难点02与三角形有关的常考题型（6大热考题型）（解析版）_2数学总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮知识梳理_常考02+与三角形有关（6大热考题型）

难点 02 与三角形有关的常考题型 （6 大热考题型） 题型一：三角形三边关系的应用 题型二：用三角形的高的应用 题型三：三角形中线性质的应用 题型四：与平行线有关的三角形角度计算 题型五：与角平分线有关的三角形内角计算 题型六：平行线间的距离折叠背景下的三角形内角计算 题型一：三角形三边关系的应用 【中考母题学方法】 【典例1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这 个三角形的周长为（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得 ， ，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，进而即可求出三角形的周长，掌 握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程 得， ， ， ∵ ， ∴等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ， ∴这个三角形的周长为 ， 故选： ． 【变式1-1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在 中， ，以 为边作 ， ，点D与点A在 的两侧，则AD的最大值为（ ）A． B． C．5 D．8 【答案】D 【分析】如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ，求解 ，结合 ，（ 三点共线时取等号），从而可得答案． 【详解】解：如图，把 绕 顺时针旋转 得到 ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ，（ 三点共线时取等号）， ∴ 的最大值为 ， 故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合 适的辅助线是解本题的关键． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架 的长度都为 （连接处的长度忽略不计）， 则B，C两点之间的距离可能是（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出 的取值范围，判断各选项即可得的答案．本 题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 即 ． 只有A选项数值满足上述的范围， 故选：A． 2．（2024·云南曲靖·一模）菱形 的一条对角线长为8，边 的长是方程 的一个根， 则菱形 的周长为（ ） A．16 B．20 C．16或20 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程等知识，先解方程得 ， ， 再根据菱形的性质和三角形三边关系得到 ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，边 的长是方程 的一个根， 解方程： ， ∴ 解得： ， ， ∵菱形 的一条对角线长为8， ∴当 时， ，不能构成三角形， 当 时， ，能构成三角形，∴ ， ∴菱形 的周长 ， 故选：B． 3．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝 放置在数轴上，点A，B对应的数分别为 ， 5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为 ，则点D在数轴上对 应的数可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点的距离、三角形的三边关系、解不等式组，先求得 ， ，设D对应的 数为x，根据三角形的三边关系列不等式求得得到x的取值范围，进而可作出选择． 【详解】解：设D对应的数为x， ∵点A，B对应的数分别为 ，5，点C对应的数为 ， ∴ ， ， ， ， 根据题意， ， ， 则 ， 解得 ， ∴点D在数轴上对应的数可能为2， 故选：A 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边 的长可能为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰三角 形的性质和三角形的三边关系求解即可． 【详解】解： 为等腰三角形， 为 或 ， ， ， 故选：B． 5．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种 情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能 构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 6．（2024·贵州黔东南·二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需 要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系并运用是解题的关键．根据三角形三 边关系定理，即“三角形任意两边之和大于第三边”、“三角形任意两边之差小于第三边”进行计算，逐 一判断即可解答． 【详解】解：A、∵ ，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵ ，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；C、∵ ，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵ ， ，∴能组成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 7．（2024·河北邢台·模拟预测）题目：“如图， ， ，在射线BM上取一点A，设 ， 若对于d的一个数值，只能作出唯一一个 ，求d的取值范围．”对于其答案，甲答： ，乙答： ，丙答： ，则正确的是（ ） A．只有甲答的对 B．乙、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系及等腰三角形以及直角三角形的知识，熟练掌握直角三角形的性 质及三角形的三边关系是解题的关键．