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3.2 平面向量的加法运算（讲义）
目录
1
知识点01 三角形法则................................................................................2
2
知识点02 平行四边形法则........................................................................3
3
题型一、.....................................................................................................3
1 知识点01 三角形法则之向量加法
①向量加法定义：将两个向量首位相接，形成一个封闭的三角形，两个向
量的和为这个三角形的第三边，即在三角形中：⃗AB+⃗BC =⃗AC（首位相接的加
法）
②向量加法的推广，如：⃗BA +⃗AC =⃗BC，⃗AM +⃗M N =⃗A N
2 知识点02 三角形法则之向量减法
①相反向量：模长相等，方向相反的向量
②相反向量图示：⃗AB与⃗B A
③利用数乘表示相反向量：⃗AB与-⃗AB向量为相反向量，所以-⃗AB=⃗BA
④向量减法定义：将两个起点相同的向量，形成一个封闭的三角形，两个
向量的差为这个三角形的第三边，即在三角形中：⃗AB -⃗AC =⃗CB（起点相同的
减法）
⑤向量减法的推广，如：⃗OA -⃗OB =⃗BA，⃗AM -⃗AN =⃗NM
【注意】⃗
AB+⃗BC =⃗AC
C
B
A⃗
a+⃗b=⃗c⃗
c⃗
b⃗
a
A
B
B
A⃗
AB -⃗AC =⃗C B
C
B
A
①向量表达式中的零向量写成⃗0，而不能写成0．
②向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合
③要注意运用三角形法则时，两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进
行平移，使之符合条件．
3 知识点03 平行四边形法则
①向量减法定义：将两个起点相同的向量，补成一个封闭的平行四边形，
两个向量的和为这个平行四边形的对角线向量，即在平行四边形中：
②要注意运用平行四边形法则时，两个向量必须共起点，和向量与差向量
分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量
4 知识点04 向量的数乘
数乘的定义：求实数λ与向量⃗a的积的运算
①| λ⃗a|=| λ||⃗a|
②当λ>0时，λ⃗a与⃗a的方向相同；
③当λ<0时，λ⃗a与⃗a的方向相同；
④当λ =0时，λ⃗a=0
⑤λ( μ⃗a)=( λμ)⃗a
⑥( λ+ μ)⃗a= λ⃗a+ μ⃗a
⑦λ(⃗a+⃗b)= λ⃗a+ λ⃗b
5 题型一、平面向量的加法
1．⃗AC -⃗BD +⃗CD =（ ）
A．⃗AB
B．⃗BA
C．⃗BC
D．0
D⃗
AB+⃗A D =⃗A C ⃗AB -⃗AD
C
B
A
2⃗a⃗
a
-⃗a
【答案】A
【分析】根据向量的加减运算，即可得答案.
【详解】由题意得⃗AC -⃗BD +⃗CD =⃗AC +⃗CD +⃗DB =⃗AD +⃗DB =⃗AB,
故选：A
2．⃗AB -⃗AD +⃗BD -⃗CD =（ ）
A．⃗AC
B．⃗DC
C．⃗BC
D．⃗CD
【答案】B
【分析】利用向量加减运算法则得到答案.
【详解】⃗AB -⃗AD +⃗BD -⃗CD =⃗AB+⃗BD -⃗AD -⃗CD =⃗AD -⃗AD +⃗DC =⃗DC．
故选：B
3．在△ABC中，点M 为边BC 的中点，点N 在AM 上，且⃗AN =3⃗NM，则⃗
CN =（ ）
A．3
8⃗AB+ 5
8⃗AC
B．1
8⃗AB+ 7
8⃗AC
C．3
8⃗AB - 5
8⃗AC
D．1
8⃗AB - 7
8⃗AC
【答案】C
【分析】借助向量线性运算法则计算即可得.
【详解】因为点M 是边BC 的中点，所以⃗AM = 1
2 (⃗AB+⃗AC)
因为点N 在AM 上，且⃗AN =3⃗NM ，所以⃗AN = 3
4⃗AM，
所以⃗CN =⃗CA +⃗AN =⃗CA + 3
4⃗AM =-⃗AC + 3
8 (⃗AB+⃗AC)= 3
8⃗AB - 5
8⃗AC.
故选：C.
4．如图，在平行四边形ABCD 中，O为对角线的交点，则⃗AO+⃗OB+⃗AD =
（ ）
A．⃗AC
B．⃗AD
C．⃗BD
D．⃗0
【答案】A
【分析】根据向量的运算法则可得结果.
