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培优点2 极化恒等式、等和线定理、奔驰定理与三角形四心
[考情分析] 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以
三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线、点共线问题，也可以由共线求参
数.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有
着决定性的基石作用.
考点一 极化恒等式
极化恒等式：a·b=1
4 [(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平
方差的1
4 .
(2)若O 是平行四边形PMQN 对角线的交点，则：
①⃗PM·⃗PN=1
4 (|⃗PQ|2-|⃗NM|2)(平行四边形模式)；
②⃗PM·⃗PN=|⃗PO|2-1
4 |⃗NM|2(三角形模式).
例1 (1)在△ABC 中，AB=2，cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，P 为△ABC 所在平面内的动点，且PA=1，
则⃗PB·⃗PC的取值范围是( )
A.[- 3
2 ，9
2]
B.[- 1
2 ，11
2 ]
C.[3-2√3，3+2√3]
D.[3-√3，3+√3]
答案 C
解析 因为A，B，C∈(0，π)，
所以A-B∈(-π，π)，B-C∈(-π，π)，C-A∈(-π，π)，
可得cos(A-B)∈(-1，1]，cos(B-C)∈(-1，1]，
cos(C-A)∈(-1，1]，
若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，
则cos(A-B)=1，cos(B-C)=1，cos(C-A)=1，
可得A-B=0，B-C=0，C-A=0，
所以A=B=C，所以△ABC 是边长为2 的等边三角形.
如图，取BC 的中点G，由PA=1 可知点P 的轨迹是半径为1 的圆，
根据极化恒等式可知⃗PB·⃗PC=|⃗PG|2-|⃗BG|2，
易知PGmin=AG-PA=√3-1，PGmax=AG+PA=√3+1，
故(√3-1)2-12≤⃗PB·⃗PC≤(√3+1)2-12，
即3-2√3≤⃗PB·⃗PC≤3+2√3，
所以⃗PB·⃗PC 的取值范围是[3-2√3，3+2√3].
(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点
之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，⃗PM·⃗PN的取值范围是(
)
A.[0，1]
B.[0，2]
C.[1，3]
D.[0，4]
答案 B
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2√3.当弦MN 的长度最大时，
MN 为内切球的直径.设内切球的球心为O，
则⃗PM·⃗PN=⃗PO
2-⃗ON
2=⃗PO
2-1.
由于P 为正方体表面上的动点，故PO∈[1，√3]，
所以⃗PM·⃗PN的取值范围是[0，2].
[规律方法] 在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.
注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.
跟踪演练1 (1)已知正△ABC 的边长为2，动点P 满足PC=1，则⃗PA·⃗PB的最小值为( )
A.4-2√2
B.3-2√2
C.3-2√3
D.4-2√3
答案 C
解析 因为动点P 满足PC=1，
所以点P 的轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，如图所示，
设D 为AB 的中点，
则⃗PA·⃗PB=(⃗PD+⃗DA)·(⃗PD+⃗DB)=⃗PD
2-⃗DB
2=⃗PD
2-1，
所以当|⃗PD|取最小值时，⃗PA·⃗PB取得最小值，|⃗PD|min=|⃗CD|-1=√3-1，
所以(⃗PA·⃗PB)min=(√3-1)2-1=3-2√3.
(2)如图，在△ABC 中，AB=BC，∠B=90°，AC=4√2，D 为AC 的中点，在平面ABC 中，将线段AC 绕
点D 旋转得到线段EF.设M 为线段AB 上的点，则⃗ME·⃗MF的最小值为 .
答案 -4
解析 依题意BC=4，D 为线段EF 的中点，
则⃗ME+⃗MF=2⃗MD，⃗
ME·⃗MF=1
4 [(⃗ME+⃗MF)2-(⃗ME-⃗MF)2]
=⃗MD
2-1
4⃗FE
2，
由于|⃗MD|min=2，⃗FE
2=32，
所以⃗ME·⃗MF的最小值为-4.
考点二 等和线
平面向量等和线定理
平面内一组基底{⃗OA，⃗OB}及任一向量⃗OP，且⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB(λ，μ∈R)，若点P 在直线AB 上或在平行于
AB 的直线上，且k=|OP|
|OF | =|O B1|
|OB| =|O A1|
|OA | ，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线
AB 平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB 时，k=1；
(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O 点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；
(6)定值k 的绝对值与等和线到O 点的距离成正比.