由题意知，当 或 时，能作出唯一一个 ，分 这两种情况求解即可． 【详解】由题意知，当 或 时，能作出唯一一个 ，分这两种情况求解即可． ①当 时， ∵ ， ， ∴ ， 此时 时，能作出唯一一个 ； ②当 时， ∵ ， ∴当 时能作出唯一一个 ； 综上，当 或 时能作出唯一一个 ， 故选：C．8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图， 为平行四边形， ，若 腰长为 ，则平行四边 形周长可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，由四边形 是平行四边形，得 ， ，从而有 ，则平行四边形 周长为 ，最后由三边关系即可求解， 熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∴平行四边形 周长为 ， 在 中，根据三角形三边关系得： ， ∴ ， ∴选项 符合题意， 故选： ． 9．（2024·贵州贵阳·一模）如图， 中， ，O为AC边上一点，且 ．点D在射线 上，且 ，连接 ．则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】构造平行四边形 ，则当A、B、 三点共线时 最小，然后依次求出 的长即可． 【详解】解：如图，构造平行四边形 ，∴ ， ∴ ， 当A、B、 三点共线时 最小， 过A作 交CD'于点E， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 即 的最小值是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，添加合适的辅助线是解题关 键． 10．（2024·贵州黔南·模拟预测）如图，在 中， ，过点 作直线 于点 ， ， 分别是直线 ，边 上的动点，且 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，如图，过 作 ，使 ，连接 ，证明 ，可得 ， ，可得 的最小值为 ，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过 作 ，使 ，连接 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ； 故答案为： 11．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知等腰三角形的周长 ，底边长 是腰长 的函数． (1)写出这个函数关系式． (2)求自变量 的取值范围． (3)画出这个函数的图像． 【答案】(1)(2) (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数关系式、函数自变量的取值范围及函数的图象； （1）根据等腰三角形的周长计算公式表示即可； （2）根据构成三角形三边的关系即可确定自变量 的取值范围； （3）可取两个点，在平面直角坐标系中描点、连线即可. 【详解】（1）解：这个函数关系式为 ； （2）由题意得 ，即 ， 解得 ， 所以自变量 的取值范围为 ； （3）当 时， ；当 时， ，函数关系式 （ ）的图象如图所示， 题型二：三角形高的应用 【中考母题学方法】 【典例 1】（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 一定是 的 （ ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得 ，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得： ， ∴线段 一定是 的高线；故选B 【典例2】（2024·山东德州·中考真题）如图，在 中， 是高， 是中线， ， ， 则 的长为（ ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据 和 求出 ，根据 是中线 即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ∵ 是中线， ∴ 故选：B 【变式2-1】（2024·河北·模拟预测）如图，D是 的边 上一点，将 折叠，使点C落在 上的点 处，展开后得到折痕AD，则AD是 的（ ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换 折叠问题 ，三角形的高线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠 的性质和三角形的高线的定义即可得到结论． 【详解】解： 将 折叠，使点 落在 边上， ∴ ，∵ ， ∴ ， ， 是 的高线， 故选：B． 【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点 A，B，C都在网格线的交点上，则 中边 上的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出 的长，再由三角 形面积求出 中边 上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键． 【详解】解：设 中边 上的高为 ， 由勾股定理得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 中边 上的高为 ， 故选：B． 【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若 ， ，点E为 的中点，过点E作 于点F，则 的长为（ ）A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理，连接 ．由等腰三角形三线合一性质可知 ， ，再由勾股定理求出 ，进而由三角形面积求出高 ． 【详解】如图，连接 ． ∵ ，点E为 的中点， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴在 中， ， ∵ ， ∴ ． 故选C． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·重庆·三模）如图， 中， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点 ，已 知 ， ，则 的面积为 ．【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据 证明 ，得到 ，再根 据 的面积 解答即可求解，证明 是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 在 与 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 的面积 ， 故答案为： ． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中， 的顶点 均为格点（网格线的交点）．(1)将 向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的 ； (2)仅用无刻度直尺作出 的高 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据网格线的特点取格点G，连接 交 于点P， 即为所求． 【详解】（1）解：如图所示， 为所求； （2）解：如图所示， 为所求． 取格点D，连接 交 于点P， 即为所求； 取格点M，N， 与 相交于点G， ∵ ， ， ∴∴ ∵ ， ∴ ∴ ，点P即为所求 3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）实践操作：如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线 段 的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． (1)作出一个面积等于9个平方单位的 ，使得点C落在格点上； (2)在（1）的条件下，作出 最大边上的高，垂足为D，并保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查格点作图，三角形的面积，勾股定理． （1）设 边上的高为h，利用勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式得到 ，取 格点P，Q，利用格点的性质，易得 ，连接 交 于格点 ，再取格点G，延长 交过格点G 的竖网格线与格点C，格点C即为所求； （2）根据格点的性质，取格点E，连接 ，交 于点D，易得 ，即 为所求． 【详解】（1）解：设 边上的高为h， ， ， ， 如图所示，格点C即为所求； （2）解：如图所示， 为所求．4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 的正方形网格中，A，B，C均为小正方形的顶点，仅用无刻 度的直尺画图，保留画图痕迹． (1)在图1中，点 为 与网格线的交点，先将点 绕点 顺时针旋转 ，画出点 的对应点 ，再在 上找点 ，使 ； (2)在图2中，先找点 ，使 ，且 ，再在 上找点 ，使 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出线段 绕点 顺时针旋转 得到的线段 ， 与网格线的交点即为点 的对应 点 ，连接 ，取 的中点为 ，作 交 于点 ，根据平行线分线段成比例可知 ，即 ，在 中， 为斜边上的中线，有 ，即有 ； （2）将线段 向下平移 个单位得到 （ 为 中点），作 的垂线 ，再将线段 向上平移 个单位与 的交点即为点 ，则有 ，易得 ，即有 且 ，取 ，连接 交 于点 ，利用相似三角形性质即可推出 ． 【详解】（1）解：所作点 的对应点 ，以及点 ，如下图所示：（2）解：所作点 ，点 如图所示： ，又 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，且相似比为 ，， ， ， 点 满足 ． 【点睛】本题考查复杂作图，旋转作图，平移作图，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，直 角三角形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型三：三角形中线性质的应用 【中考母题学方法】 【典例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知： ． (1)尺规作图：画出 的重心 ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接 ， ．已知 的面积等于 ，则 的面积是______ ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作 的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得 ，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示作法：①作 的垂直平分线交 于点 ②作 的垂直平分线交 于点 ③连接AD、 相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵ 是 的重心， ∴ ∴ ∵ 的面积等于 ， ∴ 又∵ 是 的中点， ∴ 故答案为： ． 【变式3-1】（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角 中， ， ， 边上的 中线 ，求 的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（ ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】C 【分析】图2中，证明 ，则 ， ， ，证明四边形 是平行四边形，则 ，由 ，可知 是直角三角形， ，则 ；可判断方法一可行；图3中，由题意知， 是 的 中位线，则 ，由 ，可知 是直角三角形， ，则 ；可判断方法二可行． 【详解】解：图2中，∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ， ∴ ；方法一可行； 图3中，由题意知， 是 的中位线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ， ∴ ；方法二可行；故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等 知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题 的关键． 【变式3-2】（2024·云南昆明·二模）如图， ， 是 的两条中线，连接 ．若 ，则 阴影部分的面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【详解】解： 是 的中线， ， ， 是 的中点， ， 故选：B 【中考模拟即学即练】 1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图， 的面积为10，点D，E，F分别在边AB， ，CA上， ， ， 的面积与四边形 的面积相等，则 的面积为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之 间的关系． 