【详解】⃗AO+⃗OB+⃗AD =⃗AB+⃗AD =⃗AC.
故选：A
5．下列关于向量的线性运算，不正确的是（ ）
A．⃗AB+⃗BC +⃗CA =⃗0
B．⃗AB -⃗AC =⃗BC
C．0⋅⃗AB =⃗0
D．λ( μ⃗a)=( λμ)⃗a
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算法则逐项判断.
【详解】对于A，AB⃗+ BC⃗+CA⃗= AC
→
+CA
→
=0⃗，A 正确；
对于B，AB⃗- AC⃗=CB⃗，B 错误；
对于C，0⋅⃗AB =⃗0，C 正确；
对于D，由数乘向量的运算律知，λ( μ⃗a)=( λμ)⃗a，D 正确.
故选：B.
6．⃗CA +⃗AB+⃗BD =（ ）
A．⃗AB
B．⃗BA
C．⃗CD
D．⃗DC
【答案】C
【分析】根据向量加法的三角形法则可得结果.
【详解】根据向量加法的三角形法则,得到CA⃗+ AB⃗+ BD⃗=CB
→
+ BD
→
=CD
→.
故选：C.
7．如图，在△ABC中，⃗BC =6⃗DC，则⃗AD =（ ）
A．1
6⃗AB+ 5
6⃗AC
B．5
6⃗AB+ 1
6⃗AC
C．1
7⃗AB+ 6
7⃗AC
D．6
7⃗AB+ 1
7⃗AC
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】因为⃗BC =6⃗DC，
所以⃗BD = 5
6⃗BC，
所以⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 5
6⃗BC =⃗AB+ 5
6 (⃗AC -⃗AB)= 1
6⃗AB+ 5
6⃗AC．
故选：A.
8．⃗AE +⃗EB -⃗CB等于（ ）
A．⃗AB
B．⃗BA
C．⃗CA
D．⃗AC
【答案】D
【分析】由向量的加减法法则计算．
【详解】⃗AE +⃗EB -⃗CB =⃗AB+⃗BC =⃗AC，
故选：D．
9．在平行四边形ABCD 中，⃗AB =（ ）
A．⃗AD -⃗AC
B．⃗AC -⃗AD
C．2⃗AC +⃗AD
D．⃗AC +⃗AD
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算即可结合选项逐一判断.
【详解】在平行四边形ABCD 中，⃗AB =⃗DC，
而⃗AD -⃗AC =⃗CD，⃗AC -⃗AD =⃗DC，
2⃗AC +⃗AD =2(⃗AB+⃗AD)+⃗AD =2⃗AB+3⃗AD≠⃗AB，⃗
AC +⃗AD =⃗AB+⃗AD +⃗AD =⃗AB+2⃗AD≠⃗AB.
故选：B.
10．⃗AB+⃗BC +2⃗CD -⃗CE = （ ）
A．⃗AD
B．⃗AE
C．⃗AD +⃗CD
D．⃗AD+⃗ED
【答案】D
【分析】由向量的线性运算求出即可；
【详解】⃗AB+⃗BC +2⃗CD -⃗CE =⃗AC +⃗CD +⃗CD -⃗CE =⃗AD +⃗ED.
故选：D.
11．如图，平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，则（ ）
A．⃗DA +⃗DP =⃗PA
B．⃗DA +⃗AB+⃗BP =⃗DP
C．⃗AB+⃗BC +⃗CP =⃗PA
D．⃗PA +⃗PB =⃗BA
【答案】B
【分析】根据向量线性运算化简求解即可.
【详解】⃗DA -⃗DP =⃗PA，故A 错误；⃗DA +⃗AB+⃗BP =⃗DP，故B 正确；⃗
AB+⃗BC +⃗CP =⃗AP，故C 错误；⃗PA -⃗PB =⃗BA，故D 错误.
故选：B
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点.若⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗AC =（ ）
A．3⃗a-2⃗b B．⃗a-2⃗b
C．-⃗a+2⃗b D．1
2⃗a+ 1
2⃗b
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为D是BC的中点，⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，
所以⃗AC =⃗AD +⃗DC =⃗AD +⃗BD =⃗AD +⃗AD -⃗AB
=2⃗b-⃗a.
故选：C.
