文档内容
专题 01 与三角形的边有关的四种题型
类型一、利用三边关系简绝对值
例．若a，b，c是△ABC的三边，则化简 的结果是（ ）
A． B．
C． D．0
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，
得到a-b-c<0，b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】根据三角形的三边关系，得
a-b-c<0，b-a-c <0
∴原式=
故选B．
【点睛】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
【变式训练】按要求完成下列各小题．
(1)在 中， ， ， 的长为偶数，求 的周长；
(2)已知 的三边长分别为3，5，a，化简 ．
【答案】(1) 的周长为
(2)
【分析】（1）根据三角形的三边关系以及 的长为偶数，即可求得 的长，从而即可
得解；
（2）根据三角形的三边关系可求得 的取值范围，从而化简不等式计算即可．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得： ，即 ．
∵ 为偶数，
∴ ，
∴ 的周长为 ；
（2）解：∵ 的三边长分别为3，5，a，
∴ ，解得 ，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边是解题的关键．类型二、确定三边的范围
例．三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有 个．
【答案】3
【分析】根据周长小于13，三角形三边为互不相等的整数，三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边可确定三边可选的数字为2、3、4、5，由此可得这样的三角形以及个
数．
【详解】解：根据三角形的两边之和大于第三边以及三角形的周长小于13，则其中的任何
一边不能超过6.5；
根据三角形各边为整数，所以任何一边都大于1，且小于6，故三边可选的数字为2、3、
4、5；
根据各边不相等可得，三边可以为：2、3、4；2、4、5；3、4、5；
故这样的三角形共有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值
范围及对三角形三边的理解把握．
【变式训练1】△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和
△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和
大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围．
【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
,∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
∵AB=3，AC=4，
∴4-3＜AE＜4+3， 即1＜AE＜7，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练
掌握倍长中线法构造全等三角形.
【变式训练2】在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21
两部分，则这个三角形的底边长为 ．
【答案】16或8
【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性
质及三角形三边关系可求出底边为8或16．
【详解】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x
又知BD将三角形周长分为15和21两部分
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8
经验证，这两种情况都是成立的
∴这个三角形的底边长为8或16
故答案为：16或8【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三
边，两边只差小于第三边），注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思
想是解题的关键．
【变式训练3】一个三角形有两边长分为3与2．若它的第三边的长为偶数．则它的第三边
长为 ．
【答案】2或4
【分析】根据三角形的边的关系，求得第三边的取值范围，在结合偶数条件，即可确定答
案．
【详解】解：设第三边长为x
根据三角形的边的关系可得：1＜x＜5，
又由第三边为偶数，所以第三边长为2或4
故答案为2或4
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，确定第三边的取值范围是关键．也可使用列举，
但是容易因遗漏导致错误．
类型三、三角形的中线问题
例．如图，在 中，点 是 边上一点， ，连接 ，点 是线段
上一点， ，连接 ，点 是线段 的中点，连接 交线段 于点 ，
若 的面积是12，则 的面积是 ．【答案】
【分析】连接 ， ．由题意中的线段的比和 ，可推出 ，
，从而可求出 ， ．结合中点的性质
即得出 ，从而可求出 ，进而得出
，最后即得出 ，最后即可求出
．
【详解】解：如图，连接 ， ．
∵ ， ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ， ．
∵点 是线段 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ,
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查线段的中点的性质，线段的n等分点的性质，与三角形的高有关的计算
问题．正确的连接辅助线是解题关键．
【变式训练1】如图，在 中，D是边 的中点，E、F分别是边 上的三等分点，
连接 分别交 于G、H点，若 的面积为90，则四边形 的面积为
．
【答案】
【分析】如图: 连接 ，设 ， ，根据“等底同高的三角形面积相等”
可得 、 、 、
、 ，进而列出二元一次方程组 求
解可得 ；同理：连接 ，设 ， ，可得
，最后根据 即可解答．
【详解】解： 如图: 连接 ，设 ， ，E、F分别是边 上的三等分点， 的面积为90，
∴ ， ， ，
∵D是边 的中点，
∴ ，
∵ ,即 ， ，即
∴ ，解得： ，即 ；
如图: 连接 ，设 ， ，
