进而
为锐角，
故
，因此
，
则
，
由正弦定理得
，
故当
时，此时
取最大值
.
3．在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用边角互化思想得
，由余弦定理求出
的值，从而得出角
的值；
（2）由三角形的面积公式得出
的值，再由基本不等式即可计算得解．
【详解】（1）由正弦定理得
，
又由余弦定理得
，
因为
是三角形内角，所以
；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得
，
因为
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为4，此时
为等边三角形．
高频考点五：周长（边长）取值范围（周长取值范围）
典型例题
例题1．在
中，
，
．
(1)求
；
(2)求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出
，由
求出
的取值范
围，结合正弦型函数的基本性质可求得
周长的取值范围.
【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，所以
，所以
，故
.
（2）由正弦定理
，可得
，
所以
，
，所以
.
因为
，所以
，
因为
，
所以
.
因为
，所以
，所以
.
所以
，即
，所以
，
即△
周长的取值范围为
.
例题2．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化角为边，再结合余弦定理求
；
（2）由（1）结合余弦定理可得
，再利用基本不等式求
的范围，由此可得结论.
【详解】（1）设
的外接圆的半径为，
由正弦定理可得
，
，
，
因为
，
所以
，
所以
，
由余弦定理可得
，
又
，可得
；
（2）由题意可得
，
，
由余弦定理可得
，
即
，
所以
，
所以
，
又
，
故
，当且仅当
时取等号，
即
的周长的取值范围为
.
例题3．
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）利用正弦定理得
，所以
，将
的周长的取值范
围转化为正弦型函数的值域问题求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理得：
，
即
，所以
，
由于
，所以
，又
，
所以
.
（2）由正弦定理得：
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
故
，所以
.
故
的周长的取值范围为：
.
精练高频考点
1．在
中，角A，B，C 所对的边是a，b，c，且满足
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)求
面积的最大值．
(3)求
周长的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）方法一用正弦定理边角互化，方法二用余弦定理边角互化，都可将条件转化成
，
结合三角形内角的范围即可求得；
（2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式求出
的最大值，即可求得面积最大值；方法2：利用正弦定
理化边为角，列出三角形面积公式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，根据三角函数的值域求得其
最大值；
（3）方法1：利用余弦定理结合基本不等式求出
的最大值，利用三角形三边关系定理求出其范围，即
得周长范围；方法2：利用正弦定理化边为角，列出
的表达式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函
数，根据三角函数的值域求其范围即得.
【详解】（1）方法1：
因为
，所以
．
由正弦定理可得：
，即
．
因为角
为
的内角，所以
，
因此
，又因为
，所以
．
方法2：
因为
，所以
．
利用余弦定理：
，
化简得：
．
又由余弦定理：
，
可得：
，又因为
，故
．
（2）方法1：
由余弦定理 ：
及
，得：
，
即
．当且仅当
时等号成立，
所以三角形面积
，
即
面积的最大值为
.
方法2：
由正弦定理，
，可得：
，
则
．
利用
，代入化简得：
．
因为
，所以
，即
，
因此
，
故
的面积的最大值为
．
（3）方法1：
由余弦定理
，代入
得：
．
利用不等式
，可得：
，
即
，故
．
又因为
，故得
，
即
周长的取值范围是
．
方法2：
由
，得
．根据正弦定理：
，
故
．
因为
，所以
，即
．
因此
，
即
周长的取值范围是
．
2．设向量
，
.函数
.
(1)求
的单调增区间；
(2)求
在
上的零点；
(3)在
中，若
，且边
，直接写出
周长的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
或
或
或
或
(3)
【分析】（1）利用平面向量数量积坐标公式结合三角恒等变换求出函数解析式，最后利用正弦函数的性
质求出函数的单调递增区间；
（2）结合正弦函数的性质，令
求解即可；
（3）首先利用
求出
的值，然后利用正弦定理表示三角形的边，根据两角和的正弦公式和辅助
角公式将周长变形，再由角的范围结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）
，
令
，解得
，
，
因此单调增区间为
，
.
（2）
，即
，
因为
，所以
，所以
或
或
或
或
，
解得
或
或
或
或
，所以
在
上的零点为
或
或
或
或
；
（3）由（1）知，
，所以
，
又因为
，所以
，由正弦定理
，
所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
即
，所以
周长的取值范围为
.
3．在
中，
．若
，
(1)求
面积的最大值；
(2)求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式求出
，即可求出
，再由余弦定理及
基本不等式求出
的最大值，即可得解；
（2）结合（1）及基本不等式求出
的范围，即可得解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得：
，
则
，
所以
，
所以
，
因为
为
的内角，所以
，所以
.