13．如图，在△ABC中，⃗BO =2⃗OC，则⃗AO等于（ ）
A．1
3⃗AB+ 1
3⃗AC
B．1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
C．2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
D．2
3⃗AB+ 2
3⃗AC
【答案】B
【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.
【详解】因为⃗BO =2⃗OC，
所以⃗AO -⃗AB =2(⃗AC -⃗AO)，
即得3 AO⃗=2 AC⃗+ AB⃗, AO⃗= 2
3 AC⃗+ 1
3 AB⃗.
故选：B.
14．如图，在△ABC中，⃗AB =3⃗AD，E 是CD的中点．设⃗CA =⃗a，⃗CB=⃗b．
则正确的是（ ）
A．⃗AB =⃗a-⃗b
B．⃗CD = 1
3⃗a+ 2
3⃗b
C．⃗CE = 1
3⃗a+ 1
3⃗b
D．⃗AD = 1
3⃗b- 1
3⃗a
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.
【详解】对于A，利用三角形定则可得⃗AB =⃗AC +⃗CB=-⃗a+⃗b，故A 错误，
对于B，因为⃗CD =⃗CA +⃗AD =⃗CA + 1
3⃗AB =1
3 (-⃗a+⃗b)+⃗a=2
3⃗a+1
3⃗b，故B 错误，
对于C，因为E 是CD的中点，所以⃗CE =1
2⃗CD =1
2 (2
3⃗a+1
3⃗b)= 1
3⃗a+ 1
6⃗b，故C
错误
对于D，因为⃗AB =3⃗AD，所以⃗AD =1
3⃗AB =1
3 (-⃗a+⃗b)= 1
3⃗b- 1
3⃗a，故D 正确.
故选：D
15．如图，在正方形ABCD中，E是AB边的中点，设⃗AD =⃗a,⃗AB =⃗b，则⃗
DE =（ ）
A．1
2⃗a-⃗b B．⃗a- 1
2⃗b
C．1
2⃗a+⃗b
D．-⃗a+ 1
2⃗b
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理结合题意求解即可.
【详解】因为在正方形ABCD中，E是AB边的中点，⃗AD =⃗a,⃗AB =⃗b，
所以⃗DE =⃗AE -⃗AD = 1
2⃗AB -⃗AD =-⃗a+ 1
2⃗b.
故选：D
6 题型二、平面向量的减法
1．在△ABC中，⃗AB -⃗AC =（ ）
A．⃗AB
B．⃗AC
C．⃗CB
D．⃗0
【答案】C
【分析】根据平面向量的减法及加法的三角形法则计算可得结果.
【详解】由三角形法则计算可得⃗AB -⃗AC =⃗AB+⃗CA =⃗CB.
故选：C.
2．设D为△ABC所在平面内一点，⃗DC =3⃗BC，则（ ）
A．⃗AC = 3
2⃗AB - 1
2⃗AD
B．⃗AC = 4
3⃗AB - 1
3⃗AD
C．⃗AC =3⃗AB -2⃗AD
D．⃗AC = 4⃗AB -3⃗AD
【答案】A
【分析】借助向量线性运算法则计算即可得.
【详解】由⃗DC =3⃗BC，则⃗AC -⃗AD =3⃗AC -3⃗AB，即⃗AC = 3
2⃗AB - 1
2⃗AD.
故选：A.
3．已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足⃗BD =2⃗DC，则向量⃗AD =
（ ）
A．1
3⃗AB+ 1
3⃗AC
B．1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
C．2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
D．2
3⃗AB+ 2
3⃗AC
【答案】B
【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解.
【详解】⃗AD =⃗AC +⃗CD =⃗AC + 1
3⃗CB =⃗AC + 1
3 (⃗AB -⃗AC)= 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC,
另解：⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 2
3⃗BC =⃗AB+ 2
3 (⃗AC -⃗AB)= 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC.
故选：B
4．设D，E 为△ABC所在平面内两点，⃗AD =⃗DC，⃗CB =2⃗BE，则（ ）
A．⃗DE =-⃗AB+ 3
2⃗AC
B．⃗DE =- 3
2⃗AB+⃗AC
C．⃗DE =-⃗AB - 3
2⃗AC
D．⃗DE = 3
2⃗AB -⃗AC
【答案】D
【分析】先根据题意，画出图形，然后利用向量的基本定理进行求解.