由题意可知 的面积和四边形 的面积相等，可通过连接 的方法，证明出 ，进而 求出 的面积，然后即可求出答案． 【详解】解：连接 ． ∵ ， ∴ ， ∵两个三角形有公共底 ，且面积相等， ∴高相等， ∴ ， 从而可得： ， ∴ ， 又 ， ， 即 ， 故选：C． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图， 是 的中线，点E是 的中点，连接 并延长，交 于点F，若 ．则 的长为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的 关键．过点A作 平行线交 延长线于点G，可得 ，通过比例式即可 求出 ，即可解决问题． 【详解】解：过点A作 平行线交 延长线于点G， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵点E是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 的中线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故选：B． 3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在 中 为 中点， 为 的角平分 线， 的面积记为 ， 的面积记为 ，则 ． 【答案】 【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作 ， 为 的角平分线， ∵ 为 中点， ∴ 设 ，则 则 ， 故答案为： ． 4．（2024·湖北随州·二模）如图，点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ，已知点B，C关于原点对称，则 的面积为 ． 【答案】3 【分析】根据题意先求出 ，再根据点 ， 关于原点对称得到 计算即可．本题考 查了反比例函数 值的几何意义，熟练掌握 值几何意义是关键． 【详解】解： 点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ， ， 点 ， 关于原点对称， ， ． 故答案为：3． 5．（2024·河南新乡·三模）如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺，分别根据下列要求画出图形，并用 实线保留作图痕迹． (1)请在图（1）中的线段 上作点D，使 最短； (2)请在图（2）中．在 上找一点M、使得 平分 面积； (3)访在图（3）中，在 上找一点N，使得 将 分成面积比为 的两部分（找到一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和垂线段最短画图即可； （2）根据三角形中线的性质找到 的中点即为所要求作的点M； （3）构造相似三角形利用相似三角形的性质将 分成 的两部分，连接 ，即为所求． 【详解】（1）如图所示，点D即为所求； （2）如图所示，点M即为所求； （3）如图所示，点N即为所求； ∵ ， ∴ ∴ ∴ ． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在 中， 是 边上的中线，请用尺规作图法在 边上作 一点 ，使得 .（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，与三角形中线有关的面积的计算，分别以点 、 为圆心，大于 的长度为半径画弧，交于 、 ，作直线 角 于点 ，点 即为所求，熟练掌握以上知识点 并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，点 即为所求，， 在 中， 是 边上的中线， ， 由作图可得： 垂直平分 ， ， ， ． 7．（2023·山东青岛·二模）【模型】 同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比． 已知，如图 ， 中， 为线段 上任意一点，连接 ，则有： ． 【模型应用】 （1）如图 ，任意四边形 中， 、 分别是 、 边的中点，连接 、 ，若四边形 的面积为 ，则 ___________ ．（2）如图 ，在任意四边形 中，点 、 分别是边 、 上离点 和点 最近的三等分点，连 接 、 ，若四边形 的面积为 ，则 ___________． （3）如图 ，在任意四边形 中，点 、 分别是边 、 上离点 和点 最近的 等分点，连 接 、 ，若四边形 的面积为 ，则 ___________ ． 【拓展与应用】 （4）如图 ，若任意的十边形的面积为 ，点 、 、 、 、 、 、 、 分别是 、 、 、 、 、 、 、 边上离点 、 、 、 、 、 、 、 最近的四等分点，连接 、 、 、 、 、 、 、 ，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】[模型应用]（1） ；（2） ；（3） ；[拓展与应用]（4） 【分析】本题考查了四边形面积、三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识； [模型应用]（1）由三角形的中线性质得 ， ，即可解决问题； （2）连接 ，由模型得 ， ，即可解决问题； （3）连接 ，由模型得 ， ,根据 ，即 可求解； [拓展与应用]（4）连接 、 、 ，由（3）得： ，同理， ， ， ，根据 ，即可求解． 【详解】解：[模型应用]（（1）E、 分别是 、 边的中点， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： ； （2）如图，连接 ， 点 、 分别是边 、 上离点 和点 最近的三等分点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ； （3）如图，连接 ， 点 、 分别是边 、 上离点 和点 最近的 等分点， ， ， ， ， ， ，， 故答案为： ； [拓展与应用]（4）如图，连接 、 、 ， 由（3）得： ， 同理， ， ， ， ， ， 故答案为： ．