又
，所以
.
由余弦定理
，即
．
因为
，当且仅当
时取“
”，
所以
．
所以
．
当
为等边三角形时，面积取得最大值为
．
（2）因为
，
且
，当且仅当
时取“
”，
所以
，
又
，所以
，
所以
，
所以
周长的取值范围为
.
高频考点六：周长（边长）取值范围（边的代数和取值范围）
典型例题
例题1．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，且边
的中线
的长为
，求
的面积；
(3)若
是锐角三角形，求
的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得
得解；
（2）根据余弦定理可得
，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得
，再利用面积公式，即
可求解；
（3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得
，再根据角的范围，结合三角函数
的性质即可求解．
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
所以
，
得到
，即
，
又
，
，所以
，
又因为
，可得
.
（2）因为
，且
，
所以由
，可得
，解得
，
由题意
，
两边平方，可得
，
因为
，所以
，解得
或
（舍），
则
的面积为
.
（3）因为
，
由题知，
，解得
，
因为
，
所以
，可得
，
可得
，
所以
．
例题2．在
中，
，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件
①：
；条件②：
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理和同角三角函数关系得到
，故
，由余弦定理得到
，
利用三角形面积公式进行求解；
选②，由余弦定理求出
，
，由三角形面积公式求出答案；
（2）解法一：由余弦定理和基本不等式得到
，结合三角形的三边关系可知
，从而
求出
的取值范围；
解法二：由正弦定理得到
，结合三角恒等变换得到
，结合
，求出
，得到答案.
【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得
．
因为
，所以
，
所以
，得
．
因为
，所以
．
在
中，当
时，
由余弦定理
，
得
，即
，所以
，
所以
．
选条件②：因为
，整理得
．
由余弦定理，得
．
因为
，所以
．
在
中，当
时，
由余弦定理
，
得
，即
，所以
，
所以
．
（2）解法一：由题设及（1）可知
．
由余弦定理，得
，
化简得
．又
，
所以
，
解得
，
当且仅当
时等号成立，
由三角形的三边关系可知
，
所以
，即
的取值范围为
．
解法二：由题设及（1）可知
．
由正弦定理，得
，
所以
，
得
，
因为
，则
，
所以
，
故
，
所以
，即
的取值范围为
．
例题3．已知向量
，设函数
．
(1)求函数
的最小正周期：
(2)若
，且
，求
的值；
(3)在锐角
中，角
的对边分别为
，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算、二倍角正余弦公式及辅助角公式得
，进而
求最小正周期；
（2）由题设
，结合已知及平方关系求
；
（3）由题设得
、
，再由已知及正弦定理得
求目标式的范围.
【详解】（1）由题设
，
所以最小正周期
；
（2）由（1）及已知
，
由
，且
，
，
所以
，可得
，
所以
，且
，可得
（负值舍）；
（3）由题设
，
，可得
，
所以
，则
，
由
，可得
，
所以
，
由
，可得
，则
，
所以
，故
.
精练高频考点
1．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求B．
(2)若
为锐角三角形，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后可利用余弦定理求得结果；
（2）首先根据正弦定理表示
，再结合三角函数恒等变形，以及三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）
由正弦定理得：
，
，
，
（2）
，
由正弦定理得
，
，
，
所以
的取值范围为
2．已知向量
，
，函数
．（注：
表示向量
、
的夹角）
(1)求函数
零点；
(2)若锐角
的三内角
、
、
的对边分别是
、
、，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出函数
的解析式，解方程
，即可得出函数
的零点；
（2）由
结合角
的取值范围可得出
的值，利用正弦定理结合三角恒等变换得出
，求出角
的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】（1）已知向量
，
，
，
，
由
可得
，解得
，
故函数
的零点为
.
（2）由正弦定理得
①，
由（1）
及
，得
，所以
，解得
，
又
，得
，
，
，代入①式化简得：
，
又在锐角
中
，解得
，
所以
，则有
，即：
．
所以
的取值范围是
．
3．已知向量
，
，
，其中A 是
的内角，
.
(1)求角A 的大小；
(2)若角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
，由
可得
，由
可得B 为钝角，由此可求结论；
（2）根据正弦定理证明
，
，化简可得
，根据
在
上单调递减即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，由
，得B 为钝角，
则A 为锐角，故
，所以
，故
；
（2）因为
，由正弦定理得
，
所以
，
，
则
，
因为函数
，
在
上单调递减，
所以
在
上单调递减，
代入值计算得
，
故
的取值范围为
.