例2 (1)给定两个长度为1 的平面向量⃗OA和⃗OB，它们的夹角为90°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上
运动，若⃗OC=x⃗OA+y⃗OB.其中x，y∈R，则3x+5y 的最大值为( )
A.√34
B.5
C.√37
D.6
答案 A
解析 如图所示，分别取⃗OM=1
3⃗OA，⃗ON=1
5⃗OB，⃗OC=x⃗OA+y⃗OB=3x⃗OM+5y⃗ON，根据等和线知识可得
3x+5y=|OC |
|OD| ，当OD⊥MN 时，|OD|取得最小值，|OD|min=|OM |·|ON |
| MN |
=
1
3 × 1
5
√(
1
3)
2
+(
1
5)
2= 1
√34 ，故
(3x+5y)max=
1
|OD|min
=√34.
(2)(2025·泉州模拟)在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设⃗AP=α⃗AB+β⃗AF(α，
β∈R)，则α+β 的取值范围是 .
答案 [3，4]
解析 如图，直线BF 为k=1 的等和线，当P 在△CDE 内(包括边界)时，直线EC 是最近的等和线，过D 点
的等和线是最远的，所以α+β∈[
AN
AM ，AD
AM].设正六边形的边长为2，则AN=3，AM=1，AD=4，故
α+β∈[3，4].
[规律方法] 用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1 的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
跟踪演练2 (1)(2025·南昌模拟)已知O 是△ABC 内一点，且⃗OA+⃗OB+⃗OC=0，点M 在△OBC 内(不含边
界)，若⃗AM=λ⃗AB+μ⃗AC(λ，μ∈R)，则λ+2μ 的取值范围是( )
A.(1，5
2)
B.(1，2)
C.(
2
3 ，1)
D.(
1
2 ，1)
答案 B
解析 因为O 是△ABC 内一点，且⃗OA+⃗OB+⃗OC=0，所以O 为△ABC 的重心.
取AC 的中点D，则点O 在BD 上，且⃗AC=2⃗AD，⃗AM=λ⃗AB+μ⃗AC=λ⃗AB+2μ⃗AD，
作一系列与BD 平行的直线与CD 相交(图略)，
所以当点M 在边OB 上时，λ+2μ 取得最小值1；
当点M 与C 重合时，λ+2μ 取得最大值2，
因为M 在△OBC 内且不含边界，
所以λ+2μ 的取值范围为(1，2).
(2)如图所示，半径为1 的扇形AOB，∠AOB=2π
3 ，若点C 为弧AB 上任意一点，且⃗OC=x⃗OA+y⃗OB(x，
y∈R)，则x+y 的最大值是 .
答案 2
解析 如图所示，设x+y=k，则直线AB 为以{⃗OB，⃗OA}为基底，k1=1 的等和线，所有与直线AB 平行且与
弧AB 有公共点的直线中，切线离圆心O 最远，即此时k 取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB 交于
点E，易知OE⊥AB.
因为OA=1，∠AOB=2π
3 ，
所以OE=1
2，则k=| DO|
|OE| =
1
1
2
=2，
即x+y 的最大值为2.
考点三 奔驰定理
奔驰定理：
如图，已知P 为△ABC 内一点，则有S△PBC·⃗PA+S△PAC·⃗PB+S△PAB·⃗PC=0.
例3 (1)已知△ABC 所在平面内一点D 满足⃗DA+⃗DB+1
2⃗DC=0，则△ABC 的面积是△ABD 的面积的(
)
A.5 倍
B.4 倍
C.3 倍
D.2 倍
答案 A
解析 因为⃗DA+⃗DB+1
2⃗DC
=0，
即2⃗DA+2⃗DB+⃗DC=0，
所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1，所以△ABC 的面积是△ABD 的面积的5 倍.