题型四：与平行线有关的三角形角度计算 【中考母题学方法】 【典例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行， 小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿 折叠，量得 ；小铁把纸带②沿 折叠，发现 与 重合， 与 重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上． 则下列判断正确的是（ ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得 ，利用三角形内角和定理求得 ， 再根据折叠的性质可得 ，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得， ， ，由平角的定义从而可得 ， ，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由折叠的性质得， ， ∴ ， ∴ 与 不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得， ， ，又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定 和折叠的性质是解题的关键． 【变式4-1】（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（ ）按如图方式摆放，使 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到 ，然后由平行线的性质得到 ， 然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 故选：C． 【变式4-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图， ， ， ，则 的度数为 （ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到 ，再根据是三角形内角 和求出 的度数． 【详解】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 【变式4-3】（2024·浙江台州·二模）将一个含30°角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆 放，其中 ，若 ，则 的度数是( ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得 ， 根据邻补角求得 ，由三角形内角和定理可求出 的度数． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·山东青岛·三模）把直角三角板 和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点 在纸片边缘 上，若 ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三年级内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键． 过点 作 ，则 ，根据平行线的性质得出 ，再根据三角形内角和得出 、 ，再根据角的和差得出 ，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：过点 作 ，则 ， ， ， ， 故选C． 2．（2023·山东临沂·一模）如图，直线 ，若 ， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质得到 ，再利用三角形的内角和定理解题即可．【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 3．（2024·湖南长沙·一模）如图，已知直线 ， ．若 ，则 的度数为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义和直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据 平行线的性质得到 的度数，再根据垂线的定义和直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， 又 ， ， ， ． 故选：B． 4．（2024·陕西西安·三模）如图，在 中， 是 的角平分线，点 在 上， ，若 ， ，则 （ ） A． B． C．22° D． 【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出 ，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ∵ ， ∴ ， 故选：C． 5．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，已知 ， ， ，则 ． 【答案】 【分析】 考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用；根据两直线平行同位角相等得出 ，进 而根据三角形的内角和定理求得 ，根据对顶角相等，即可求解． 【详解】 解： ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ．6．（2023·浙江·三模）在 中， 平分 交 于点D，点E是射线 上的动点（不与点D重 合），过点E作 交直线 于点F， 的角平分线所在的直线与射线 交于点G． (1)如图1，点E在线段 上运动． ①若 ， ，则 __________°； ②若 ，求 的度数； (2)若点E在射线 上运动时，探究 与 之间的数量关系． 【答案】(1)① ；② (2)若点 在射线 上运动时， 与 之间的数量关系为： 或 【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出 ，代入进行计算即可； ②由①的方法得出 ，进而满出 ，代入计算即可； （2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段 AD上时，有 成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有 或 成立．【详解】（1）如图1， ① ， ， ， 是 的平分线， 是 的平分线， ， ， 又 ， ， 故答案为： ； ②由①得， ； （2）当点 在线段 上时，如图（2），， ， ， 平分 ， ， ； 当点 在射线 上时，如图（3）由（1）得， ， ；综上所述， 与 之间的数量关系为： 或 ． 答：若点 在射线 上运动时， 与 之间的数量关系为： 或 ． 