【详解】如图所示，⃗DE =⃗DA +⃗AB+⃗BE，
因为⃗AD =⃗DC，⃗CB =2⃗BE，
所以⃗DA =- 1
2⃗AC，⃗BE = 1
2⃗CB = 1
2 (⃗AB -⃗AC)，
所以⃗DE =- 1
2⃗AC +⃗AB+ 1
2⃗AB - 1
2⃗AC = 3
2⃗AB -⃗AC．
故选：D.
5．下列各式中不能化简为⃗PQ的是（ ）
A．⃗AB+(⃗PA +⃗BQ)
B．⃗PA +⃗AB -⃗BQ
C．⃗QC -⃗QP+⃗CQ
D．(⃗AB+⃗PC)+(⃗BA -⃗QC)
【答案】B
【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.
【详解】A：⃗AB+(⃗PA +⃗BQ)=⃗PA +⃗AB+⃗BQ =⃗PB+⃗BQ =⃗PQ，不符合题意；
B：因为⃗PA +⃗AB -⃗BQ =⃗PB -⃗BQ，⃗PQ =⃗PB+⃗BQ，
若⃗PA +⃗AB -⃗BQ =⃗PQ，即⃗PB -⃗BQ =⃗PB+⃗BQ，可得⃗BQ =⃗0，
即点B与点Q重合，显然这不一定成立，
所以⃗PA +⃗AB -⃗BQ与⃗PQ不一定相等，符合题意；
C：⃗QC -⃗QP+⃗CQ =⃗QC +⃗PQ -⃗QC =⃗PQ，不符合题意；
D：(⃗AB+⃗PC)+(⃗BA -⃗QC)=(⃗AB+⃗BA)+(⃗PC +⃗CQ)=⃗PQ，不符合题意；
故选：B
6．化简⃗CM +⃗MA +⃗BC -⃗BA =（ ）
A．2⃗MC
B．2⃗CB
C．2⃗BC
D．⃗0
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得.
【详解】⃗CM +⃗MA +⃗BC -⃗BA =⃗CA +⃗BC +⃗AB =⃗CA +⃗AB+⃗BC =⃗0.
故选：D
7．化简：⃗AB+⃗CD -⃗AD =（ ）
A．⃗CB
B．⃗BC
C．⃗DC
D．⃗CD
【答案】A
【分析】由平面向量的加法和减法运算求解即可.
【详解】⃗AB+⃗CD -⃗AD =⃗AB -⃗AD +⃗CD =⃗DB+⃗CD =⃗CB.
故选：A.
8．在△ABC中，AD为BC边上的中线，3⃗ED =2⃗AD，则⃗BE =（ ）
A．- 5
6⃗AB+ 1
6⃗AC
B．- 1
6⃗AB - 5
6⃗AC
C．- 5
6⃗AB - 1
6⃗AC
D．- 1
6⃗AB+ 5
6⃗AC
【答案】A
【分析】根距离向量的线性运算，得到⃗AE = 1
6 (⃗AB+⃗AC)，结合⃗
BE =⃗AE -⃗AB，即可求解.
【详解】由3⃗ED =2⃗AD，可得2⃗AE =⃗ED，所以⃗AE = 1
3⃗AD，
因为AD为BC边上的中线，可得⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC)，所以⃗AE = 1
6 (⃗AB+⃗AC)，
所以⃗BE =⃗AE -⃗AB = 1
6 (⃗AB+⃗AC)-⃗AB =- 5
6⃗AB+ 1
6⃗AC.
故选：A.
9．如图，向量⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗CD =⃗c，则向量⃗BD可以表示为（ ）
A．⃗a+⃗b-⃗c
B．⃗a-⃗b+⃗c
C．⃗b-⃗a+⃗c
D．⃗b-⃗a-⃗c
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法减法运算法则即可求解.
【详解】由题图可知，⃗BD =⃗BC +⃗CD =⃗AC -⃗AB+⃗CD =⃗b-⃗a+⃗c.
故选：C.
10．在△ABC中，⃗AN =3⃗NC ,⃗BP = 4⃗PN，则⃗AP =（ ）
A．1
5⃗AB+ 3
5⃗CA
B．3
5⃗AB - 4
5⃗CA
C．3
5⃗AB - 1
5⃗CA
D．1
5⃗AB - 3
5⃗CA
【答案】D
【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.
【详解】如图，
因为⃗BP = 4⃗PN，所以⃗
AP =⃗AB+⃗BP =⃗AB+ 4
5⃗BN =⃗AB+ 4
5 (⃗AN -⃗AB)= 1
5⃗AB+ 4
5⃗AN，
又⃗AN =3⃗NC，所以⃗AN = 3
4⃗AC，
所以⃗AP = 1
5⃗AB+ 3
5⃗AC = 1
5⃗AB - 3
5⃗CA.