∴ ，
∵ ,即 ， ，即
∴ ，解得： ；
∴ ,
. ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、三角形的等分点、解二元一次方程组等知识点，通
过做辅助线、明确各三角形之间的面积关系是解答本题的关键．
【变式训练2】如图，点C为直线 外一动点， ，连接 ，点D、E分别是
的中点，连接 交于点F，当四边形 的面积为5时，线段 长度的最小值为 ．
【答案】5
【分析】如图：连接 ，过点C作 于点H，根据三角形中线的性质求得
，从而求得 ，利用垂线段最短求解即可．
【详解】解：如图：连接 ，过点C作 于点H，
∵点D、E分别是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线、利用中
线分析三角形的面积关系是解题的关键．
【变式训练3】如图，在 中，已知 为 的中线，过点A作 分别交
、 于点F、E，连接 ，若 ， ， ，则 ．【答案】84
【分析】根据 为 的中线，可得 ， ，通过题中条件可求
得 ，根据 ，可得 ， ，
设 ，则 ， ，故
，根据 ，列方程 ，即可解答．
【详解】解： 为 的中线，
， ，
，
，
，
， ，
设 ，则 ，
，
，
根据 ，列方程 ，
解得 ，
．
故答案为：84．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之
比是解题的关键．
类型四、三角形的面积综合
例．如图①，在平面直角坐标系中，A(a，0)，C(b，2)，且满足 (a+2)2 + =0，过C作
CB⊥x轴于B．(1)直接写出三角形ABC的面积 ；
(2)如图②，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED
的度数；
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等？若存在，求出P点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)45°
(3)P(0，-1)或(0，3)
【分析】（1）先依据非负数的性质可求得a、b的值，从而可得到点A和点C的坐标，接
下来，再求得点B的坐标，最后，依据三角形的面积公式求解即可；
（2）过E作 ，首先依据平行线的性质可知∠ODB＝∠6，∠CAB＝∠5，接下来，
依据平行公理的推理可得到 ，然后，依据平行线的性质可得到∠1＝∠3，
∠2＝∠4，然后，依据角平分线的性质可得到∠3＝ ∠CAB，∠4＝ ∠ODB，最后，依
据∠AED＝∠1＋∠2＝∠3＋∠4求解即可；
（3）①当P在y轴正半轴上时，设点P（0，t），分别过点P，A，B作MN x轴，AN y
轴，BM y轴，交于点M，N，然后，用含t的式子表示出AN，CM的长，然后依据
S APC=S MNAC-S CMP-S ANP=4列出关于t的方程求解即可；②当P在y轴负半轴上时，
梯形
分△ 别过点P，A，B作△ MN △x轴，AN y轴，BM y轴，交于点M，N，设点P（0，a），
然后用含a的式子表示出AN、CM的长，最后，依据S APC=S MNAC-S ANP-S CMP=4
梯形
列方程求解即可． △ △ △
【详解】（1）解：∵(a+2)2+ =0，
∴a+2=0，b-2=0，
∴a=-2，b=2，
∵CB⊥AB，
∴A(-2，0)，B(2，0)，C(2，2)，
∴△ABC的面积为： ×2×4=4．
故答案为：4．（2）∵CB y轴，BD AC，
∴∠CAB=∠5，∠ODB=∠6，∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90°，
过E作EF AC，如图所示：
∵BD AC，
∴BD AC EF，
∵AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，
∴∠3= ∠CAB=∠1，∠4= ∠ODB=∠2，
∴∠AED=∠1+∠2= (∠CAB+∠ODB)=45°．
（3）①当P在y轴正半轴上时，如图所示：
设P(0，t)，过P作MN x轴，AN y轴，BM y轴，
∵S APC=S MNAC-S CMP-S ANP=4，
梯形
△ △ △
∴ -t-(t-2)=4，
解得：t=3；
②当P在y轴负半轴上时，如图所示：设P(0，a)，过P作MN x轴，AN y轴，BM y轴，
∵S APC=S MNAC-S ANP-S CMP=4，
梯形
△ △ △
∴ +a-(2-a)=4，
解得：a= -1；
∴P(0，-1)或(0，3)．
【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，解答本题主要应用了非负数的性质、三角
形的面积公式，平行线的性质，依据三角形的面积公式、梯形的面积公式依据图形中相关
图形之间的面积关系列出关于a和t的方程是解题的关键．
【变式训练1】如图1，已知点 ， ， ，过点 作 轴的平行线 ，
一动点 从 点出发，在直线 上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线
以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动．
(1)直接写出：运动1秒时，点 的坐标为______；运动 秒时，点 的坐标为______；（用
含 的式子表示）
(2)若点 在第三象限，且 ，求点 的坐标；
(3)如图2，如果将直线 沿 轴负半轴向下平移 个单位长度，恰好经过点 ，求 的值．
【答案】(1) ，(2)
(3)10
【分析】（1）每运动1秒，点 向右移动1个单位长度，向上移动2个单位长度，由此可
解；
（2）连接OP， ，由此可解；
（3）由平移的性质和规律即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意可知，每运动1秒时，点 向右移动1个单位长度，向上移动2
个单位长度．
运动1秒时，点 的坐标为 ，即 ；
运动 秒时，点 的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：如图，连接OP．
∵点 ， ，
∴ ， ，
∵点 ，在第三象限，
∴ ， ，
∴点P到y轴的距离为 ，
点P到x轴的距离为 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ；
（3）解：如图，设直线m与y轴交于点D．