【点睛】本题考查角平分线，平行线以及三角形内角和定理，理解角平分线的定义、平行线的性质以及三 角形内角和定理是解题关键． 题型五：与角平分线有关的三角形内角计算 【中考母题学方法】 【典例1】（2024·重庆·中考真题）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．若 ，则 的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边 对等角和三角形内角和定理求出 ，再由角平分线的定义得到 ，进而 可证明 ，即可推出 ． 【详解】解：∵在 中， ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , 故答案为：2． 【典例2】如图，已知 的内角 ，分别作内角 与外角 的平分线，两条平分线交于 点 ，得 ； 和 的平分线交于点 ，得 ； ，以此类推得到 ，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和可得 ， ，整理即可求出 的度数，同理求 出 ，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵ 是 的平分线， 是 的平分线， ∴ ， ， 又∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 同理可得 ， ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：C．【变式5-1】（2024·上海·模拟预测）如图所示，在 中， ，根据图中尺规作 图痕迹，下列说法中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质， 由作图可知， 平分 ， 垂直平分 ，根据角平分线和中垂线的定义，结合三角形的内角和定 理，以及30度所对的直角边是斜边的一半，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵在 中， ， ∴ ， 由作图可知： 平分 ， 垂直平分 ， ∴ ， ， ，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∵ ， ∴ ，故D选项错误，符合题意； 故选D． 【变式5- 2】（2024·陕西西安·三模）如图，在 中，AD平分 交 于点D， ，则 的度数是（ ） A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其 不相邻的两个内角之和． 由 ，利用外角的性质求出 ，再利用AD平分 求出 ，然后利用三 角形的内角和定理解题即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵AD平分 ， ∴ ， ∴ ， 故选A． 【变式5-3】（2024·甘肃武威·二模）如图，在 中， 于D， 平 分 交 于点E，交 于点F，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在 中， 由三角形的内角和定理得到 的度数，又根据 平分 ，得到 的度数，再根据余角的定 义即可求解； 【详解】解：在 中， ， ∴ ， ∵ 平分 ，， ∴ ， ∵ ，∴ 为直角三角形， ∴ ． 故选：C． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·山东聊城·三模）如图，在 中， ， 是 的角平分线，根据图中尺规作图 的痕迹推断，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据作图得到有作图痕迹且过点 的直线为线段 的垂直平分线，即 ，，根据 是 的角平分线，即可得到 的度数． 【详解】解：由作图知，有作图痕迹且过点 的直线为线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ 是 的角平分线，即 ， ∴ ， 即 ， 故选： ． 2．（2024·广东惠州·二模）如图，在 中， ， 平分 ，若 ， ，则 的度数是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． 先求出 ，再根据三角形内角和定理得到 ，由角平分线 的定义得到 ，则 ，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 3．（2024·陕西·一模）如图，在 中， ， ，BD平分 交 于点D，则图中 等腰三角形的个数为（ ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和、等腰三角形的知识；根据等腰三角形性质，得 为等腰三角形， 结合三角形内角和、角平分线的性质，得 、 为等腰三角形，从而完成求解． 【详解】∵ ，∴ 为等腰三角形， ∵ ， ，BD平分 交 于点D， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 、 为等腰三角形， ∴图中等腰三角形的个数为3个 故选：B． 4．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，BD是 的角平分线， ，垂足为 D， °， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和为 以及角平分线的定义．因为 是 的角平分线，所以 ，由 ，得 ，则 ，在 中， ，即可作答； 【详解】因为 是 的角平分线， ， 由 ，得 ， 在 中， ， 因为在 中， ， 把 代入， 得 ，那么 ， 所以 ， 故选：B． 5．（2024·吉林长春·模拟预测）如图， 的角平分线 、 相交于 ， ， ，且 于 ，下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ ． 其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义计算可判定①；根据三角形的内角和定理结合角平分线 的定义可判定②；根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义结合周角的定义可判定④．本题主要考查 角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及 三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解： ， ， 平分 ， ， ，故①正确； ， ， ，且 于 ， ， ， 平分 ， ， ，故②正确；无法证明 平分 ，故③错误； ， ， ， ， ，故④正确； 所以其中正确的结论为①②④， 故答案为：①②④． 