故选：D.
11．如图，矩形ABCD中，点E是线段AB上靠近A的三等分点，点F是线段
BC的中点，则⃗DE =（ ）
A．8
9⃗DF - 5
9⃗AC
B．10
9⃗DF - 5
9⃗AC
C．- 8
9⃗DF + 5
9⃗AC
D．- 10
9⃗DF + 5
9⃗AC
【答案】A
【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定
理，可表示⃗DE，
解法二：以D为原点，DC 、DA分别为x、y轴的正方向建系，由⃗
DE = λ1⃗DF + λ2⃗AC，结合坐标运算，求得λ1, λ2，可表示⃗DE．
【详解】解法一：依题意⃗DE =⃗DA + 1
3⃗DC①，⃗DF =⃗DC + 1
2⃗DA②，⃗
AC =⃗DC -⃗DA③，
由②③式解得⃗DA = 2
3⃗DF - 2
3⃗AC，⃗DC = 2
3⃗DF + 1
3⃗AC，
代入①式得⃗DE = 8
9⃗DF - 5
9⃗AC．
解法二：以D为原点，DC 、DA分别为x、y轴的正方向建立平面直角坐标
系，
设DC =a, DA =b，则E(
a
3 ,b), F(a, b
2), A (0,b),C (a,0)，
由⃗DE = λ1⃗DF + λ2⃗AC，有(
a
3 ,b)= λ1(a, b
2)+ λ2(a,-b)，
有¿，解得λ1= 8
9 , λ2=- 5
9，得⃗DE = 8
9⃗DF - 5
9⃗AC．
故选：A．
12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，⃗AB = ⃗a，⃗AD = ⃗b，则用⃗a，⃗b表示
向量⃗AC和⃗BD分别是（ ）
A．⃗a＋⃗b和⃗a－⃗b
B．⃗a＋⃗b和⃗b－⃗a
C．⃗a－⃗b和⃗b－⃗a
D．⃗b－⃗a和⃗b＋⃗a
【答案】B
【分析】向量的加法、减法法则计算即可.
【详解】由向量的加法、减法法则，得⃗AC = ⃗AB+ ⃗AD = ⃗a+ ⃗b，⃗
BD = ⃗AD - ⃗AB = ⃗b- ⃗a．
故选：B.
13．在平行四边形ABCD中，点E是CD上靠近C的四等分点，BE与AC交于
点F，则⃗DF =（ ）
A．3
5⃗AB - 2
5⃗AD
B．4
5⃗AB - 1
5⃗AD
C．3
4⃗AB - 1
4⃗AD
D．2
5⃗AB - 3
5⃗AD
【答案】B
【分析】结合平行四边形性质推出AF = 4
5 AC，根据向量的线性运算，即可
求得答案.
【详解】平行四边形ABCD中,AB∥CD，则△ABF∽△CEF，
因为点E是CD上靠近C的四等分点，所以AF
CF = AB
CE = 4，
所以AF = 4
5 AC，
故⃗DF =⃗AF -⃗AD = 4
5 (⃗AB+⃗AD)-⃗AD = 4
5⃗AB - 1
5⃗AD．
故选：B．
14．化简⃗OP+⃗PS -⃗OQ的结果等于（ ）
A．⃗SP
B．⃗OQ
C．⃗SQ
D．⃗QS
【答案】D
【分析】运用向量加法法则及减法法则计算即可.
【详解】⃗OP+⃗PS -⃗OQ =⃗OS -⃗OQ =⃗QS.
故选：D.
15．在△ABC中，BD = 1
3 BC，E 为AD 的中点，则⃗EB =（ ）
A．2
3⃗AB - 1
6⃗AC
B．1
6⃗AB - 2
3⃗AC
C．2
3⃗AB+ 1
6⃗AC
D．1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
【答案】A
【分析】根据向量对应线段的位置关系，结合向量加减、数乘的几何意义
用⃗AB ,⃗AC表示出⃗EB.
【详解】⃗EB =- 1
2⃗BA - 1
2⃗BD = 1
2⃗AB - 1
6⃗BC = 1
2⃗AB - 1
6 (⃗AC -⃗AB)= 2
3⃗AB - 1
6⃗AC.
故选：A