(2)已知点O 为△ABC 内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2，设⃗AO=λ⃗AB+μ⃗AC，则实数λ 和μ 的值
分别为( )
A.2
9，4
9
B.4
9 ，2
9
C.1
9，2
9
D.2
9，1
9
答案 A
解析 根据奔驰定理，得3⃗OA+2⃗OB+4⃗OC=0，
即3⃗OA+2(⃗OA+⃗AB)+4(⃗OA+⃗AC)=0，
整理得⃗AO=2
9⃗AB+4
9⃗AC，
故λ=2
9，μ=4
9 .
[规律方法] 已知P 为△ABC 内一点，且x⃗PA+y⃗PB+z⃗PC=0(x，y，z∈R，xyz≠0，x+y+z≠0)，则有
(1)S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=|x|∶|y|∶|z|；
(2)S△PBC
S△ABC
=
|x|
|x|+|y|+|z|，
S△PAC
S△ABC
=
|y|
|x|+|y|+|z|，S△PAB
S△ABC
=
|z|
|x|+|y|+|z|.
跟踪演练3 (1)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3⃗AM-⃗AB-⃗AC=0，则△ABM 与△ABC 的面
积之比为( )
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.2∶5
答案 B
解析 方法一 将3⃗AM-⃗AB-⃗AC=0 变形可得⃗MA+⃗MB+⃗MC=0，
根据奔驰定理可知
S△BCM∶S△ACM∶S△ABM=1∶1∶1，
则S△ABM∶S△ABC=1∶3.
方法二 如图，D 为BC 边的中点，则⃗AD=1
2 (⃗AB+⃗AC)，
因为3⃗AM-⃗AB-⃗AC=0，
所以3⃗AM=⃗AB+⃗AC=2⃗AD，
所以⃗AM=2
3⃗AD，
所以S△ABM=2
3S△ABD=1
3S△ABC，即S△ABM∶S△ABC=1∶3.
(2)已知点P，Q 在△ABC 内，⃗PA+2⃗PB+3⃗PC=2⃗QA+3⃗QB+5⃗QC=0，则|⃗PQ|
|⃗AB|
= .
答案 1
30
解析 根据奔驰定理得S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB=2∶3∶5，
∴S△PAB=S△QAB=1
2S△ABC，∴PQ∥AB，
又∵S△PBC=1
6S△ABC，S△QBC=1
5S△ABC，
∴|⃗PQ|
|⃗AB| =
S△QBC - S△PBC
S△ABC
=1
5-1
6= 1
30.
考点四 奔驰定理与三角形四心
已知点O 在△ABC 内部，有以下四个推论：
①若O 为△ABC 的重心，则⃗OA+⃗OB+⃗OC=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；
②若O 为△ABC 的外心，则sin 2A·⃗OA+sin 2B·⃗OB+sin 2C·⃗OC=0，且|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|；
③若O 为△ABC 的内心，则a·⃗OA+b·⃗OB+c·⃗OC=0，或sin A·⃗OA+sin B·⃗OB+sin C·⃗OC=0(a，b，c 分别为角
A，B，C 的对边)；
④若O 为△ABC 的垂心，则tan A·⃗OA+tan B·⃗OB+tan C·⃗OC=0，且⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA.
考向1 奔驰定理与重心
例4 已知O 是△ABC 的重心，⃗AB·⃗AC=2，且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为( )
A.√3
3
B.√3
C.√3
2
D.2
3
答案 A
解析 ∵O 是△ABC 的重心，∴⃗OA+⃗OB+⃗OC=0，
由奔驰定理知S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=1∶1∶1，
∴S△OBC=1
3S△ABC.
∵⃗AB·⃗AC=2，∴|⃗AB||⃗AC|cos∠BAC=2，
∵∠BAC=60°，∴|⃗AB||⃗AC|=4，
又S△ABC=1
2|⃗AB||⃗AC|sin∠BAC=√3，
∴△OBC 的面积为√3
3 .
考向2 奔驰定理与外心
例5 已知点P 是△ABC 的外心，且⃗PA+⃗PB+λ⃗PC=0，C=5 π
12 ，则λ= .