6．（2024·浙江宁波·一模）如图，在 中， 分别是 边 上的点，已知 且 ． (1)求证： 是 的角平分线； (2)若 ， ，求 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质及平行线性质，等量代换得到 ，再由角平分线定义求证 即可得到答案； （2）由三角形内角和定理得到 ，由（1）得到 ，在 中，再根据三角形内角和 定理求解即可得到 ． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ，即 是 的角平分线； （2）解：在 中， ， ，则 ， 由（1）知 ，则 ， 在 中， ． 【点睛】本题考查等腰三角形性质、平行线性质、角平分线定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用是解决问题的关键． 题型六：折叠背景下的三角形内角计算 【中考母题学方法】 【典例1】（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片 中， ，点 是边 上的 动点，将三角形纸片沿 对折，使点 落在点 处，当 时， 的度数为 ． 【答案】 或 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得： ； ∵ ， ∴ ； ①当 在 下方时，如图， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②当 在 上方时，如图， ∵ ， ∴ ， ∴ ；综上， 的度数为 或 ； 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 【典例2】（2023·江苏泰州·中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始 绕点C逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射 线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ． 【答案】 或 或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图形，利用三角形 的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知 ， ， 当 时， ， 由三角形的外角性质得 ，即 ， 此情况不存在；当 时， ， ， 由三角形的外角性质得 ， 解得 ； 当 时， ， ∴ ， 由三角形的外角性质得 ， 解得 ； 当 时， ， ∴ ， ∴ ； 综上， 的度数为 或 或 ． 故答案为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的 关键．【变式6-1】（2024·河南周口·一模）如图，将 沿直线 折叠，使点A落在 边上的点F处， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 根据平行线的性质可得 ，根据折叠的性质求出 ，进而可计算 的度数． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 由折叠得： ， ∴ ， 故选：B． 【变式6-2】（2024·河北衡水·一模）如图，在 中， ，将 沿 折叠得 ，若 与 的边平行，则 的度数为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当 时， ② 当 时；能根据 与 的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】解：①当 时，如图1中，， ， 由折叠得， ； ②当 时，如图2， ， ， ， 由折叠得， ， 的度数为 或 ； 故选：C． 【变式6-3】．（2024·安徽蚌埠·一模）如图，把矩形纸片 的一角沿 折叠，使得点D的对应点 落在 内部．若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角度的计算，折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．设 ，根据 折叠的性质得到 ，且 ，即可得到答案． 【详解】解：设 ， 根据折叠的性质得到 ， 矩形纸片 ， ， ， 解得 ． 故选C． 【中考模拟即学即练】 1．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在 中，将点A与点B分别沿 和 折叠，使点A，B都与 点C重合，若 ，则 的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠 的性质得， ， ，再根据三角形内角和定理 ，最后由 求 的度数． 【详解】解： 将点 与点 分别沿 和 折叠，使点 、 与点 重合， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得故选：B． 2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图 ，已知三角形纸片 ， ， ，将其折叠， 如图 ，使点 与点 重合，折痕为 ，点 ， 分别在 ， 上，那么 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据三角形内角和定理，求出 的度数，再证明 ，即可得到 的度数． 【详解】解：∵ ， ， ； 由折叠可得： ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质、三角形的内角和定 理等几何知识点． 3．（2024·浙江台州·一模）如图， 是等腰三角形， ， ，将 沿直线 翻折， 点 的对应点 恰好落在边 上，则 的度数为 ． 【答案】 /27度 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质．由折叠可得，由 ， ，可得 ，由三角形外角性质即可得到 ． 【详解】解：由折叠可得， ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在 中， ，点D是 的垂直平分线与 的交点，将 沿着 翻折得到 ，则 的度数是 ． 