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培优点 6 向量极化恒等式
平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且
复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清
晰简单．
考点一 向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝2－2.
变式：(1)a·b＝－，a·b＝－.
(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则AB·AC＝AM2－CB2＝AM2－MB2.
考向1 利用向量极化恒等式求值
例1 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，
则AE·AF＝________.
答案 27
解析 BD＝＝12，
∴AO＝6，OE＝3，
∴由极化恒等式知
AE·AF＝AO2－OE2＝36－9＝27.
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．BA·CA＝4，BF·CF
＝－1，则BE·CE的值为________．
答案
解析 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，
则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，
得AB·AC＝AD2－DB2＝9n2－m2＝4，①
FB·FC＝FD2－DB2＝n2－m2＝－1.②
联立①②，解得n2＝，m2＝.
因此EB·EC＝ED2－DB2＝4n2－m2＝.
即BE·CE＝.
考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围
例2 (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在
平面上任意一点，则(PA＋PB)·PC的最小值是________．
答案 －
解析 如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，
所以(PA＋PB)·PC
＝2PO·PC，
由极化恒等式得
PO·PC＝PD2－DO2＝PD2－，
因此当P为OC的中点，即|PD|＝0时，
(PA＋PB)·PC取得最小值－.
(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．
答案 －
解析 由向量极化恒等式知
a·b＝
＝
≥＝－，
当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，
即|a|＝，|b|＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值．
规律方法 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特
别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．
跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD＝λBC，AD·AB＝
－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|MN|＝1，则DM·DN的最小值
为________．答案
解析 依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，
由AD·AB＝|AD|·|AB|·cos∠BAD
＝－|AD|＝－，得|AD|＝1，
因此λ＝＝.
取MN的中点E，连接DE(图略)，
则DM＋DN＝2DE，
DM·DN＝[(DM＋DN)2－(DM－DN)2]
＝DE2－NM2＝DE2－.
当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，
即AB·sin B＝，
因此DE2－的最小值为2－＝，
即DM·DN的最小值为.
(2)如图所示，正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面
1 1 1 1
上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，
PM·PN的取值范围是________．
答案 [0,2]
解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长
度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O，
则PM·PN＝PO2－ON2＝PO2－1.
由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，
所以PM·PN∈[0,2]．
考点二 等和(高)线解基底系数和(差)问题
等和(高)线平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或
在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平
行的直线称为等和(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k，k 互为相反数；
1 2
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
例3 (1)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，
则λ＋μ的值为( )
A. B. C. D．1
答案 A
解析 方法一 设BM＝tBC(0≤t≤1)，
则AN＝AM＝(AB＋BM)
＝AB＋BM＝AB＋BC
＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC，
所以λ＝－，μ＝，
所以λ＋μ＝.
方法二 如图，过N作BC的平行线，
设λ＋μ＝k，则k＝.
由图易知，＝.
(2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任
意一点，BM＝xBA＋yBD(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为( )
A. B.
C．2 D．2
答案 C解析 如图，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，
则BM＝xBA＋yBD
＝2x·BA·＋yBD＝2xBE＋yBD，
当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，
设2x＋y＝k，则k＝＝2，
所以2x＋y取得最大值2.
易错提醒 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此
来求其他的等和(高)线．
跟踪演练2 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为，如图所示，点C在以O
为圆心的AB上运动，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．
答案 2
解析 方法一 以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示，
则A(1,0)，B，
设∠AOC＝α，
则C(cos α，sin α)．
由OC＝xOA＋yOB，得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，
又α∈，
所以当α＝时，x＋y取得最大值2.
图(1) 图(2)方法二 令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k
取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2.
专题强化练
1．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则PD·PC的最大值是( )
A. B．2 C. D.
答案 B
解析 如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得PD·PC＝PE2－EC2＝PE2－，
所以当P与A(B)重合时，
|PE|＝最大，从而(PD·PC) ＝2.
max
2.如图，在四边形MNPQ中，若NO＝OQ，|OM|＝6，|OP|＝10，MN·MQ＝－28，则NP·QP等于(
)
A．64 B．42 C．36 D．28
答案 C
解析 由MN·MQ＝MO2－ON2
＝36－ON2＝－28，
解得ON2＝64，
所以OQ2＝64，
所以NP·QP＝PQ·PN＝PO2－OQ2
＝100－64＝36.
3．若A，B为双曲线－＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动
点，则MA·MB的最大值为( )
A. B．7
C．－7 D．－16
答案 C
解析 如图，O为AB的中点，MA·MB＝MO2－BA2，
|MO| ＝|OC|＋1＝3，
max
|AB| ＝2a＝8，
min
所以 ＝9－×64＝－7.
max
4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且AP＝
λAB＋μAC，则λ＋μ的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0,3] D．[0,4]
答案 C
解析 如图，当P位于点A时，(λ＋μ) ＝0，
min
当P位于点D时，(λ＋μ) ＝3.
max
5．已知在△ABC中，P 是边AB上一定点，满足PB＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有
0 0
PB·PC≥P0B·P0C，则( )
A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°
C．AB＝AC D．AC＝BC
答案 D
解析 如图所示，取AB的中点E，因为PB＝AB，
0
所以P 为EB的中点，取BC的中点D，连接DP，DP，
0 0
则DP 为△CEB的中位线，DP∥CE.
0 0根据向量的极化恒等式，
有PB·PC＝PD2－DB2，
P0B·P0C＝P0D2－DB2.
又PB·PC≥P0B·P0C，
则|PD|≥|P0D|恒成立，
必有DP⊥AB.因此CE⊥AB，
0
又E为AB的中点，所以AC＝BC.
6．已知等边△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA·PB的取值范围
是______．
答案 [－2,6]
解析 如图所示，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，所以O为△ABC的
重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2.又由极化恒等式得PA·PB＝
PD2－BA2＝PD2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD| ＝3，当P在CO的延长
max
线与圆O的交点处时，|PD| ＝1，所以PA·PB∈[－2,6]．
min
7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，
则OC·OB的最大值是______．
答案 2
解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则OC·OB＝OM2－.
因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以OC·OB的最大值为2.
8.如图，已知点P为等边△ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若AP＝
xAB＋yAC，AQ＝xAB＋yAC，则|(2x－x)＋(2y－y)|的最大值为________．
1 1 2 2 1 2 1 2
答案
解析 由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时，x＋y 取最大值，x＋y 取最小
1 1 2 2
值，且x＋y 的最大值为＝，x＋y 的最小值为＝.故|(2x－x)＋(2y－y)|
1 1 2 2 1 2 1 2
＝|2(x＋y)－(x＋y)|≤－＝.
1 1 2 2