答案 √6-√2
2
解析 依题意得，
sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=1∶1∶λ，
∴sin 2A=sin 2B，
∴2A=2B 或2A+2B=π(舍)，
∴A=B，又C=5 π
12 ，∴A=B=7 π
24 ，
又sin 2B
sin 2C =1
λ ，
∴λ=sin 2C
sin 2B =
sin 5 π
6
sin 7 π
12
=
1
2
√6+√2
4
=√6-√2
2
.
考向3 奔驰定理与内心
例6 已知△ABC 的内切圆的圆心为O，半径为2，2⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，则△ABC 的外接圆面积为
.
答案 256 π
9
解析 ∵2⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，且O 为内心，
∴△ABC 的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3，
令a=2k，则b=2k，c=3k，k>0，
∴cos C=-1
8，sin C=3√7
8
，
设△ABC 内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S△ABC=1
2(a+b+c)·r=1
2absin C，
即1
2×7k×2=1
2×2k×2k×3√7
8
，
解得k=4√7
3
，c=4√7，
又2R=
c
sinC =
4√7
3√7
8
，解得R=16
3 ，
∴△ABC 的外接圆面积S=πR2=256 π
9
.
考向4 奔驰定理与垂心
例7 如图，已知O 是△ABC 的垂心，且⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别记为
S1，S2，S3，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB 等于( )
A.1∶2∶3
B.1∶2∶4
C.2∶3∶4
D.2∶3∶6
答案 A
解析 O 是△ABC 的垂心，延长CO，BO，AO 分别交边AB，AC，BC 于点P，M，N，如图，
则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP=∠BAC，∠AOP=∠ABC，
因此
S1
S2
= BP
AP =OP tan ∠BOP
OP tan ∠AOP= tan ∠BAC
tan ∠ABC ，
同理
S1
S3
= tan∠BAC
tan∠ACB ，
于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S1∶S2∶S3，
由“奔驰定理”有S1·⃗OA+S2·⃗OB+S3·⃗OC=0，
又⃗OA+2⃗OB+3⃗OC=0，
所以S1∶S2∶S3=1∶2∶3，
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
[易错提醒] 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外
部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
跟踪演练4 (多选)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，
它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M 是△ABC 内一点，
△BMC，△AMC，△AMB 的面积分别为SA，SB，SC，则SA·⃗MA+SB·⃗MB+SC·⃗MC=0.以下命题正确的有(
)
A.若M 为△ABC 的重心，AB=6，AC=8，BC=2√13，则△BMC 的面积为4√3
B.若M 为△ABC 的内心，2⃗MA+3⃗MB+√7⃗MC=0，则C=π
3
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M 为△ABC 的外心，则 SA∶SB∶SC=2∶√3∶1
D.若M 为△ABC 的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0，则cos∠AMB=√6
6
答案 ABC
解析 对于A，由余弦定理得
cos A= A B
2+ A C
2- BC
2
2 AB·AC
=36+64 -52
2×6×8
=1
2，
又A∈(0，π)，所以A=π
3 ，
所以S△ABC=1
2×6×8×sinπ
3 =12√3，
又M 为△ABC 的重心，所以⃗MA+⃗MB+⃗MC=0，
即S△AMB∶S△AMC∶S△BMC=1∶1∶1，
所以S△BMC=1
3S△ABC=4√3，故A 正确；
对于B，设a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，
由M 为△ABC 的内心，且2⃗MA+3⃗MB+√7⃗MC=0，
可得a∶b∶c=2∶3∶√7，
令a=2k，则b=3k，c=√7k，k>0，
cos C=4 k
2+9k
2-7 k
2
2·2k·3k
=1
2，
又C∈(0，π)，所以 C=π
3 ，故B 正确；
对于C，如图，
因为M 为△ABC 的外心，设外接圆半径为R，
因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，
所以∠BMC=90°，∠AMC=120°，
故∠AMB=360°-120°-90°=150°，
所以SA∶SB∶SC=1
2R2sin 90°∶1
2R2sin 120°∶1
2R2sin 150°=sin 90°∶sin 120°∶sin 150°
=1∶√3
2 ∶1
2=2∶√3∶1，故C 正确；
对于D，由M 为△ABC 的垂心，3⃗MA+4⃗MB+5⃗MC=0，所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
则
S△ABC
S A
=4，
S△ABC
SB
=3，
延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB 于点D，F，E，如图，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
所以cos∠BMD= x
2 y =cos∠AMF= y
3 x ，得3x2=2y2，
所以cos∠BMD=√6
6 ，
则cos∠AMB=-√6
6 ，故D 错误.