频考点七：周长（边长）取值范围（锐角三角形中周长（边长）取值范围）
典型例题
例题1．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)求角
；
(2)若
的角平分线交
于点
，且
，
，求
边的长度；
(3)若
为锐角三角形，
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解；
（2）结合角分线的性质及三角形面积公式化简可得解；
（3）由正弦定理进行边角互化可得
，结合三角恒等变换可得
，结合三角函数性质可得取值范围.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可知
，即
，
又由余弦定理可知
，
又
，则
；
（2）由已知
的角平分线交
于点
，
则
，
又在
中，
，
即
，
即
，
解得
；
（3）由正弦定理可知
，
则
，
，
又在
中，
，
则周长
，
因为
为锐角三角形，
则
，即
，
则
，
所以
，
故周长
.
例题2．在
中，内角
的对边分别是
，已知
，且
.
(1)求
；
(2)若
为
内一点且
，求
长度的最大值；
(3)若
为锐角三角形，求
的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理将角转化为边可得
，再根据余弦定理即可求解；
（2）取
的中点
，连接
，由向量的加法可得
为
的中点，利用向量的中线公式及余弦定理结
合不等式可得
，即可求解；
（3）根据正弦定理可得
，
，利用三角形内角和定理和三角恒等变换可得
，根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
整理可得
，所以
，
因为
，所以
；
（2）取
的中点
，连接
，所以
，
因为
，所以
，所以
为
的中点，
因为
，
所以
，
由余弦定理可得
，即
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，所以
，
所以
，所以
长度的最大值为
；
（3）由正弦定理得
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，所以
，
所以
的周长的取值范围为
.
例题3．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，
平分
，求
的值；
(3)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）利用正弦定理以及
化简，得
，即可求解；
（2）设
，由角平分线定理得
，在等腰
中求出
，再在
中利用余弦定理得
，建立方程，得出
，即可求得
，进而计算
；
（3）利用正弦定理以及
，将
表示为关于角
的函数关系式，再根据锐角三角形求出角
的范
围，即可求函数值域.
【详解】（1）由
得
，
由正弦定理得
，
即
，
得
，
因为
，
为三角形内角，所以
或
（舍去），
所以
，
因
，则
．
（2）由（1）得
，
平分
，则
，
设
，因
，则
，
因为
平分
，则由角平分线定理得
，
则
，
在等腰
中，
，在
中由余弦定理得，
，
由
，得
，
，
又因为
，则
，
，所以
．
（3）在
中由正弦定理得
，
得
，
，所以
，
又因为
，
所以
因为
为锐角三角形，则
，
且
，
则
，
，解得
，则
，
所以
，
所以
周长的取值范围为
．
精练高频考点
1．在锐角
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出
，利用
为锐角三角形求出
角
的取值范围，然后结合正弦型函数的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
所以
，
因为
，则
，
所以
，故
.
（2）由正弦定理可得
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则
，可得
，
所以，
，则
，
故
，
因此，
周长的取值范围是
.
2．在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
，
，
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长．
(3)若三角形为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解；
（2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解；
（3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解.
【详解】（1）
，
，
即
，
，
，
又
，
，
，
（2）
，
，
，
，
，
的周长为
．
（3）在锐角三角形ABC 中，
，
因为根据正弦定理
，所以
，
因为三角形周长为
，
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，即
，所以
，
即
，
，
所以
.
3．在①
，②
，③
这三
个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
已知
是
的三个内角
的对边，且__________.
(1)求
；
(2)若
，求锐角
的周长的取值范围.
【答案】(1)选①②③，答案均为
(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理得到
，利用余弦定理得到
；选②，利用恒等变换得
到
，结合
，求出
；选③，由正弦定理和三角恒等变换得到
，求出
答案；
（2）由正弦定理得到
，变形得到
的周长
，利用
是锐角三角形，所以
，结合正弦曲线求出取值范围.
【详解】（1）选①，由
，
可得
，
因为
及正弦定理，可得
，
所以
，整理得
，
则
，因为
，所以
；
选②，由
，可得
，
即
，
因为
，可得
，所以
，即
；
选③，由
，由正弦定理得
，
即
，
即
，
整理得
，
因为
，可得
，
即
，因为
，所以
.
（2）由
，可得
，
故
，
所以周长
，
又由
，可得
，
，
又因为
是锐角三角形，所以
，
即
，解得
，
可得
，所以
，
所以
，
所以
的周长的取值范围为
.