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴直线 沿 轴负半轴向下平移2个单位长度时经过点 ，
由（2）知， ， ，
∴直线 沿 轴负半轴每向下平移2个单位长度，直线 与直线m的交点向左平移1个
单位长度，
∵点 向左平移4个单位长度到达点C，
∴将直线 沿 轴负半轴向下平移 个单位长度，恰好经过点 时， ，
即 的值为10．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形的特点、三角形面积、平移的性质等
知识点，综合性较强，熟练掌握三角形面积公式和平移的性质是解题的关键．
【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，A( ，0)，C(b，2)，且满足
，过C作CB⊥ 轴于B．(1)求三角形ABC的面积．
(2)如图2，若过B作BD∥AC交 轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED
的度数．
(3)若AC交 轴于点F，在 轴上是否存在点P，使得三角形ACP的面积是三角形AOF的
面积的4倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)45°
(3)P坐标为(0，3)或(0，-1)
【分析】（1）根据非负数的性质可列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b，即得出
A、B、C三点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）过E作EF∥AC，根据平行线的性质结合角平分线定义即可求解；
（3）连接OC．根据 和 ，即可求出 ，从而可求
出 ．分类讨论①当P点在x轴上方时，作 轴， 轴， 轴，
分别交于点M、N．设P(0，m)，根据 ，即可求出m的值，
即得出答案；②当P点在x轴下方时，作 轴， 轴， 轴，分别交
于点 、 ．设设P(0，n)，根据 ，即可求出n的值，即
得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ．
∴A(-2，0)，C(2，2)．
∵CB⊥AB，
∴B(2，0)，
∴AB=4，CB=2，∴ ；
（2）如图，过E作EF∥AC．
∵CB⊥x轴，
∴CB∥y轴，∠CBA=90°，
∴∠ODB=∠6．
又∵BD∥AC，
∴∠CAB=∠5，
∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°-∠CBA=90°．
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4．
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，
∴∠3= ∠CAB，∠4= ∠ODB，
∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4= (∠CAB+∠ODB)=45°；
（3）如图，连接OC．
∵ ， ，
∴ ．∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
分类讨论：①当P点在x轴上方时，如图，作 轴， 轴， 轴，分别交
于点M、N．
设P(0，m)
则AM=m，MP=2，NP=2，NC=m-2，MN=4，
∴
，
∴ ，
解得： ．
∴此时点P坐标为(0，3)；
②当P点在x轴下方时，如图，作 轴， 轴， 轴，分别交于点 、
．
设P(0，n)，则 =-n， =2， =2， =2-n， ，
∴
，
∴ ，
解得： ．
∴此时点P坐标为(0，-1)．
综上可知点P坐标为(0，3)或(0，-1)．
【点睛】本题考查非负数的性质，解二元一次方程组，坐标与图形，角平分线的定义，三
角形的面积公式，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
课后训练
1．如图，在 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点D，使得 ，
延长 至点E，使得 ，连接 、 、 ，若 ，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先设 的面积为 ，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其
余各个三角形的面积表示出来，总面积为 ，解得 的面积．
【详解】解：如图，连接 、 ，设 的面积为 ，，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积为 ，
,
的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，
，
，即 的面积为2
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质
是解题的关键．
2．已知如图， 是等腰直角三角形， ，A点在x轴负半轴上，直角顶点C
在y轴上，点B在x轴上方．
(1)如图1，点C的坐标是 ．
①若 ，则 ______；
②若A的坐标是 ，求点B的坐标．
(2)如图2，若x轴恰好平分 ， 与x轴交于点E，过点B作 轴于F，问
与 有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)① ；②
(2) ；理由见解析
【分析】（1）①根据直角三角形的性质即可得到结果；②过点B作 轴，证明，求得 ， ，即可得到点B的坐标
（2）延长 、 交于点H，证明 ，得到 ，再证明
，即可得到
【详解】（1）①∵点C的坐标是 ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴ ，
∴
②过点B作 轴，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
（2） ，理由如下：
延长 、 交于点H，∵ ，
∴ ，
∵x轴平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、
全等三角形的判定和性质及角平分线的定义，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形
3．不等边 两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长度也是整数，求第三条高的
长.