专题强化练
[分值：52 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.设O 点在△ABC 内部，且有3⃗OA+2⃗OB+⃗OC=0，则△AOC 的面积与△AOB 的面积的比值为( )
A.2
B.√3
C.√2
D.3
答案 A
解析 根据奔驰定理△AOC 的面积与△AOB 的面积的比值为2
1=2.
2.如图所示，在△ABC 中，D，F 分别是AB，AC 的中点，BF 与CD 交于点O，设⃗AB=a，⃗AC=b，向量⃗AO
=λa+μb，则λ+μ 的值为( )
A.1
B.3
4
C.2
3
D.1
2
答案 C
解析 如图，BC 为值是1 的等和线，过O 作BC 的平行线，延长AO 交BC 于点M，
设λ+μ=k，则k=| AO|
| AM | .
由题易知O 为△ABC 的重心，| AO|
| AM | =2
3，
所以λ+μ=2
3.
3.如图，正六边形的边长为2√2，半径为1 的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M 在正六边形的边上运
动，动点A，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则⃗MA·⃗MB的取值范围为( )
A.[4，5]
B.[5，7]
C.[4，6]
D.[5，8]
答案 B
解析 由极化恒等式可得，⃗
MA·⃗MB=|⃗MO|
2-|⃗OA |
2=|⃗MO|
2-1，
当OM 与正六边形的边垂直时，|⃗MO|min=√6，
当点M 运动到正六边形的顶点时，|⃗MO|max=2√2，
所以|⃗MO|∈[√6，2√2]，则|⃗MO|
2∈[6，8]，
即⃗MA·⃗MB=(|⃗MO|2-1)的取值范围为[5，7].
4.△ABC 内一点O 满足关系式S△OBC·⃗OA+S△OAC·⃗OB+S△OAB·⃗OC=0，即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC
的三边为a，b，c，现有a·⃗OA+b·⃗OB+c·⃗OC=0，则O 为△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
答案 B
解析 记点O 到AB，BC，CA 的距离分别为h1，h2，h3，S△OBC=1
2a·h2，S△OAC=1
2b·h3，
S△OAB=1
2c·h1，
因为S△OBC·⃗OA+S△OAC·⃗OB+S△OAB·⃗OC=0，
则1
2a·h2·⃗OA+1
2b·h3·⃗OB+1
2c·h1·⃗OC=0，
即a·h2·⃗OA+b·h3·⃗OB+c·h1·⃗OC=0，
又因为a·⃗OA+b·⃗OB+c·⃗OC=0，所以h1=h2=h3，所以点P 是△ABC 的内心.
5.已知点A，B，C，P 在同一平面内，⃗PQ=1
3⃗PA，⃗QR=1
3⃗QB，⃗RP=1
3⃗RC，则S△ABC∶S△PBC等于( )
A.19
6
B.3
2
C.5
3
D.19
4
答案 D
解析 由⃗QR=1
3⃗QB，
得⃗PR-⃗PQ=1
3 (⃗PB-⃗PQ)，
整理得⃗PR=1
3⃗PB+2
3⃗PQ=1
3⃗PB+2
9⃗PA，
由⃗RP=1
3⃗RC，得⃗RP=1
3 (⃗PC-⃗PR)，
整理得⃗PR=-1
2⃗PC，
∴-1
2⃗PC=1
3⃗PB+2
9⃗PA，
整理得4⃗PA+6⃗PB+9⃗PC=0，
∴S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4.