【答案】 /28度 【分析】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是 掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到 ， 由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得 ， ，根据翻折的性质求得 ，进而求得 的度数． 【详解】解： 点 是 的垂直平分线与 的交点， ， ， ， ， 将 沿着 翻折得到 ， ， ． 故答案为： ． 5．（2023·河南商丘·三模）如图， 中， ， ，点D为AB的中点，点P为AC上 一个动点，将 沿DP折叠得到 ，点A的对应点为点Q，当 时， 的度数为． 【答案】 / 度 【分析】根据折叠的性质得出 ， ，然后根据三角形内角和定理得出 ，进而求得 ，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：设 交于点 ，如图所示， ∵将 沿 折叠得到 ，点 的对应点为点 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 6．（2024·四川广元·二模）如图， 中， ，E是边 上的点，先将 沿着 翻折，得到 ，边 交 于点 D，再将 沿着 翻折，得到 ，点 恰好在 上，此时 ，则∠A的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现角的倍 数关系是解答此题的关键． 根据等腰三角形的性质 ，由折叠的性质可知 ，根据三角形内角和定理求出 ，即可得出答案 【详解】 ， ， 根据折叠的性质知： ， 在 中 ， ， ， 故选：C． 7．（2024·辽宁铁岭·二模）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点， 点 是斜边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，若 为直角三角形，则 的长为 ．【答案】 或 【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得 ， ，结合题意可得 ，分两种情况：当 时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得 ，根据等角对等边可得 ，根据直角三角形的性质和勾股定理求得 ， ， ，即可求出 ；当 时，作 交 的延长线于 ，设 ， 则 ，根据全等三角形的判定和性质可得 ，结合直角三角形的性质和勾股定理求得 ， ，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出 ． 【详解】解：在 中， ， ， ∴ ， ， ∵点 是 的中点， ∴ ， 当 时，如图： ∵ ，∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 在 中， ， ， 在 中， ， 即 ， ∴ ； 当 时，作 交 的延长线于 ．如图： 设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ； 综上所述，满足条件的 的值为 或 ．故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定 和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键． 8．（2023·河北承德·一模）如图，等腰 中， ， 是 边上的点，先将 沿着 翻折， 翻折后 的 边交 于点 ， ． （1）则 ； （2）若 ，则 与 是否垂直？ ．（选填“是”或“否”） 【答案】 是 【分析】（1）可求 ，由 ，即可求解． （2）可求 ，根据翻折和三角形外角可求得 及AEB135，从而可以求解． 【详解】解：（1）由翻折得：AA35，  ABAC， 180A C  2 18035  2 72.5． 故答案：72.5． （2）由（1）得：ABC C 72.5， ABDABCDBC 72.552.520， 1 由翻折得：EBA ABD10， 2 BEA180EBDA1801035135， AEBEBCC 1052.572.5135， AEA360AEBBEA 36013513590，AE AE． 故答案：是． 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形中一个外角等于不相邻的两个内角和，掌握 相关的性质及定理是解题的关键． 9．（2024·安徽·模拟预测）如图，在等腰VABC中，AB AC，A45，D为AB边上一动点，将  ACD沿CD折叠得到△ACD，EAEB，连接AB． （1）ADC  ； AB （2）  ． AC 112.5 112.5 21 1 2 【答案】 / 度 / 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，等腰 直角三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，折叠的性质可得 EAC是等腰三角形，∠A∠ECA45，再根据三角形的 内角和定理即可求解； EAC ABE AB AC  AC a   （2）根据（1）的证明可得 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，设 ， 运用勾股定理可得AB的长度，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵等腰VABC中，AB AC，A45， 1 1 ∴ ∠ABC ∠ACB 180∠A 1804567.5， 2 2 ∵将 ACD沿CD折叠得到△ACD， ∴△ACD≌△ACD， AC  AC ACDACD ∴ ， ， ∴AB AC  AC， ∵EAEB， ∴ABEB ACEA，∴AECE， ∴ EAC是等腰三角形， ∴∠A∠ECA45， 1 1 ∴ ∠ACD∠ACD ∠ACE  4522.5， 2 2 ∴在 ACD中，∠ADC 180∠A∠ACD1804522.5112.5， 故答案为：112.5； （2）∵∠A∠ECA45， ∴∠AEC 180∠A∠ACE180454590，即 EAC是等腰直角三角形， ∴AEB90， ∵EAEB， ∴∠EAB∠EBA45，即 ABE是等腰直角三角形，  设AB AC  AC a， 在Rt ACE中，AC2 AE2CE2 2AE2，  2 2 AE AC  a ∴ 2 2 ， 2 BE ABAEa a ∴ 2 ，  2  AB 2BE 2a a 2aa 在 中，  2  ， Rt ABE    AB 2aa   21 ∴ AC a ， 21 故答案为： ．