【答案】第三条高的长为5.
【分析】可设高为12时对应边长x，则利用等面积法可求得长度为4的高对应的边长为
3x，设第三边y，根据三边关系有 ，即 ，第三边上的高（设为
），利用等面积法可知满足 ，求得z取值，再利用z为整数和三角形不等边
可求得z.
【详解】设长度为12的高对应的边长为
则长度为4的高对应的边长为
则第三边（设为 ）满足
即
故第三边上的高（设为 ）满足
即∵ 为整数
∴ 或5
当 时，三角形为等腰三角形，不符合题意
故 .第三条高的长为5.
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解本题的关键是灵活利用等面积法将三边长度联
系起来，并注意结果一定要符合题意，
4．三边长均为整数，且周长为30的不等边三角形有多少个？
【答案】18
【分析】不妨设三角形三边为 、 、 ，且 ，由三角形三边关系定理及题设条件
可确定 的取值范围，以此确定 的值，再确定 、 的值．
【详解】解：设三角形三边为 、 、 ，且 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ 为整数，
∴ 为 、 、 、 、 ，
∵①当 为 时，有1个三角形， ， ， ；
②当 为 时，有2个三角形， ， ， ； ， ， ；
③当 为 时，有4个三角形， ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；
④当 为 时，有5个三角形， ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ，
， ；
⑤当 为 时，有7个三角形， ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；
， ， ； ， ， ； ， ， ；
都是整数的三角形共有19个，其中不等边三角形共有18个．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围是
解题关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上，点C在y轴上，若点 ，点
，点 ，且 ．(1)求a，b的值；
(2)动点P从点O出发沿着y轴的正半轴以每秒1个单位长度的速度运动，连接 ，设
的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的关系式；
(3)在（2）的条件下，点D是直线 上一点，点D的横坐标为1，连接 ， ，若
的面积为 ，求点P的坐标．
【答案】(1) ； ；(2) 或 ；(3) 或
【分析】（1）根据 即可得到答案；
（2）分点P在 点下方与上方两类讨论，根据面积加减即可得到答案；
（3）过点D作 于点E，根据点D的横坐标为1即可得到 ，从而求出 ，
结合 的面积为 ，代入求解即可得到答案；
【详解】（1）∵点 ，点 ，点 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ；
（2）解：当点P在OC上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
当点P在OC的延长线上时，∵ ，
∴ ，
∴ 或 ；
（3）解：过点D作 于点E，
∵点D的横坐标为1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
∴ ，
∵ ，
∴
当 时 ，
∴
当 时 ，∴
∴ 或 ．
【点睛】本题考查动点三角形面积问题，解题的关键是分类讨论出现的情况，根据面积加
减列式求解．
6．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，
b），C（0，c）， ，b为 的整数部分．
(1)a＋b＋c＝ ；
(2)点P为坐标平面内的一个动点，若S PBC＝2S ABC，求点A与点P距离的最小值；
(3)如图2，点D在线段AB上，将点D△向右平移△4个单位长度至E点，若△ACE的面积等
于14，求点D坐标．
【答案】(1)-5
(2)4
(3)D
【分析】（1）根据二次根式的非负性、二次方的非负性求出a、c的值，根据b为 的整
数部分，求出b的值，即可得出答案；
（2）根据点P在一条平行于y轴的直线上，根据垂线段最短，即可得出点A与点P距离的
最小值；
（3）连接OD、OE，设点D的坐标为（m，n），根据 ，得出
，根据平移的性质，得出E（2n，n），根据 列出关于
n的方程，解方程即可得出n的值，得出D点的坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，解得： ，∵ ，
∴ 的整数部分是2，
∴ ，
∴ ．
故答案为：-5．
（2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c），
∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3），
∴ ，
∵S PBC＝2S ABC，
△ △
∴ ，
∵ ，
∴点P到BC的距离为： ，
∵点B、C在y轴的直线上，
∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8，
∴点P在直线 或直线 上，
∵点A到直线 的最小距离为 ，点A到直线 的最小距离为：
∴点A与点P之间最小距离为： ．
（3）解：连接OD、OE，如图所示：
设点D的坐标为（m，n），
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴D点坐标为（2n-4，n），
∵点D向右平移4个单位长度得到点E，∴E（2n，n），
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了点与坐标的关系，非负性的应用，平移的性质，
利用等积法求解等知识，能灵活应用相关知识点，是解题的关键．