6.若H 为△ABC 所在平面内一点，且|⃗HA |
2+|⃗BC |
2=|⃗HB|
2+|⃗CA |
2=|⃗HC |
2+|⃗AB|2，则点H 是△ABC 的
( )
A.重心
B.外心
C.内心
D.垂心
答案 D
解析 |⃗HA |
2+|⃗BC |
2=|⃗HB|
2+|⃗CA |
2⇒|⃗HA |
2+(⃗BH +⃗HC )
2=|⃗HB|
2+(⃗CH +⃗HA )
2，
得⃗BH·⃗HC=⃗CH·⃗HA⇒⃗HC·⃗BA=0，即⃗HC⊥⃗BA；
|⃗HA |
2+|⃗BC |
2=|⃗HC |
2+|⃗AB|
2⇒|⃗HA |
2+(⃗BH +⃗HC )
2=|⃗HC |
2+(⃗AH +⃗HB)
2，
得⃗BH·⃗HC=⃗AH·⃗HB⇒⃗BH·⃗AC=0，即⃗BH⊥⃗AC；
|⃗HB|
2+|⃗CA |
2=|⃗HC |
2+|⃗AB|
2⇒|⃗HB|
2+(⃗CH +⃗HA )
2=|⃗HC |
2+(⃗AH +⃗HB)
2，⃗
CH·⃗HA=⃗AH·⃗HB⇒⃗HA·⃗CB=0，即⃗HA⊥⃗CB，所以H 为△ABC 的垂心.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相
似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面
积分别为SA，SB，SC，则SA·⃗OA+SB·⃗OB+SC·⃗OC=0.设O 是△ABC 内一点，△ABC 的三个内角分别为A，
B，C，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为SA，SB，SC，若3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0，则以下命题正确的有(
)
A.SA∶SB∶SC=3∶4∶5
B.O 有可能是△ABC 的重心
C.若O 为△ABC 的外心，则sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5
D.若O 为△ABC 的内心，则△ABC 为直角三角形
答案 AD
解析 对于A，由奔驰定理可得，3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=SA·⃗OA+SB·⃗OB+SC·⃗OC=0，
因为⃗OA，⃗OB，⃗OC不共线，
所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，故A 正确；
对于B，若O 是△ABC 的重心，
则⃗OA+⃗OB+⃗OC=0，
因为3⃗OA+4⃗OB+5⃗OC=0，所以⃗OB=2⃗CO，即O，B，C 三点共线，故B 错误；
对于C，当O 为△ABC 的外心时，
|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|，
所以SA∶SB∶SC=sin∠BOC∶sin∠AOC∶
sin∠AOB=3∶4∶5，
即sin 2A∶sin 2B∶sin 2C=3∶4∶5，故C 错误；
对于D，当O 为△ABC 的内心时，
SA∶SB∶SC=1
2ar∶1
2br∶1
2cr
=a∶b∶c=3∶4∶5(r 为内切圆半径，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边)，
所以a2+b2=c2，所以C=π
2 ，故D 正确.
8.已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A.若|⃗BC|⃗OA+|⃗AC|⃗OB+|⃗AB|⃗OC=0，则点O 是△ABC 的重心
B.若⃗OA·(⃗
AC
|⃗AC |
-⃗
AB
|⃗AB|)=⃗OB·(⃗
BC
|⃗BC |
-⃗
BA
|⃗BA |)=0，则点O 是△ABC 的内心
C.若(⃗OA+⃗OB)·⃗AB=(⃗OB+⃗OC)·⃗BC=0，则点O 是△ABC 的外心
D.若O 为△ABC 的外心，且2⃗BO=⃗BA+⃗BC，则B 为△ABC 的垂心
答案 BCD
解析 对于A，设a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，在AB，AC 上分别取点D，E，
使得⃗AD=⃗AB
c ，⃗AE=⃗AC
b ，
则|⃗AD|=|⃗AE|=1，以AD，AE 为邻边作平行四边形ADFE，如图所示，
则四边形ADFE 是菱形，且⃗AF=⃗AD+⃗AE=⃗AB
c +⃗AC
b ，所以AF 平分∠BAC，
因为|⃗BC|⃗OA+|⃗AC|⃗OB+|⃗AB|⃗OC=0，
即a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=0，
所以a·⃗OA+b·(⃗OA+⃗AB)+c·(⃗OA+⃗AC)=0，
即(a+b+c)⃗OA+b⃗AB+⃗cAC=0，
所以⃗AO=
b
a+b+c⃗AB+
c
a+b+c⃗AC
=
bc
a+b+c(⃗
AB
c +⃗AC
b )=
bc
a+b+c⃗AF，
所以A，O，F 三点共线，即O 在∠BAC 的平分线上，
同理可得O 在其他两角的平分线上，所以O 为△ABC 的内心，故A 错误；
对于B，在AB，AC 上分别取点D，E，使得⃗AE=⃗
AC
|⃗AC |
，⃗AD=⃗AB
|⃗AB|
，如图，
则|⃗AD|=|⃗AE|=1，且⃗
AC
|⃗AC |
-⃗AB
|⃗AB|
=⃗DE，
因为⃗OA·(⃗
AC
|⃗AC |
-⃗
AB
|⃗AB|)=0，
即⃗OA⊥⃗DE，又|⃗AD|=|⃗AE|=1 知，AO 平分∠BAC，同理，可得BO 平分∠ABC，故O 为△ABC 的内心，故
B 正确；
对于C，取AB，BC 的中点分别为M，N，如图，
因为(⃗OA+⃗OB)·⃗AB
=(⃗OB+⃗OC)·⃗BC=0，
所以2⃗OM·⃗AB=2⃗ON·⃗BC
=0，
即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O 是△ABC 的外心，故C 正确；
对于D，因为2⃗BO=⃗BA+⃗BC，
所以⃗OA=-⃗OC，即O 为AC 的中点，
又O 为△ABC 的外心，
所以∠B=90°，则B 为△ABC 的垂心，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.在△ABC 中，AC=2BC=6，∠ACB 为钝角，M，N 是边AB 上的两个动点，且MN=2，若⃗CM·⃗CN的最小
值为3，则cos∠ACB= .
答案 2-2√10
9
解析 取线段MN 的中点P，连接CP，过C 作CO⊥AB 于O，如图，PM=1
2MN=1，
依题意，⃗CM·⃗CN=|⃗CP|
2-|⃗PM |
2=|⃗CP|
2-1，
因为⃗CM·⃗CN的最小值为3，
则|⃗CP|的最小值为2，因此CO=2，
在Rt△AOC 中，cos∠OCA=CO
CA =1
3，
sin∠OCA=2√2
3
，
在Rt△BOC 中，cos∠OCB=CO
CB =2
3，
sin∠OCB=√5
3 ，
所以cos∠ACB=cos(∠OCA+∠OCB)
=cos∠OCAcos∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB
=2-2√10
9
.
10.设点P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心，∠BAC=π
6 ，如图.若△PBC，△PCA，△PAB 的面积分别为1
2，
x，y，则x+y 的最大值是 .
答案 √3
3
解析 方法一 根据奔驰定理得，1
2⃗PA+x⃗PB+y⃗PC=0，即⃗AP=2x⃗PB+2y⃗PC，x>0，y>0，
平方得⃗AP
2=4x2⃗PB
2+4y2⃗PC
2+8xy|⃗PB|·
|⃗PC|·cos∠BPC，
又因为点P 是△ABC 的外心，∠BAC=π
6 ，
所以|⃗PA|=|⃗PB|=|⃗PC|，且∠BPC=2∠BAC=π
3 ，
所以x2+y2+xy=1
4 ，
(x+y)2=1
4 +xy≤1
4 +(
x + y
2 )
2
，
解得x+y≤√3
3 ，当且仅当x=y=√3
6 时取等号，
所以(x+y)max=√3
3 .
方法二 因为点P 是△ABC 的外心，所以
S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin 2∠BAC∶sin 2∠ABC∶sin 2∠ACB=1
2∶x∶y，x>0，y>0，
又∠BAC=π
6 ，所以sin 2∠BAC=√3
2 ，
所以x=√3
3 sin 2∠ABC，y=√3
3 sin 2∠ACB，
所以x+y=√3
3 (sin 2∠ABC+sin 2∠ACB)
=√3
3 [sin 2∠ABC +sin(
5 π
3 -2∠ABC)]=√3
3 sin(2∠ABC - π
3)，
又因为∠ABC∈(0，5 π
6 )，所以2∠ABC-π
3 ∈(- π
3 ，4 π
3 )，所以sin(2∠ABC - π
3)∈(- √3
2 ，1]，
所以x+y∈(0，√3
3 ]，所以(x+y)max=√3
3 .
